Trêng ®¹i häc vinh
Khoa to¸n
----------------------------
c¸c kh«ng gian víi phñ vµ k -líi
kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc
ngµnh cö nh©n khoa häc to¸n
Gi¸o viªn híng dÉn: PGS.TS trÇn v¨n
©n
h¬ng
Sinh viªn thùc hiÖn
Líp
: th¸i thÞ mai
: 41E1 - to¸n
Vinh – 2005
1
Lêi më ®Çu
Chóng ta ®· qu¸ quen thuéc víi c¸c §Þnh lý vÒ phÐp
mªtric ho¸ c¬ b¶n ch¼ng h¹n, chóng ta cã §Þnh lý vÒ
phÐp mªtric ho¸ cña Nagata-Smirnov nãi r»ng mét kh«ng
gian chÝnh quy lµ c¶ kh¶ mªtric nÕu vµ chØ nÕu nã cã mét
c¬ së më h÷u h¹n -®Þa ph¬ng, vµ c¸c §Þnh lý kh¸c,
®Æc biÖt lµ c¸c §Þnh lý vÒ phÐp mªtric trªn c¸c kh«ng
gian Moore, c¸c M-kh«ng gian vµ c¸c kh«ng gian mªtric
phæ biÕn kh¸c.
Mét phñ P lµ mét “k-líi” ®èi víi X nÕu víi tËp compact K
vµ tËp më U nµo ®ã mµ K U th× tån t¹i mét
h÷u h¹n ®Ó
P P , P
K P ' U .
Nh÷ng kh«ng gian Lasnev vµ c¸c kh«ng gian th¬ng ®·
biÕt cña c¸c kh«ng gian mªtric cã thÓ ®ù¬c ®Æc trng bëi
c¸c ph¬ng ph¸p cña k-líi.
Trong kho¸ luËn nµy chóng ta nghiªn cøu lý thuyÕt vÒ
phÐp mªtric ho¸ theo ng«n ng÷ cña c¸c t«p« yÕu, c¸c k-líi, vµ lµm râ mét sè §Þnh lý vÒ phÐp mªtric ho¸ c¬ b¶n.
Chóng ta gi¶ thiÕt tÊt c¶ c¸c kh«ng gian lµ Hausdorff
vµ tÊt c¶ c¸c ¸nh x¹ lµ liªn tôc.
Víi môc ®Ých nh vËy, kho¸ luËn ®îc tr×nh bµy theo c¸c
phÇn nh sau:
Ch¬ng 1. Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc vµ tÝnh chÊt c¬
b¶n cña t«p« ®¹i c¬ng ®Ó lµm c¬ së cho c¸c phÇn sau.
Ch¬ng 2. Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm nh kh«ng gian
Frªchet, c¸c kh«ng gian chøa b¶n sao cña
gian ®îc lµm tréi bëi tËp con mªtric.
2
S
vµ c¸c kh«ng
Cuèi cïng cho t«i göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt tíi
PGS.TS.TRÇN V¡N ¢N, ngêi ®· trùc tiÕp híng dÉn t«i hoµn
thµnh kho¸ luËn nµy. §ång thêi cho t«i göi lêi c¶m ¬n ®Õn
c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa To¸n - Trêng §¹i Häc
Vinh ®· quan t©m, gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc
tËp t¹i trêng. Do ®iÒu kiÖn thêi gian vµ nh÷ng h¹n chÕ vÒ
n¨ng lùc nªn kho¸ luËn sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu
sãt. RÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña quý
thÇy c« vµ c¸c b¹n.
Vinh,
th¸ng 4 n¨m 2005
T¸c gi¶
Ch¬ng I
C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ
§1 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n
1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho tËp X . Hä
c¸c tËp con
cña X ®îc gäi
lµ mét t«p« trªn X, nÕu nã tho¶ m·n:
(i)
X
(ii) Víi mäi A,B
th× A B ;
(iii) Víi mäi hä { A: I }
A
th× U
I
.
Khi ®ã, (X, ) ®îc gäi lµ kh«ng gian t«p«, mçi phÇn tö cña
X gäi lµ mét ®iÓm trong kh«ng gian t«p« ( X,
A
gäi lµ mét tËp më.
).
Mçi tËp
PhÇn bï cña tËp më ®îc gäi lµ tËp
3
®ãng. NÕu kh«ng sî nhÇm lÉn c¸c t«p« trªn X ta viÕt
kh«ng gian X thay cho kh«ng gian ( X,
).
1.1.2. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã c¸c nhËn
xÐt sau:
(i) vµ X lµ c¸c tËp më;
(ii) Giao cña hai tËp më lµ mét tËp më;
(iii) Hîp cña mét hä tuú ý c¸c tËp më lµ tËp më.
1.1.3. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« ( X, ) vµ
B , B ®îc gäi lµ c¬ së cña t«p«
nÕu víi mäi V
vµ
víi mäi x V, tån t¹i U B sao cho x U V.
1.1.4. §Þnh nghÜa. a. Cho kh«ng gian t«p« ( X, ),
x X. TËp U X ®îc gäi lµ l©n cËn cña ®iÓm x, nÕu tån
t¹i V
sao cho x U V.
b. Gäi (x) lµ hä tÊt c¶ c¸c l©n cËn cña x, khi ®ã hä
con B(x) cña U(x) ®îc gäi lµ c¬ së l©n cËn t¹i ®iÓm x,
nÕu víi mäi V (x), tån t¹i U B(x), sao cho x U V.
1.1.5. §Þnh nghÜa. Hä
P
c¸c tËp con cña kh«ng
gian t«p« X ®îc gäi lµ ®iÓm ®Õm ®îc (point - countable).
NÕu mçi x X th× x ®îc chøa trong nhiÒu nhÊt lµ ®Õm
®îc c¸c phÇn tö p
P.
4
1.1.6. §Þnh nghÜa . Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian
t«p« vµ A X giao cña hä tÊt c¶ c¸c tËp hîp ®ãng chøa A
®îc gäi lµ bao ®ãng cña tËp hîp A. Ký hiÖu A hay clA.
1.1.7. NhËn xÐt. (i) A lµ tËp ®ãng vµ lµ tËp ®ãng
nhá nhÊt chøa A;
(ii) TËp A X lµ ®ãng khi vµ chØ khi A = A;
(iii) NÕu A B X th× A B .
1.1.8. MÖnh ®Ò. Cho kh«ng gian t«p« X, A vµ B lµ
nh÷ng tËp hîp con cña X. Khi ®ã:
(i) = ;
(ii) A A ;
(iii) A B = A B ;
(iv) ( A ) = A .
TËp con cña kh«ng gian t«p« lµ ®ãng khi vµ chØ khi
nã chøa mäi ®iÓm giíi h¹n cña nã.
1.1.9. §Þnh nghÜa . (i) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«,
vµ A X .
TËp A
X \ A ®îc gäi lµ tËp biªn cña tËp hîp A vµ ký
hiÖu A.
(ii) Mçi ®iÓm x A ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña A.
1.1.10. §Þnh lý. §iÓm x X ®îc gäi lµ ®iÓm biªn
cña A khi vµ chØ khi víi l©n cËn U bÊt kú cña x, ta cã U
A vµ U (X \ A) .
5
1.1.11. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö A lµ mét tËp hîp con cña
kh«ng gian t«p« X, ®iÓm x X ®îc gäi lµ ®iÓm tô cña
tËp hîp A nÕu x A \ {x} .
TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm tô cña tËp A ký hiÖu lµ Ad.
§iÓm x lµ ®iÓm tô cña tËp hîp A khi vµ chØ khi mét
l©n cËn bÊt kú U cña x ®Òu chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm y cña
A kh¸c x.
1.1.12.
§Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X. Khi
®ã ®iÓm xX ®îc gäi lµ ®iÓm c« lËp cña X nÕu x lµ tËp
më.
1.1.13. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng t«p« X. D·y {xn: n
N} ®îc gäi lµ héi tô vÒ ®iÓm x, nÕu víi l©n cËn V bÊt kú
cña x th× b¾t ®Çu tõ lóc nµo ®ã, c¸c phÇn tö cña d·y
{xn} ®Òu n»m trong V.
Lóc ®ã, ta gäi x lµ ®iÓm héi tô cña d·y {xn}.
1.1.14. MÖnh ®Ò. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ {x n
: n N} lµ d·y trong X héi tô vÒ ®iÓm x X. Khi ®ã, {xn:
n N} {x} lµ tËp compact.
Chøng minh. §Æt A = {xn : n N} {x}. Gi¶ sö {A:
I} lµ mét phñ më cña A, khi ®ã tån t¹i 0 I sao cho x
A mµ d·y {xn} héi tô vÒ x vµ A lµ tËp më nªn tån t¹i n0
0
0
N sao cho xn A , víi mäi n n0. Do ®ã
0
{xn: n n0}{x} A .
0
6
B©y giê víi mçi xi A, i = 1,2,...,n 0 -1, ta chän Ai
{A: I} sao cho xi Ai, khi ®ã ta cã.
n 1
i 1
{xn: n N} {x} U Ai A ,
0
hay {Ai : i = 1,2,..., n0 - 1, 0} lµ phñ më h÷u h¹n cña A.
Do ®ã A lµ tËp compact.
1.1.15. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X vµ tËp
A X. §iÓm x X ®îc gäi lµ ®iÓm giíi h¹n cña tËp A nÕu
mäi l©n cËn Ux cña x ®Òu chøa mét ®iÓm kh¸c x trong
tËp A.
Ký hiÖu Alµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm giíi h¹n cña X.
1.1.16. NhËn xÐt. Nh vËy x X lµ ®iÓm giíi h¹n
cña A nÕu víi mäi Ux lµ l©n cËn cña x th× (U x \ {x}) A
.
Mét ®iÓm x kh«ng lµ ®iÓm giíi h¹n ®îc gäi lµ
®iÓm c« lËp.
1.1.17. §Þnh nghÜa.
Cho X, Y lµ hai kh«ng gian
t«p«.
(i) ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ ¸nh x¹ liªn tôc nÕu
nghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ mét tËp më;
(ii) ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®ãng (më) nÕu
víi mçi tËp ®ãng (më) A X th× f(A) ®ãng (më) trong Y.
1.1.18. MÖnh ®Ò. Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«
vµ ¸nh x¹ f: X Y. Khi ®ã c¸c MÖnh ®Ò sau t¬ng ®¬ng:
7
(i) f liªn tôc;
(ii) f-1 (V) më trong X, víi mäi tËp V më trong Y;
(iii) f-1 (V) ®ãng trong X, víi mäi tËp V ®ãng trong Y;
(iv) f( A ) f A víi mäi tËp A X;
(v) f 1 B f-1 ( B ) víi mäi tËp B Y.
1.1.19. MÖnh ®Ò. NÕu ¸nh x¹ f: X Y tõ kh«ng
gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ
®ãng khi ®ã.
(i)
f( A ) = f A víi mäi tËp A Y;
(ii) f 1 B f-1 ( B ) víi mäi tËp B Y.
Chøng minh. (i) f( A ) = f A .
Do f liªn tôc nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.16 ta cã f( A )
f A .
(1)
MÆt kh¸c, do A A suy ra f(A) f( A ) nªn f A
f A .
Theo gi¶ thiÕt f lµ ¸nh x¹ ®ãng mµ A lµ tËp ®ãng
nªn f ( A ) còng lµ tËp ®ãng, do ®ã f A = f( A ).
VËy f A f( A ).
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra f( A ) = f A .
(ii) f-1( B ) = f 1 B .
Do f liªn tôc nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.16 ta cã f 1 B
f-1( B ).
(3)
8
MÆt kh¸c theo c©u (i) cã f A f( A ) víi mäi A
X, ta lÊy A = f - 1 (B). Khi ®ã f f 1 B f
B f
f B ,
1
hay
f B .
1
Suy ra f-1 ( B ) f 1 B .
(4)
Tõ (3) vµ (4) ta cã f-1( B ) = f 1 B .
1.1.20. MÖnh ®Ò. Cho f: X
Y lµ ¸nh x¹ ®ãng.
Gi¶ sö A X sao cho mäi tËp con cña A ®Òu ®ãng trong
X. Khi ®ã mäi tËp con cña f(A) ®Òu ®ãng trong Y.
Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp con bÊt kú cña f(A). Khi
®ã tån t¹i B A sao cho f (B) = F. Do mäi tËp con cña A
®Òu ®ãng, suy ra B ®ãng. Mµ f lµ ¸nh x¹ ®ãng nªn f (B)
®ãng.
VËy F ®ãng, víi mäi F f (A).
1.1.21. §Þnh nghÜa. (i) Hä
P c¸c tËp con cña kh«ng
gian t«p« X ®îc gäi lµ mét phñ cña tËp con A trong X nÕu
A {P: P
P
Ta viÕt
(ii) Hä
}.
P
thay cho
{P:
P
P}
P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
mét phñ cña X nÕu X =
P.
9
1.1.22. §Þnh nghÜa. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ
lµ mét phñ cña X. Phñ
B
cña X ®îc gäi lµ c¸i mÞn cña
nÕu mçi phÇn tö cña phñ
®ã cña phñ
B
P
P
®îc chøa trong phÇn tö nµo
P.
1.1.23. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X. Hä
c¸c tËp con cña X ®îc gäi lµ mét líi trong X nÕu
P
P lµ mét
phñ cña X sao cho víi mäi x X vµ moi tËp më U chøa x
tån t¹i mét phÇn tö P
P sao cho x P U.
1.1.24. Bæ ®Ò. Gi¶ sö f: X Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc,
®ãng víi X lµ kh«ng gian chÝnh quy. NÕu Y vµ f -1 (y) lµ c¸c
kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt víi mäi y
Y th× X còng lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc
thø nhÊt.
Chøng minh. Gi¶ sö x X, y = f(x) vµ {Vn} lµ c¬ së l©n
cËn gi¶m t¹i y trong kh«ng gian Y vµ {Un} lµ c¬ së l©n cËn
gi¶m t¹i x trong f-1(y), víi mçi n ta chän tËp më W n trong X
sao cho x Wn f-1(Vn), Wn f-1(y) Un vµ Wn1 Wn. Ta sÏ
chøng minh {Wn} lµ c¬ së l©n cËn ®Õm ®îc t¹i x trong X.
Gi¶ sö ngîc l¹i {Wn} kh«ng lµ c¬ së l©n cËn t¹i x. Khi ®ã, tån
t¹i mét l©n cËn G cña x trong X sao cho Wn \ G víi mäi n.
Víi mçi n ta lÊy mét xn Wn \ G. Khi ®ã, d·y {xn} kh«ng cã
®iÓm tô trong X. ThËt vËy, v× X lµ T 2 -kh«ng gian nªn f-1 (y)
10
n 1
n 1
còng lµ T2-kh«ng gian víi mäi y Y. Do ®ã {x} = I Wn I U n
.V× vËy nÕu z lµ ®iÓm tô cña d·y {xn} th× z = x nhng ®iÒu
nµy m©u thuÉn v× tån t¹i mét l©n cËn G cña x mµ G kh«ng
chøa ®iÓm xn nµo c¶. Do d·y{xn} kh«ng cã ®iÓm tô nµo
trong X nªn mäi tËp con cña nã ®Òu ®ãng. B©y giê ta chän
sè n0 ®Ó Wn f-1 (y) G. Víi mäi n > n0 vµ gi¶ sö A = {xn :
n > n0} Khi ®ã d·y {xn} kh«ng cã ®iÓm tô trong X nªn A lµ
tËp ®ãng trong X. V× x G nªn x A. Do ®ã, y = f(x)
f(A) = B. MÆt kh¸c v× {Vn} lµ c¬ së l©n cËn gi¶m t¹i ®iÓm
y, Wn f-1(Vn), víi mäi n vµ xn Wn nªn y B = f A . §iÒu
nµy kÐo theo y B \ B v× thÕ tËp hîp B = f(A) kh«ng ®ãng
trong Y. Tõ ®ã suy ra f kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ ®ãng. §iÒu nµy
m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt, v× thÕ ®iÒu gi¶ sö lµ sai.
VËy hä{Wn} lµ c¬ së l©n cËn t¹i ®iÓm x.
1.1.25. §Þnh
nghÜa. TËp con G cña kh«ng gian
t«p« X ®îc gäi lµ G -tËp nÕu G lµ giao cña ®Õm ®îc c¸c
tËp më trong X.
Tõ nay vÒ sau tÊt c¶ c¸c kh«ng gian ®îc gi¶ thiÕt lµ T
2
-kh«ng gian vµ c¸c ¸nh x¹ lµ liªn tôc.
11
§2 Mét sè kh«ng gian ®Æc biÖt
1.2.1. §Þnh nghÜa. (i) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ T1kh«ng gian, nÕu mçi phÇn tö 2x X th× {x} lµ tËp ®ãng.
(ii) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ T2-kh«ng gian (Hausdoff),
nÕu mçi cÆp ®iÓm kh¸c nhau x1, x2 X, tån t¹i mét l©n
cËn U cña x1 vµ mét l©n cËn V cña x2 sao cho U V =
(iii) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian chÝnh quy
nÕu víi mçi ®iÓm x X, mçi tËp ®ãng F sao cho x F, tån
t¹i c¸c tËp më U vµV sao cho x U, F V vµ U V = .
(iv) Kh«ng gian X ®îc gäi lµ T3-kh«ng gian nÕu X lµ T1kh«ng gian vµ chÝnh quy.
1.2.2. NhËn xÐt. NÕu kh«ng gian t«p« X lµ
T 3-
kh«ng gian th× nã lµ T2-kh«ng gian vµ nÕu X lµ T 2-kh«ng
gian th× nã lµ T1-kh«ng gian.
1.2.3. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
kh«ng gian compact nÕu víi mçi phñ më cña nã chøa mét
phñ con h÷u h¹n.
Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ paracompact nÕu nã lµ
kh«ng gian chÝnh quy vµ mçi phñ më cña nã lµ c¸i mÞn
h÷u h¹n ®Þa ph¬ng.
Kh«ng gian mªtric lµ kh«ng gian t«p« paracompact.
12
1.2.4. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt nÕu víi mäi
x X, tån t¹i c¬ së ®Õm ®îc t¹i x.
Kh«ng gian mªtric lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm
®îc thø nhÊt.
1.2.5. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
kh«ng gian mªtric ho¸ ®îc nÕu tån t¹i mét mªtric trªn X,
sao cho t«p« sinh bëi mªtric nµy trïng víi t«p« ban ®Çu cña
kh«ng gian X.
1.2.6. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
kh«ng gian Lasnev, nÕu nã lµ ¶nh ®ãng cña mét kh«ng
gian mªtric qua ¸nh x¹ liªn tôc.
1.2.7. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
kh«ng gian mªtric compact nÕu mäi d·y trong X ®Òu tån
t¹i mét d·y con héi tô.
G lµ kh«ng gian rêi r¹c nÕu nh mçi ®iÓm cña nã lµ
l©n cËn cña chÝnh nã.
1.2.8. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
kh¶ li nÕu tån t¹i tËp con ®Õm ®îc trï mËt kh¾p n¬i trong
X.
Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh¶ li di truyÒn, nÕu
mäi tËp con cña nã cïng víi t«p« c¶m sinh lµ kh«ng gian
kh¶ li
13
1.2.9. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
compac ®Þa ph¬ng nÕu mçi ®iÓm a cña kh«ng gian X,
tån t¹i l©n cËn U ∋ a sao cho U lµ compact.
1.2.10. NhËn xÐt. Mäi kh«ng gian compact ®Òu lµ
compact ®Þa ph¬ng.
Mäi kh«ng gian rêi r¹c ®Òu lµ compact ®Þa ph¬ng.
1.2.11. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
k-kh«ng gian nÕu A X lµ ®ãng trong X khi vµ chØ khi A
K lµ tËp ®ãng trong K víi mäi tËp compact K X.
14
Ch¬ng II
C¸c kh«ng gian víi phñ vµ k- líi
§1 C¸c kh«ng gian chøa b¶n sao cña S hoÆc S2
2.1.1. §Þnh nghÜa. Cho Lo ={an , n N} {} lµ d·y
v« h¹n víi ®iÓm giíi h¹n , ë ®©y N ®îc hiÓu lµ tËp hîp c¸c
sè tù nhiªn. Víi mçi n N, lÊy Ln lµ d·y héi tô v« h¹n chøa
®iÓm giíi h¹n an, lÊy L lµ tæng t«p«
{Ln: n N}.
S lµ kh«ng gian th¬ng x¸c ®Þnh tõ L b»ng viÖc
®ång nhÊt tÊt c¶ c¸c ®iÓm giíi h¹n a n thuéc L víi ®iÓm .
S lµ kh«ng gian th¬ng x¸c ®Þnh tõ tæng t«p« L 0
vµ L b»ng viÖc ®ång nhÊt mçi ®iÓm a n thuéc L 0 víi ®iÓm
giíi h¹n a n thuéc L. Khi ®ã hîp cña c¸c tËp cã d¹ng {}
{an: n m} {Un : n m} trong ®ã U n lµ mét l©n cËn
cña an trong Ln, lµ c¬ së l©n cËn (b»ng l©n cËn ®Þa ph¬ng) cña {} trong S2.
2.1.2. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ
kh«ng gian Frechet, nÕu víi mäi A X vµ víi mäi x A , tån
t¹i d·y {Xn: n N} trong A héi tô tíi x.
Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian Frechet m¹nh
nÕu víi mäi d·y gi¶m {A n : n N} víi x I { A : n N}
n
tån t¹i mét d·y {x n : n N} héi tô tíi ®iÓm x víi xn A n .
2.1.3. VÝ dô. Kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc
thø nhÊt lµ Frechet m¹nh.
15
Kh«ng gian Frechet m¹nh lµ kh«ng gian Frechet.
2.1.4. MÖnh ®Ò.
Mäi ¶nh
®ãng cña mét kh«ng
gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt lµ Frechet.
Chøng minh. Cho f : S X lµ ¸nh x¹ ®ãng víi S tho¶
m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. LÊy x A trong X.
Chän B S sao cho f( B ) = A . Khi ®ã, f-1(x) B .
V× thÕ chän b f-1(x) B . Khi ®ã tån t¹i mét d·y {b n : n
N} trong B héi tô tíi b. VËy {f(b n ): n N} lµ d·y trong A
héi tô tíi x. Nh vËy X lµ Frechet.
2.1.5. §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét kh«ng gian. Mét
tËp con U cña X ®îc gäi lµ më theo d·y nÕu víi mçi d·y
trong X héi tô tíi mét ®iÓm trong U th× thuéc U.
Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian d·y nÕu mäi
tËp con më theo d·y cña X th× më trong X.
2.1.6.
NhËn xÐt. Kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò
®Õm ®îc thø nhÊt lµ kh«ng gian d·y.
Kh«ng gian d·y râ rµng lµ ¶nh th¬ng cña kh«ng gian
mªtric.
Kh«ng gian d·y lµ k-kh«ng gian, k-kh«ng gian râ rµng
lµ ¶nh th¬ng cña kh«ng gian compact ®Þa ph¬ng.
2.1.7. MÖnh ®Ò. Mçi kh¼ng ®Þnh sau kÐo theo X
lµ kh«ng gian d·y.
(1) X lµ mét kh«ng gian Frechet;
16
(2) X lµ ¶nh th¬ng cña mét kh«ng gian tho¶ m·n tiªn
®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt;
(3) X lµ mét k-kh«ng gian trong ®ã mäi ®iÓm ®Òu
lµ G.
Chøng minh. Cho U lµ tËp më theo d·y trong X. Chóng
ta thÊy r»ng U më trong X.
(1) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Frechet U lµ tËp kh«ng
më trong X. Khi
nhng
®ã
X \ U kh«ng ®ãng. Suy ra tån t¹i x X \ U
x X \ U . V× X lµ Frechet nªn tån t¹i d·y x X \ U , x x . L¹i
n
do x U ,vµ U më theo d·y nªn
{ xn } U
n
. §iÒu nµy m©u
thuÈn. VËy U më trong X.
(2). Gi¶ sö f: S X lµ ¸nh x¹ th¬ng víi S tho¶ m·n
tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt. Do f-1(U) lµ më theo d·y trong
S, S lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt
nªn f-1(U) lµ më trong S.V× vËy do f lµ ¸nh x¹ th¬ng nªn U
lµ më trong X.
(3). Gi¶ sö K lµ tËp compact bÊt kú cña X. Khi ®ã
mçi ®iÓm x cña K lµ mét G trong K, tån t¹i mét d·y {Vn: n
N} c¸c tËp më trong K sao cho Vn1 Vn vµ x {Vn : n N } .
Bëi v× K lµ compact, {V n: n N} lµ c¬ së l©n cËn cña x
trong K. Khi ®ã, K tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt.
V× K U më theo d·y trong k nªn K U lµ më trong K. Do
X lµ k-kh«ng gian, ta suy ra U lµ më trong X.
17
2.1.8. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian X ®îc gäi lµ ckh«ng gian nÕu víi mçi x A th× x C víi tËp con ®Õm
®îc C nµo ®ã cña A.
2.1.9. MÖnh ®Ò. Mçi kh«ng gian d·y X lµ c-kh«ng
gian.
Chøng minh. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian d·y, A lµ tËp con
bÊt kú cña X.
LÊy x A vµ
B = U {C : C lµ tËp con ®Õm ®îc cña A},
cho D B ®Õm ®îc. Khi ®ã D C víi C lµ tËp con ®Õm
®îc nµo ®ã cña A. VËy D B. §iÒu ®ã cho thÊy B E lµ
®ãng trong E, víi mäi E ®Õm ®îc, E X. Râ rµng B C lµ
®ãng trong C víi mäi d·y héi tô C trong X. V× X lµ kh«ng
gian d·y, nªn B ®ãng trong X. V× vËy x A = B = B. Khi
®ã x C víi C ®Õm ®îc nµo ®ã trong A.
2.1.10. HÖ qu¶. Mçi kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò
®Õm ®îc thø nhÊt lµ c-kh«ng gian.
Chøng minh. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò
®Õm ®îc thø nhÊt, A lµ tËp con bÊt kú cña X cã tÝnh chÊt
lµ nÕu {xn} lµ d·y tuú ý trong A mµ x n x th× x A. Khi
®ã A lµ tËp ®ãng trong X.
HiÓn nhiªn A A .
Ngîc l¹i, gi¶ sö x A , v× X lµ kh«ng gian tho¶ m·n
tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø nhÊt nªn t¹i x tån t¹i c¬ së l©n cËn
®Õm ®îc {Un}.
'
'
§Æt U1 = A U1, U 2 = A U1 U2,...,
18
U n' = U1 U2 ... Un,...
Ta cã U n' U n' 1 .... U 2' U1' . Chän x1 U1' , x2 U '2 ,
xn U n' . Khi ®ã, ta cã d·y {xn} A vµ xn x. Do ®ã x A,
vËy A ®ãng trong X suy ra X lµ kh«ng gian d·y. ¸p dông
MÖnh ®Ò 2.1.8 suy ra X lµ c-kh«ng gian.
2.1.11. MÖnh ®Ò. (Nogura vµ Tanaka [1988]). Cho
X lµ mét c-kh«ng gian. Khi ®ã, X chøa mét b¶n sao cña S
(t¬ng øng S2) nÕu vµ chØ nÕu nã chøa mét b¶n sao ®ãng
cña S (t¬ng øng S2).
Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn dÔ thÊy.
Ta chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ cho trêng hîp S2. V×
mäi tËp con cña X lµ mét c-kh«ng gian, gi¶ sö X chøa:
S2 = {} {Un: n N} (N x N)
nh mét tËp con trï mËt. V× vËy T(f) lµ ®ång ph«i theo S2,
®iÒu ®ã ®ñ cho thÊy T(f) ®ãng trong X.
§Ó chøng minh ®iÒu ®ã, ta gi¶ sö r»ng T(f) lµ kh«ng
®ãng trong X víi mäi f F. Cho A(f) = S2 \ T(f), tríc hÕt ta cã
U{A(f) \ A(f): f F} cho U lµ l©n cËn cña trong X.
Chän mét tËp më V trong X sao cho V V U. §Æt M =
{n N : an V}. Khi ®ã, M lµ mét tËp h÷u h¹n.
§Æt W = U {an: n M} {Tn: n M}
trong ®ã, Tn = {n} x N. Khi ®ã, W S2 lµ l©n cËn cña H
trong S2. Chän T(g) sao cho H T(g) W S2. Khi ®ã,
T ( g ) \T(g) lµ tËp con kh¸c rçng cña V . V× thÕ, x T ( g ) \
T(g). Chän mét l©n cËn O cña x vµ mét h H sao cho O
19
T(f2) = . Bëi v× S2 = X, x O S2 \ T (h) . Khi ®ã, x A(h)
\ A(h), v× vËy U ( A(h) \ A(h) . ThÕ nªn {
A( f ) \ A( f ) : f F } . V× X lµ mét c-kh«ng gian nªn tån t¹i
{xn : n N} U{ A( f ) \ A(f): f F}
víi { xn : n N }. Víi mçi n N , chän fn F sao cho A( f n ) \
A(fn) xn: chän f F sao cho f fn víi mäi n N. Bëi v× mçi
A(fn) ®îc chøa trong A(f) trõ ra mét sè h÷u h¹n ®iÓm.
A( f n ) \ A(fn)
A( f ) . Cho G lµ mét l©n cËn cña
trong X sao cho G S2 = T(f). Khi ®ã G {xn \ n N}
G A( f ) = . V× vËy
{ xn : n N }. §iÒu
®ã m©u thuÉn. VËy, X chøa mét b¶n sao ®ãng cña S2.
Tõ MÖnh ®Ò 2.1.10. vµ 2.1.11 ta cã HÖ qu¶ sau.
2.1.12. HÖ qu¶. Cho X lµ kh«ng gian d·y. Khi ®ã, X
chøa mét b¶n sao cña S (t¬ng øng S2) nÕu vµ chØ nÕu nã
chøa mét b¶n sao ®ãng cña S (t¬ng øng S2).
2.1.13. MÖnh ®Ò.
(1) S lµ mét kh«ng gian
Frechet nhng S kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Frechet m¹nh.
V× vËy kh«ng cã kh«ng gian Frechet m¹nh nµo chøa b¶n
sao cña S.
(2) S2 lµ kh«ng gian d·y nhng S2 kh«ng ph¶i lµ kh«ng
gian Frechet. V× vËy, kh«ng cã kh«ng gian Frechet nµo
chøa b¶n sao cña S2.
Chøng minh. Chóng ta chó ý r»ng kh«ng cã d·y A trong
S\ {} hoÆc S2\L0 héi tô tíi nÕu A Ln nhiÒu nhÊt t¹i h÷u
20
- Xem thêm -
.DOC 
41 
52 
54 
