MỤC LỤC
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nội dung
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiêm cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Điểm mới của sáng kiến
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận vấn đề
2.2. Thực trạng vấn đề
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.4. Kiểm nghiệm và hiệu quả
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Tài liệu tham khảo
Số trang
2
2
2
2
2
3
3
3
4
19
19
21
1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trường PTDTBT THCS Tam Chung là một ngôi trường nằm ở khu vực
miền núi của tỉnh Thanh Hóa, vùng đất còn nhiều khó khăn về kinh tế, trình độ
dân trí còn thấp. 100% học sinh trong trường là con em dân tộc thiểu số, chủ yếu
là dân tộc H’mông và dân tộc Thái, khả năng tiếp thu của các em còn chậm, ý
thức học tập chưa cao. Vì thế việc dạy - học môn Toán lại càng trở nên là một
thách thức vô cùng lớn đối với cả giáo viên và học sinh.
Mục đích của học Toán là phải hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán
học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vào cuộc sống.
Môn Toán là môn học có tiềm năng phong phú để phát triển tư duy cho
học sinh. Nhiều học sinh mặc dù có khả năng giải toán, có tư duy tốt nhưng vẫn
thiếu sự sáng tạo trong toán học. Các em thường giải bài toán đâu đó mà không
biết cách đề xuất bài toán tương tự, bài toán tổng quát. Việc chỉ dừng lại ở
những bài toán đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm được mối liên hệ giữa
các kiến thức đã học. Vì thế khi gặp một bài toán mới các em không biết xuất
phát từ đâu, sử dụng những kiến thức nào, nó liên quan như thế nào đến những
bài toán trước đó. Hạn chế này một phần trách nhiệm thuộc về giáo viên những
người định hướng phát triển tư duy cho học sinh.
Trong Toán học THCS thì bài toán đơn giản luôn là bàn đạp để đi tới
những bài toán phức tạp hơn. Nhưng trong thực tế khi sử dụng phương pháp
dùng bài Toán đơn giản để làm đòn bẩy cho bài Toán tương tự hoặc tổng quát
thì học sinh thường lúng túng, bế tắc không sử dụng được phương pháp này.
Phát triển từ dễ đến khó là con đường phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kỹ
năng giải toán.Việc tìm tòi để phát triển, mở rộng các bài toán sẽ giúp các em
hiểu sâu sắc hơn kiến thức đã học, làm tăng thêm hứng thú học tập và óc sáng
tạo của học sinh. Đặc biệt với học sinh lớp 6, các em vừa bước vào môi trường
học tập mới, cách thức học cũng hoàn toàn mới. Việc giúp các em định hướng
việc học, hình thành kiến thức, kỹ năng, hình thành thói quen và khả năng tư
duy độc lập lại càng quan trọng.
Với những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Các giải pháp hướng
dẫn học sinh giải quyết một số bài toán từ đơn giản đến tổng quát, nhằm
nâng cao chất lượng môn học trong chương trình Số học lớp 6 - Trường
PTDTBT THCS Tam Chung” để làm đề tài SKKN của mình.
1.2. Mục đích nghiêm cứu:
Mục đích tôi chọn đề tài này là đi tìm ra giải pháp tối ưu, giúp học sinh
giải quyết được những bài toán từ đơn giản đến tổng quát, biết vận dụng những
bài toán cơ bản làm bàn đạp để giải quyết bài toán tổng quát rắc rối hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng mà đề tài hướng tới là giúp cho 69 học sinh lớp 6 trường
PTDTBT THCS Tam Chung có thể giải quyết dễ dàng hơn một số bài toán từ
đơn giản đến tổng quát nhằm nâng cao chất lượng môn học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu :
-Phương pháp quan sát khoa học;
2
- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp thực nghiệm;
- Phương pháp phân tích, chứng minh;
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết...
1.5. Điểm mới của sáng kiến:
- Sử dụng bản đồ tư duy để tổng hợp kiến thức của chương trình, giúp
học sinh tư duy và khắc sâu kiến thức.
- Sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) để kiểm tra kết quả bài toán, tạo hứng
thú, sự đam mê, sự tìm tòi ham học hỏi của học sinh.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận:
Toán học là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học
tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học và cũng là một
nhà sư phạm nổi tiếng đã từng nói: “Toán học được xem là một khoa học chứng
minh”. Nhưng đó chỉ là một khía cạnh, toán học phải được trình bày dưới hình
thức hoàn chỉnh. Muốn vậy người học phải nắm vững các kiến thức toán học từ
thấp đến cao, phải biết lấy bài toán đơn giản làm bàn đạp cho bài toán tổng quát,
phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát, dự đoán phối hợp và sáng
tạo, phải tự lực tiếp thu kiến thức qua hoạt động đích thực của bản thân.
Ngày nay trong thời đại 4.0, học sinh luôn được tiếp cận với nhiều kiến
thức khoa học tiên tiến, với nhiều môn học mới lại đầy hấp dẫn nhằm hoàn thiện
và bắt kịp công cuộc đổi mới, phát triển toàn diện của đất nước. Trong các môn
học ở trường phổ thông, Toán học được xem là môn học cơ bản, là nền tảng để
các em phát huy năng lực của bản thân trong việc tiếp thu và học tập các môn
khoa học khác. Tuy nhiên, để học sinh học tập tốt môn Toán thì giáo viên phải
cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cần thiết, cần đổi mới các phương pháp dạy
học, làm cho các em trở nên yêu thích toán học hơn, vì có yêu thích mới dành
nhiều thời gian để học toán. Từ đó các em tự ý thức trong học tập và phân bổ
thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập của thời đại mới.
2.2. Thực trạng vấn đề:
Việc giải toán là công việc thường làm đối với các em học sinh, phần
nhiều các em học sinh chỉ tìm được lời giải của bài toán rồi quên ngay, không
suy nghĩ bài toán mình vừa giải, không biết vận dụng tư duy logic từ những bài
toán cơ bản vào những bài toán tổng quát. Đặc biệt ở trường PTDTBT THCS
Tam Chung có khá đông các em khả năng tiếp thu còn chậm, lại không bao giờ
để ý đến bài toán thầy cô ra về nhà. Chính vì vậy mà kiến thức của các em bị
hổng rất nhiều.
Một số học sinh vì lười học, mải chơi, hổng kiến thức nên không chuẩn bị
tốt tâm thế cho giờ học Toán. Để khắc phục phần nào những nhược điểm trên
trong các giờ học toán, tôi luôn suy nghĩ phải tìm ra các khía cạnh mới để khêu
gợi suy nghĩ, kích thích trí tò mò của các em qua các vấn đề thầy cô đưa ra.
Thông qua đó để trang bị một cách có hệ thống các kiến thức thiết thực, cách
các em nhìn các bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tăng khả năng tư duy logic
và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp cho các em có tác phong độc lập khi
3
giải toán. Đứng trước một bài toán có thể chủ động, tự tin, biết đặt ra các câu hỏi
và tìm ra câu trả lời thích hợp để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.
Với ý nghĩa như vậy việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương pháp
giải các bài toán từ đơn giản đến tổng quát là vấn đề quan trọng. Qua thực tế
giảng dạy bản thân tôi rút ra được một số kinh nghiệm, một số phương pháp,
một số dạng để giải các bài toán này nhằm giúp thêm tài liệu tham khảo cho việc
bồi dưỡng học sinh.
Kết quả khảo sát bộ môn Toán của 69 học sinh lớp 6 trường
PTDTBT THCS Tam Chung đầu năm học 2019 – 2020 đạt được như
sau:
Tổng số
Loại giỏi Loại Khá Loại TB
Loại Yếu Loại Kém
HS
69
0
2
39
21
7
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Để học sinh có thể nắm vững kiến thức , đam mê và làm thành thạo những
dạng bài tập này theo tôi người giáo viên cần phải:
* Thứ nhất: Yêu cầu học sinh về nhà vẽ bản đồ tư duy của mỗi chương
sau khi học xong chương đó. Giáo viên tổng hợp kiến thức của chương, hướng
dẫn học sinh thực hiện, có thể coi đó như bài kiểm tra 15 phút.
* Thứ hai: Giáo viên cần thu thập và phân loại các dạng toán cơ bản
thường gặp. Mỗi dạng cần tìm và chỉ ra đặc điểm chung, cách giải quyết chung
cho mỗi dạng toán.
* Thứ ba: Mỗi dạng toán khi ra cần đi từ thấp đến cao, tạo hiệu ứng tích
cực cho nhiều đối tượng học sinh.
* Thứ tư: Những bài toán có giá trị cụ thể, khuyến khích, yêu cầu học
sinh kiểm tra lại kết quả bằng MTBT.
* Thứ năm: Yêu cầu học sinh về nhà hoàn chỉnh các bài tập giáo viên
giao. Khuyến khích và có hình thức khen thưởng khích lệ học sinh biết tự lấy ví
dụ và làm những bài toán tương tự.
Trong bài viết này, tôi trình bày một số tác dụng của bản đồ tư duy, cách
sử dụng MTBT để kiểm tra kết quả một số dạng bài toán Số học lớp 6 từ đơn
giản đến tổng quát (có giới hạn bởi những con số cụ thể). Mỗi dạng được trình
bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lí thuyết, ví dụ minh họa và bài tập luyện tập hoặc
từ bài tập cụ thể rút ra nhận xét tổng quát. Thông qua mỗi ví dụ khai thác các
khía cạnh khác nhau để có thêm một cách nhìn một số bài toán mới và các bài
toán có liên quan.
Đối tượng mà đề tài hướng tới là 69 học sinh lớp 6 trường PTDTBT
THCS Tam Chung .
2.3.1. Tác dụng của bản đồ tư duy (BĐTD):
Giáo viên khi đã lựa chọn đi theo con đường dạy học, họ đều là những
người có tình yêu nghề, mến trẻ, tận tụy với công tác giảng dạy, chăm lo quan
tâm đến học sinh. Tuy nhiên, khả năng tiếp thu và tư duy của học sinh không
đồng đều, đặc biệt là khu vực miền núi như Mường Lát. Do đó, phương pháp
giảng dạy đôi khi chưa thực sự phù hợp với một bộ phận không nhỏ học sinh
4
dẫn đến chất lượng chưa cao. Phần nữa do điều kiện khách quan nên việc sử
dụng đồ dùng dạy học, phương pháp trực quan vào tiết học hạn chế, ảnh hưởng
đến chất lượng tiếp thu bài của học sinh .
“BĐTD có rất nhiều hình ảnh để bạn hình dung về kiến thức cần nhớ.
Đây là một trong những nguyên tắc quan trọng nhất của trí nhớ siêu đẳng. Đối
với não bộ, BĐTD giống như một bức tranh lớn đầy hình ảnh màu sắc phong
phú hơn là một bài học khô khan, nhàm chán. BĐTD hiển thị sự liên kết giữa
các ý tưởng một cách rất rõ ràng.
Việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện
pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là mục tiêu dạy học.Thực tế cho thấy
một số học sinh học rất chăm chỉ nhưng vẫn học kém, nhất là môn toán, các em
này thường học bài nào biết bài đấy, học phần sau đã quên phần trước và
không biết liên kết các kiến thức với nhau, không biết vận dụng kiến thức đã học
trước đó vào những phần sau. Phần lớn số học sinh này khi đọc sách hoặc nghe
giảng trên lớp không biết cách tự ghi chép để lưu thông tin, lưu kiến thức trọng
tâm”
(Trích: Bài tham luận sử dụng BĐTD môn Toán – Vật lí THCS)
Dùng BĐTD để củng cố kiến thức sau mỗi tiết học và hệ thống kiến thức
sau mỗi chương, mỗi phần theo tôi nghĩ đây là vấn đề rất cần thiết cho việc dạy
và học. Bởi vì BĐTD giúp cho người học khả năng tự hệ thống kiến thức trọng
tâm, kiến thức cần nhớ của bài học. Giúp học sinh biết cách liên hệ, so sánh từ
dạng này sang dạng khác, từ những bài toán đơn giản đến bài toán tổng quát
phức tạp hơn.
Ví dụ 1: Sơ đồ minh họa ôn tập chương I “ Số Tự Nhiên” [11]
5
Tự vẽ bản đồ tư duy sau mỗi chương được học, học sinh đã nắm chắc
được hơn các kiến thức và tăng được khả năng tư duy, sáng tạo, đam mê. Tuy
còn nhiều thiếu sót và sai lầm nhưng đó là cả một sự nỗ lực cố gắng đáng được
khen ngợi vì các em mới học lớp 6.
Ví dụ 2: Ôn tập chương II - Về “ Số Nguyên âm” , “Số nguyên ”
Do học sinh tự vẽ sơ đồ minh hoạ
Bản vẽ của em Lò Thị Thúy Cúc – Lớp 6B
6
Bản vẽ của em Ngân Thị Mai – Lớp 6A
Ví dụ 3: Ôn tập chương III - Về Phân số
Bản vẽ của em Hà Văn Bảo – Lớp 6B
7
2.3.2. Ứng dụng của MTBT trong dạy học Toán:
Trong dạy học ở trường THCS ngoài việc giúp cho học sinh nắm vững
kiến thức cơ bản, giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất đạo đức cho các em,
người giáo viên còn phải giúp cho học sinh phát triển năng lực nhận thức.
Đối với bộ môn Toán, kĩ năng tính toán nhanh, chậm, mức độ chính xác đều có
những ảnh hưởng nhất định đến kết quả của bài toán. Ở một số bài toán, dù các
bước thực hiện học sinh đều nắm và nhớ được, nhưng do kĩ năng tính toán sai
nên dẫn đến kết quả không chính xác, mặc dù các bước trình bày bài giải của các
em đều đúng.
Sau mỗi bài toán đã được trình bày xong, đôi khi học sinh phân vân
không biết kết quả của mình có chính xác không. Vì thế, bản thân tôi nhận thấy
cần phải hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) casio
f(x) 750 VN Plus trong việc giải toán để kiểm tra kết quả cho chính xác. Điều
này sẽ giúp các em tự tin, sôi nổi, hào hứng hơn trong quá trình học Toán.
Một tiết ôn tập có sử dụng MTBT của Học sinh trường
PTDTBT THCS Tam Chung
Để có thể vận dụng tốt được chức năng của MTBT, trước tiên học sinh
phải nắm được công thức tính cho những dạng toán căn bản và các phím phù
hợp với từng dạng toán.
2.3.3. Một số dạng Toán cơ bản áp dụng:
8
2.3.3.1 . Dạng 1: Bài toán tính tổng:
Trong bài toán tính tổng cần sử dụng tổng hợp nhiều tính chất để đưa bài
toán về những dạng cơ bản đã biết.
Trong dạng toán này khi kiểm tra kết quả bằng máy tính bỏ túi, đối với những
bài đơn giản ít con số ta có thể sử dụng các phím bấm thông thường. Nhưng đối
với những bài ở dạng tổng quát học sinh cần phải nắm được số số hạng trong
tổng, đặc trưng của dãy số như: các số hạng trong tổng chúng cách nhau mấy
đơn vị, các dãy số có quan hệ mật thiết với nhau như thế nào và sử dụng chủ yếu
các phím bấm Shift, log, alpha, X.
*Một số bài toán tính tổng ta áp dụng công thức tính của Gau xơ sẽ
làm bài toán trở nên đơn giản hơn:
+ Để đếm số số hạng của một dãy số mà hai số hạng liên tiếp của dãy
cách nhau cùng một đơn vị, ta có thể dùng công thức:
Số số hạng = (Số cuối – số đầu) : (khoảng cách giữa hai số) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà hai số hạng liên tiếp cách
nhau cùng một đơn vị, ta có thể dùng công thức:
Tổng = (Số đầu + số cuối). (Số số hạng ) : 2
Bài toán 1: Tính các tổng sau:
a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
b) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 .
Giải:
a) Cách 1:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 + 10
= 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5
= 50 + 5
= 55.
Cách 2:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
1 10.10 55
2
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log alpha X 1 10 =
KQ: 55
b) Cách 1:
1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99
= (1 + 99) + (2 + 98) + …+ (58 + 42) + (59 + 41) + 50
= 100 + 100 + … + 100 + 100
+ 50
= 49. 100 + 50
= 4950
Cách 2:
Số số hạng trong tổng là: 99 (số hạng)
Do đó, ta có tổng:
1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 =
1 99
.99 4950
2
9
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log alpha X 1 99 =
KQ: 4950
Bài toán 2: [4]Tính các tổng sau:
a) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100.
b) 1 + 5 + 9 + … + 901 + 905 + 909
Giải:
100 2
1 50 (số hạng)
2
2 100
Do đó: 2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 = 2 .50 2550 .
909 1
1 228 (số hạng).
b) Số số hạng trong tổng là:
4
1 909
Do đó: 1 + 5 + 9 + … + 901 + 905 + 909 = 2 .228 103740
a) Số số hạng trong tổng là:
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
a) Shift log 2 alpha X 1 50 =
KQ: 2550
b) Shift log 4 alpha X - 3
KQ: 103740
1 228 =
Bài toán 3: Tính các tổng đại số sau:
a) A = 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15)
b) B = 1 - 2 + 3 – 4 + 5 - 6 + 7 – 8 + … – 300 + 301 – 302 + 303 – 304
Giải:
a) A = 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15)
= (1 + 5 + 9 + 13) - (3 + 7 + 11 + 15 )
=
28
36
=
-8
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log 4 alpha X-3 1 4 - Shift log 4 alpha X - 1 1 4 = KQ:
-8
b) B = 1 - 2 + 3 – 4 + 5 - 6 + 7 – 8 + … – 300 + 301 – 302 + 303 - 304
= (1 + 3 + 5 + … + 301 + 303) – (2 + 4 + 6 + … + 300 + 302 + 304)
=
1 303 303 1
.
1
2
2
-
2 304 304 2
1
.
2
2
=
23104
23256
=
- 152
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log 2 alpha X-1 1 152 - Shift log 2 alpha X
KQ: -152
1 152 =
10
Sự hăng say và đam mê khi sử dụng MTBT hỗ trợ cho bài học
của học sinh lớp 6A
* Một số bài toán sử dụng phương pháp quy nạp để tính tổng hay
chứng minh đẳng thức đúng.
Bài toán 4: Tính:
a) 1.2.3 + 2.3.4
b) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5
c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + 8.9.10
Giải:
a) 1.2.3 + 2.3.4 =
b) 1.2.3 + 2.3.4 +
2.3.4.5
30
4
3.4.5.6
90
3.4.5 =
4
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log alpha Xx(alphaX+1)x (alpha X +2) 1 3 = KQ: 90
c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + 8.9.10 =
8.9.10.11
1980
4
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log alpha Xx(alphaX+1)x (alpha X +2) 1 8 = KQ: 1980
* Mở rộng bài toán với n số ta có:
11
Bài toán 5: Chứng minh đẳng thức sau với n 1 , n Z :
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + n.(n + 1). (n+2) =
n.( n 1)( n 2).(n 3)
4
Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học:
- Với n = 1, VT = 1.2.3, VP =
1.2.3.4
1.2.3
4
Vì VT = VP => đẳng thức đúng.
- Giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 nghĩa là:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + k.(k + 1). (k+2) =
k .(k 1)(k 2).(k 3)
4
Xét n = k + 1, ta có:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + (k + 1).(k + 2). (k + 3)
=
=
=
k .(k 1)(k 2).(k 3)
+ (k + 1).(k + 2). (k +
4
k .(k 1)(k 2).(k 3)
4( k 1)( k 2).(k 3)
+
4
4
( k 1).(k 2).( k 3).(k 4)
4
3)
Từ đó suy ra đẳng thức được chứng minh.
* Bài tập luyện tập:
Bài toán 6: Tính giá trị của biểu thức:
B = 7 + 5 + 10 +15 + 20 +… + 2010+ 2015 + 2020
Bài toán 7: Tính các tổng đại số sau:
a) C = 1 – 3 + 5 – 7 + … + 2007 – 2009 + 2011
b) D = 1 - 2 + 3 – 4 + 5 - … + n – (n + 1) + (n + 2) (với n lẻ).
Bài toán 8: [8] Chứng minh các đẳng thức sau với n 1 :
n( n 1)
;
2
n( n 1)(2n 1)
n2 =
6
a) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =
b) 12 + 22 + 32 + 42 + … +
.
2.3.3.2. Dạng 2: Bài toán chia hết
- Đối với dạng toán này chủ yếu chúng ta sử dụng đến dấu hiệu chia hết,
cách tìm Ước, tìm Bội , ƯC, BC, ƯCLN, BCNN trong Toán 6 – tập 1
- Khi kiểm tra kết quả bằng MTBT đối với tìm ƯCLN, BCNN ta làm như
sau:
ƯCLN(a,b): ta ấn các phím: Alpha x a shift ) b) =
BCNN(a,b): ta ấn các phím: Alpha a shift ) b) =
ƯCLN(a,b,c): ta ấn các phím: Alpha x Alpha x a shift ) b shift )c) =
BCNN(a,b,c): ta ấn các phím: Alpha Alpha a shift ) b shift )c) =
Bài toán 9: Tìm :
a) Ư(8) ; Ư(24) ; Ư(112)
b) ƯC(8,24)
c) ƯC(8,24,112)
d) ƯCLN (8,24,112)
12
e) BCNN (8,24,112)
Giải:
a) Ư(8) = { 1;2 4;8
Ư(24) = { 1;2;3;4;6;8;12;24
Ư(112) = { 1;2;4;7;8;14;16;28;56;112
b) ƯC(8,24) = { 1;2 4;8
c) ƯC(8,24,112) = { 1;2 4;8
d) ƯCLN (8,24,112) = 8
e) BCNN (8,24,112) = 336
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
d) Alpha Alpha 8 shift ) 24 shift) 112 ) =
KQ: 8
e) Alpha Alpha 8 shift ) 24 shift ) 112 ) =
KQ: 336
Bài toán 10: Tìm x N, biết:
a) 9 x
b) 36 x
c) 36x và 9x
Giải:
a) 9 x => x Ư(9) = { 1; 3; 9}
b) 36x => x Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
c) 36x và 9x => x ƯC(9,36) = {1; 3; 9}
Bài toán 11: Tìm x N, biết:
a) x 12 ; x 15
; x 18
b) x 12 , x 15 , x 18 và 0 < x < 300
Giải:
x
B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60;72; 84; …}
x
12
a)
=>
x 15 => x B(15) = {0; 15; 30; 45; 75; … }
x 18 => x B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; …}
b) x 12 , x 15 , x 18 => x BC(12, 15, 18)
Ta có: BCNN(12, 15, 18) = 180
=> BC(12, 15, 18) = {0; 180; 360; …}
x
Do
BC(12, 15, 18) và 0 < x < 300 nên x = 180.
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Alpha alpha 12 shift ) 15 shift ) 18) = KQ: BCNN(12, 15, 18) =
180
Bài toán12: Chứng tỏ rằng : A = 62 + 6 + 1
a) Không chia hết cho 2
b) Không chia hết cho 5.
Giải:
2
a) Ta có: 6 2 và 62 còn 1 2 => A 2
b) Ta có: A = 62 + 6 + 1 = 6.(6 + 1) + 1 = 6.7 + 1 = 43 5
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
6 x2 + 6 + 1 =
KQ: 43
* Mở rộng bài toán với n N :
Bài toán13: Chứng tỏ rằng : B = n2 + n + 1
13
a) Không chia hết cho 2
b) Không chia hết cho 5.
Giải:
2
a) n + n + 1 = n.(n + 1) + 1
Ta có: n.(n + 1) 2 vì n.(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Do đó:
n.(n + 1) + 1 2
2
b) n + n + 1 = n.(n + 1) + 1
Ta có n.(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng
0, 2 , 6. Suy ra n.(n + 1) + 1 có tận cùng là 1, 3, 7 không chia hết cho 5.
Bài toán 14: Các tổng sau có chia hết cho 3 không?
a) P = 2 + 22 + 23 + 24
b) Q = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28
Giải:
2
3
a) P = 2 + 2 + 2 + 24
= (2 + 22) + (23 + 24)
= 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2)
= 2.3 + 23.3
= 3.(2 + 23)
Vậy P 3.
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log 2x 1 4 =
KQ: 30
2
3
4
5
6
b) Q = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 27 + 28
= (2 + 22 ) + (23 + 24 ) + (25 + 26 ) + (27 + 28)
= 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + 27.(1 + 2)
= 2.3 + 23.(1 + 2) + 25. (1 + 2) + 27.(1 + 2)
= 2.3 + 23.3 + 25.3 + 27.3
Vậy Q 3.
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log 2x 1 8 =
KQ: 510
n
* Mở rộng bài toán với 2 (n N và n chẵn ):
Bài toán15: [7] Tổng sau có chia hết cho 3 không?
A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + … + 2n-1 + 2n
Giải:
2
A = 2 + 2 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + … + 2n-1 + 2n
= (2 + 22 ) + (23 + 24 ) + (25 + 26 ) + (27 + 28 )+ … + (2n-1 + 2n)
= 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + 27.(1 + 2) + …+ 2n-1 .(1 + 2)
= 2.3 + 23.3 + 25. 3+ 27.3 + …+ 2n-1 .3
Vậy A 3.
* Mở rộng bài toán với n Z
Bài toán 16: [4] Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10
b) 3n+3 + 3n+1 + 2n +1 + 2n+2 chia hết cho 6.
Giải:
n+2
n+2
n
a) 3 – 2 + 3 – 2n = 3n (32 + 1) - 2n(22 + 1)
14
= 3n. 10 - 2n . 5
Rõ ràng số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 10 => đccm
b) 3n+3 + 3n+1 + 2n +1 + 2n+2 = 3n+1 (32 + 1) + 2n +1 .(2 + 1)
= 3n+1 .10 + 2n +1 .3
= 2.5.3n +1 + 3.2n +1
Nhận thấy mỗi số hạng trong tổng đều có một thừa số chia hết cho 2, một
thừa số chia hết cho 3 nên chia hết cho 6. Vậy tổng chia hết cho 6, từ đó suy ra
điều cần chứng minh.
* Bài tập luyện tập:
Bài toán 17: [5] Tìm:
a) ƯC (4, 7)
b) ƯC (15, 29)
c) ƯC (n + 3, 2n + 5) với n N
Bài toán 18: Chứng tỏ rằng các tổng sau không chia hết cho 4;
a) A = 1 + 2 + 3 + 4
b) B = 2017 + 2018 + 2019 + 2020
c) C = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)
Bài toán 19: Các tổng sau có chia hết cho 7 không ?
a) M = 55 – 54 + 53
b) N = 82 - 83 + 84 - 85 + 86 - 87
c) Q = 82 - 83 + 84 - 85 + 86 - 87+ …+ 82020 - 82021
Bài toán 20: [10] Chứng minh rẳng với mọi số nguyên dương n thì:
(n + 1) . (n + 2) . (n + 3) ... (n + n) chia hết cho 2n.
2.3.3.4. Dạng 3: Bài toán về phân thức đại số
Dạng toán này chúng ta sử dụng chủ yếu các tính chất của phân số trong
Toán 6 – tập 2 và sử dụng các tính chất của phân thức đại số trong Toán 8 – tập
1
Bài toán 21: [4]
Cho biết :
Áp dụng kết quả hãy
1
1
( x 1) x
1
x x 1
x( x 1)
x( x 1)
1
1
thực hiện phép tính: A 1.2 2.3
Giải:
Áp dụng kết quả ta có:
Do đó:
1
1
1
x( x 1) x x 1
1
1 1
1 .2 1 2
1
1 1
2.3 2 3
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được :
15
1
1
A
1.2 2.3
1 1 1
1
2 2 3
1 2
A 1 .
3 3
Vậy A =
2
3
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
1 00 1 x 2 + 00 1 1 2 x 3 =
KQ: A =
2
3
* Giả thiết với 3 số thì bài toán trên còn đúng hay không?
Bài toán 22: Thực hiện phép tính:
1
1
1
A
1.2 2.3 3.4
Giải:
Ta có:
1
1 1
1 .2 1 2
1
1 1
2.3
2 3
1
1 1
3.4
3 4
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được :
1
1
1
A
1.2 2.3 3.4
1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4
1 3
A 1
.
4 4
3
Vậy A = 4
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
Shift log
0
0
1 alpha Xx(alpha X+1)
1 3 =
KQ: A =
3
4
* Mở rộng bài toán với n+1 số:
Bài toán 23: [9]
a) Thực hiện phép tính :
b) Áp dụng tính :
1
1
1
1
A
...........
1.2 2.3 3.4
n(n 1)
1
1
1
B 2
2
2
x 9 x 20 x 11x 30 x 13x 42
Giải:
a)
Từ kết quả :
1
1
1
x x 1 x( x 1)
16
Ta có:
1
1 1
1.2
1 2
1
1
1
2.3
2
3
1
1
1
3.4
3
4
...........................
1
1
1
n( n 1)
n 1 n
1
1
1
n( n 1)
n
n 1
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được :
1
1
1
1
1
A
...........
1.2 2.3 3.4
n(n 1) n(n 1)
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1 ......
2 2 3 3 4
n 1 n 1 n n n 1
1
n
A 1
.
n 1 n 1
b)
B=
1
1
1
2
2
x 9 x 20 x 11x 30 x 13x 42
2
Ta phân tích các mẫu của hạng tử trên ra nhân tử ta được:
1
1
1
( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7)
1
1
1
1
1
1
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7
1
1
3
B
x 4 x 7 ( x 4)( x 7)
B
Bài toán 24: Tính:
1
1
1
A 1 . 1 1 .
2
3
4
Giải:
Ta có:
1
1 x 1
x
x
Nên:
3 4 5
5
A . . .
2 3 4
2
5
A
2
Kiểm tra kết quả bằng MTBT:
1+ 00 1 2 )x 1+ 00 1 3 )x 1+ 00 1 4 )x =
KQ:
5
2
* Mở rộng bài toán trên với x + 9 số:
Bài toán 25: [9]
a) Tính:
1
1
1
1
A 1 . 1
1
..... 1
x
x 1
x2
x 9
17
b) Tính:
1
1
B 1 2 . 1
x
( x 1) 2
1
..... 1
( x 9) 2
Giải:
1 x 1
a) Để ý rằng: 1 x x . Ta có:
x 1 x 2 x 3
x 7 x 8 x 9 x 10
A
.
.
........
.
.
.
x
x 1 x 2
x 6 x 7 x 8 x 9
x 10
A
x
b) Tương tự ta tính tổng:
1
1
1
1
A 1 1
1
........ 1
x
x 1
x 2
x 9
x 1
A
x 9
Dễ thấy: B A.A
Nên:
B
x 10 x 1 ( x 1)( x 10)
.
x
x 9
x( x 9)
* Bài tập luyện tập:
Bài toán 26: [8] Tính:
Q=
5
2 2
2
2
2
...
1
2
3 12 20 30
9702
Bài toán 27: [11] Tính giá trị của biểu thức sau:
Bài toán
1
1
1
1
1
A 1 . 1
1
..... 1
1
n
n
1
n
2
n
m
n
m 1
x 1 x 2
x n x n 1
28: [8] Tìm x biêt: x 2 3 ... n 1 n 2 n 2
18
Học sinh tự tin lên bảng khi có MTBT hỗ trợ làm bài
2.4. Kiểm nghiệm và hiệu quả:
Trong các năm học qua tôi thường xuyên nghiên cứu học hỏi, tìm cách
khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhằm làm cho học sinh tiếp
thu kiến thức một cách chủ động không thụ động, chặt chẽ không tẻ nhạt, không
đơn điệu, rèn luyện cho học sinh tư duy logic phát triển năng lực trí tuệ học sinh.
Tôi thấy với phương pháp đó thì chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao
một cách rõ rệt. Phát huy được tính tích cực của học sinh, óc độc lập sáng tạo và
đặc biệt đã giúp các em tự hình thành kiến thức mới. Học sinh đã mạnh dạn
xung phong lên bảng trình bày bài, tự vẽ bản đồ tư duy sau mỗi chương học.
Sau một năm học áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy, kết quả khảo
sát 69 học sinh khối 6 đã có bước chuyển biến rõ rệt. Cụ thể:
Tổng số
Loại Giỏi Loại Khá Loại TB Loại Yếu
Loại Kém
HS
69
5
12
50
2
0
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Trên đây là một vài suy nghĩ của tôi khi giảng dạy học sinh khai thác các
bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, giúp các em giải quyết được những bài
toán từ đơn giản đến tổng quát; biết cách sử dụng BĐTD để củng cố kiến thức;
biết sử dụng MTBT để kiểm tra kết quả bài toán, nhằm nâng cao chất lượng học
sinh. Đây là một số phương pháp bồi dưỡng học sinh tôi đã rút ra trong quá trình
19
giảng dạy. Trong khuôn khổ của bài viết này tôi đã đưa ra được một vài ví dụ cụ
thể để thể hiện điều đó.
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm này mang tính chất ứng dụng nên có thể làm
tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy trong các trường. Việc nghiên cứu,
tìm kiếm ứng dụng, các phương tiện dạy học, các bài tập luyện tập nhằm đem lại
hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy là rất cần thiết được quan tâm.
3.2. Kiến nghị:
Để nâng cao chât lượng giảng dạy bộ môn rất mong nhận được sự quan
tâm hơn nữa của lãnh đạo các cấp.
PGD cần tổ chức nhiều hơn nữa các buổi sinh hoạt chuyên môn cụm, tập
huấn kỹ năng sử dụng MTBT; những cuộc thi như giải toán bằng MTBT như
trong năm học 2016 -2017 đã tổ chức. Để giáo viên, học sinh được giao lưu,
học hỏi nhiều hơn nữa và có thể đúc rút được nhiều kinh nghiệm phục vụ cho
quá trình giảng dạy và học tập.
Trong SKKN này các phương pháp tôi đưa ra có thể chưa phải là tối ưu.
Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý đồng nghiệp, để SKKN
được hoàn thiện hơn và áp dụng đạt được hiệu quả tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 05 / 06 / 2020
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến
của tôi viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Chung
20
- Xem thêm -
.DOC 
22 
43 
100 
