Tài liệu Các dạng toán hình học 11 chương 3

Bài tập Hình học 11 chương III Trang 1 Chương III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.  Döïa vaøo qui taéc caùc pheùp toaùn veà vectô vaø caùc heä thöùc vectô. uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r + Quy taéc 3 ñieåm: A, B, C tuøy yù. Ta coù: AB  BC  AC ; AB  AC  CB uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r + Quy taéc trừ: O, A, B tuøy yù. Ta coù: 0 B  OA  AB ; AB  OB  OA uuu r uuur uuur + Qui taéc hình bình haønh: ABCD laø hình bình haønh � AB  AD  AC uuu r uuur uuur uuuu r + Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp � AB  AD  AA '  AC ' + Neáu I laø trunguñieå u r m uurAB,r M tuøyuuyù r . Ta uurcoù:r uu r uur uuur uuur uuu r IA   IB  IA  IB  0 hay AI  BI  0 vaø MA  MB  2MI + Neá laø nugurtaâm uuuu rG u uu rtroïu r tam giaù uuurc ABC, uuur M uuutuø r y ryù. Ta ucoù uur: uuur uuuu r uuuu r hay AG  BG  CG  0 vaø MA  MB  MC  3MG GA  GB  GC  0 uuu r uuu r + AB   BA 1. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, I laø trung ñieåm cuûa EF. CM uur uur uur uur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur r a) IA  IB  IC  ID  0 . b) MA  MB  MC  MD  4 MI , vôùi M tuyø yù. 2. Cho tứ ABCD. làurtrung đoạn AG. uuu rdiệnuuu r uuur Gọi uuurG làr trọng tâm BCD , Ouu uuurđiểm uuuu r uuu u r CMR: uuuu r a) 3OA  OB  OC  OD  0 b) 3MA  MB  MC  MD  6 MO 3. Cho töù dieän ABCD .Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AD vaø BC .G laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. Chöùng minh raèng : VẤN ĐỀ 2: Tích vô hướng và ứng dụng.  Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: uuur r uuur r r r � � �1800 ) AB  u, AC  v � (u, v )  BAC (00 �BAC  Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: rr r r r r r r r r r r + Cho u, v �0 . Tích vô hướng của 2 vectơ u, v �0 là: u.v  u . v .cos(u, v ) rr r r r r + Vôùi u  0 hoaëc v  0 . Qui öôùc: u.v  0 r r rr + u  v � u.v  0 uuu r uuu r  Tính độ dài 1 đoạn thẳng: AB  AB  AB 2 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tất cả các cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp uur=uua. u r Tính các tích vô hướng: uur uuur uur uuu r a) SA.SB b) SA.SC c) SA.BA 2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều cạnh a. Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau. VẤN ĐỀ 3: Góc giữa hai đường thẳng. Bài tập Hình học 11 chương III Trang 2  Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: góc giữa chúng bằng 00  Hai đường thẳng vuông góc: góc giữa chúng bằng 900 r r r r  Nếu u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và (u, v )   thì: góc giữa 2 đường  thẳng a, b bằng: neáu 00 � �900 180 0   neáu 90 0   �1800  Góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng đó uuur uuu r a) 2 vectơ AB vaø SC b) 2 đường thẳng AB và SC VẤN ĐỀ 4: Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.  Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc ta thực hiện 1 trong các cách sau: CM: góc giữa 2 đường thẳng đó bằng 900 CM: 2 VTCP của 2 đường thẳng đó vuông góc (tích vô hướng của 2 VTCP = 0) � a P(P ) �ab CM: � b  ( P ) � � a  (P ) �ab CM: � b �(P ) � Sử dụng định lý 2 đường vuông góc: a '  b � a  b với a’ là hình chiếu của a lên mặt phẳng chứa b. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng: định lí Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất trong hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. 1. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC  B’D’, AB’  CD’, AD’  B’C �  CSA � . CMR: SA  BC, SB  AC, SC 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và � ASB  BSC  AB 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B, AD = 2AB = 2BC. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BI  SC và CI  SD. 4. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AH  SI. Chứng minh: a) BC  AH. b) AH  SB. Bài tập Hình học 11 chương III Trang 3 VẤN ĐỀ 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.  Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng ta thực hiện 1 trong các cách sau: CM: đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng thì CM: 2 đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông với đường thẳng này thì cũng vuông �a // b � a  ( P) b  ( P) � với đường thẳng kia. � CM: 2 mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông với mặt phẳng này thì cũng vuông �a  (Q) � a  ( P) (Q) //( P) � với mặt phẳng kia. � CM: 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này ( P)  (Q )  d � � � a  ( P) vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. �a �(Q ) � ad � CM: 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với 1 mặt phẳng thứ 3thì giao tuyến của chúng ( P )  (Q) � � � a  ( P) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ 3. �( P)  ( R) � (Q) �( R )  a � 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. CMR: a) BC  (SAB ) b) BD  (SAC ) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng SA = SC, SB = SD. CMR: a) SO  ( ABCD ) b) BD  (SAC ) c) AC  (SBD ) 3. Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA  (ABC). a) Chöùng minh: BC  (SAB). b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa SAB. Chöùng minh: AH  SC 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA  (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng: BC  (SAI ) . b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAI. Chứng minh rằng: AH  (SBC ) . 5. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA = SC, SB = SD. a) Chöùng minh: SO  (ABCD). b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a) CMR: SO   ABCD  b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA, BC. CMR: IK   SBD  , IK  SD 7. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø SC = a 2 . Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD. CMR: a) SH  (ABCD). b) AC  SK vaø CK  SD. 8. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD.Gọi M là trung điểm của CD, H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AMB. Chứng minh rằng: a) CD  (AMB). b) AH  (BCD). 9. Cho tứ diện ABCD có DA  (ABC). Gọi H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) HK  (BCD). b) BD  (CHK). 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và CD, cho SC = a 2 , HK  SI. Chứng minh rằng: Bài tập Hình học 11 chương III Trang 4 a) SH  (ABCD). b) HK  (SDC). 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Chứng minh: a) BD  (SAC). b) MN  (SAB). 12. Cho hình chóp S.ABC có SB  (BCD). Gọi H là trực tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) DH  (ABC). b) CH  (ABD). c) CD  (ABH).  ( ABC ) . SA 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên a) Chứng minh rằng: BC  (SAB) . b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: BM  (SAC ) . 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA  ( ABCD) a) Chứng minh rằng: BD  (SAO ) . b) Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: OM  (SAB) . 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. CMR: a) BC  (SAB), BD  (SAC). b) SC  (AHK). c) HK  (SAC). 16. Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh: a) AC  (SHK). b) CK  SD. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA  (ABCD). a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD). c) Tính góc giữa SC và (ABCD). 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 . a) Chứng minh SO  (ABCD). b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD c) Tính góc giữa SB và (ABCD). VẤN ĐỀ 6: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.  Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: + Neáu đt  mp(P)  goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø mặt phẳng laø 90o. + Neáu đường thẳng khoâng vuoâng goùc vôùi mặt phẳng Tìm hình chiếu vuông góc (hình chiếu) của đường thẳng đó lên mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt.  Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: Điểm �mặt phẳng ( M �( ) ) � hình chiếu của điểm là chính nó. Điểm � mặt phẳng ( M �( ) ) � từ điểm đó kẻ đường vuông góc với mặt: MH  ( ) ( H �( ) ) � hình chiếu của M là H  Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Tìm hình chiếu của 2 điểm thuộc đường thẳng đó lên mặt phẳng. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa a) SB và CD. (CD // AB) b) SC và mp(ABCD) 2. Cho Cho tứ diện SABC, SA   ABC  , SA = a, AB  a 3 , tam giác SBC cân tại S. Tính góc giữa: a) SB và mp(ABC). b) SC và mp(ABC). 2’. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, AD  a 3 , SA   ABCD  Tính góc giữa: a) SB và (ABCD). b) SD và (ABCD). c) SD và (SAB). Bài tập Hình học 11 chương III Trang 5 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông ABCD tâm O cạnh a, SA   ABCD  , SA  a 6 . Tính góc giữa SC và mp(ABCD). 4. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA  (ABCD) vaø SA = a 6 . Tính goùc giöõa: a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC) 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, SA  với đáy, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = a 3 . Tính góc giữa: a) Các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD). b) SB, SC với mặt bên (SAD). 6. Cho lăng trụ ABC.A/B/C/, ABC là tam giác vuông cân, AB = BC = a; B /A = B/B = B/C = a. Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC). 7. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC, tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, cạnh AB = a, AD = a 2 . Tính góc giữa: a) DB và (ABC). b) CD và (ABD). c) AC và (ABD). 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  với đáy, SA = a. Tính góc giữa: a) Các cạnh bên và mặt đáy. b) Cạnh SC và mặt bên (SAD). c) Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC). 9. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng nhau, biết AB = AC = 2BC = a. Tính góc giữa: a) SA và (ABC). b) SA và (SBC). 10. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trên d lấy điểm S sao cho SH  a 3 .Tính góc giữa: 2 a) SA với (ABC). b) SC với (ABC). c) SH với (SBC). / / / / � 0 11. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a, BAC  120 ; A/B = A/D = A/A. Tính góc giữa A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy. VẤN ĐỀ 7: Góc giữa 2 mặt phẳng.  Góc giữa 2 mặt phẳng: Muốn tìm góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:  Tìm a  (P), b  (Q)  góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm. � a  c taïi I , a �( P)  Tìm: (P)  (Q) = c và �b  c taïi I , b �(Q)  góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường � thẳng vừa tìm. 1. Cho tứ diện ABCD có AD  (BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa hai mp(ACD) và (BCD). 2. Cho Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và SA vuông đáy. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (SBD) và (ABCD) b) (SCD) và (ABCD). 3. Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a; SA  (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (SAC) và (SBC). b) (SEF) và (SBC). 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = a 3 , SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (ABC) và (SBC). b) (SCM) và (ABC). Bài tập Hình học 11 chương III Trang 6 VẤN ĐỀ 8: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc.  Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc: * Ñeå chöùng minh (P)  (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:  Chứng minh trong mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia  Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng bằng 900 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. CMR: a) (SBC )  (SAB ) . b) (SBD )  (SAC ) . 2. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của BC, dựng AH vuông góc với SM tại H. CMR: a) SA  ( ABC ) b) (SBC )  (SAM ) . c) ( AHC )  (SBC ) . 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a, cạnh bên SA  ( ABC ) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB và AC. Chứng minh rằng: a) ( AEC )  (SBC ) . b) (SFB)  (SAC ) . 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) ( SAC )  ( ABCD ) . b) ( SAC )  ( SBD) . 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của BC, AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng ming rằng: a) ( ABC )  ( AID) . b) ( AID)  ( BCD) . 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD). a) Chứng minh rằng: ( SAC )  ( SBD) . b) Gọi BE và DF là hai đường cao của SBD . CMR: ( ACF )  (SBC ) vaø ( AEF )  (SAC ) 7. Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët ABC vaø ABD cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy DBC. Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa BCD, ñöôøng cao DK cuûa ACD. a) Chöùng minh: AB  (BCD). b) Chöùng minh: 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC). 8. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA  (ABCD). a) Chöùng minh (SAC)  (SBD). b) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . SA = a và SA vuông góc (ABCD) . a) Chứng minh: (SBC)  (SAB) và (SCD)  (SAD) b) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 10. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a . a) Chứng minh: (SAD)  (SCD) và (SAC)  (SBC) . b) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Tính tan  . 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA  a 2 . a) CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) CMR: (SAC)  (SBD) . c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB). d) Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). a 3 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA  SB  SD  và 2 �  60 0 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC. BAD a) CMR: BD  (SAC) và SH  (ABCD) . b) CMR: AD  SB . c) CMR: (SAC)  (SBD). Bài tập Hình học 11 chương III Trang 7 d) Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc  giữa SC và (SBD). �  450 . Hai 13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ADC mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . a) CMR: BC  mp(SAB). b) CMR: CD  SC . c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB), SD và (SAC). d) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) 14. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB)  (ABCD), AB = a, AD = a 2 . a) CMR: SA  (ABCD), (SAD)  (SCD) b) AH là đường cao. CMR: AH  (SBC), (SBC)  (AHC) c) CMR: DH  SB d) Tính góc giữa (SAC) và (SAD) 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA  (ABCD) a) CMR: (SAB)  (SAD); (SBC)  (SAB); (SCD)  (SAD) b) CMR: (SAC)  (SBD) c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR: (SCD)  (AI J) d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S. a) CMR: BC  (SAB), CD  (SI J) b) CMR: (SAD)  (SBC), (SAB)  (SI J) c) Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM)  (SBD) d) SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 17. Cho h`chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a. a) CMR: (SAC)  (SBD), (SOI)  (ABCD) b) CMR: (SIO)  (SCD) c) Gọi OJ là đường cao  SOI. CMR: OJ  SB d) Gọi BK là đường cao  SBC. CMR: (SCD)  (BDK) e) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. 18. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB)  (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD). a) CMR: SA  (ABCD), BD  (SAC) b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH  BD, AK  (SCD) c) CMR: (SAC)  (AHK) d) Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a) 19. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA  (ABCD), SA = a. a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) CMR: BD  SC c) Tính góc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD) d) Tính góc giữa (SCD) & (ABCD). 20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác  tại C và SB  (ABC), biết AC = a 2 , BC = a, SB = 3a. a) Chứng minh: AC  (SBC) b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA  BH. c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng hình vuông ABCD, M là trung điểm của SC. a) Chứng minh: (MBD)  (SAC) b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). a 5 2 . Gọi O là tâm của Bài tập Hình học 11 chương III Trang 8 d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) VAÁN ÑEÀ 8: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau * Phöông phaùp: Döïng ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau a vaø b. Caùch 1: Giaû söû a  b:  Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø vuoâng goùc vôùi a taïi A.  Döïng AB  b taïi B  AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. Caùch 2: Söû duïng maët phaúng song song.  Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø song song vôùi a.  Choïn M  a, döïng MH  (P) taïi H.  Töø H döïng ñöôøng thaúng a // a, caét b taïi B.  Töø B döïng ñöôøng thaúng song song MH, caét a taïi A.  AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. Chuù yù: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). Caùch 3: Söû duïng maët phaúng vuoâng goùc.  Döïng maët phaúng (P)  a taïi O.  Döïng hình chieáu b cuûa b treân (P).  Döïng OH  b taïi H.  Töø H, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi a, caét b taïi B.  Töø B, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi OH, caét a taïi A.  AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. Chuù yù: d(a,b) = AB = OH. 1.Cho hình töù dieän OABC, trong ñoù OA, OB, OC = a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Haõy döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: a) OA vaø BC. b) AI vaø OC. HD: a) a 2 2 b) a 6 6 b) a 5 5 2.Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng: a) SC vaø BD. b) AC vaø SD. HD: a) a 3 3 3.Cho töù dieän SABC coù SA  (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm cuûa caùc tam giaùc ABC vaø SBC. a) Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AH, SK, Bc ñoàng qui. b) Chöùng minh SC  (BHK), HK  (SBC). c) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA. HD: c) Goïi E = AH  BC. Ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA laø AE. 4.Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a, I laø trung ñieåm cuûa AB. Döïng IS  (ABCD) vaø IS = a 3 . 2 Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC, SD, SB. Haõy döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: a) NP vaø AC b) MN vaø AP. HD: a) a 3 4 b) a 2 VAÁN ÑEÀ 9: Tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng, maët phaúng. Bài tập Hình học 11 chương III Trang 9 Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song * Ñeå tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng) ta caàn xaùc ñònh ñoaïn vuoâng goùc veõ töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng). 1.Cho hình choùp SABCD, coù SA  (ABCD) vaø SA = a 6 , ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kinh AD = 2a. a) Tính caùc khoaûng caùch töø A vaø B ñeán maët phaúng (SCD). b) Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC). c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi maët phaúng (P) song song vôùi a 3 . 4 a 2 d(B,(SCD)) = 2 mp(SAD) vaø caùch (SAD) moät khoaûng baèng HD: a) d(A,(SCD)) = a 2 ; a 6 b) 3 a2 6 c) 2 2.Cho hình laêng truï ABC.ABC coù AA  (ABC) vaø AA = a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A coù BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoaûng caùch töø AA ñeán maët phaúng (BCCB). b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (ABC). c) Chöùng minh raèng AB  (ACCA) vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (ABC). HD: a) a 3 2 b) a 21 7 c) a 2 2 3.Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø h`v caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = 2a. a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD). b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi (SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán (SBD). HD: a) a 2 ; a 2 2 b) a 6 3 �  60 0 . Goïi O laø giao ñieåm 4.Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø BAD cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng SO  (ABCD) vaø SO = trung ñieåm cuûa BE. a) Chöùng minh (SOF)  (SBC). b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC). HD: b) d(O,(SBC)) = 3a . Goïi E laø trung ñieåm cuûa BC, F laø 4 3a 3a , d(A,(SBC)) = . 8 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  đáy , SA = a 2 . a) b) c) d) e) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. CMR (SAC)  (SBD) . Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) . Bài 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác  tại C và SB  (ABC), biết AC = a BC = a, SB = 3a. d) Chứng minh: AC  (SBC) 2 , Bài tập Hình học 11 chương III Trang 10 e) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA  BH. f) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) � = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) Bài 3. Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc B vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). a) CM: SB  (ABC) b) CM: (BHK)  SC. c) CM: BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 5 2 . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. e) f) g) h) Chứng minh: (MBD)  (SAC) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). � = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) Bài 6. Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc B vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). a) CM: SB  (ABC) b) CM: mp(BHK)  SC. c) CM: BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 5 2 . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. a) Chứng minh: (MBD)  (SAC) b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). Bài 9. Cho h`chóp S.ABCD có đáy là HCN, tâm O và AB = SA = a,BC = a 3 , SA  (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO  (ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng 2 . a. Chứng minh (SBD)  (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy  ABC  tại A, SA = AB = AC = a , SA  (ABC) a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC  (SAI) Bài tập Hình học 11 chương III Trang 11 b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC) b. Chứng minh SC  (AHK) c. Chứng minh HK  (SAC) Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO  (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK  SD Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA  (ABCD) a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC)  (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD). Bài 15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. Bài 16. Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3 , SA  (ABC), SA = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC)