Tài liệu Các họ khả tổng và không gian các họ khả tổng

  • Số trang: 37 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 50 |
  • Lượt tải: 0
tructuyentailieu

Tham gia: 25/05/2016

Mô tả:

Lêi më ®Çu Kh«ng gian ¬clit nhiÒu chiÒu ®îc më réng tõ kh«ng gian ¬clit 3 chiÒu lÇn ®Çu tiªn vµo n¨m 1920 bëi nhµ to¸n häc Ba Lan Banach. ViÖc nghiªn cøu c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n chiÒu trªn trêng K, còng t¬ng tù nh viÖc nghiªn cøu c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu nãi chung, thêng ®îc ®Æc trng bëi ma trËn biÓu diÔn cña chóng. Th«ng qua ma trËn biÓu diÔn ngêi ta nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ ngîc l¹i. Mét sè híng quan träng khi nghiªn cøu c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh lµ t×m d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña ma trËn biÓu diÔn cña chóng, ph©n tÝch kh«ng gian ®ang xÐt thµnh tæng trùc tiÕp cña c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cã chiÒu bÐ nhÊt cã thÓ ®îc... Khãa luËn nµy nghiªn cøu mét líp c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n chiÒu, ®ã lµ líp c¸c to¸n tö ®èi xøng. Mét to¸n tö  cña kh«ng gian ¬clit E h÷u h¹n chiÒu gäi lµ ®èi xøng nÕu (x), y = x, (y) víi mäi x, y  E. Khãa luËn còng ®i theo híng t×m hiÓu ma trËn biÓu diÔn cña c¸c to¸n tö ®èi xøng, ph©n tÝch E thµnh tæng trùc tiÕp c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn, t×m sù t¬ng ®¬ng cña c¸c to¸n tö ®èi xøng hay ma trËn cña c¸c to¸n tö ®èi xøng, vµ mét sè c¸c tÝnh chÊt kh¸c cña to¸n tö ®èi xøng. Khãa luËn bao gåm §1. To¸n tö tuyÕn tÝnh. §2. D¹ng tuyÕn tÝnh, kh«ng gian ®èi ngÉu. §3. D¹ng song tuyÕn tÝnh. 1 §4. Kh«ng gian ¬clit. §5. To¸n tö ®èi xøng. Trong §1 chñ yÕu chøng minh c¸c cÊu tróc cña tËp L(E) c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian vect¬ E nh cÊu tróc kh«ng gian vect¬, cÊu tróc vµnh, cÊu tróc nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu cña E, sù ®¼ng cÊu gi÷a hai vµnh L(E) vµ vµnh Mn(K) c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn trêng K. §2, §3, §4 chñ yÕu lµ tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc c¬ së cho §5. Trong §5 chóng t«i ®· chøng minh c¸c kÕt qu¶ chñ yÕu sau ®©y NÕu  lµ to¸n tö ®èi xøng cña kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n chiÒu E th× mäi nghiÖm cña ®a thøc ®Æc trng f(t) ®Òu lµ sè thùc (§Þnh lý 5.8); Mét to¸n tö  cña kh«ng gian ¬clit n chiÒu E lµ to¸n tö ®èi xøng khi vµ chØ khi ma trËn cña  trong mét c¬ së ®Þnh chuÈn thÝch hîp lµ ma trËn chÐo (§Þnh lý 5.10). §Þnh lý 5.14 chøng minh ®îc r»ng: Kh«ng gian ¬clit E cã mét c¬ së trùc chuÈn gåm c¸c vect¬ ®ång thêi lµ c¸c vect¬ riªng cña hai phÐp biÕn ®æi ®èi xøng ,  khi vµ chØ khi  = ... Khãa luËn ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn, gióp ®ì tËn t×nh chu ®¸o cña thÇy gi¸o Th.S. NguyÔn V¨n Gi¸m, sù gãp ý chØ b¶o cña c¸c thÇy, c« gi¸o trong tæ §¹i sè khoa To¸n, §¹i häc Vinh vµ sù ®éng viªn, gióp ®ì cña gia ®×nh, b¹n bÌ ®ång nghiÖp. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn thÇy gi¸o híng dÉn cïng c¸c thÇy c« vµ b¹n bÌ. 2 V× n¨ng lùc cã h¹n vµ thêi gian kh«ng nhiÒu ch¾c r»ng khãa luËn cßn nh÷ng h¹n chÕ hay thiÕu sãt. RÊt mong ®îc sù gãp ý cña c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c b¹n. Vinh, th¸ng 5 n¨m 2005 T¸c gi¶ §1. To¸n tö tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 1.1. Mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian vect¬ E vµo E gäi lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E. TËp hîp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E, kÝ hiÖu lµ L(E). Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E lµ ®¬n cÊu, toµn cÊu hay ®¼ng cÊu tïy theo nã lµ ®¬n ¸nh hay toµn ¸nh hay song ¸nh. §Þnh lý 1.2. TËp L(E) c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian E trªn trêng K víi 2 phÐp to¸n: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) víi mäi g, f thuéc L(E), x  E, k  K sÏ lËp thµnh mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K. Chøng minh 3 - Tæng 2 to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E. ThËt vËy, víi mäi f, g  L(E); x, y  E; a,b  K ta cã (f + g)(ax + by) = f(ax + by) + g(ax + by) = af(x) + bf(y) + ag(x) + bg(y) = af(x) + ag(x) + bf(y) + bg(y) = a[f(x) + g(x)] + b[f(y) + g(y)] = a(f + g)(x) + b(f + g)(y). - Víi mäi k  K, víi mäi f  L(E) th× kf lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E. ThËt vËy, víi mäi x, y  E; a,b  K ta cã (kf)(ax + by) = k[f(ax + by)] = k[af(x) + bf(y)] = kaf(x) + kbf(y) = akf(x) + bkf(y) = a(kf)(x) + b(kf)(y). - Ngoµi ra trªn L(E) tháa m·n 8 tiªn ®Ò cña kh«ng gian vect¬. Víi mäi f,g,h  L(E), k,  K th× 1) f + g = g + f. 2) f + (g + h) = (f + g) + h. 3) Tån t¹i phÇn tö kh«ng lµ to¸n tö  : E  E x0 sao cho f +  =  + f = f. 4 4) Víi mäi f  L(E) th× tån t¹i - f : E  E x  -f(x) còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E, sao cho f + (-f) = (-f) + f = . 5) k(f +g) = kf + kg. 6) (k + )f = kf + f. 7) k(f) = (k)f. 8) 1.f = f. ViÖc kiÓm tra mçi tiªn ®Ò trªn lµ kh«ng khã kh¨n. VËy L(E) lµ mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K.  §Þnh lý 1.3. TËp hîp L(E) víi 2 phÐp to¸n x¸c ®Þnh bëi (f +g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f[g(x)] sÏ lµ mét vµnh cã ®¬n vÞ. Chøng minh.Theo chøng minh trong §Þnh lý 1.2 th× L(E) víi phÐp céng x¸c ®Þnh nh trªn lµ mét nhãm Aben. H¬n n÷a tÝch hai to¸n tö tuyÕn tÝnh lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh. Ngoµi ra phÐp céng vµ phÐp nh©n trªn tháa m·n c¸c tÝnh chÊt: Víi mäi f, g, h  L(E) th× + f(gh) = (fg)h. + f(g + h) = fg + fh; (g + h)f = gf + hf. + Tån t¹i ®¬n vÞ lµ to¸n tö ®ång nhÊt i : E  E xx còng lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E, sao cho f.i = if = f. VËy L(E) lµ mét vµnh cã ®¬n vÞ.  §Þnh lý 1.4. TËp hîp A(E) c¸c tù ®¼ng cÊu cña kh«ng gian E lËp thµnh mét nhãm víi phÐp nh©n ¸nh x¹. 5 Chøng minh - Ta cã tÝch hai to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E. TÝch hai song ¸nh lµ mét song ¸nh. Do ®ã tÝch c¸c ¸nh x¹ lµ mét phÐp to¸n §¹i sè 2- ng«i trªn A(E). - Do tÝch c¸c ¸nh x¹ cã tÝnh chÊt kÕt hîp nªn tÝch c¸c to¸n tö trªn A(E) còng cã tÝnh chÊt kÕt hîp. - Tån t¹i phÇn tö ®¬n vÞ lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt i : E  E th× i còng lµ to¸n tö xx tuyÕn tÝnh cña E vµ lµ mét song ¸nh nªn i  A(E) vµ tháa m·n f.i = i.f = f, víi mäi f thuéc A(E). - Víi mçi to¸n tö f  A(E) th× f lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh cña E nªn tån t¹i ¸nh x¹ ngîc cña nã lµ f -1 : E  E còng lµ mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh cña E, tøc lµ f-1 A(E) sao cho f.f -1 = f -1.f = i. VËy A(E) lËp thµnh mét nhãm.  §Þnh lý 1.5. NÕu E lµ mét kh«ng gian vect¬ n chiÒu trªn trêng K th× vµnh L(E) ®¼ng cÊu víi vµnh Mn(K) c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn trêng K. Chøng minh. Trong kh«ng gian vect¬ E ta lÊy mét hÖ c¬ së tïy ý x1, x2, ..., xn (1) Mçi to¸n tö f thuéc L(E) sÏ x¸c ®Þnh mét ma trËn cña f ®èi víi hÖ c¬ së (1) lµ A = [aij](n  n) Ta lËp mét ¸nh x¹ D : L(E)  Mn(K) f  D(f) = A. 6 Khi ®ã do ma trËn cña tæng 2 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ®èi víi mçi c¬ së nµo ®ã b»ng tæng c¸c ma trËn cña mçi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn cña tÝch hai ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh lµ tÝch cña c¸c ma trËn cña c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, nªn gi¶ sö cã thªm to¸n tö g  L(E) cã ma trËn ®èi víi hÖ c¬ së (1) lµ B = [bij](nn) th× ta cã D(f +g) = A + B = D(f) + D(g). D(fg) = A.B = D(f).D(g). VËy D lµ mét ®ång cÊu vµnh. H¬n n÷a D lµ mét ®¬n ¸nh, v× nÕu cã f,g  L(E) mµ D(f) = D(g) th× A = B nªn tõ c«ng thøc [f(x)] = A[x] = B[x] = [g(x)], x  E, [x] lµ täa ®é cña x trong c¬ së (1) nªn f = g. MÆt kh¸c, víi mäi A = [aij](nn) thuéc Mn(K) th× ta x¸c ®Þnh ®îc f thuéc L(E) theo c«ng thøc [f(x)] = A[x], víi [x] lµ täa ®é cña vect¬ x trong hÖ c¬ së (1). VËy D lµ mét ®¼ng cÊu vµnh. NhËn xÐt. ¸nh x¹ D x¸c ®Þnh trong chøng minh cña §Þnh lý 1.5 ë trªn còng lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. ThËt vËy, víi mäi f, g  L(E); a,b  K, A = [aij](nn), B = [bij] (nn) lÇn lît lµ ma trËn cña f, g ®èi víi c¬ së (1) th× D(af + bg) = aA + bB = a.D(f) + b.D(g). Tõ ®ã ta cã hÖ qu¶ sau HÖ qu¶ 1.6. NÕu E lµ kh«ng gian vect¬ n chiÒu trªn trêng K th× kh«ng gian L(E) ®¼ng cÊu víi kh«ng gian Mn(K) c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn trêng K. 7 §2. D¹ng tuyÕn tÝnh, kh«ng gian ®èi ngÉu Mçi trêng sè K ®Òu cã thÓ xem lµ mét kh«ng gian vect¬ trªn chÝnh nã. Cho E lµ mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K. §Þnh nghÜa 2.1. Mçi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : E  K gäi lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E. TËp hîp tÊt c¶ c¸c d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E, kÝ hiÖu lµ L(E, K). §Þnh lý 2.2. Cho s = x1, x2, ..., xn lµ mét c¬ së cña kh«ng gian E trªn trêng K. ¸nh x¹ f : E  K lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ c¬ së c1, c2, ..., cn trªn K sao cho n f(ei) =  ac, i i i 1 8 n trong ®ã x =  a x . Khi ®ã f(x ) = c i i i i víi mäi i = 1, ..., n i 1 vµ f lµ d¹ng tuyÕn tÝnh duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn trªn. Chøng minh. §Þnh lý trªn lµ trêng hîp riªng cña ®Þnh lý vÒ sù x¸c ®Þnh ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.  TËp hîp L(E, K) tÊt c¶ c¸c d¹ng tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian vect¬ E trªn trêng K víi 2 phÐp to¸n (f +g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) còng lËp thµnh mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K, ta cã ®Þnh nghÜa: §Þnh nghÜa 2.3. Kh«ng gian L(E, K) gäi lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña kh«ng gian vect¬ E vµ kÝ hiÖu lµ E. NhËn xÐt: Tõ §Þnh lý dimL(E, F) = dimE.dimF th× dimE = dimL(E, K) = dimE.dimK = dimE.1 = dimE. Tõ ®ã, nÕu E lµ kh«ng gian n chiÒu th× E còng lµ kh«ng gian n chiÒu vµ do ®ã E ®¼ng cÊu víi kh«ng gian ®èi ngÉu E cña nã. Cho S = x1, x2, ..., xn lµ mét c¬ së cña E. Gäi xi lµ d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E x¸c ®Þnh bëi xi (xj) = ij = 0 i j  1 i  j , víi mäi i,j = 1, 2, ..., n. KÝ hiÖu S =  x1 , x2 ,..., xn  ta cã kÕt qu¶ sau 9 Bæ ®Ò 2.4. NÕu S = x1, ..., xn lµ c¬ së cña E th× S =  x1 , x2 ,..., xn  lµ mét c¬ së cña E. Chøng minh. - Tríc hÕt ta chøng minh S lµ hÖ sinh cña E. Cho f  E vµ z  E tïy ý. Do S lµ c¬ së cña E nªn ta cã z n biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua S, nªn z = n xi  (z) = j 1  j 1 ajxj. Ta cã n a  j xi  (xj) = j 1 ajij = ai , víi mäi i = 1, 2, ..., n. Do ®ã n f(z) =  j 1 n  aj f(xj) = j 1 n * j x (z)f(xj) = [  j 1 f(xj)( x j )](z)  n VËy f =  j 1 f(xj) x j lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña S.  - Ta chøng minh S ®éc lËp tuyÕn tÝnh. n ThËt vËy, xÐt tæ hîp tuyÕn tÝnh ax i  i = 0. i 1 n Khi ®ã ( ax i  i )(xj) = 0, víi mäi j = 1, ..., n. i 1 Khai triÓn vÕ bªn tr¸i ta thÊy  n    ai xi ( x j )  i 1   n  ai xi ( x j ) i 1  n  ai ij = aj = 0 i 1 Do ®ã ai = 0, víi mäi i = 1, ..., n. §3. D¹ng song tuyÕn tÝnh 10 Cho E, F ®Òu lµ c¸c kh«ng gian vect¬ trªn trêng K. §Þnh nghÜa 3.1. Mét ¸nh x¹ f : E  F  K, (x, y)  f(x,y) gäi lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E  F nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau 1) f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y) 2) f(kx, y) = kf(x,y) 3) f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2) 4) f(x, ky) = kf(x, y). C¸c ®iÒu kiÖn trªn còng cã nghÜa lµ nÕu ta cè ®Þnh mét biÕn th× f tuyÕn tÝnh ®èi víi biÕn cßn l¹i. Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E  E lµ ®èi xøng nÕu f(x, y) = f(y, x), víi mäi x,y thuéc E. Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E  E gäi lµ thay phiªn nÕu f(x, y) = - f(y, x), víi mäi x, y thuéc E. §Þnh nghÜa 3.2. Trong kh«ng gian E vµ F cho c¸c hÖ c¬ së t¬ng øng S = e1, e2, ..., en T = f1, f2, ..., fm f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E  F. §Æt aij = f(ei, fj) th× ma trËn A = [aij](nm) gäi lµ ma trËn cña d¹ng song tuyÕn tÝnh f ®èi víi cÆp c¬ së S, T. NhËn xÐt: 1) NÕu f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng trªn E  E, víi E lµ kh«ng gian n chiÒu th× ma trËn cña f ®èi víi mét c¬ së S nµo ®ã cña E lµ ma trËn ®èi xøng: aij = aji, i,j = 1, ..., n. 11 2) Ma trËn cña mét d¹ng song tuyÕn tÝnh thay phiªn trªn kh«ng gian n chiÒu E lµ ma trËn ph¶n ®èi xøng: aij = - aji, i,j = 1, ..., n. 12 §Þnh nghÜa 3.3. NÕu vect¬ x trong E cã täa ®é ®èi víi c¬ së S lµ x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen vµ vect¬ y trong kh«ng gian F cã täa ®é ®èi víi c¬ së T lµ y = y1f1 + y2f2 + ... + ymfm. n m f(x, y) =   aij xi y j i 1 j 1 f(x, y) = [x]A.[y]C hay gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña d¹ng song tuyÕn tÝnh f ®èi víi cÆp c¬ së S, T trong ®ã [x], [y] lµ ma trËn cét täa ®é cña x, y. §Þnh lý 3.4. NÕu K lµ trêng cã ®Æc sè kh¸c 2 th× mäi d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E  E ®Òu ph©n tÝch thµnh tæng cña mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng vµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh thay phiªn trªn E  E. Chøng minh. Víi mäi x, y thuéc E  E, ta ®Æt 1 g(x, y) = 2 [f(x, y) + f(y, x)] 1 h(x, y) = 2 [f(x, y) - f(y, x)]. Khi ®ã g gäi lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng v× 1 1 g(x, y) = 2 [f(x, y) + f(y, x)] = 2 [f(y, x) + f(x, y)] = g(y, x) vµ h lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh thay phiªn v× 1 1 h(x, y) = 2 [f(x, y) - f(y, x)] = - 2 [f(y, x) - f(x, y) = h(y, x). §ång thêi ta cã f = g + h. 13 §4. Kh«ng gian ¬clit §Þnh nghÜa 4.1. Mét kh«ng gian vect¬ E trªn trêng sè thùc ℝ gäi lµ kh«ng gian ¬clit nÕu cã mét ¸nh x¹  ,  : E  E  ℝ. (x, y)  x, y. x, y gäi lµ tÝch v« híng cña x vµ y tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau Víi mäi x, y, x', y'  E, c  ℝ th× 1) x + x', y = x, y + x', y. 2) x, y+ y' = x, y + x, y'. 3) cx, y = cx, y. 4) x, cy = cx, y. 5) x, y = y, x. 6) x, x > 0 nÕu x  0 vµ x, x = 0 nÕu x = 0. §Þnh nghÜa 4.2. ChuÈn hay ®é dµi cña vect¬ x  E lµ x =  x, x . §Þnh nghÜa 4.3. Gãc gi÷a 2 vect¬ x, y kh¸c 0 trong kh«ng gian ¬clit E lµ gãc , víi 0    , sao cho cos =  x, y  x. y . §Þnh nghÜa 4.4 - Hai vect¬ x, y kh¸c 0, trùc giao víi nhau khi vµ chØ khi x, y = 0. 14 - Hai tËp con S1, S2 cña E gäi lµ trùc giao nÕu x  S1, y  S2 th× x, y = 0. - Mét hÖ vect¬ x1, x2, ..., xm c¸c vect¬ kh¸c 0 gäi lµ hÖ trùc giao nÕu ®«i mét trong chóng trùc giao víi nhau. Bæ ®Ò 4.5. Gi¶ sö hÖ x1, x2, ..., xm (1) lµ hÖ trùc giao th× (i) HÖ (1) lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. (ii) x1 + x2 + ... + xm2 = x12 + x22 + ... + xm2. Chøng minh. (i). XÐt tæ hîp tuyÕn tÝnh a1x1 + a2x2 + ... + amxm = 0 LÊy mét xj bÊt kú trong hÖ (1) vµ xÐt tÝch v« híng víi 2 vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi xj a1x1 + a2x2 + ... + amxm, xj = 0, xj ajxj, xj = 0 nªn aj xj, xj = 0 Do xj  0 nªn xj, xj > 0 nªn aj = 0. Suy ra aj = 0, j = (ii) Víi mäi i = 1, m 1, m . VËy hÖ (1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ta cã x1 + x2 + ... + xm, xi = x1, xi + x2, xi + ... + xm, xi = xi, xi = xi2 Do ®ã x1 + x2 + ... + xm2 = x1 + x2 + ... + xm, x1 + x2 + ... + xm =  x1 + x2 + ... + xm, x1 +  x1 + x2 + ... + xm, x2 + 15 + ... +  x1 + x2 + ... + xm, xm = x12 + x22 + ... + xm2. Ž §Þnh nghÜa 4.6 - Vect¬ x kh¸c 0 gäi lµ ®Þnh chuÈn nÕu x = 1. - HÖ vect¬ trùc giao gåm c¸c vect¬ ®Þnh chuÈn gäi lµ hÖ trùc chuÈn. - Mé hÖ c¬ së gåm c¸c vect¬ trùc chuÈn gäi lµ hÖ c¬ së trùc chuÈn. §Þnh lý 4.7. NÕu E lµ mét kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n chiÒu th× mäi hÖ trùc chuÈn cña E ®Òu cã thÓ më réng thµnh mét c¬ së trùc chuÈn cña E. Chøng minh. Cho x1, x2, ..., xm (1) lµ mét hÖ trùc chuÈn cña E th× hÖ (1) lµ hÖ trùc giao, nªn theo Bæ ®Ò 4.5 th× hÖ (1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh. - NÕu dimE = m th× hÖ (1) lµ hÖ c¬ së trùc chuÈn cña E. - NÕu dimE > m. Gäi E' lµ kh«ng gian con cña E sinh bëi hÖ (1). Khi ®ã tån t¹i vect¬ x cña E kh«ng thuéc E'. §Æt  x , xi  ci =  x , x  , i i vµ i = 1, 2, ..., n y = x - c1x1 - ... - cmxm th× y, xi = x, xi - c1x1, xi - ... - cmxm, xi = x, xi - cixi, xi = x, xi - x, xi = 0 Cho i ch¹y qua 1, 2, ..., m th× x1, x2, ..., xm, y trùc giao víi nhau tõng ®«i mét. §Æt 16 y y xm +1 = ta ®îc hÖ x1, x2, ..., xm, xm +1 lµ hÖ trùc chuÈn. Dïng quy n¹p theo m ta më réng hÖ (1) ®Õn mét hÖ c¬ së trùc chuÈn cña E. Ž Bæ ®Ò 4.8. NÕu S lµ mét hÖ c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian ¬clit E. Hai vect¬ x, y cã täa ®é ®èi víi S lµ ai, bj th× ai bi . x, y =  i §Æt biÖt x = Chøng minh. Do  ai2 . i x=  ax, y =  bx j i i i j j víi xi  S, xj  S nªn x, y =  a i xi ,  b j x j i j =  j i ai bj xi, xj = Tõ ®ã x =  x, x =  ab i i  ai2 . i i Ž HÖ qu¶ 4.9. Gi¶ sö S = xi lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña E, x cã täa ®é ®èi víi S lµ ai th× x, xi = xi, x = ai. Chøng minh. Do täa ®é cña xi ®èi víi c¬ së S lµ (0, ..., 1, ..., 0) nªn theo Bæ ®Ò 4.8 th× x, xi = ai. Ž §Þnh lý 4.10. Gi¶ sö E lµ mét kh«ng gian ¬clit n - chiÒu vµ E1 lµ mét kh«ng gian con cña E. Khi ®ã tËp hîp E 2 c¸c vect¬ trùc giao víi E1 lµ mét kh«ng gian con bï cña E1. Chøng minh. Chän mét c¬ së trùc chuÈn R cña E1. Ta bæ sung R ®Õn mét c¬ së trùc chuÈn S cña E (theo §Þnh lý 4.7). 17 Gäi E' lµ kh«ng gian con cña E sinh bëi S - R. Khi ®ã E' lµ kh«ng gian con bï trùc giao víi E1. ThËt vËy +) Cho 2 vect¬ tïy ý x  E1, y  E'. Khi ®ã x=  ax , i i  bx y= j j i xi  R , xj  S - R. j Khi ®ã x, y = =  a i xi ,  b j x j i j  j i ai bj xi, xj = 0. VËy E1 trùc giao víi E'. ax +) Víi x bÊt kú trong E th× x = Ta viÕt x díi d¹ng x = k k  ax +  j i i i k , xk  S aj xj víi xi  R, xj  S-R hay x = y + z víi y =  i aixi  E1, z =  ax j j j  E'. VËy E = E1 + E'. +) HiÓn nhiªn E1  E' = 0. E = E1  E'. VËy B©y giê ta chøng minh E2 = E'. ThËt vËy, theo chøng minh trªn th× E' trùc giao víi E1 nªn E'  E2. Ngîc l¹i, nÕu x lµ mét vect¬ tïy ý thuéc E2. Ta viÕt x =  a x , x  S. Do E i i i i 2 trùc giao víi R nªn aj = x, xj = 0, víi mäi xj  R. §iÒu ®ã chøng tá x lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña S - R. Do ®ã x  E', nªn E2  E'. Ta cã E' = E2. 18 §5. To¸n tö ®èi xøng trong kh«ng gian ¬clit Trong toµn bé tiÕt nµy kh«ng gian E ®îc xÐt lµ kh«ng gian ¬clit n - chiÒu trªn trêng sè thùc ℝ. Bæ ®Ò 5.1. Mäi d¹ng tuyÕn tÝnh f trªn E ®Òu tån t¹i duy nhÊt mét vect¬   E sao cho f(x) = x,  víi mäi x  E. Chøng minh. - TÝnh duy nhÊt. Gi¶ sö cã 2 vect¬ , '  E ®Òu tháa m·n f(x) = x,  vµ f(x) = x, ', víi mäi x  E. Khi ®ã x,  = x, ' hay x,  - ' = 0. Suy ra  - '2 =  - ',  - ' = 0 Do ®ã  - ' = 0 hay  = '. - Sù tån t¹i cña . KÝ hiÖu E' = kerf th× kerf lµ mét kh«ng gian con cña E. NÕu E' = E th× f(x) = 0 = x, 0, víi mäi x  E vµ ta cã  = 0. NÕu E' lµ mét kh«ng gian con thùc sù cña E. Khi ®ã sÏ tån t¹i vect¬ z  E - E' trùc giao víi E' vµ f(z)  0. Ta cã f(f(x)z - f(z)x) = f(x)f(z) - f(z)f(x) = 0 , víi mäi x  E. VËy f(x)z - f(z)x  kerf = E', do ®ã f(x)z - f(z)x = f(x)z - f(z)x, z = 0. Tõ ®ã suy ra f(x) = x, , víi  = f ( z) z z . §Þnh lý 5.2. Mçi d¹ng song tuyÕn tÝnh g trªn E ®Òu tån t¹i duy nhÊt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh  cña E sao cho g(x, y) = x, (y) 19 víi mäi x, y  E. Chøng minh - Sù tån t¹i . Ta cè ®Þnh mét vect¬ y  E th× mét ¸nh x¹ E  ℝ x  g(x, y) lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh cña E. Theo Bæ ®Ò 5.1 th× tån t¹i mét vect¬ z  E sao cho g(x, y) = x, z, víi mäi x  E. Gäi ¸nh x¹ :EE y z Víi mäi y'  E ®Æt z' = (y'), ta cã  lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E vµ g(x, y) = x, (y). ThËt vËy: +) g(x, y + y') = g(x, y) + g(x, y') = x, z + x, z' = x, z + z' (y + y') = z + z' = (y) + (y'). VËy +) MÆt kh¸c, g(x, cy) = cg(x, y) = cx, z = x, cz nªn ta cã (cy) = cz = c(y). +) HiÓn nhiªn lµ g(x, y) = x, z = x, (y). - TÝnh duy nhÊt cña : Gi¶ sö cã mét to¸n tö  còng tháa m·n ®iÒu kiÖn g(x,y) = x, (y), víi mäi x, y  E. Ta cã 20
- Xem thêm -