GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-1-
LÔØI NOÙI ÑAÀU
P
höông trình löôïng giaùc laø moät trong caùc daïng toaùn cô baûn vaø quan troïng trong chöông
trình toaùn THPT ,ñaëc bieät noù luoân ñöôïc caáu truùc trong caùc ñeà thi Ñaïi hoïc-Cao ñaúng haèng naêm .
Thöïc teá,nhieàu hoïc sinh chöa coù kæ naêng giaûi ñuùng vaø hoaøn chænh moät baøi veà phöông trình
löôïng giaùc . Thaäm chí , giaûi phöông trình löôïng giaùc cô baûn coù khi coøn sai .Maët khaùc baøi taäp giaûi
phöông trình löôïng giaùc trong SGK Ñaïi soá –Giaûi tích 11 cô baûn vaø naâng cao, daïng caàn reøn luyeän coøn
ít ,chöa ñöôïc heä thoáng saép xeáp öùng vôùi töøng chuû ñeà vaø caùc coâng thöùc löôïng giaùc hoïc ôû lôùp 10 phuïc
vuï cho vieäc giaûi phöông trình löôïng giaùc raát nhieàu – Trong SGK chöa ñöôïc toùm taét vaø oân taäp laïi.
Chuyeân ñeà naøy laø moät phöông tieän giuùp caùc em hoïc sinh deã daøng naém baét caùc kieán thöùc cô baûn
vaø coù kæ naêng giaûi toát phöông trình löôïng giaùc ôû möùc ñoä yeâu caàu phuø hôïp vôùi chöông trình chuaån
kieán thöùc-kæ naêng vaø noäi dung giaûm taûi cuûa Boä GD-ÑT ñaõ ban haønh baét ñaàu töø naêm hoïc 2011-2012
Moãi chuû ñeà ñeàu coù:
Toùm toùm taét kieán thöùc caàn nhôù.
Daïng baøi taäp
Phöông phaùp giaûi
Baøi taäp maãu
Luyeän taäp
CHUÙ YÙ: Baøi taäp coù daáu (*) laø thuoäc daïng baøi giaûm taûi daønh cho HS khaù-gioûi lôùp
Ban Cô baûn hoaëc HS thuoäc lôùp Ban Töï nhieân
Noäi dung chuyeân ñeà goàm :
Chuû ñeà 1: Phöông trình löôïng giaùc cô baûn
Chuû ñeà 2: Phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp
Caâu hoûi traéc nghieäm
Phuï luïc: Phöông trình löôïng giaùc trong caùc ñeà thi Ñaïi hoïc-Cao ñaúng nhöõng naêm gaàn ñaây
Baøi taäp daønh cho HS töï luyeän taäp laø caùc baøi töông töï vôùi daïng baøi taäp ñaõ giaûi maãu vaø baøi
taäp trong SGK cô baûn ,SGK naâng cao ñoàng thôøi ñöôïc saép xeáp laïi theo daïng . Chuyeân ñeà töï bieân soaïn,
taát nhieân khoâng sao traùnh khoûi sai soùt ,raát mong yù kieánï ñoùng goùp cuûa quí ñoàng nghieäp vaø caùc em HS
ñeå chuyeân ñeà ñöôïc hoaøn chænh hôn.
Bình Döông,ngaøy 28 thaùng 08 naêm 2013
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-2-
DANG : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN
TOÙM TAÉT KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ
Daïng
Ñ.k coù
(m )
nghieäm
sinx =sin
Coâng thöùc nghieäm
(k
sinx = m
-1 ≤m≤ 1
sin f ( x ) sin g ( x )
)
laø soá ñaõ
bieát theo ñ/v
rad
x 0 k .3600
sin x sin 0
0
0
0
x 180 k.360
sin x sin 200
x 200 k .3600
x 200 k .3600
0
0
0
0
0
x 180 20 k .360
x 160 k .360
laø soá ñaõ
bieát theo ñ/v
ñoä
x arcsinm k2
sin x m
x arcsin m k2
1
x arcsin 3 k 2
1
sin x
3
1
x arcsin k 2
3
arcsin m laø
k/h sñ cuûa
cung(rad)
maø coù sin
baèng m
x k 2
x k 2
f (x) g(x) k2
sin f (x) sin g(x)
f (x) g(x) k2
x k 2
cos x cos
x k 2
cos x cos
cos x cos
x 12 k 2
12
x k 2
12
cos x cos
0
cos x m
Ghi chuù
x 5 k 2
x 5 k 2
a) sin x sin
5
x k 2
x 4 k 2
5
5
sinx =sin
sin x sin 0
Ví duï ñôn giaûn
x 0 k .3600
cos x cos 0
0
0
x k .360
-1 ≤m≤ 1
x arccos m k 2
cos x m
x arccos m k 2
x 100 k .3600
cos x cos100
x 100 k .3600
cos x
2
3
2
x arcsin 3 k 2
x arcsin 2 k 2
3
cos f ( x) cos g ( x)
f ( x) g(x) k 2
cos f (x) cos g ( x)
f ( x) g (x) k 2
cos2x = cos(x
arccos m laø
k/h sñ cuûa
cung(rad) maø
coù cos baèng
m
)
3
2 x x 3 k 2
x 3 k 2
k 2
2
x
x
k
2
x 9 3
3
tan x tan
tan x tan x k
tan x tan 0
tan x tan 0 x 0 k1800
tan x tan150 x 150 k1800
tan x tan
7
x
k
7
tanx = m
m tuøy yù
x≠
+k
2
tan x m x arctan m k
tan x 3 x arctan 3 k
tan f ( x ) tan g ( x)
f(x)
vaøg(x)≠
/2+k
tan f ( x) tan g ( x ) f ( x ) g ( x) k
PT :tan2x = tanx . ÑK cos2 x 0 vaø cosx ≠ 0 .
tan2x = tanx ⇔ 2x = x + k ⇔ x = k (thoûa ÑK)
arctan m laø
k/h sñ cuûa
cung(rad)
maø coù tan
baèng m
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-33
3
cot x cot
3
x
cot x cot
cot x cot x k
cot x
tan x tan 0
tan x tan 0 x 0 k1800
tan x tan150 x 150 k1800
cot x m
m tuøy yù
x k
cot x m x arccot m k
cot f (x) cot g(x)
f(x),g(x)
≠k
cot f (x) cot g(x)
f ( x) g ( x) k
cot x
k
3
arc cot m laø
k/h sñ cuûa
cung(rad)
maø coù sin
baèng m
1
1
x arc cot k
4
4
PT :cot2x = cotx . ÑK sin2 x 0 (1) vaø sinx ≠ 0 (2)
.
cot2x = cotx ⇔ 2x = x + k ⇔ x = k (0 thoûa)
PTVN
Trong PTLG thaáy khoâng coù ñôn vò naøo thì xem nhö ñôn vò rad
Khi giaûi PTLG khoâng ñöôïc trình baøy theo hai ñôn vò vöøa rad ,vöøa ñoä .
Chuù yù:
PTLG CÔ BAÛN DAÏNG ÑAËC BIEÄT
Coâng thöùc nghieäm (k )
Daïng
sin f ( x) 0
sin f ( x) 0 f ( x) k
cos f ( x) 1
k 2
2
sin f ( x) 1 f ( x) k 2
2
cos f ( x ) 0 f ( x) k
2
cos f ( x) 1 f ( x) k 2
cos f ( x ) 1
cos f ( x ) 1 f ( x) (2k 1)
sin f ( x ) 1
sin f ( x) 1 f ( x)
sin f ( x) 1
cos f ( x ) 0
Ví duï ñôn giaûn
sin x 0 x k x k
5
5
5
0
0
0
sin( x 30 ) 1 x 30 90 k .3600
x 1200 k .3600
sinx = -1 x k 2
2
k
cos2x = 0 2 x k x
2
4 2
k
cos 4 x 1 4 x k 2 x
2
0
0
cos(2 x 15 ) 1 2 x 30 (2k 1).1800
x 150 (2k 1).900
tan f ( x) 0
tan f ( x) 0 f ( x) k
tan x 120 0 x 120 k .1800
x 120 k .1800
tan f ( x ) 1
tan f ( x) 1
cot f ( x ) 0
tan
cot
cot f ( x ) 1
cot
cot f ( x ) 1
Chuù yù:
k
4
f ( x) 1 f ( x) k
4
f ( x ) 0 f ( x) k
2
f ( x) 1 f ( x) k
4
f ( x ) 1 f ( x ) k
4
tan f ( x ) 1 f ( x)
cot
f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x,coù theå f(x) = x
DAÏNG BAØI TAÄP
k
k x
4
8 2
k
tan 2 x 1 2 x k x
4
8 2
tan 2 x 1 2 x
k
2
x
1 k x k 2
2 4
2
x
1 k x k 2
2
4
2
cot x 0 x
x
2
x
cot
2
cot
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-4DAÏNG 1
:
( laø soá ñaõ bieát, f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x)
PHÖÔNG PHAÙP: Döa theo coâng thöùc nghieäm cuûa PT sinx=sin , cosx=cos ,v.v…
f x k 2
Chaúng haïn PT Sin f x sin
... …tieáp tuïc giaûi xem nhö PT 1 aån x
f x k 2
BAØI TAÄP MAÃU:
Baøi 1: Giaûi phöông trình: sin( x ) sin
6
3
2
x 3 3 k 2
x
k 2
Giaûi: sin( x ) sin
3
3
3
x k 2
x k 2
3
3
Baøi 2: Giaûi phöông trình: cos 2 x cos
6
6
2 x k 2
x k
6
6
Giaûi: cos 2 x cos
x k
6
6
2 x k 2
3
6
6
Baøi 3: Giaûi phöông trình: tan(2 x 10 ) tan19 0
Giaûi: tan(2 x 10 ) tan19 0 2 x 10 19 0 k.180 0 2 x 200 k.1800 x 10 0 k.900
CHUÙ YÙ: Giaûi PT treân,HS coøn sai laàm vieát 2 x 10 190 k . (?)
LUYEÄN TAÄP
1. cos3x
= cos12
0
Giaûi phöông trình:
(3b/28-SGK 11 CB )
2. sin(2x +25 ) = sin135
0
3.
cos x cos
3
3
4.
x
sin sin
3
3 2
0
x 40 k.1200
ÑS:
0
0
x 4 + k.120
x 550 k.1800
ÑS:
0
0
x 10 + k.180
ÑS: x k 2 vaø x
2
k 2
3
ÑS: x k 4 vaø x
2
k 4
3
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-5-
5.
sin 4 x sin
(14a/28-SGK 11 NC )
5
x
cos 2
2
ÑS: x
6.
cos
7.
tan 3 x tan
3
(18a/29-SGK 11 NC )
5
ÑS: x
8.
tan 2 x tan
1
2
ÑS: x
9.
1
cot2x cot (18d/29-SGK 11 NC )
3
10.
11.
cot4x = cot
(14c/28-SGK 11 NC )
2
7
ÑS: x 2 k 4
k
5
3
1 k
4 2
ÑS: x
ÑS: x =
cot(x² 4x 3) cot6 (Ban TN)
k
k
,x
20 2
5 2
k
14
4
ÑS: x = -2 ±
1
k
6
2
7 k , vôùi k vaø k -2
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-6-
DAÏNG 2 :
vaø f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x
PHÖÔNG PHAÙP: Coù 2 tröôøng hôïp :
Tröôøng hôïp 1: m laø GTLG cuûa caùc cung (goùc) ñaëc bieät ,chaúng haïn m =
1 3 2
,
,
,… (Ñ/v sin vaø
2 2 2
3
, 3 ,…(Ñ/v tan vaø cotang) .Khi ñoù ta thay m baèng caùc GTLG cuûa cung (goùc) ñoù vaø aùp
3
duïng coâng thöùc nghieäm daïng sinx=sin ,cosx=cos,…. ñöa veà PT 1 aån x ñeå giaûi
cos) , m =
3
3
3
3
Ví duï: sin( x )
( thay m
sin ) , tan x 150
( thay m
tan 30 0 )v,v…
6
2
2
3
3
3
Tröôøng hôïp 2: m khoâng laø GTLG cuûa caùc cung (goùc) ñaëc bieät ,khi ñoù ta coi m laø GTLG cuûa caùc
cung (goùc) khoâng ñaëc bieät naøo ñoù hoaëc thay baèng caùc kí hieäu arcsinm,arccosm v,v… ñeå giaûi
2x 1= +k2
1
Ví duï: sin 2x 1 ( sin )
... tieáp tuïc giaûi tìm nghieäm x ( coi nhö soá
3
2x
1=
+k2
ñaõ bieát, coù sin baèng
1
)
3
1
2x 1 arcsin k2
1
1
3
hoaëc sin 2x 1
... tieáp tuïc giaûi tìm nghieäm x ( arcsin laø
3
3
2x 1 arcsin 1 k2
3
1
k/h sñ cuûa cung (goùc ) maø coù sin baèng )
3
Chuù yù :Baûng GTLG cuûa caùc cung (goùc) ñaëc bieät:
α
Sin α
Cos α
Tan α
Cotα
(30 )
6
1
2
3
2
3
3
3
( 45 )
4
2
2
2
2
1
1
(60 )
3
3
2
1
2
3
3
3
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-7 BAØI TAÄP MAÃU:
Baøi 1: (5a/29-SGK 11 CB )
Giaûi phöông trình: tan x 150
3
3
3
tan 300 Khi ñoù:
3
3
tan x 150
tan x 150 tan 30 0 x 150 30 0 k.180 0 x 450 k.180 0
3
CHUÙ YÙ: Khi giaûi PTLG cô baûn treân, thöïc teá raát nhieàu em HS sai laàm ôû choã khoâng vieát:
Giaûi: Ta coù
3
3
3
tan 300 maø laïi vieát
300 hay
. Moät nghòch lyù vaø voâ cuøng sai laàm !
3
3
3
6
3
Baøi 2: Giaûi phöông trình: sin( x )
6
2
Giaûi: Ta coù
3
= sin
2
3
x k 2
x k 2
x k 2
3
6 3
3 6
2
sin( x )
sin( x ) sin
6
2
6
3
x k 2
x k 2
x 5 k 2
6
6
3
3 6
CHUÙ YÙ:
Choã HS sai laàm cuõng töông töï nhö treân, vieát
3
=
2 3
Baøi 3: Giaûi phöông trình: cot 2x 6
1
k
Giaûi: cot 2x 6 2x arc cot(6) k x arc cot(6)
2
2
CHUÙ YÙ:
Raát nhieàu em HS chöa hieåu ñöôïc kí hieäu arc cot(6) , quan nieäm raèng arc cot(6) laø moät tích hai
thöøa soá laø arccot vaø(-6),chính vì vaäy neân khi giaûi PT 2 x arc cot(6) k HS ruùt ra
6 k
x = arc cot( )
laø moät sai laàm lôùn !
2
2
HS neân khaéc saâu: arc cot(6) laø kí hieäu moät soá (rad) maø coù cotang baèng -6. Vì vaäy khi giaûi PT
arc cot(6) k
1
k
2 x arc cot(6) k ta ruùt ra x
hoaëc vieát x arc cot( 6)
laø ñuùng ,chöù
2
2
2
2
6
trong coâng thöùc nghieäm khoâng ñöôïc laáy
2
Chuù yù treân cuõng ñöôïc hieåu töông töï ñ/v caùc kí hieäu arcsina, arcccosa, arctana (a )
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh
CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11
T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ
-8Baøi 4: Giaûi phöông trình: sin 2x 1
Giaûi:
1
3
1
1
2x 1 arcsin k2
2x 1 arcsin k2
1
3
3
sin 2x 1
3
1
1
2x 1 arcsin 3 k2
2x 1 arcsin 3 k2
1 1
1
x - 2 2 arcsin 3 k
x - 1 1 arcsin 1 k
2 2
2
3
LUYEÄN TAÄP
1. sin x 1
6 2
2. cos(2x+ 150) =
Giaûi phöông trình:
ÑS: x k 2 vaø x
2
2
2
k 2
3
ÑS: x= 150 + k1800 , x = 300+ k1800
11
k
48
3.
1
cot(2 x )
8
3
4.
sin(x +2) =
1
(1a/28-SGK 11 CB )
3
1
1
ÑS: x -2+arcsin k2 vaø x -2+ -arcsin k2
3
3
5.
cos( x 1)
2
(3a/28-SGK 11 CB )
3
1
ÑS: x 1 arccos k 2
3
6.
tan( x 50 ) 5 (18b/29-SGK 11 NC)
7.
tan(2 x 1) 3 (18a/29-SGK 11 NC) ÑS: x
8.
tan(2 x 10 )
9.
1
sin( x)
5
2
10.
1
2
ÑS: x
ÑS: x 0 150 k.180 0 vôùi tan0 = 5
k
5 3
ÑS: x
0 10
1
k .900 vôùi tan0 =
2 2
2
ÑS: x
19
k 2 vaø x
k 2
30
30
(16b/28-SGK 11 NC) Tìm nghieäm cuûa PT sau trong khoaûng ñaõ cho:
cos( x 5)
3
vôùi –
- Xem thêm -