Tài liệu Các dạng toán hình không gian oxyz thường gặp

www.MATHVN.com HÌNH HỌC 12 – HK2 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM PHẦN 1 - CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP ĐIỂM + VECTƠ PHÁP TUYẾN = PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG DẠNG 1: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua điểm 𝑴 và song song với mp(𝜷) 𝛼 ∥ 𝛽 ⇒ 𝛼 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷′ = 0, thay tọa độ 𝑀 vào (𝛼) giải được 𝐷′ và kết luận 𝑛𝛼 DẠNG 2: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua 3 điểm 𝑨; 𝑩; 𝑪  Tính các vectơ 𝐴𝐵 ; 𝐴𝐶 ⇒ VTPT 𝑛𝛼 = 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶  Viết phương trình (𝛼) qua 𝐴 hoặc 𝐵 hoặc 𝐶 có VTPT 𝑛𝛼 B DẠNG 3: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua điểm 𝑴 và vuông góc đường thẳng ∆  VTPT 𝑛𝛼 = VTCP 𝑢∆ = 𝐴; 𝐵; 𝐶  Kết luận 𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 VTPT 𝑛𝛼 = 𝑢𝑑 , 𝑛𝛽 = (𝐴; 𝐵; 𝐶)  Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼  Kết luận 𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 𝑛𝛼 𝑢∆ 𝑀. 𝜶 DẠNG 4: Viết phương trình mp(𝛼) chứa đường thẳng 𝒅 và vuông góc mp(𝜷)  C A 𝜶 𝜷 𝑑 𝜶 𝑛𝛼 𝑛𝛽 𝑢𝑑 M DẠNG 5: Viết phương trình mp(𝛼) chứa đường thẳng 𝒅 và song song với 𝒅′ (𝒅; 𝒅′ 𝐜𝐡é𝐨 𝐧𝐡𝐚𝐮) 𝑛𝛼 𝑑′  VTPT 𝑛𝛼 = 𝑢𝑑 , 𝑢𝑑 ′ = (𝐴; 𝐵; 𝐶)  Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼  Kết luận 𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 𝑢𝑑 𝑑 M 𝜶 𝑛𝛼 DẠNG 6: Viết phương trình mp(𝛼) chứa đường thẳng 𝒅 và một điểm 𝑴 ∉ 𝒅  Lấy 𝐴 ∈ 𝑑, tính 𝐴𝑀 ⇒ VTPT 𝑛𝛼 = 𝑢𝑑 , 𝐴𝑀 = (𝐴; 𝐵; 𝐶)  Kết luận 𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0  VTPT 𝑛𝛼 = 𝑢𝑑 1 , 𝑢𝑑 2 = (𝐴; 𝐵; 𝐶)  Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑1 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼 hoặc 𝑀 ∈ 𝑑2 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼  Kết luận 𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 𝑢𝑑 ′ 𝑑 M. 𝑢𝑑 A 𝛼 DẠNG 7: Viết phương trình mp(𝛼) chứa hai đường thẳng 𝒅𝟏 ; 𝒅𝟐 cắt nhau 𝑛𝛼 𝑑1 𝑢𝑑 1 𝛼 DẠNG 8: Viết phương trình mp(𝛼) chứa hai đường thẳng 𝒅𝟏 ∥ 𝒅𝟐 𝑑2 M .  Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑1 ; 𝑁 ∈ 𝑑2 và tính 𝑀𝑁 ⇒ VTPT 𝑛𝛼 = 𝑢𝑑 1 , 𝑀𝑁 = (𝐴; 𝐵; 𝐶)  Kết luận 𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 DẠNG 9: Viết phương trình mp(𝛼) tiếp xúc mặt cầu (𝑺) 𝑢𝑑 1 N. 𝑢𝑑 2 𝑛𝛼 M𝑑  Tìm tọa độ tâm 𝐼 và bán kính 𝑅 của mặt cầu (𝑆)  Nếu mp(𝛼) tiếp xúc mặt cầu (𝑆) tại 𝑀 ∈ (𝑆) thì mp(𝛼) đi qua 𝑀 và có VTPT 𝑛𝛼 = 𝑀𝐼  Nếu 𝜶 𝑑1 2 𝑛𝛼 = 𝑛𝛽 = 𝐴; 𝐵; 𝐶 𝛼 ∥ 𝛽 ⇒ ⇒ 𝛼 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 rồi 𝛼 ∥ 𝑑1 ; 𝑑2 (𝑑1 chéo 𝑑2 ) 𝑛𝛼 = 𝑢𝑑 1 , 𝑢𝑑 2 = (𝐴; 𝐵; 𝐶) sau đó áp dụng điều kiện tiếp xúc 𝑑 𝐼; 𝛼 = 𝑅 để giải tìm 𝐷 DẠNG 10: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua hai điểm 𝑴; 𝑵 và tạo với (𝜷) một góc 𝝋  Gọi 𝛼 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 (∗), thay tọa độ 𝑀, 𝑁 vào (∗) sau đó biến đổi nó về phương trình chỉ chứa hai tham số 𝐴; 𝐵 ⇒ VTPT của (𝛼) là 𝑛𝛼 và VTPT của (𝛽) là 𝑛𝛽  Áp dụng công thức cos 𝜑 = 𝑛 𝛼 .𝑛 𝛽 𝑛𝛼 . 𝑛𝛽 tìm 𝐴; 𝐵 (khi gặp 1 phương trình chứa hai ẩn 𝐴; 𝐵 thì ta thường chọn 𝐴 = 1 và giải tìm 𝐵), kết luận. 1 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 www.DeThiThuDaiHoc.com HÌNH HỌC 12 – HK2 www.MATHVN.com TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM PHẦN 2 - CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THƯỜNG GẶP ĐIỂM + VECTƠ CHỈ PHƯƠNG = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴 và thỏa mãn yêu cầu đơn giản.  Tìm VTCP theo yêu cầu đề bài, cần lưu ý các kiểu sau:  ① ∆ đi qua 𝐴; 𝐵 ⇒ 𝑢∆ = 𝐴𝐵 ② ∆ ⊥ 𝑃 ⇒ 𝑢∆ = 𝑛𝑃 ③ ∆ ∥ 𝑑 ⇒ 𝑢∆ = 𝑢𝑑 ∆⊥𝑎 ∆⊥𝑎 ④ ⇒ 𝑢∆ = 𝑢𝑎 , 𝑢𝑏 ⑤ ⇒ 𝑢∆ = 𝑢𝑎 , 𝑛𝑃 ∆ ∥ (𝑃) ∆⊥𝑏 Viết phương trình ∆ qua 𝑀 và có VTCP 𝑢∆ dưới dạng PTTS hoặc PTCT DẠNG 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴, cắt và vuông góc 𝒅  Gọi 𝐴 ∈ 𝑑 (theo 𝑡), tính 𝐴𝑀 = VTCP 𝑢∆  ∆ ⊥ 𝑑 ⇔ 𝐴𝑀. 𝑢𝑑 = 0 ⇝ giải tìm 𝑡 ⇒ 𝐴𝑀 .  Viết phương trình ∆ ≡ 𝐴𝑀 𝑢𝑑 𝑢∆ 𝐴 DẠNG 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴, cắt 𝒅′ và vuông góc 𝒅  Viết ptmp(𝑃) đi qua 𝑀 và vuông góc 𝑑  Tìm giao điểm 𝑁 = 𝑑′ ∩ 𝑃 .  Viết phương trình ∆ ≡ 𝑀𝑁  Lấy bất kỳ điểm 𝐴 ∈ 𝑎; 𝐵 ∈ 𝑏 (chọn luôn trên đề). Tính 𝐴𝑀; 𝐵𝑀  Gọi (𝑃) chứa 𝐴𝑀; 𝑎 ⇒ 𝑛𝑃 = 𝐴𝑀, 𝑢𝑎 và (𝑄) chứa 𝐴𝑀; 𝑏 ⇒ 𝑛𝑄 = 𝐴𝑀, 𝑢𝑏  Gọi ∆ = 𝑃 ∩ 𝑄 ⇒ 𝑢∆ = 𝑛𝑃 , 𝑛𝑄 ⇝ Kết luận 𝑢𝑑 ∆ 𝑁. 𝑃 DẠNG 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴, cắt hai đường thẳng 𝒂; 𝒃 𝑃 .𝑀 .𝑀 .𝐵 𝐴. 𝑏 𝑎 𝑢𝑏 𝑢𝑎 𝑛𝑃 𝑢∆ DẠNG 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc mp(𝑷), cắt hai đường thẳng 𝒂; 𝒃 𝑎⊂ 𝛼  Gọi ⇒ 𝑛𝛼 = 𝑛𝑃 , 𝑢𝑎 . Chọn 𝐴 ∈ 𝑎 ⇒ 𝐴 ∈ 𝛼 ⇝ viết ptmp 𝛼 𝛼 ⊥ 𝑃 𝑏⊂ 𝛽 𝑎 𝑛𝑃  Gọi ⇒ 𝑛𝛽 = 𝑛𝑃 , 𝑢𝑏 . Chọn 𝐵 ∈ 𝑏 ⇒ 𝐵 ∈ 𝛽 ⇝ viết ptmp(𝛽) 𝑢𝑎 𝛽 ⊥ (𝑃)  Tìm giao điểm 𝑀 ∈ 𝛼 ∩ 𝛽 ⇝ Viết ∆ qua 𝑀 có VTCP 𝑛𝑃 𝑀 𝛼 𝑃 𝑛𝑄 𝑄 ∆ 𝑢𝑏 𝑏 𝑛𝛽 𝑛𝛼 𝛽 DẠNG 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu của 𝒅 lên mp(𝑷)  Chọn bất kỳ hai điểm 𝐴; 𝐵 ∈ 𝑑 ⇝ tìm hình chiếu 𝐴′ ; 𝐵′ lên mp(𝑃) bằng cách viết đường thẳng đi qua 𝐴; 𝐵 vuông góc với 𝑃 , sau đó tìm giao điểm 𝐴′ ; 𝐵′  Kết luận: ∆ ≡ 𝐴′𝐵′ DẠNG 7: Viết phương trình ∆ đi qua 𝑨 ∈ 𝑷 , ∆ ⊂ (𝑷) và vuông góc 𝒅.  Tính VTCP 𝑢∆ = 𝑢𝑑 , 𝑛𝑃  Kết luận 𝑢𝑑 𝑛𝑃 ∆ 𝑃 𝑢∆ .𝐴 DẠNG 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường 𝒂; 𝒃 chéo nhau  Gọi 𝐴 ∈ 𝑎; 𝐵 ∈ 𝑏 sao cho 𝐴𝐵 là đường vuông góc chung của 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝑢𝑎 , 𝑢𝑏  Mặt khác, 𝐴 ∈ 𝑎; 𝐵 ∈ 𝑏 có tọa độ theo 𝑡; 𝑡′ ⇒ 𝐴𝐵 có tọa độ theo 𝑡; 𝑡′ 𝐴𝐵 . 𝑢𝑎 = 0  Vì 𝐴𝐵 ⊥ 𝑎 ⇔ ta giải được 𝑡; 𝑡′ ⇝tìm được tọa độ 𝐴; 𝐵 𝐴𝐵 ⊥ 𝑏 𝐴𝐵 . 𝑢𝑏 = 0  Kết luận ∆ ≡ 𝐴𝐵 đi qua 𝐴 hoặc 𝐵 có VTCP 𝐴𝐵 = 𝑢𝑎 , 𝑢𝑏 2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 𝑢𝑎 𝐴 𝐵 𝑢𝑏 www.DeThiThuDaiHoc.com