Lêi më ®Çu
Kh«ng gian ¬clit nhiÒu chiÒu ®îc më réng tõ kh«ng gian
¬clit 3 chiÒu lÇn ®Çu tiªn vµo n¨m 1920 bëi nhµ to¸n häc
Ba Lan Banach. ViÖc nghiªn cøu c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trong
kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n chiÒu trªn trêng K, còng t¬ng tù
nh viÖc nghiªn cøu c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian
h÷u h¹n chiÒu nãi chung, thêng ®îc ®Æc trng bëi ma trËn
biÓu diÔn cña chóng. Th«ng qua ma trËn biÓu diÔn ngêi ta
nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ ngîc l¹i.
Mét sè híng quan träng khi nghiªn cøu c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh
lµ t×m d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña ma trËn biÓu diÔn cña
chóng, ph©n tÝch kh«ng gian ®ang xÐt thµnh tæng trùc
tiÕp cña c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cã chiÒu bÐ nhÊt cã
thÓ ®îc...
Khãa luËn nµy nghiªn cøu mét líp c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh
cña kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n chiÒu, ®ã lµ líp c¸c to¸n tö
®èi xøng. Mét to¸n tö cña kh«ng gian ¬clit E h÷u h¹n
chiÒu gäi lµ ®èi xøng nÕu (x), y = x, (y) víi mäi
x, y
E. Khãa luËn còng ®i theo híng t×m hiÓu ma trËn biÓu
diÔn cña c¸c to¸n tö ®èi xøng, ph©n tÝch E thµnh tæng trùc
tiÕp c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn, t×m sù t¬ng ®¬ng cña
c¸c to¸n tö ®èi xøng hay ma trËn cña c¸c to¸n tö ®èi xøng,
vµ mét sè c¸c tÝnh chÊt kh¸c cña to¸n tö ®èi xøng.
Khãa luËn bao gåm
§1. To¸n tö tuyÕn tÝnh.
§2. D¹ng tuyÕn tÝnh, kh«ng gian ®èi ngÉu.
§3. D¹ng song tuyÕn tÝnh.
1
§4. Kh«ng gian ¬clit.
§5. To¸n tö ®èi xøng.
Trong §1 chñ yÕu chøng minh c¸c cÊu tróc cña tËp L(E)
c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian vect¬ E nh cÊu tróc
kh«ng gian vect¬, cÊu tróc vµnh, cÊu tróc nhãm c¸c tù
®¼ng cÊu cña E, sù ®¼ng cÊu gi÷a hai vµnh L(E) vµ vµnh
Mn(K) c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn trêng K.
§2, §3, §4 chñ yÕu lµ tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc c¬ së cho
§5.
Trong §5 chóng t«i ®· chøng minh c¸c kÕt qu¶ chñ yÕu
sau ®©y
NÕu lµ to¸n tö ®èi xøng cña kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n
chiÒu E th× mäi nghiÖm cña ®a thøc ®Æc trng f(t) ®Òu lµ
sè thùc (§Þnh lý 5.8); Mét to¸n tö cña kh«ng gian ¬clit n
chiÒu E lµ to¸n tö ®èi xøng khi vµ chØ khi ma trËn cña
trong mét c¬ së ®Þnh chuÈn thÝch hîp lµ ma trËn chÐo
(§Þnh lý 5.10).
§Þnh lý 5.14 chøng minh ®îc r»ng: Kh«ng gian ¬clit E cã
mét c¬ së trùc chuÈn gåm c¸c vect¬ ®ång thêi lµ c¸c vect¬
riªng cña hai phÐp biÕn ®æi ®èi xøng , khi vµ chØ khi
= ...
Khãa luËn ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn, gióp ®ì tËn
t×nh chu ®¸o cña thÇy gi¸o Th.S. NguyÔn V¨n Gi¸m, sù gãp
ý chØ b¶o cña c¸c thÇy, c« gi¸o trong tæ §¹i sè khoa To¸n,
§¹i häc Vinh vµ sù ®éng viªn, gióp ®ì cña gia ®×nh, b¹n bÌ
®ång nghiÖp. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn thÇy gi¸o
híng dÉn cïng c¸c thÇy c« vµ b¹n bÌ.
2
V× n¨ng lùc cã h¹n vµ thêi gian kh«ng nhiÒu ch¾c r»ng
khãa luËn cßn nh÷ng h¹n chÕ hay thiÕu sãt. RÊt mong ®îc
sù gãp ý cña c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c b¹n.
Vinh,
th¸ng 5 n¨m 2005
T¸c gi¶
§1. To¸n tö tuyÕn tÝnh
§Þnh nghÜa 1.1. Mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian
vect¬ E vµo E gäi lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E.
TËp hîp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E, kÝ hiÖu lµ
L(E).
Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E lµ ®¬n cÊu, toµn cÊu hay
®¼ng cÊu tïy theo nã lµ ®¬n ¸nh hay toµn ¸nh hay song
¸nh.
§Þnh lý 1.2. TËp L(E) c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng
gian E trªn trêng K víi 2 phÐp to¸n:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(kf)(x) = kf(x)
víi mäi g, f thuéc L(E), x E, k K sÏ lËp thµnh mét kh«ng
gian vect¬ trªn trêng K.
Chøng minh
3
- Tæng 2 to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E lµ mét to¸n tö tuyÕn
tÝnh
cña E.
ThËt vËy, víi mäi f, g L(E); x, y E; a,b K ta cã
(f + g)(ax + by) = f(ax + by) + g(ax + by)
= af(x) + bf(y) +
ag(x) + bg(y)
= af(x) + ag(x) +
bf(y) + bg(y)
= a[f(x) + g(x)] +
b[f(y) + g(y)]
= a(f + g)(x) + b(f +
g)(y).
- Víi mäi k K, víi mäi f L(E) th× kf lµ mét to¸n tö
tuyÕn tÝnh cña E.
ThËt vËy, víi mäi x, y E; a,b K ta cã
(kf)(ax + by) = k[f(ax + by)] = k[af(x) + bf(y)]
= kaf(x) + kbf(y) =
akf(x) + bkf(y)
= a(kf)(x) + b(kf)(y).
- Ngoµi ra trªn L(E) tháa m·n 8 tiªn ®Ò cña kh«ng gian
vect¬.
Víi mäi f,g,h L(E), k, K th×
1) f + g = g + f.
2) f + (g + h) = (f + g) + h.
3) Tån t¹i phÇn tö kh«ng lµ to¸n tö : E E
x0
sao cho f + = + f = f.
4
4) Víi mäi f L(E) th× tån t¹i - f : E E
x -f(x)
còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E, sao cho f + (-f) = (-f) + f
= .
5) k(f +g) = kf + kg.
6) (k + )f = kf + f.
7) k(f) = (k)f.
8) 1.f = f.
ViÖc kiÓm tra mçi tiªn ®Ò trªn lµ kh«ng khã kh¨n. VËy
L(E) lµ mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K.
§Þnh lý 1.3. TËp hîp L(E) víi 2 phÐp to¸n x¸c ®Þnh bëi
(f +g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f[g(x)]
sÏ lµ mét vµnh cã ®¬n vÞ.
Chøng minh.Theo chøng minh trong §Þnh lý 1.2 th× L(E)
víi phÐp céng x¸c ®Þnh nh trªn lµ mét nhãm Aben. H¬n n÷a
tÝch hai to¸n tö tuyÕn tÝnh lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh. Ngoµi
ra phÐp céng vµ phÐp nh©n trªn tháa m·n c¸c tÝnh chÊt: Víi
mäi f, g, h L(E) th×
+ f(gh) = (fg)h.
+ f(g + h) = fg + fh; (g + h)f = gf + hf.
+ Tån t¹i ®¬n vÞ lµ to¸n tö ®ång nhÊt i : E E
xx
còng lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E, sao cho f.i = if = f.
VËy L(E) lµ mét vµnh cã ®¬n vÞ.
§Þnh lý 1.4. TËp hîp A(E) c¸c tù ®¼ng cÊu cña kh«ng
gian E lËp thµnh mét nhãm víi phÐp nh©n ¸nh x¹.
5
Chøng minh
- Ta cã tÝch hai to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E lµ mét to¸n tö
tuyÕn tÝnh cña E. TÝch hai song ¸nh lµ mét song ¸nh. Do ®ã
tÝch c¸c ¸nh x¹ lµ mét phÐp to¸n §¹i sè
2- ng«i trªn
A(E).
- Do tÝch c¸c ¸nh x¹ cã tÝnh chÊt kÕt hîp nªn tÝch c¸c
to¸n tö trªn A(E) còng cã tÝnh chÊt kÕt hîp.
- Tån t¹i phÇn tö ®¬n vÞ lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt i : E E
th× i còng lµ to¸n tö
xx
tuyÕn tÝnh cña E vµ lµ mét song ¸nh nªn i A(E) vµ tháa
m·n f.i = i.f = f, víi mäi f thuéc A(E).
- Víi mçi to¸n tö f A(E) th× f lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh
cña E nªn tån t¹i ¸nh x¹ ngîc cña nã lµ f
-1
: E E còng lµ
mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh cña E, tøc lµ f-1 A(E) sao cho f.f
-1
= f -1.f = i.
VËy A(E) lËp thµnh mét nhãm.
§Þnh lý 1.5. NÕu E lµ mét kh«ng gian vect¬ n chiÒu trªn
trêng K th× vµnh L(E) ®¼ng cÊu víi vµnh Mn(K) c¸c ma trËn
vu«ng cÊp n trªn trêng K.
Chøng minh. Trong kh«ng gian vect¬ E ta lÊy mét hÖ c¬
së tïy ý
x1, x2, ..., xn
(1)
Mçi to¸n tö f thuéc L(E) sÏ x¸c ®Þnh mét ma trËn cña f ®èi
víi hÖ c¬ së (1) lµ
A = [aij](n n)
Ta lËp mét ¸nh x¹ D : L(E) Mn(K)
f D(f) = A.
6
Khi ®ã do ma trËn cña tæng 2 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ®èi víi
mçi c¬ së nµo ®ã b»ng tæng c¸c ma trËn cña mçi ¸nh x¹
tuyÕn tÝnh vµ ma trËn cña tÝch hai ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh lµ
tÝch cña c¸c ma trËn cña c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, nªn gi¶ sö
cã thªm to¸n tö g L(E) cã ma trËn ®èi víi hÖ c¬ së (1) lµ
B = [bij](nn) th× ta cã
D(f +g) = A + B = D(f) + D(g).
D(fg) = A.B = D(f).D(g).
VËy D lµ mét ®ång cÊu vµnh.
H¬n n÷a D lµ mét ®¬n ¸nh, v× nÕu cã f,g L(E) mµ
D(f) = D(g) th× A = B nªn tõ c«ng thøc [f(x)] = A[x] = B[x]
= [g(x)], x E, [x] lµ täa ®é cña x trong c¬ së (1) nªn f =
g.
MÆt kh¸c, víi mäi A = [aij](nn) thuéc Mn(K) th× ta x¸c
®Þnh ®îc f thuéc L(E) theo c«ng thøc [f(x)] = A[x], víi [x]
lµ täa ®é cña vect¬ x trong hÖ c¬ së (1).
VËy D lµ mét ®¼ng cÊu vµnh.
NhËn xÐt. ¸nh x¹ D x¸c ®Þnh trong chøng minh cña §Þnh
lý 1.5 ë trªn còng lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.
ThËt vËy, víi mäi f, g L(E); a,b K, A = [aij](nn), B = [bij]
(nn)
lÇn lît lµ ma trËn cña f, g ®èi víi c¬ së (1) th×
D(af + bg) = aA + bB = a.D(f) + b.D(g).
Tõ ®ã ta cã hÖ qu¶ sau
HÖ qu¶ 1.6. NÕu E lµ kh«ng gian vect¬ n chiÒu trªn trêng K th× kh«ng gian L(E) ®¼ng cÊu víi kh«ng gian Mn(K)
c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn trêng K.
7
§2. D¹ng tuyÕn tÝnh, kh«ng gian ®èi ngÉu
Mçi trêng sè K ®Òu cã thÓ xem lµ mét kh«ng gian vect¬
trªn chÝnh nã.
Cho E lµ mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K.
§Þnh nghÜa 2.1. Mçi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : E K gäi lµ
mét d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E.
TËp hîp tÊt c¶ c¸c d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E, kÝ hiÖu lµ L(E,
K).
§Þnh lý 2.2. Cho s = x1, x2, ..., xn lµ mét c¬ së cña
kh«ng gian E trªn trêng K. ¸nh x¹ f : E K lµ mét d¹ng
tuyÕn tÝnh trªn E khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ c¬ së c1, c2,
..., cn trªn K sao cho
n
f(ei) =
ac,
i i
i 1
8
n
trong ®ã x =
a x . Khi ®ã f(x ) = c
i
i
i
i
víi mäi i = 1, ..., n
i 1
vµ f lµ d¹ng tuyÕn tÝnh duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn trªn.
Chøng minh. §Þnh lý trªn lµ trêng hîp riªng cña ®Þnh lý
vÒ sù x¸c ®Þnh ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.
TËp hîp L(E, K) tÊt c¶ c¸c d¹ng tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian
vect¬ E trªn trêng K víi 2 phÐp to¸n
(f +g)(x) = f(x) + g(x)
(kf)(x) = kf(x)
còng lËp thµnh mét kh«ng gian vect¬ trªn trêng K, ta cã
®Þnh nghÜa:
§Þnh nghÜa 2.3. Kh«ng gian L(E, K) gäi lµ kh«ng gian
®èi ngÉu cña kh«ng gian vect¬ E vµ kÝ hiÖu lµ E.
NhËn xÐt: Tõ §Þnh lý
dimL(E, F) = dimE.dimF th×
dimE = dimL(E, K) = dimE.dimK = dimE.1 =
dimE.
Tõ ®ã, nÕu E lµ kh«ng gian n chiÒu th× E còng lµ kh«ng
gian n chiÒu vµ do ®ã E ®¼ng cÊu víi kh«ng gian ®èi ngÉu
E cña nã.
Cho S = x1, x2, ..., xn lµ mét c¬ së cña E. Gäi
xi
lµ d¹ng
tuyÕn tÝnh trªn E x¸c ®Þnh bëi
xi
(xj) = ij =
0 i j
1 i j
, víi mäi i,j = 1, 2, ...,
n.
KÝ hiÖu S = x1 , x2 ,..., xn ta cã kÕt qu¶ sau
9
Bæ ®Ò 2.4. NÕu S = x1, ..., xn lµ c¬ së cña E th× S =
x1 , x2 ,..., xn lµ mét c¬ së cña E.
Chøng minh. - Tríc hÕt ta chøng minh S lµ hÖ sinh cña E.
Cho f E vµ z E tïy ý. Do S lµ c¬ së cña E nªn ta cã z
n
biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua S, nªn z =
n
xi
(z) =
j 1
j 1
ajxj. Ta cã
n
a
j xi
(xj) =
j 1
ajij = ai , víi mäi i = 1, 2, ...,
n.
Do ®ã
n
f(z) =
j 1
n
aj f(xj) =
j 1
n
*
j
x (z)f(xj) = [
j 1
f(xj)( x j )](z)
n
VËy f =
j 1
f(xj) x j lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña S.
- Ta chøng minh S ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
n
ThËt vËy, xÐt tæ hîp tuyÕn tÝnh
ax
i
i
= 0.
i 1
n
Khi ®ã (
ax
i
i
)(xj) = 0, víi mäi j = 1, ..., n.
i 1
Khai triÓn vÕ bªn tr¸i ta thÊy
n
ai xi ( x j )
i 1
n
ai xi ( x j )
i 1
n
ai ij = aj = 0
i 1
Do ®ã ai = 0, víi mäi i = 1, ..., n.
§3. D¹ng song tuyÕn tÝnh
10
Cho E, F ®Òu lµ c¸c kh«ng gian vect¬ trªn trêng K.
§Þnh nghÜa 3.1. Mét ¸nh x¹ f : E F K,
(x, y) f(x,y)
gäi lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E F nÕu tháa m·n c¸c
®iÒu kiÖn sau
1) f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y)
2) f(kx, y) = kf(x,y)
3) f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2)
4) f(x, ky) = kf(x, y).
C¸c ®iÒu kiÖn trªn còng cã nghÜa lµ nÕu ta cè ®Þnh mét
biÕn th× f tuyÕn tÝnh ®èi víi biÕn cßn l¹i.
Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E E lµ ®èi xøng nÕu f(x,
y) = f(y, x), víi mäi x,y thuéc E.
Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E E gäi lµ thay phiªn nÕu
f(x, y) = - f(y, x), víi mäi x, y thuéc E.
§Þnh nghÜa 3.2. Trong kh«ng gian E vµ F cho c¸c hÖ c¬
së t¬ng øng
S = e1, e2, ..., en
T = f1, f2, ..., fm
f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E F.
§Æt aij = f(ei, fj) th× ma trËn A = [aij](nm) gäi lµ ma trËn
cña d¹ng song tuyÕn tÝnh f ®èi víi cÆp c¬ së S, T.
NhËn xÐt: 1) NÕu f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi
xøng trªn E E, víi E lµ kh«ng gian n chiÒu th× ma trËn cña
f ®èi víi mét c¬ së S nµo ®ã cña E lµ ma trËn ®èi xøng: aij
= aji, i,j = 1, ..., n.
11
2) Ma trËn cña mét d¹ng song tuyÕn tÝnh thay phiªn trªn
kh«ng gian n chiÒu E lµ ma trËn ph¶n ®èi xøng: aij = - aji,
i,j = 1, ..., n.
12
§Þnh nghÜa 3.3. NÕu vect¬ x trong E cã täa ®é ®èi víi
c¬ së S lµ
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen
vµ vect¬ y trong kh«ng gian F cã täa ®é ®èi víi c¬ së T lµ
y = y1f1 + y2f2 + ... + ymfm.
n
m
f(x, y) = aij xi y j
i 1 j 1
f(x, y) = [x]A.[y]C
hay
gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña d¹ng song tuyÕn tÝnh f ®èi víi
cÆp c¬ së S, T trong ®ã [x], [y] lµ ma trËn cét täa ®é cña
x, y.
§Þnh lý 3.4. NÕu K lµ trêng cã ®Æc sè kh¸c 2 th× mäi
d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn E E ®Òu ph©n tÝch thµnh tæng
cña mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng vµ mét d¹ng song
tuyÕn tÝnh thay phiªn trªn E E.
Chøng minh. Víi mäi x, y thuéc E E, ta ®Æt
1
g(x, y) = 2 [f(x, y) + f(y, x)]
1
h(x, y) = 2 [f(x, y) - f(y, x)].
Khi ®ã g gäi lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng v×
1
1
g(x, y) = 2 [f(x, y) + f(y, x)] = 2 [f(y, x) + f(x, y)] = g(y,
x)
vµ h lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh thay phiªn v×
1
1
h(x, y) = 2 [f(x, y) - f(y, x)] = - 2 [f(y, x) - f(x, y) = h(y, x).
§ång thêi ta cã
f = g + h.
13
§4. Kh«ng gian ¬clit
§Þnh nghÜa 4.1. Mét kh«ng gian vect¬ E trªn trêng sè
thùc ℝ gäi lµ kh«ng gian ¬clit nÕu cã mét ¸nh x¹
, : E E ℝ.
(x, y) x, y.
x, y gäi lµ tÝch v« híng cña x vµ y tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn
sau
Víi mäi x, y, x', y' E, c ℝ th×
1) x + x', y = x, y + x', y.
2) x, y+ y' = x, y + x, y'.
3) cx, y = cx, y.
4) x, cy = cx, y.
5) x, y = y, x.
6) x, x > 0 nÕu x 0 vµ x, x = 0 nÕu x = 0.
§Þnh nghÜa 4.2. ChuÈn hay ®é dµi cña vect¬ x E lµ
x =
x, x
.
§Þnh nghÜa 4.3. Gãc gi÷a 2 vect¬ x, y kh¸c 0 trong
kh«ng gian ¬clit E lµ gãc , víi 0 , sao cho
cos =
x, y
x. y
.
§Þnh nghÜa 4.4
- Hai vect¬ x, y kh¸c 0, trùc giao víi nhau khi vµ chØ khi
x, y = 0.
14
- Hai tËp con S1, S2 cña E gäi lµ trùc giao nÕu x S1, y
S2 th× x, y = 0.
- Mét hÖ vect¬ x1, x2, ..., xm c¸c vect¬ kh¸c 0 gäi lµ hÖ
trùc giao nÕu ®«i mét trong chóng trùc giao víi nhau.
Bæ ®Ò 4.5. Gi¶ sö hÖ
x1, x2, ..., xm
(1)
lµ hÖ trùc giao th×
(i) HÖ (1) lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
(ii) x1 + x2 + ... + xm2 = x12 + x22 + ... + xm2.
Chøng minh. (i). XÐt tæ hîp tuyÕn tÝnh
a1x1 + a2x2 + ... + amxm = 0
LÊy mét xj bÊt kú trong hÖ (1) vµ xÐt tÝch v« híng víi 2
vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi xj
a1x1 + a2x2 + ... + amxm, xj = 0, xj
ajxj, xj = 0 nªn aj xj, xj = 0
Do xj 0 nªn xj, xj > 0 nªn aj = 0.
Suy ra aj = 0, j =
(ii) Víi mäi i =
1, m
1, m .
VËy hÖ (1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
ta cã
x1 + x2 + ... + xm, xi = x1, xi + x2, xi + ... + xm, xi
= xi, xi = xi2
Do ®ã
x1 + x2 + ... + xm2 = x1 + x2 + ... + xm, x1 + x2
+ ... + xm
= x1 + x2 + ... + xm, x1 +
x1 + x2 + ... + xm, x2 +
15
+ ... + x1 + x2
+ ... + xm, xm
= x12 + x22 + ... + xm2.
§Þnh nghÜa 4.6
- Vect¬ x kh¸c 0 gäi lµ ®Þnh chuÈn nÕu x = 1.
- HÖ vect¬ trùc giao gåm c¸c vect¬ ®Þnh chuÈn gäi lµ
hÖ trùc chuÈn.
- Mé hÖ c¬ së gåm c¸c vect¬ trùc chuÈn gäi lµ hÖ c¬ së
trùc chuÈn.
§Þnh lý 4.7. NÕu E lµ mét kh«ng gian ¬clit h÷u h¹n
chiÒu th× mäi hÖ trùc chuÈn cña E ®Òu cã thÓ më réng
thµnh mét c¬ së trùc chuÈn cña E.
Chøng minh. Cho x1, x2, ..., xm (1) lµ mét hÖ trùc chuÈn
cña E th× hÖ (1) lµ hÖ trùc giao, nªn theo Bæ ®Ò 4.5 th×
hÖ (1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
- NÕu dimE = m th× hÖ (1) lµ hÖ c¬ së trùc chuÈn cña E.
- NÕu dimE > m. Gäi E' lµ kh«ng gian con cña E sinh bëi
hÖ (1). Khi ®ã tån t¹i vect¬ x cña E kh«ng thuéc E'.
§Æt
x , xi
ci = x , x ,
i
i
vµ
i = 1, 2, ..., n
y = x - c1x1 - ... - cmxm
th×
y, xi = x, xi - c1x1, xi - ... - cmxm, xi
= x, xi - cixi, xi
= x, xi - x, xi = 0
Cho i ch¹y qua 1, 2, ..., m th× x1, x2, ..., xm, y trùc giao víi
nhau tõng ®«i mét.
§Æt
16
y
y
xm +1 =
ta ®îc hÖ x1, x2, ..., xm, xm +1 lµ hÖ trùc chuÈn. Dïng quy n¹p
theo m ta më réng hÖ (1) ®Õn mét hÖ c¬ së trùc chuÈn cña
E.
Bæ ®Ò 4.8. NÕu S lµ mét hÖ c¬ së trùc chuÈn cña
kh«ng gian ¬clit E. Hai vect¬ x, y cã täa ®é ®èi víi S lµ ai,
bj th×
ai bi .
x, y =
i
§Æt biÖt
x =
Chøng minh. Do
ai2 .
i
x=
ax, y =
bx
j
i
i
i
j
j
víi xi S, xj
S nªn
x, y =
a i xi , b j x j
i
j
=
j
i
ai bj xi, xj
=
Tõ ®ã
x =
x, x
=
ab
i
i
ai2 .
i
i
HÖ qu¶ 4.9. Gi¶ sö S = xi lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña
E, x cã täa ®é ®èi víi S lµ ai th× x, xi = xi, x = ai.
Chøng minh. Do täa ®é cña xi ®èi víi c¬ së S lµ (0, ...,
1, ..., 0) nªn theo Bæ ®Ò 4.8 th× x, xi = ai.
§Þnh lý 4.10. Gi¶ sö E lµ mét kh«ng gian ¬clit n - chiÒu
vµ E1 lµ mét kh«ng gian con cña E. Khi ®ã tËp hîp E 2 c¸c
vect¬ trùc giao víi E1 lµ mét kh«ng gian con bï cña E1.
Chøng minh. Chän mét c¬ së trùc chuÈn R cña E1. Ta bæ
sung R ®Õn mét c¬ së trùc chuÈn S cña E (theo §Þnh lý
4.7).
17
Gäi E' lµ kh«ng gian con cña E sinh bëi S - R. Khi ®ã E' lµ
kh«ng gian con bï trùc giao víi E1. ThËt vËy
+) Cho 2 vect¬ tïy ý x E1, y E'. Khi ®ã
x=
ax ,
i
i
bx
y=
j
j
i
xi R
, xj S - R.
j
Khi ®ã
x, y =
=
a i xi , b j x j
i
j
j
i
ai bj xi, xj = 0.
VËy E1 trùc giao víi E'.
ax
+) Víi x bÊt kú trong E th× x =
Ta viÕt x díi d¹ng x =
k
k
ax +
j
i
i
i
k
, xk S
aj xj víi xi R, xj
S-R
hay x = y + z víi y =
i
aixi E1, z =
ax
j
j
j
E'.
VËy E = E1 + E'.
+) HiÓn nhiªn E1 E' = 0.
E = E1 E'.
VËy
B©y giê ta chøng minh E2 = E'. ThËt vËy, theo chøng minh
trªn th× E' trùc giao víi E1 nªn E' E2.
Ngîc l¹i, nÕu x lµ mét vect¬ tïy ý thuéc E2. Ta viÕt x =
a x , x S. Do E
i
i
i
i
2
trùc giao víi R nªn aj = x, xj = 0, víi
mäi xj R. §iÒu ®ã chøng tá x lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña
S - R. Do ®ã x E', nªn E2 E'. Ta cã E' = E2.
18
§5. To¸n tö ®èi xøng trong kh«ng gian ¬clit
Trong toµn bé tiÕt nµy kh«ng gian E ®îc xÐt lµ kh«ng
gian ¬clit n - chiÒu trªn trêng sè thùc ℝ.
Bæ ®Ò 5.1. Mäi d¹ng tuyÕn tÝnh f trªn E ®Òu tån t¹i
duy nhÊt mét vect¬
E sao cho
f(x) = x,
víi mäi x E.
Chøng minh. - TÝnh duy nhÊt. Gi¶ sö cã 2 vect¬ , ' E
®Òu tháa m·n
f(x) = x, vµ f(x) = x, ', víi mäi x E.
Khi ®ã x, = x, ' hay x, - ' = 0. Suy ra
- '2 = - ', - ' = 0
Do ®ã - ' = 0 hay = '.
- Sù tån t¹i cña . KÝ hiÖu E' = kerf th× kerf lµ mét kh«ng
gian con cña E.
NÕu E' = E th× f(x) = 0 = x, 0, víi mäi x E vµ ta cã
= 0. NÕu E' lµ mét kh«ng gian con thùc sù cña E. Khi ®ã sÏ
tån t¹i vect¬ z E - E' trùc giao víi E' vµ f(z) 0. Ta cã
f(f(x)z - f(z)x) = f(x)f(z) - f(z)f(x) = 0 , víi mäi x E.
VËy f(x)z - f(z)x kerf = E', do ®ã
f(x)z - f(z)x = f(x)z - f(z)x, z = 0.
Tõ ®ã suy ra f(x) = x, , víi =
f ( z)
z
z
.
§Þnh lý 5.2. Mçi d¹ng song tuyÕn tÝnh g trªn E ®Òu tån
t¹i duy nhÊt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cña E sao cho
g(x, y) = x, (y)
19
víi mäi x, y E.
Chøng minh
- Sù tån t¹i . Ta cè ®Þnh mét vect¬ y E th× mét ¸nh
x¹
E ℝ
x g(x, y)
lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh cña E. Theo Bæ ®Ò 5.1 th× tån t¹i
mét vect¬ z E sao cho g(x, y) = x, z, víi mäi x E. Gäi
¸nh x¹
:EE
y z
Víi mäi y' E ®Æt z' = (y'), ta cã lµ to¸n tö tuyÕn
tÝnh cña E vµ
g(x, y) = x, (y).
ThËt vËy:
+) g(x, y + y') = g(x, y) + g(x, y') = x, z + x, z'
= x, z + z'
(y + y') = z + z' = (y) + (y').
VËy
+) MÆt kh¸c, g(x, cy) = cg(x, y) = cx, z = x, cz
nªn ta cã
(cy) = cz = c(y).
+) HiÓn nhiªn lµ
g(x, y) = x, z = x, (y).
- TÝnh duy nhÊt cña : Gi¶ sö cã mét to¸n tö còng tháa
m·n ®iÒu kiÖn
g(x,y) = x, (y), víi mäi x, y
E.
Ta cã
20
- Xem thêm -
.DOC 
37 
56 
81 
