Tài liệu Các không gian với phủ và k lưới

Trêng ®¹i häc vinh Khoa to¸n ---------------------------- c¸c kh«ng gian víi phñ vµ k -líi kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc ngµnh cö nh©n khoa häc to¸n Gi¸o viªn híng dÉn: PGS.TS trÇn v¨n ©n h¬ng Sinh viªn thùc hiÖn Líp : th¸i thÞ mai : 41E1 - to¸n Vinh – 2005 1 Lêi më ®Çu Chóng ta ®· qu¸ quen thuéc víi c¸c §Þnh lý vÒ phÐp mªtric ho¸ c¬ b¶n ch¼ng h¹n, chóng ta cã §Þnh lý vÒ phÐp mªtric ho¸ cña Nagata-Smirnov nãi r»ng mét kh«ng gian chÝnh quy lµ c¶ kh¶ mªtric nÕu vµ chØ nÕu nã cã mét c¬ së më h÷u h¹n  -®Þa ph¬ng, vµ c¸c §Þnh lý kh¸c, ®Æc biÖt lµ c¸c §Þnh lý vÒ phÐp mªtric trªn c¸c kh«ng gian Moore, c¸c M-kh«ng gian vµ c¸c kh«ng gian mªtric phæ biÕn kh¸c. Mét phñ P lµ mét “k-líi” ®èi víi X nÕu víi tËp compact K vµ tËp më U nµo ®ã mµ K  U th× tån t¹i mét h÷u h¹n ®Ó P  P , P  K  P '  U . Nh÷ng kh«ng gian Lasnev vµ c¸c kh«ng gian th¬ng ®· biÕt cña c¸c kh«ng gian mªtric cã thÓ ®ù¬c ®Æc trng bëi c¸c ph¬ng ph¸p cña k-líi. Trong kho¸ luËn nµy chóng ta nghiªn cøu lý thuyÕt vÒ phÐp mªtric ho¸ theo ng«n ng÷ cña c¸c t«p« yÕu, c¸c k-líi, vµ lµm râ mét sè §Þnh lý vÒ phÐp mªtric ho¸ c¬ b¶n. Chóng ta gi¶ thiÕt tÊt c¶ c¸c kh«ng gian lµ Hausdorff vµ tÊt c¶ c¸c ¸nh x¹ lµ liªn tôc. Víi môc ®Ých nh vËy, kho¸ luËn ®îc tr×nh bµy theo c¸c phÇn nh sau: Ch¬ng 1. Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña t«p« ®¹i c¬ng ®Ó lµm c¬ së cho c¸c phÇn sau. Ch¬ng 2. Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm nh kh«ng gian Frªchet, c¸c kh«ng gian chøa b¶n sao cña gian ®îc lµm tréi bëi tËp con mªtric. 2 S vµ c¸c kh«ng Cuèi cïng cho t«i göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt tíi PGS.TS.TRÇN V¡N ¢N, ngêi ®· trùc tiÕp híng dÉn t«i hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. §ång thêi cho t«i göi lêi c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa To¸n - Trêng §¹i Häc Vinh ®· quan t©m, gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i trêng. Do ®iÒu kiÖn thêi gian vµ nh÷ng h¹n chÕ vÒ n¨ng lùc nªn kho¸ luËn sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña quý thÇy c« vµ c¸c b¹n. Vinh, th¸ng 4 n¨m 2005 T¸c gi¶ Ch¬ng I C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ §1 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho tËp X  . Hä  c¸c tËp con cña X ®îc gäi lµ mét t«p« trªn X, nÕu nã tho¶ m·n: (i)   X   (ii) Víi mäi A,B   th× A  B  ; (iii) Víi mäi hä { A:   I }  A  th× U  I  . Khi ®ã, (X, ) ®îc gäi lµ kh«ng gian t«p«, mçi phÇn tö cña X gäi lµ mét ®iÓm trong kh«ng gian t«p« ( X, A  gäi lµ mét tËp më. ). Mçi tËp PhÇn bï cña tËp më ®îc gäi lµ tËp 3 ®ãng. NÕu kh«ng sî nhÇm lÉn c¸c t«p« trªn X ta viÕt kh«ng gian X thay cho kh«ng gian ( X,  ). 1.1.2. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã c¸c nhËn xÐt sau: (i)  vµ X lµ c¸c tËp më; (ii) Giao cña hai tËp më lµ mét tËp më; (iii) Hîp cña mét hä tuú ý c¸c tËp më lµ tËp më. 1.1.3. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« ( X,  ) vµ B  , B ®îc gäi lµ c¬ së cña t«p«  nÕu víi mäi V   vµ víi mäi x  V, tån t¹i U B sao cho x  U  V. 1.1.4. §Þnh nghÜa. a. Cho kh«ng gian t«p« ( X, ), x  X. TËp U  X ®îc gäi lµ l©n cËn cña ®iÓm x, nÕu tån t¹i V   sao cho x  U  V. b. Gäi (x) lµ hä tÊt c¶ c¸c l©n cËn cña x, khi ®ã hä con B(x) cña U(x) ®îc gäi lµ c¬ së l©n cËn t¹i ®iÓm x, nÕu víi mäi V  (x), tån t¹i U B(x), sao cho x  U  V. 1.1.5. §Þnh nghÜa. Hä P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ ®iÓm ®Õm ®îc (point - countable). NÕu mçi x  X th× x ®îc chøa trong nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®îc c¸c phÇn tö p  P. 4 1.1.6. §Þnh nghÜa . Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A  X giao cña hä tÊt c¶ c¸c tËp hîp ®ãng chøa A ®îc gäi lµ bao ®ãng cña tËp hîp A. Ký hiÖu A hay clA. 1.1.7. NhËn xÐt. (i) A lµ tËp ®ãng vµ lµ tËp ®ãng nhá nhÊt chøa A; (ii) TËp A  X lµ ®ãng khi vµ chØ khi A = A; (iii) NÕu A  B  X th× A  B . 1.1.8. MÖnh ®Ò. Cho kh«ng gian t«p« X, A vµ B lµ nh÷ng tËp hîp con cña X. Khi ®ã: (i)  = ; (ii) A  A ; (iii) A  B = A  B ; (iv) ( A ) = A . TËp con cña kh«ng gian t«p« lµ ®ãng khi vµ chØ khi nã chøa mäi ®iÓm giíi h¹n cña nã. 1.1.9. §Þnh nghÜa . (i) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«, vµ A  X . TËp A  X \ A ®îc gäi lµ tËp biªn cña tËp hîp A vµ ký hiÖu A. (ii) Mçi ®iÓm x  A ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña A. 1.1.10. §Þnh lý. §iÓm x  X ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña A khi vµ chØ khi víi l©n cËn U bÊt kú cña x, ta cã U  A   vµ U  (X \ A)  . 5 1.1.11. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö A lµ mét tËp hîp con cña kh«ng gian t«p« X, ®iÓm x  X ®îc gäi lµ ®iÓm tô cña tËp hîp A nÕu x  A \ {x} . TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm tô cña tËp A ký hiÖu lµ Ad. §iÓm x lµ ®iÓm tô cña tËp hîp A khi vµ chØ khi mét l©n cËn bÊt kú U cña x ®Òu chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm y cña A kh¸c x. 1.1.12. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X. Khi ®ã ®iÓm xX ®îc gäi lµ ®iÓm c« lËp cña X nÕu  x lµ tËp më. 1.1.13. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng t«p« X. D·y {xn: n  N} ®îc gäi lµ héi tô vÒ ®iÓm x, nÕu víi l©n cËn V bÊt kú cña x th× b¾t ®Çu tõ lóc nµo ®ã, c¸c phÇn tö cña d·y {xn} ®Òu n»m trong V. Lóc ®ã, ta gäi x lµ ®iÓm héi tô cña d·y {xn}. 1.1.14. MÖnh ®Ò. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ {x n : n  N} lµ d·y trong X héi tô vÒ ®iÓm x  X. Khi ®ã, {xn: n  N}  {x} lµ tËp compact. Chøng minh. §Æt A = {xn : n  N}  {x}. Gi¶ sö {A:   I} lµ mét phñ më cña A, khi ®ã tån t¹i 0  I sao cho x  A mµ d·y {xn} héi tô vÒ x vµ A lµ tËp më nªn tån t¹i n0 0 0  N sao cho xn  A , víi mäi n  n0. Do ®ã 0 {xn: n  n0}{x} A . 0 6 B©y giê víi mçi xi  A, i = 1,2,...,n 0 -1, ta chän Ai  {A:   I} sao cho xi  Ai, khi ®ã ta cã.  n 1   i 1  {xn: n  N}  {x}   U Ai   A , 0 hay {Ai : i = 1,2,..., n0 - 1, 0} lµ phñ më h÷u h¹n cña A. Do ®ã A lµ tËp compact. 1.1.15. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X vµ tËp A  X. §iÓm x  X ®îc gäi lµ ®iÓm giíi h¹n cña tËp A nÕu mäi l©n cËn Ux cña x ®Òu chøa mét ®iÓm kh¸c x trong tËp A. Ký hiÖu Alµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm giíi h¹n cña X. 1.1.16. NhËn xÐt. Nh vËy x  X lµ ®iÓm giíi h¹n cña A nÕu víi mäi Ux lµ l©n cËn cña x th× (U x \ {x})  A  . Mét ®iÓm x kh«ng lµ ®iÓm giíi h¹n ®îc gäi lµ ®iÓm c« lËp. 1.1.17. §Þnh nghÜa. Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«. (i) ¸nh x¹ f: X  Y ®îc gäi lµ ¸nh x¹ liªn tôc nÕu nghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ mét tËp më; (ii) ¸nh x¹ f: X  Y ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®ãng (më) nÕu víi mçi tËp ®ãng (më) A  X th× f(A) ®ãng (më) trong Y. 1.1.18. MÖnh ®Ò. Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh x¹ f: X  Y. Khi ®ã c¸c MÖnh ®Ò sau t¬ng ®¬ng: 7 (i) f liªn tôc; (ii) f-1 (V) më trong X, víi mäi tËp V më trong Y; (iii) f-1 (V) ®ãng trong X, víi mäi tËp V ®ãng trong Y; (iv) f( A )  f  A víi mäi tËp A  X; (v) f 1  B   f-1 ( B ) víi mäi tËp B  Y. 1.1.19. MÖnh ®Ò. NÕu ¸nh x¹ f: X  Y tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ ®ãng khi ®ã. (i) f( A ) = f  A víi mäi tËp A  Y; (ii) f 1  B   f-1 ( B ) víi mäi tËp B  Y. Chøng minh. (i) f( A ) = f  A . Do f liªn tôc nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.16 ta cã f( A )  f  A . (1) MÆt kh¸c, do A  A suy ra f(A)  f( A ) nªn f  A  f  A . Theo gi¶ thiÕt f lµ ¸nh x¹ ®ãng mµ A lµ tËp ®ãng nªn f ( A ) còng lµ tËp ®ãng, do ®ã f  A  = f( A ). VËy f  A  f( A ). (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra f( A ) = f  A . (ii) f-1( B ) = f 1  B  . Do f liªn tôc nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.16 ta cã f 1  B   f-1( B ). (3) 8 MÆt kh¸c theo c©u (i) cã f  A  f( A ) víi mäi A  X, ta lÊy A = f - 1 (B). Khi ®ã f  f 1  B    f B  f  f  B  , 1 hay  f  B  . 1 Suy ra f-1 ( B )  f 1  B  . (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã f-1( B ) = f 1  B  . 1.1.20. MÖnh ®Ò. Cho f: X  Y lµ ¸nh x¹ ®ãng. Gi¶ sö A  X sao cho mäi tËp con cña A ®Òu ®ãng trong X. Khi ®ã mäi tËp con cña f(A) ®Òu ®ãng trong Y. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp con bÊt kú cña f(A). Khi ®ã tån t¹i B  A sao cho f (B) = F. Do mäi tËp con cña A ®Òu ®ãng, suy ra B ®ãng. Mµ f lµ ¸nh x¹ ®ãng nªn f (B) ®ãng. VËy F ®ãng, víi mäi F  f (A). 1.1.21. §Þnh nghÜa. (i) Hä P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ mét phñ cña tËp con A trong X nÕu A  {P: P  P Ta viÕt (ii) Hä  }. P thay cho  {P: P P} P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ mét phñ cña X nÕu X =  P. 9 1.1.22. §Þnh nghÜa. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ lµ mét phñ cña X. Phñ B cña X ®îc gäi lµ c¸i mÞn cña nÕu mçi phÇn tö cña phñ ®ã cña phñ B P P ®îc chøa trong phÇn tö nµo P. 1.1.23. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X. Hä c¸c tËp con cña X ®îc gäi lµ mét líi trong X nÕu P P lµ mét phñ cña X sao cho víi mäi x  X vµ moi tËp më U chøa x tån t¹i mét phÇn tö P  P sao cho x  P  U. 1.1.24. Bæ ®Ò. Gi¶ sö f: X  Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc, ®ãng víi X lµ kh«ng gian chÝnh quy. NÕu Y vµ f -1 (y) lµ c¸c kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt víi mäi y  Y th× X còng lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. Chøng minh. Gi¶ sö x  X, y = f(x) vµ {Vn} lµ c¬ së l©n cËn gi¶m t¹i y trong kh«ng gian Y vµ {Un} lµ c¬ së l©n cËn gi¶m t¹i x trong f-1(y), víi mçi n ta chän tËp më W n trong X sao cho x  Wn  f-1(Vn), Wn  f-1(y)  Un vµ Wn1 Wn. Ta sÏ chøng minh {Wn} lµ c¬ së l©n cËn ®Õm ®îc t¹i x trong X. Gi¶ sö ngîc l¹i {Wn} kh«ng lµ c¬ së l©n cËn t¹i x. Khi ®ã, tån t¹i mét l©n cËn G cña x trong X sao cho Wn \ G   víi mäi n. Víi mçi n ta lÊy mét xn  Wn \ G. Khi ®ã, d·y {xn} kh«ng cã ®iÓm tô trong X. ThËt vËy, v× X lµ T 2 -kh«ng gian nªn f-1 (y) 10   n 1 n 1 còng lµ T2-kh«ng gian víi mäi y  Y. Do ®ã {x} = I Wn  I U n .V× vËy nÕu z lµ ®iÓm tô cña d·y {xn} th× z = x nhng ®iÒu nµy m©u thuÉn v× tån t¹i mét l©n cËn G cña x mµ G kh«ng chøa ®iÓm xn nµo c¶. Do d·y{xn} kh«ng cã ®iÓm tô nµo trong X nªn mäi tËp con cña nã ®Òu ®ãng. B©y giê ta chän sè n0 ®Ó Wn  f-1 (y)  G. Víi mäi n > n0 vµ gi¶ sö A = {xn : n > n0} Khi ®ã d·y {xn} kh«ng cã ®iÓm tô trong X nªn A lµ tËp ®ãng trong X. V× x  G nªn x  A. Do ®ã, y = f(x)  f(A) = B. MÆt kh¸c v× {Vn} lµ c¬ së l©n cËn gi¶m t¹i ®iÓm y, Wn  f-1(Vn), víi mäi n vµ xn  Wn nªn y  B = f  A . §iÒu nµy kÐo theo y B \ B v× thÕ tËp hîp B = f(A) kh«ng ®ãng trong Y. Tõ ®ã suy ra f kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ ®ãng. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt, v× thÕ ®iÒu gi¶ sö lµ sai. VËy hä{Wn} lµ c¬ së l©n cËn t¹i ®iÓm x. 1.1.25. §Þnh nghÜa. TËp con G cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ G -tËp nÕu G lµ giao cña ®Õm ®îc c¸c tËp më trong X. Tõ nay vÒ sau tÊt c¶ c¸c kh«ng gian ®îc gi¶ thiÕt lµ T 2 -kh«ng gian vµ c¸c ¸nh x¹ lµ liªn tôc. 11 §2 Mét sè kh«ng gian ®Æc biÖt 1.2.1. §Þnh nghÜa. (i) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ T1kh«ng gian, nÕu mçi phÇn tö 2x  X th× {x} lµ tËp ®ãng. (ii) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ T2-kh«ng gian (Hausdoff), nÕu mçi cÆp ®iÓm kh¸c nhau x1, x2  X, tån t¹i mét l©n cËn U cña x1 vµ mét l©n cËn V cña x2 sao cho U  V =  (iii) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian chÝnh quy nÕu víi mçi ®iÓm x  X, mçi tËp ®ãng F sao cho x  F, tån t¹i c¸c tËp më U vµV sao cho x  U, F  V vµ U  V = . (iv) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ T3-kh«ng gian nÕu X lµ T1kh«ng gian vµ chÝnh quy. 1.2.2. NhËn xÐt. NÕu kh«ng gian t«p« X lµ T 3- kh«ng gian th× nã lµ T2-kh«ng gian vµ nÕu X lµ T 2-kh«ng gian th× nã lµ T1-kh«ng gian. 1.2.3. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian compact nÕu víi mçi phñ më cña nã chøa mét phñ con h÷u h¹n. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ paracompact nÕu nã lµ kh«ng gian chÝnh quy vµ mçi phñ më cña nã lµ c¸i mÞn h÷u h¹n ®Þa ph¬ng. Kh«ng gian mªtric lµ kh«ng gian t«p« paracompact. 12 1.2.4. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt nÕu víi mäi x  X, tån t¹i c¬ së ®Õm ®îc t¹i x. Kh«ng gian mªtric lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. 1.2.5. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian mªtric ho¸ ®îc nÕu tån t¹i mét mªtric trªn X, sao cho t«p« sinh bëi mªtric nµy trïng víi t«p« ban ®Çu cña kh«ng gian X. 1.2.6. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian Lasnev, nÕu nã lµ ¶nh ®ãng cña mét kh«ng gian mªtric qua ¸nh x¹ liªn tôc. 1.2.7. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian mªtric compact nÕu mäi d·y trong X ®Òu tån t¹i mét d·y con héi tô. G lµ kh«ng gian rêi r¹c nÕu nh mçi ®iÓm cña nã lµ l©n cËn cña chÝnh nã. 1.2.8. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh¶ li nÕu tån t¹i tËp con ®Õm ®îc trï mËt kh¾p n¬i trong X. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh¶ li di truyÒn, nÕu mäi tËp con cña nã cïng víi t«p« c¶m sinh lµ kh«ng gian kh¶ li 13 1.2.9. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ compac ®Þa ph¬ng nÕu mçi ®iÓm a cña kh«ng gian X, tån t¹i l©n cËn U ∋ a sao cho U lµ compact. 1.2.10. NhËn xÐt. Mäi kh«ng gian compact ®Òu lµ compact ®Þa ph¬ng. Mäi kh«ng gian rêi r¹c ®Òu lµ compact ®Þa ph¬ng. 1.2.11. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ k-kh«ng gian nÕu A  X lµ ®ãng trong X khi vµ chØ khi A  K lµ tËp ®ãng trong K víi mäi tËp compact K  X. 14 Ch¬ng II C¸c kh«ng gian víi phñ vµ k- líi §1 C¸c kh«ng gian chøa b¶n sao cña S hoÆc S2 2.1.1. §Þnh nghÜa. Cho Lo ={an , n  N}  {} lµ d·y v« h¹n víi ®iÓm giíi h¹n , ë ®©y N ®îc hiÓu lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn. Víi mçi n  N, lÊy Ln lµ d·y héi tô v« h¹n chøa ®iÓm giíi h¹n an, lÊy L lµ tæng t«p« {Ln: n  N}. S  lµ kh«ng gian th¬ng x¸c ®Þnh tõ L b»ng viÖc ®ång nhÊt tÊt c¶ c¸c ®iÓm giíi h¹n a n thuéc L víi ®iÓm . S lµ kh«ng gian th¬ng x¸c ®Þnh tõ tæng t«p« L 0 vµ L b»ng viÖc ®ång nhÊt mçi ®iÓm a n thuéc L 0 víi ®iÓm giíi h¹n a n thuéc L. Khi ®ã hîp cña c¸c tËp cã d¹ng {} {an: n  m}  {Un : n m} trong ®ã U n lµ mét l©n cËn cña an trong Ln, lµ c¬ së l©n cËn (b»ng l©n cËn ®Þa ph¬ng) cña {} trong S2. 2.1.2. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian Frechet, nÕu víi mäi A  X vµ víi mäi x  A , tån t¹i d·y {Xn: n  N} trong A héi tô tíi x. Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian Frechet m¹nh nÕu víi mäi d·y gi¶m {A n : n  N} víi x  I { A : n  N} n tån t¹i mét d·y {x n : n  N} héi tô tíi ®iÓm x víi xn  A n . 2.1.3. VÝ dô. Kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt lµ Frechet m¹nh. 15 Kh«ng gian Frechet m¹nh lµ kh«ng gian Frechet. 2.1.4. MÖnh ®Ò. Mäi ¶nh ®ãng cña mét kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt lµ Frechet. Chøng minh. Cho f : S  X lµ ¸nh x¹ ®ãng víi S tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. LÊy x  A trong X. Chän B  S sao cho f( B ) = A . Khi ®ã, f-1(x)  B  . V× thÕ chän b  f-1(x)  B . Khi ®ã tån t¹i mét d·y {b n : n  N} trong B héi tô tíi b. VËy {f(b n ): n  N} lµ d·y trong A héi tô tíi x. Nh vËy X lµ Frechet. 2.1.5. §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét kh«ng gian. Mét tËp con U cña X ®îc gäi lµ më theo d·y nÕu víi mçi d·y trong X héi tô tíi mét ®iÓm trong U th× thuéc U. Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian d·y nÕu mäi tËp con më theo d·y cña X th× më trong X. 2.1.6. NhËn xÐt. Kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt lµ kh«ng gian d·y. Kh«ng gian d·y râ rµng lµ ¶nh th¬ng cña kh«ng gian mªtric. Kh«ng gian d·y lµ k-kh«ng gian, k-kh«ng gian râ rµng lµ ¶nh th¬ng cña kh«ng gian compact ®Þa ph¬ng. 2.1.7. MÖnh ®Ò. Mçi kh¼ng ®Þnh sau kÐo theo X lµ kh«ng gian d·y. (1) X lµ mét kh«ng gian Frechet; 16 (2) X lµ ¶nh th¬ng cña mét kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt; (3) X lµ mét k-kh«ng gian trong ®ã mäi ®iÓm ®Òu lµ G. Chøng minh. Cho U lµ tËp më theo d·y trong X. Chóng ta thÊy r»ng U më trong X. (1) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Frechet U lµ tËp kh«ng më trong X. Khi nhng ®ã X \ U kh«ng ®ãng. Suy ra tån t¹i x  X \ U x  X \ U . V× X lµ Frechet nªn tån t¹i d·y  x   X \ U , x  x . L¹i n do x  U ,vµ U më theo d·y nªn { xn }  U n . §iÒu nµy m©u thuÈn. VËy U më trong X. (2). Gi¶ sö f: S  X lµ ¸nh x¹ th¬ng víi S tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. Do f-1(U) lµ më theo d·y trong S, S lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt nªn f-1(U) lµ më trong S.V× vËy do f lµ ¸nh x¹ th¬ng nªn U lµ më trong X. (3). Gi¶ sö K lµ tËp compact bÊt kú cña X. Khi ®ã mçi ®iÓm x cña K lµ mét G  trong K, tån t¹i mét d·y {Vn: n  N} c¸c tËp më trong K sao cho Vn1  Vn vµ  x  {Vn : n  N } . Bëi v× K lµ compact, {V n: n N} lµ c¬ së l©n cËn cña x trong K. Khi ®ã, K tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. V× K  U më theo d·y trong k nªn K  U lµ më trong K. Do X lµ k-kh«ng gian, ta suy ra U lµ më trong X. 17 2.1.8. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ ckh«ng gian nÕu víi mçi x  A th× x  C víi tËp con ®Õm ®îc C nµo ®ã cña A. 2.1.9. MÖnh ®Ò. Mçi kh«ng gian d·y X lµ c-kh«ng gian. Chøng minh. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian d·y, A lµ tËp con bÊt kú cña X. LÊy x  A vµ B = U {C : C lµ tËp con ®Õm ®îc cña A}, cho D  B ®Õm ®îc. Khi ®ã D  C víi C lµ tËp con ®Õm ®îc nµo ®ã cña A. VËy D  B. §iÒu ®ã cho thÊy B  E lµ ®ãng trong E, víi mäi E ®Õm ®îc, E  X. Râ rµng B  C lµ ®ãng trong C víi mäi d·y héi tô C trong X. V× X lµ kh«ng gian d·y, nªn B ®ãng trong X. V× vËy x  A = B = B. Khi ®ã x  C víi C ®Õm ®îc nµo ®ã trong A. 2.1.10. HÖ qu¶. Mçi kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt lµ c-kh«ng gian. Chøng minh. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt, A lµ tËp con bÊt kú cña X cã tÝnh chÊt lµ nÕu {xn} lµ d·y tuú ý trong A mµ x n  x th× x  A. Khi ®ã A lµ tËp ®ãng trong X. HiÓn nhiªn A  A . Ngîc l¹i, gi¶ sö x  A , v× X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt nªn t¹i x tån t¹i c¬ së l©n cËn ®Õm ®îc {Un}. ' ' §Æt U1 = A  U1, U 2 = A  U1  U2,..., 18 U n' = U1  U2 ... Un,... Ta cã U n'  U n' 1  ....  U 2'  U1' . Chän x1  U1' , x2  U '2 , xn  U n' . Khi ®ã, ta cã d·y {xn}  A vµ xn  x. Do ®ã x  A, vËy A ®ãng trong X suy ra X lµ kh«ng gian d·y. ¸p dông MÖnh ®Ò 2.1.8 suy ra X lµ c-kh«ng gian. 2.1.11. MÖnh ®Ò. (Nogura vµ Tanaka [1988]). Cho X lµ mét c-kh«ng gian. Khi ®ã, X chøa mét b¶n sao cña S  (t¬ng øng S2) nÕu vµ chØ nÕu nã chøa mét b¶n sao ®ãng cña S (t¬ng øng S2). Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn dÔ thÊy. Ta chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ cho trêng hîp S2. V× mäi tËp con cña X lµ mét c-kh«ng gian, gi¶ sö X chøa: S2 = {}  {Un: n  N}  (N x N) nh mét tËp con trï mËt. V× vËy T(f) lµ ®ång ph«i theo S2, ®iÒu ®ã ®ñ cho thÊy T(f) ®ãng trong X. §Ó chøng minh ®iÒu ®ã, ta gi¶ sö r»ng T(f) lµ kh«ng ®ãng trong X víi mäi f  F. Cho A(f) = S2 \ T(f), tríc hÕt ta cã   U{A(f) \ A(f): f  F} cho U lµ l©n cËn cña  trong X. Chän mét tËp më V trong X sao cho   V  V  U. §Æt M = {n  N : an  V}. Khi ®ã, M lµ mét tËp h÷u h¹n. §Æt W = U {an: n  M}  {Tn: n  M} trong ®ã, Tn = {n} x N. Khi ®ã, W  S2 lµ l©n cËn cña H trong S2. Chän T(g) sao cho H  T(g)  W  S2. Khi ®ã, T ( g ) \T(g) lµ tËp con kh¸c rçng cña V . V× thÕ, x  T ( g ) \ T(g). Chän mét l©n cËn O cña x vµ mét h  H sao cho O  19 T(f2) = . Bëi v× S2 = X, x  O  S2 \ T (h) . Khi ®ã, x  A(h) \ A(h), v× vËy U  ( A(h) \ A(h)  . ThÕ nªn   { A( f ) \ A( f ) : f  F } . V× X lµ mét c-kh«ng gian nªn tån t¹i {xn : n  N}  U{ A( f ) \ A(f): f  F} víi   { xn : n N }. Víi mçi n  N , chän fn  F sao cho A( f n ) \ A(fn)  xn: chän f  F sao cho f  fn víi mäi n  N. Bëi v× mçi A(fn) ®îc chøa trong A(f) trõ ra mét sè h÷u h¹n ®iÓm. A( f n ) \ A(fn)  A( f ) . Cho G lµ mét l©n cËn cña  trong X sao cho G  S2 = T(f). Khi ®ã G  {xn \ n  N}  G  A( f ) = . V× vËy  { xn : n N }. §iÒu ®ã m©u thuÉn. VËy, X chøa mét b¶n sao ®ãng cña S2. Tõ MÖnh ®Ò 2.1.10. vµ 2.1.11 ta cã HÖ qu¶ sau. 2.1.12. HÖ qu¶. Cho X lµ kh«ng gian d·y. Khi ®ã, X chøa mét b¶n sao cña S  (t¬ng øng S2) nÕu vµ chØ nÕu nã chøa mét b¶n sao ®ãng cña S (t¬ng øng S2). 2.1.13. MÖnh ®Ò. (1) S lµ mét kh«ng gian Frechet nhng S kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Frechet m¹nh. V× vËy kh«ng cã kh«ng gian Frechet m¹nh nµo chøa b¶n sao cña S. (2) S2 lµ kh«ng gian d·y nhng S2 kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Frechet. V× vËy, kh«ng cã kh«ng gian Frechet nµo chøa b¶n sao cña S2. Chøng minh. Chóng ta chó ý r»ng kh«ng cã d·y A trong S\ {} hoÆc S2\L0 héi tô tíi  nÕu A  Ln nhiÒu nhÊt t¹i h÷u 20