Tài liệu Các không gian với chuẩn dương và chuẩn âm (lv01081)

  • Số trang: 46 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 199 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

M ƠN “ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm” PGS.TS.GVCC. ề ầ ì , ól , yễ P ụ y. ê , ô ố , bố, ẹ ô, ồ ú Tế ố q á ì e , tô b y yễ P ụ ô Cù , á á , ô ơ ô ô l l ô ơ â , ê l bế ơ y, ử l ữ l ô bê q á ì ó, ô ầy ả ữ ỡ ô PGS.TS.GVCC ì ó l ả ứ . â , l ô q â , l y. ơ á ê , ị â ê Gá ,P S S á ù b 2, b , ồ ú ố q á ì , ê ỡ á ề ứ y. ,N 12 ăm 2013. 10 ê Ngô Thanh Hà AM ĐOAN T yê T á ả ề “ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm” PGS.TS.GVCC. ứ T ữ yễ P ụ y, ô bả q á â ì á ê ả, b ô ù bấ ứ ứ , á . , á á â , ả ế bế ơ . 10 12 ăm 2013 Học viên Ngô Thanh Hà M i c m ơn ....................................................................................................... 2 i cam M an ................................................................................................... 3 u ............................................................................................................. 4 hương 1. Không gian Hilbert ..................................................................... 6 ô 1.1. Khá lbe ................................................................... 6 1.1.1 K ô ề 1.1.2 M ố ấ 1.1.3 K á 1.2. M ố lbe . ................................................................... 6 ơ ả ............................................................... 10 ô ô Hilbert ........................................................ 11 Hilbert ....................................................................... 12 1.2.1 K ô E n ............................................................................... 12 1.2.2 K ô l2 ................................................................................. 15 1.3. M ố ị lý q 1.3.1 ị lý ề ì 1.3.2 ị lý R e z ề 1.3.3 ị lý ề á ố ị lý 1.3.4 M ........................................................................ 18 ế lê ế ửlê ô ..................................... 18 yế lê ụ ............................. 20 ụ ............................................................... 22 ................................................................ 23 hương 2. Không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm....................... 25 2.1. C ẩ ơ ẩ â ....................................................................... 25 2.2. K ô ẩ â 2.3. Vector 2.4. Á y ụ ố ........................................................................................ 31 á ô L2  a, b , W22  a, b ................................... 32 2.4.1. K ô L2  a, b ......................................................................... 32 2.4. . K ô W22  a, b ....................................................................... 38 2.4.3. T ế l K ....................................................................... 27 ô L2  a, b , W22  a, b ................................... 42 lu n ......................................................................................................... 45 Tài li u ham kh ........................................................................................ 46 4 MỞ ĐẦU 1. ý d chọn ề ài: K ô ẩ P.D. ê á ả é ê , á ấ é ứ ơ ô bố á ê ứ b ằ ì ề á b ứ á bê ố b yl á ẩ ô ,á ì l : ữ ụ á â lầ ơ Xôbôle . Tuy á ầ M.G.K e ê á ế q ả ơ á ì ế q ả á ổ ế q ả, ê I .M. 1958, 1963, khi ê ô á 1954 [5, 6]. 1947 [7]. bố á á J. e y 195 ế q ả ê ô ứ ế q ả ế q ả ẩ ê á ẩ á K ô Berez ê ô ề lâ ô ầ bố á ế á 1937 lầ [8, 9]. q ê ẩ â , ẩ ú ô ề ứ ê ơ l “ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm”. 2. Mục ích nghiên cứu: Tì ế l b y ổ q á b â ẩ ề ứ ô ,á ữ ụ ô á á ẩ ơ ô ẩ â , ẩ ế q ả ơ , ẩ L2  a, b. ô 3. Nhi m vụ nghiên cứu: 1. K á ô 2. K á ô 3. K ô 4. Á lbe ố ẩ ơ ẩ â ụ ố ô ấ q ẩ â . ấ lê q L2  a, b. . . 5 4. Đối ượng và phạm vi nghiên cứu: K ô lbe , á lbe , e y , ế yế lê ụ ê ô L2  a, b. ô 5. Phương pháp nghiên cứu: Ngh ê ẩ ứ lý yế , ơ l , ổ q ề ô ẩ â . P â ổ V ụ á ế ứ ổ l . q L2  a, b. ô 6. Dự ki n óng góp của ề ài: Tì ơ á bầy , ẩ â , ụ á ẩ gian q ả ố ô ổ q ẩ ô ơ , L2  a, b. ề lý yế ô ó. T ế l ẩ â ố b ô á ẩ ử yế ứ ẩ ô .Á bị ữ á ụ ặ ô á ế 6 hương 1 KHÔNG G AN H BERT 1.1. Khái ni m không gian Hilbert: 1.1.1. Không gian tiền Hilbert: Định nghĩa 1.1.1: C ố ặ yế ố á gian X ê ô . T ứ De X l e  X ê K ô ê K, K l ô .,. , ý ề: 1)  x, y  X  y, x    x, y ; 2)  x, y, z  X  x  y, z    x, z    y, z  ; 3)  x, y  X    K  x, y     x, y  ; 4)  x  X  x, x   0 x    ế l ý ầ ử ô ô gian X  ,  x, x   0 ế x   . Cá ầ ử Số  x, y  Cá ê l x, y, z... l á ô â ề 1), ), 3), 4) l ê ô ử x ề ề ù K ử ô Định nghĩa 1.1.2: K ô ê â lbe . y. ô . l ô yế . Định lý 1.1.1: (Bấ dẳng hức schwarz): ố K ỗ x X ó x, y  X ặ : ó bấ x  ( x, x). ẳ (1.1.1) ứ S w z: ( x, y)  x y . ẳ ứ ảy ỉ (1.1.2) x, y ụ yế . 7 Chứng minh: *C ứ (1.1. ): ế ( x, y)  0 ì bấ ế ì   ( x, y)  0 ẳ ứ (1.1.2) ể ê ú . ó: 0   x   ( x, y) y, x   ( x, y) y   x   ( x, y)( y, x)   ( x, y)( y, x)   ( x, y)( x, y)( y, y) 2  x  2 ( x, y)   2 ( x, y) 2 T bấ   . 2 ẳ D ứ 2 2 y . ê ứ b ô â ó ( x, y)  ( x, y) 4 2 x 2 y  0  ( x, y)  x 2 2 2 y  ( x, y)  x . y . 2 V y, ( x, y)  x . y (x, y  X ). *C ứ ẳ ứ ảy ỉ ụ x, y yế . + Nế x, y T ụ yế y, ế x, y ì ụ ả yế  x, y   ứ x y. ì: ặ y     x, y    x,   0  x   x y . ặ x   y       x, y     y, y     y, y    y 2   y y  y y  x y . D ó ế x, y + yế ụ  x, y   l , ế ì  x, y   x y . yế x y ì ả ứ x, y ụ . T y, ả ử x, y l yế , ĩ l x  , y  ,  x   y    ,   :     0. K ô ấ ổ q á, ả ử   0  x   y     . 8 Xé z  x   y, x  y. Do y 2 ê z  . x   y    Suy ra:   y, x  y, x   y, x  y   x 2   x, y    x, y    x, y  0   z, z    x  2 2 2 2 4   y y y y y   ề y â ả ế.   x, y   x y . 2 V y, ế  x, y   x y ì x, y Định lý 1.1.2: K ô ẩ á ị b ô 2 ụ ề yế lbe 2 y  x  2 2  x, y  2 2 y . X l ô ị ẩ ứ : x   x, x  , x  X . (1.1.3) Chứng minh: T y, ể á ê ề ề ẩ : 1)  x  X  x   x, x   0, x   x, x   0  x    l Hilbert X  (Do á ây ý ầ ử ô ô ề  x, x  ); 2)  x  X    K   x  ( x,  x)   ( x,  x)    x, x    x, x     x, x     x, x     x, x    x; 3)  x, y  X  x  y  ( x  y, x  y)  ( x  y, x)   x  y, y   x, x  y    y, x  y    x, x    x, y    y, x    y, y    x, x    x, y    y, x    y, y    x, x    y, x    x, y    y, y   V y C ẩ ô ề b ô lbe x 2 x y  y X l ứ (1.1.3) 2 ô l 2 x  ị ẩ  y  2  x  y ; ẩ . b ô . 9 Định lý 1.1.3: T ô lê ụ  x, y  l ẩ (1.1.3). x, y e Chứng minh: G ả ử y ể bấ ì  xn   X ụ bấ ì  yn   X ụ ó: y. K bế y x, ể  C  0  n  *  yn  C  xn , yn    x, y    xn , yn    x, y n    x, yn    x, y   xn  x yn  x yn  y  C xn  x  x yn  y  n  . * Suy ra, lim  x n , yn    x , y  . n  Định nghĩa 1.1.3: C l , ý ô P ầ ử x X ầ ử x, y  X ế  x, y   0. x y Định nghĩa 1.1.4: C A  . ề Hilbert X . ô gian ề Hilbert l ế A, A X, X ý x  y (y  A) x  A. Định nghĩa 1.1.5: C T E  X. l E FX ồ ô ề Hilbert X á ầ bù ầ ử E ê ô ô X ô ý X : F  X E. ế F l ô ễ ô ổ X, ì ô X bể ế : X  F  E  x  x1  x2 : x1  F , x2  E. ế ô y l E, F X, ì ổ ế F E Định nghĩa 1.1.6: C ố ) ồ ẩ ữ ầ bù ê l ổ ô . ề Hilbert y ế á ầ ế : e , e    , i j ij X. M ử  en n1  X ( l l 10  ij l ý e e ,  ij  0 K ẩ  en n1 trong Định nghĩa 1.1.7: X l ơ ồ ẩ e á i  j,  i, j  1, 2,... . i  j,  ij  1 ô ô ế X, ô ề Hilbert ô X ô ó. 1.1.2. Một số tính chất đơn giản: 1)  x  X  , x   0 ì  x  X  , x    0.x, x   0.  x, x   0; 2)  x, y  X    K  x,  y    ( x, y) ó  x,  y    y, x     y, x    ( x, y);  x, y  X    K  ì 3)  x, y, z  X  x, y  z   ( x, y)  ( x, z) ó  x, y  z    y  z, x   ( y, x)  ( z, x)  ( x, y)  ( x, z);  x, y, z  X  ì 4)   x  x  X   l vì  x  X  5) x  X j  1, 2..., n ế xx á ầ ầ y, ô X ô ì x  ó ấ 4 ô ó x  ; ử x, y j  X ( j  1, 2,3,..., n) á ề x  yj, n ó x   j . y j . ì  j  K ( j  1, 2,3,..., n) T ử ó  , x    0.x, x   0  x, x   0 ê   x; vì x  x ê  x, x   0 6) ý j 1 ấ ô ê : n  n  n  x,   j . y j    ( x,  j . y j )    j .( x, y j )  0; j 1  j 1  j 1 7) C ẩ (1.1.1). ầ ử x X y á ế x  yn (n  N  ) ầ ì x  y. ử  yn   X ụ y  X theo 11 T y, á ụ bấ ẳ ứ ó: chwarz 0   x, yn    x, y   x . yn  y  0 (khi n    . D 8) Cho A l x X y, ô X. X Á ơ ô X. K ó, ế ì x  . xA T ù ó nlim  x, yn    x, y   0  x  y;  ả ử x X ê x  A. l ù ử  xn   A ó xx ó x  ; y ấ 7) A ầ ồ ụ Do ụ ơ ô x 1.1.3. Khái niệm không gian Hilbert: Định nghĩa 1.1.8: T ấy l ô 1) H 2) H 3) H lbe , ế ô l yế ô gian Hilbert X ô o X x  yế A l á ử lbe á : ô lbe Y. yế T á ửlê á bị ặ á ử B á ô ô Y ử A, ế :  Ax, y    x, By  , x  X , y Y . T á ửlê ý B Định nghĩa 1.1.10: T á Hilbert ó H l ử l A . yế lê bị ặ A á ế :  Ax, y    x, Ay  , x, y  H . T á ử lê H H. ô l ề ử x, y, z...  x, x  , x  H ; ó ô Định nghĩa 1.1.9: Cho ầ .,. ; ẩ lbe ỡ K; ô ô á ê ô l ồ ả H bị T l H  l á ử ố ứ . ô 12 1.2. Mộ số không gian Hilber :   1.2.1. Không gian E n  x   xk k 1 xk  , k  1, n  n  *K ô n En ù P é é  . á : En  En  En : “+”:  x, y   x  y   xk  yk k 1 n P é  En  En â : “ . ”:   , x    x    xk k 1 n l ô yế T . y, é á ê thì  xk  yk   .  E n ,   ơ ữ ,8 ê ề ì v x   xk k 1 , y   yk k 1 ồ n  xk  , (do ề ề ô yế n ). yế ả ì: 1) x, y  E n , x  y   xk k 1   yk k 1   xk  yk k 1   yk  xk k 1 n n n n   yk k 1   xk k 1  y  x; n n   2) x, y, z  E n ,  x  y   z   xk k 1   yk k 1   zk k 1   xk  yk k 1   zk k 1 n n n n n    xk  yk   zk k 1   xk  yk  zk k 1   xk   yk  zk  k 1   xk k 1   yk  zk k 1 n   xk k 1  n  y  n k k 1 n n n    zk k 1  x  ( y  z ); n   (0k )kn 1  E n ,0k  0 k  1, n 3) x  E n tồ n : x    ( xk )nk 1  (0k )nk 1  ( xk  0k )kn 1  ( xk )kn 1  x.  l ầ ử ô ô En; yế  x  ( xk )kn 1  E n (do 4) x  E n tồ ) x  ( x)  ( xk )kn1  ( xk )kn1  ( xk  xk )kn1  (0k )kn1   . x l ầ ử ố 5)  x  E n ầ ử x ô En; ó 1.x  1.( xk )kn1  (1.xk )kn1  ( xk )kn1  x; : 13 6)  x  E n ; a, b  ó: a(bx)  a(bxk )kn1  (abxk )kn1  ab( xk )kn1  (ab) x; 7)  x  E n ; a, b  ó: (a  b) x  (a  b)( xk )kn 1    a  b  xk k 1   axk  bxk k 1   axk k 1  bxk k 1 n n n n  a  xk k 1  b  xk k 1  ax  bx; n n ó: 8)  x, y  E n ; a  n n n n n n a( x  y)  a  xk k 1   yk k 1   a  xk  yk k 1   axk  ayk k 1   axk k 1   ayk k 1    a  xk k 1  a  yk k 1  ax  ay; n V y n ô *K ô En l ô bị En yế . n ( x, y )   xk yk : ô x 1 T y, t ể á s ê ề ề ô : 1)  x, y  E   y, x    yk xk   xk yk   x, y   ( x, y ); n n k 1 x 1 n 2)  x, y, z  E n   x  y, z     xk  yk .zk    xk .zk  yk .zk  n n k 1 k 1 n n k 1 k 1    xk .zk     yk .zk   ( x, z )  ( y, z ); 3)  x, y  E n      x, y     x  yk    xk yk   ( x, y ); n n k 1 k 1 4)  x  E n   x, x    xk xk   xk2  0 ế x   , ( ó l ầ ử n n k 1 k 1 ô ô E n ). n  x, x   0   xk2  0  xk  0 k  1, n  x   ; k 1 V y, E n l ô ề lbe ô n ( x, y )   xk yk . x 1 *K ô En l ô lbe : 14 C ẩ ê En 1.1. ) ê ta ỉ ầ T ị ứ y, é K á b ứ En l ô ỳ  x m  y ơ bả bấ x  ( x, x), x  E n ( ị lý .  m 1   , x m  xk m n k 1  m  1, 2,... . ó,    0  n0   0 n  x m  x p    m, p  m  : k 1 xk m  xk p    . 2 ỗ k  1, 2,..., n; m, p  m0 : Suy ra, xk m  xk p    . D ó, y ố  x   l y ơ bả m k ê ó ụ xk  khi ỗ k  1, 2,..., n; m ặ x  ( xk )kn1. ề ó ó ĩ , k  1, 2,..., n; m  m1  m0 , xk m  xk  2 2 n ó bấ ẳ ứ n m  n ,  ; n ù m1 xk   xk  (k  1, 2,..., n)   xk m  xk   2 2 k 1  n  x k k 1 m  xk 2   , m  m1  m0  x m  x    lim x m  x  0 m Suy ra, gian E n l y ơ bả ô  x   m  m 1 ụ x ẩ : ô E n . Nê ô 15 x  ( x, x )  n x k 1 V y, ô En l ô  2 k . Hilbert.   1.2.2. Không gian l2   x   xk k 1 xk  ,  xk    :   *K ô  k 1 l2 ù P é 2 é á : l2  l2  l2 : “+”:  x, y   x  y   xk  yk k 1  P é  l2  l2 â : “ . ”:   , x    x    xk k 1  l ô yế T ứ . y, é á ì  xk  yk     ơ ê ề ồ  xk  , (do ữ ,8 ê ề ề x   xk k 1 , y   yk k 1  l2 ,  ì yế ô  ). yế ứ ì: ó: x  y   xk k 1   yk k 1   xk  yk k 1   yk  xk k 1  1) x, y  l2      yk k 1   xk k 1  y  x;   ó: 2) x, y, z  l2  x  y   z   xk k 1   yk k 1    zk k 1   xk  yk k 1   zk k 1              xk  yk  zk k 1   xk k 1   yk  zk k 1   xk k 1   yk k 1   zk k 1   x  ( y  z );      0k k 1  l2 , 0k  0 k  1, 2,...  3) x  l2 tồ : x     xk k 1   0k k 1  ( xk  0k )   xk k 1  x.   l ầ ử   ô 4) x  l2 ồ ô l2 ; ử  x    xk k 1  l2 (do  ầ x  ( x)   xk k 1    xk k 1   xk  xk k 1   0k k 1   .     yế ) : 16 x l ầ ử ố ô x l2 ; ó: 1.x  1.  xk k 1  1.xk k 1   xk k 1  x;  5) x  l2   6) x  l2 , a, b  ó: a(bx)  a  bxk k 1   abxk k 1   ab  xk k 1  (ab) x; 7) x  l2 , a, b  ó:    (a  b) x  (a  b)  xk k 1    a  b  xk k 1   axk  bxk k 1   axk k 1  bxk k 1       a  xk k 1  b  xk k 1  ax  bx;   ó: 8) x, y  l2 , a      a( x  y)  a  xk k 1   yk k 1   a  xk  yk k 1   axk  ayk k 1     axk k 1   ayk k 1  a  xk k 1  a  yk k 1  ax  ay;  V y, *K ô   ô l2 l ô bị l2 T  yế ứ .  ( x, y )   xk yk . ô x 1 y, ể á   k 1 x 1 ê ề ề ô 1)  x, y  l2  y, x    yk xk   xk yk  ( x, y);   k 1 k 1  2)  x, y, z  l2  x  y, z     xk  yk .zk   xk .zk  yk .zk          xk .zk   yk .zk  ( x, z )  ( y, z ); k 1 k 1   k 1 k 1 3)  x, y  l2     x, y     xk  yk    xk yk   ( x, y );  4)  x  l2  x, x    xk 2  0 x  , k 1   x, x   0   xk  0  xk  0  k  1, 2,...  x   ; k 1 2 : 17 V y, ô l2 l ô ề lbe ô  ( x, y )   xk yk . x 1 *K ô T ( ị l2 l ô y, ẩ lbe : ê lý 1.1. ). ê K ỉ ầ ị b ứ ỳ  x n   y ơ bả bấ Ta xé á l2  n 1 ứ l2 l ô .   x n  xk n  l2 x  ( x, x), x  l2  k 1  n  1, 2,... ó,    0  n0   0   x   x x n   x m  n k k 1 S y  n, m  n  : m k ỗ n, m  n0 p  2  . ỗ p * : xk n   xk m   , p  1, 2,... 2 k 1 (1.4.1) xk n  xk m   , k  1, 2,... Cá bấ ứ  x   n k  n 1 l ẳ (1.4.2) ứ (1.4. ) y ơ bả ,  ể q bấ p  x   x 2 n k 1 C k k ẳ  x   x k 1 Mặ á , n k k ố ị ùy ý, 2 y ố : lim  xkn   xk , k  1, 2,... n  ẳ ứ (1.4.1) ô ụ ẳ ứ (1.4.1) khi m  , p ứ (1.4.3)   , n  n0 . ê ó   , n  n0 , p  1, 2,... q  ỗ k ó ồ ặ x   xk    xk k 1 . Vì bấ ó ứ : (1.4.3) p  : (1.4.4) 18    2 xk  xk  xk n  xk n 2   xk n  xk  xk n  2  2 xk n  2 xk n  xk , k , n  1, 2,... 2 T bấ p x 2 k k 1 ẳ 2 ứ (1.4.4) p  2 xk  n1  2 k 1  y :  2 xk  xk  2 xk 2 p (1.4.5) (1.4.5)  n1   2 k 1  n1  k 1   2 xk 1   xk n 2 k 1  2 xk 1   2 2 , p  1, 2,...., n1  n0 2 n k 1     xk  2 xk 1   2 2 , n1  n0 2 k 1 n k 1 ó x   xk   l2 . T D   x   x x n   x  n k k 1 ê 2  x k ụ l2 2 ây ứ (1.4.4) y   , n  n0 . ô k 1 V y, k ế q ả ê y ơ bả Suy ra x  ( x, x )  2 ô x l l2 . ô ẩ : . ô l2 l ô lbe . 1.3. Mộ số ịnh lý quan rọng: 1.3.1. Định lý về hình chiếu lên không gian con: Định lý 1.3.1: C H. K ó ầ ử bấ ô lbe ỳ xH b ể H0 l H ễ á y ô ấ : x  y  z, y  H 0 , z  H 0 P ầ ô ử y H0. bể ễ (1.3.1) (1.3.1) l ì ế phầ ử x lê 19 Chứng minh: *C ứ ồ bể x u , ặ d  uinf H ễ (1.3.1): e ấ ú , ồ y ầ ử 0  un   H 0 sao cho lim x  un  d . T n  2 x  un  2 x  u m 2 Ký 2 ó: u u 4 x n m 2 2  un  um . 2 1  un  um   H 0 2 dk  x  uk (k  1, 2,3...). Do ê ó: un  um  2dn2  2dm2  4d 2 (n, m  1, 2,...). 2 un  um  0. Mặ Suy ra nlim , m ó ô ô a un  y  H 0 , ó: lim n  ê H0 á , do H l ĩ l : x  y  lim x  un  d . n ặ z  x  y, T w  y y, z  H0 : ứ t  z, v   c  0 ử v  H 0 ả ó v   . Suy ra c v  H0  v, v  2   c c c d  xw  x y v   z  v, z  v   v, v   v, v   v, v    2 2 2 c c c c.c 2  z  c c  d2  v, v   z   v, v   v, v   v, v   v, v  2 ề y ô lý. Suy ra ( z, u)  0, u  H 0 hay z  H 0 . ứ (1.3.1) *C ứ ứ y Gả ử ầ . ấ: ử xH ó ểbể ễ x  y  z  y '  z ' , y, y '  H 0 , z  H 0 , z '  H 0 . (1.3.1) bằ á 20 K  y  y   ( z  z )  0, y  y  H , z  z  H . ó Py ' ' ' e Á ' 0 0 ụ ị lý ,lê ụ : 2 y  y'  z  z ' ĩ l bể ễ (1.3.1) l y 2  0  y  y' , z  z' , ấ. 1.3.2. Định lý Riesz về phiếm hàm tuyến tính liên tục: Định lý 1.3.2 ( ị ô lbe lý R e z): M ề H ó ế ểbể yế f ễ y ấ : f  x   ( x, a), x  H , ó t ầ ử aH á (1.3.2) ị y ấ b ế f f  a. (1.3.3) Chứng minh: *C ứ ồ bể Gả ử a l ấ ầ ô ễ (3.1.2): ử ố ị bấ ỳý ẳ ô á H. ứ S w z ô ứ : f  x   ( x, a), x  H xá ị ế T yế ả ử f l ế H 0  x  H : f  x   0. T H ,lê yế ấy H 0 l ì x, y  H 0 ,  ,   K ụ ê ô ,lê ô H. ụ bấ ỳ ê H. yế Ký ô ó: f ( x+ y)   f ( x)   f ( y)  0   x   y  H 0 . ồ  xn   H 0 H0 l ụ ể ó x H, ì H. lê T y, ế ụ ế f ( x)  lim f  xn   0  x  H 0 . n D ó H0 l ô ô H. y f ể ó:
- Xem thêm -