Các dạng bài tập về Tích phân kép.
Email:
[email protected]
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP
1. Các tính chất.
�
f x, y dxdy ��
g x, y dxdy .
�f x, y �g x, y �
�dxdy �
�
�
�
�
D
D
D
k . f x, y dxdy k .�
f x, y dxdy .
�
�
�
Nếu D D1 �D2 với D1 và D2 không có điểm chung thì :
D
D
f x, y dxdy �
f x, y dxdy �
f x , y dxdy .
�
�
�
�
D
D1
D2
2. Các tính chất tích phân kép trong tọa độ đề-các.
Trường hợp 1: D M x, y : a �x �b, c �y �d và z f x, y liên tục trên D thì:
d
�
�
f
x
,
y
dxdy
dx
.
f
x
,
y
dy
f
x
,
y
dy
dx (1) .
�
�
�
�
�
�
�
�
D
a
c
a �
c
�
d
b
d b
�
�
f
x
,
y
dxdy
dy
.
f
x
,
y
dx
f x, y dx �
dy (2) .
Hoặc: �
�
�
�
�
�
�
D
c
a
c �
a
�
b
d
b
d
*) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính
f x, y dy thì ta coi x là hằng số.
�
c
b
- Trong biểu thức (2) khi tính
f x, y dx thì ta coi y là hằng số.
�
a
- Nếu f x, y g x .h y và D : a �x �b, c �y �d thì:
b
d
a
c
f x, y dxdy �
g x dx.�
h y dy
�
�
D
Trường hợp 2: D M x, y : a �x �b, y1 x �y �y2 x và z f x, y liên tục trên D thì:
b
y2 x
y2 x
b �
�
f
x
,
y
dy
f
x
,
y
dy
dx (3)
�
�
�
��
�
�
D
a
y1 x
a �
y1 x
�
Trường hợp 3: D M x, y : x1 y �x �x2 y , c �y �d và z f x, y liên tục trên D thì:
d
x2 y
f x , y dxdy �
dx.
�
�
f x, y dxdy �
dy.
�
�
D
c
x2 y
d �
�
f
x
,
y
dx
f
x
,
y
dx
dy (4)
�
�
�
��
�
�
x1 y
c �
x1 y
�
3. Đổi biến số trong hệ đề-các.
Phương pháp:
�
�x x u, v
Bước 1: Đặt �
.
�y y u, v
xu' xv'
J
� dxdy J du.dv
Bước 2: Tính
yu' yv'
BS: Cao Văn Tú
Page 1
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Các dạng bài tập về Tích phân kép.
'
Bước 3: Xác định D x , y � D u ,v .
Email:
[email protected]
f x u, v , y u, v . J dudv.
�
Bước 4: Tính I �
'
D
4. Tích phân trong tọa độ cực.
DÊu hiÖu nhËn biÕt:
f x, y dxdy mà D chứa biểu thức:
�
�
D
x2 y2 ;
x2 y 2
.
a2 b2
Phương pháp:
�x r cos
Đặt: �
�y r sin
x'
cos
'
y
sin
r sin
r � dxdy rdr.d .
r cos
xr'
Tính: J '
yr
'
Xác định D x , y � D r , .
f r cos , r sin .rdrd .
�
Tính I �
'
D
Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D.
Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
y
(D). Giả sử là:
1 , 2 1 2 suy ra cận :
1 � � 2
(D)
O
�x r cos
Thay �
vào biên D.
�y r sin
� r r1 , r r2 . r1 r2 suy
x
ta cận r: r1 �r �r2 .
1 � � 2
�
Vậy: D ' : �
(Tính theo r
r1 �r �r2
�
trước, sau).
Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trong miền D.
Luôn có:
0 � �2 .
�x r cos
Thay �
vào biên D � r r . Khi đó: 0 �r �r
�y r sin
0 � �2
�
Vậy D ' : �
.
0 �r �r
�
Trường hợp 3: Gốốc cực O nằằm trên biên của miêằn D.
BS: Cao Văn Tú
Page 2
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Các dạng bài tập về Tích phân kép.
Email:
[email protected]
Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
(D). Giả sử là:
1 , 2 1 2 suy ra cận :
1 � �2
y
�x r cos
Thay �
vào biên D
�y r sin
(D)
O
r0
�
��
�
r r
�
BS: Cao Văn Tú
x
0 r
1 � � 2
�
Vậy: D ' : �
0 �r �r
�
r
Page 3
Blog: www.caotu28.blogspot.com