CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
MỤC LỤC
Trang
Mục lục
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài
Bản đồ tư duy
B. PHẦN NỘI DUNG:
I/Các kiến thức cơ bản:
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳngrthường gặp:
1
2
2
2
3
4
4
4
Daïng 2:
Daïng 3:
Daïng 4:
Daïng 5:
Daïng 6:
Daïng 7:
Daïng 8:
Daïng 9:
Daïng 10:
Daïng 11:
Daïng 12:
Daïng 13:
Daïng 14:
Daïng 15:
Daïng 16:
Daïng 17:
Daïng 18:
Daïng 19:
Daïng 20:
Vieát pt mp (P) ñi qua Avaø // mp (Q).
Vieát pt mp(P) ñi qua Avaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d).
Vieát pt mp (P) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi 2 mp(Q) , mp(R).
Vieát pt mp (P) ñi qua 3 ñieåm A,B,C khoâng thaúng haøng .
Vieát pt mp (P) ñi qua A,B vaø vuoâng goùc mp (Q).
Vieát pt mp (P) ñi qua A ;vuoâng goùc mp(Q) vaø song song vôùi dt (d).
Vieát pt mp (P) chöùa hai ñöôøng thaúng(d)vaø (d’) caét nhau.
Vieát pt mp (P) chöùa hai ñöôøng thaúng(d)vaø (d’) song song nhau.
Vieát pt mp (P) laø trung tröïc cuûa AB.
Vieát pt mp (P) chöùa (d) vaø ñi qua A.
Vieát pt mp (P) chöùa (d) vaø song song dt (d’).
Vieát pt mp(P) chöùa (d) vaø vuoâng (Q).
Vieát pt mp (P) // vôùi (Q) vaø d(A;(P))=h.
Vieát pt mp (P) chöùa (d) vaø d(A,(P))=h.
Vieát pt mp(P) chöùa (d) vaø hôïp vôùi mp (Q) moät goùc �900.
Vieát pt mp (P) chöùa (d) vaø hôïp vôùi ( )moät goùc �900.
Cho A vaø (d), vieát pt mp (P) chöùa (d) sao cho d(A,(P)) laø lôùn nhaát.
Vieát pt mp (P) // vôùi (Q) vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S).
Vieát pt mp(P) // (Q) vaø caét maët caàu (S) theo giao tuyeán laø
ñöôøng troøn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước..
Daïng 21: Vieát pt mp (P) chöùa (d) vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S).
Daïng 22: Vieát pt mp (P) chöùa (d) vaø caét maët caàu (S) theo giao tuyeán laøñöôøng
troøn (C) coù baùn kính r (hoaëc dieän tích , chu vi cho tröôùc).
Daïng 23: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
tròn (C)có bán kính nhỏ nhất.
4
5
5
5
6
6
6
7
8
8
8
9
9
9
10
11
12
12
C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI
D.KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
15
16
16
Daïng 1:
Vieát PT mp ñi qua A vaø coù VTPT
Người thực hiện:
n.
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 1 -
4
13
13
14
15
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
1.Đề tài: Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Oxyz cho học sinh khối 12
2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Khi học đến chương phương pháp tọa độ trong không gian học sinh thường gặp
khó khăn khi gặp bài toán viết phương trình mặt phẳng và dạng phương trình mặt
phẳng có nhiều dạng. Để giúp học sinh có thể giải tốt các bài tập về viết phương
trình mặt phẳng thường gặp trong chương trình lớp 12 nên tôi chọn đề tài “Rèn
luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz”
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài:
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông,
Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị
những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. Nhằm giúp các em giải
tốt các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz chương
trình học lớp 12.
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng
trước một bài toán viết phương trình mặt phẳng, không định được hướng giải
quyết, vì thế tôi đã hệ thống một số dạng bài tập cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm
vững và từ đó có thể viết được phương trình mặt phẳng trong chương trình.
TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào khá cao so với các
trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm
còn chiềm tỉ lệ trên dưới 5%. Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng viết phương trình
mặt phẳng trong không gian Oxyz” sẽ giúp học sinh không bị lúng túng trước
một bài toán viết phương trình mặt phẳng trong chương trình.
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 2 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN OXYZ
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 3 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
B. PHẦN NỘI DUNG
I/Các kiến thức cơ bản:
Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
+ Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương
tuyến
(VTPT):
r r (VTCP) và vectơ pháp
r
r r r
mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a; b và vectơ pháp tuyến n thì n =[ a; b ]
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ
r
pháp tuyến n ( A; B; C ) phương trinh mặt phẳng (P ) : A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
+ Phương trình mặt phẳng () : Ax By Cz D 0 (A 2 +B2 +C2 �0)
Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cách
r sau:
+ Biết một điểm M 0 ( x0 ; y 0 ; z0 ) vả một vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) ta sử dụng
công thức: () : A( x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0
+ Phương trình mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0 (A 2 +B2 +C2 �0) dựa vào giả
thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D.
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp:
Daïng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và một
r
vectơ pháp tuyến n ( A; B; C )
+Cách 1: (P) : A(x x 0 ) B(y y 0 ) C(z z 0 ) 0
+ Cách 2: (P): Ax By Cz D 0 ; M 0 �(P) � D trả lời phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (2;3;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1; 2) : B(4; 3;1)
Giải:
r uuur
- VTPT n AB (1; 4;3)
- Cách 1: (P): 1( x 2) 4(y 3) 3(z 1) 0 � (P ) : x 4 y 3z 11 0
- Cách 2: (P): x 4 y 3z D 0 ; M 0 (2;3;1) �( P ) � D 11
� (P): x 4 y 3z 11 0
Daïng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song
song với mặt phẳng (Q) : Ax By Cz D 0 .
uuur
r
+Cách 1: (P)//(Q) � VTPT n( P ) VTPT n(Q ) ( A; B; C )
(P) : A(x x 0 ) B(y y 0 ) C(z z 0 ) 0
+ Cách 2: (P) // (Q) � (P) : Ax By Cz D ' 0(D ' �D) ; M 0 �() � D '
� phương trình mp (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (2;3;1) và song song với mặt phẳng (Q): 4 x 2 y 3z 5 0
Giải:
uuur
r
(P)
(Q)
�
VTPT
n
VTPT
n
(Q ) (4; 2;3)
+ Cách 1:
//
(P)
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 4 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
(P) : 4(x 2) 2(y 3) 3(z 1) 0
� (P) : 4x 2y 3z 11 0
+ Cách 2: (P ) // (Q) � (P ) : 4x-2y 3z D 0(D �5)
M 0 (2;3;1) �( P ) � D 11 � (P ) : 4x-2y 3z 11 0
Daïng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông
góc với đường thẳng(d)uuur
uuur
(
d
)
�
VTPT
n
VTCPu
+ (P)
(P)
(d )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
x 1 y 3 z 4
M 0 (2;3;1) và vuông góc với đường thẳng (d):
2
1
3
Giải:
uuur
uuur
(P) (d ) � VTPT n( P ) VTCPu( d ) (2;1;3)
( P ) : 2( x 2) ( y 3) 3(z 1) 0
� (P ) : 2z y 3z 10 0
Daïng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) và vuông
góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)
uuur
uuur
uuur uuur uuur
(P) (Q) � VTPTn(P) VTPTn (Q) �
�
n (Q) ,n(R) �
uuur
uuur �� VTPTn (P) �
+
�
�
(P) (R) � VTPTn(P) VTPTn (R) �
�
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
Giải:
uuur
uuur
uuur uuur uuur
(P) (Q) � VTPTn (P) VTPTn(Q) (1; 3;2) �
�
n(Q) , n (R) � (1;5;7)
uuur
uuur
�� VTPTn(P) �
�
�
(P) (Q) � VTPTn (P) VTPTn(R) (2;1; 1) �
�
(P) : (x 2) 5(y 3) 7(z 1) 0
� (P) : z 5y 7z 20 0
Daïng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( x A ; y A ; z A );
B( x B ; yB ; zB ); C ( xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng:
uuur
uuur uuur uuur
�
�AB
�
VTPT
n
�
AB, AC �
u
u
u
r
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) �
(P)
�
�
�AC
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
A(2; 0; 1); B(1; 2;3); C(0;1;2)
Giải:
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 5 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
uuur
uuur
uuur uuur
�
�AB (1; 2; 4)
� VTPT n( P ) �
AB, AC � (10; 5; 5)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) �uuur
�
�
�AC (2;1;3)
(P ) : 10( x 2) 5( y 0) 5(z 1) 0
� (P) : 2 x y z 3 0
Daïng 6: Viết ptmp (P) đi qua A( x A ; y A ; z A ); B( x B ; y B ; zB ) và (Q)
uuur
�AB
uuur uuur uuur
�uuur
(
)
�
VTPT
n
�
AB, n(Q ) �
+ Cặp VTCP mặt phẳng �
(P)
�
�
n
�
�(Q )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
A(2; 0; 1); B(1; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 1 0
Giải:
uuur
�
uuur uuur uuur
�AB (1; 2; 4)
� VTPT n( P ) �
AB, n(Q ) � (2;5;3)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) �uuur
�
�
n(Q ) (1; 1;1)
�
�
( P ) : 2( x 2) 5( y 0) 3(z 1) 0
� (P ) : 2 x 5y 3z 1 0
Daïng 7: Viết ptmp (P) đi qua A( x A ; y A ; z A ) ; (Q) và // với đt (d)
uuur
�
uuur
uuur uuur
n
�(Q )
�
u
u
u
r
n(Q ) , u( d ) �
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) � � VTPT n( P ) �
�
u
�
�( d )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(1; 2;3) vuông góc với mặt phẳng (Q): x 2y z 5 0 và song song với đường
thẳng (d):
Giải:
x 1 y 3 z 4
2
1
3
uuur
�
uuur
uuur uuur
n
�(Q ) (1;2; 1)
�
�
VTPT
n
n
, u( d ) � (7;1;5)
u
u
u
r
Cặp VTCP mặt phẳng (P) �
(P)
(Q )
�
�
u( d ) (2;1;3)
�
�
(P ) : 7( x 1) ( y 2) 5(z 3) 0
� (P ) : 7 x y 5z 20 0
Daïng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
uuur
�
uuur uuur uuur
u
�( d )
u( d ) , u( d ') �
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) �uuur � VTPT n( P ) �
�
�
u
�
�( d ')
+ Lấy điểm M0�(d) hoặc M0 �(d’)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 6 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường
�x 1 t
�
x 1 y 1 z 12
y 2 2t
thẳng cắt nhau (d):
và (d’): �
1
1
3
�
z3
�
Giải:
uuuu
r
uuur
d M (1; 1;12)VTCP u( d ) (1; 1; 3) ; d ' M '(1;2;3)VTCP u( d ') (1;2; 0)
uuuuu
r
uuur uuur
MM ' (0;3; 9); �
u( d ) , u( d ') � (6;3;1)
�
�
(d ) & (d ') cắt nhau
uuur uuur uuuuu
r
�
u( d ) , u( d ') �
.MM ' 0
�
�
uuur
�
uuur uuur uuur
u( d )
�
u( d ) , u( d ') � (6;3;1)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) �uuur � VTPT n( P ) �
�
�
u
�
�( d ')
(P ) : 6( x 1) 3( y 2) (z 3) 0
� (P ) : 6 x 3y z 15 0
Daïng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
+ M1 �(d) , VTCP
r
r
M
�
(d
')
;
,
VTCP
ud 2
u d’.
uuuuuur
�
uuur
uuuuuur uuur
�M1 M2
uuur � VTPT n( P ) �
M1 M2 , u( d ) �
+ Cặp VTCP mặt phẳng () �uuur
�
�
u( d ) (hoac�u( d ') )
�
�
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường
thẳng song song với nhau (d):
x 1 y 1 z 12
1
1
3
�x 1 t
�
y 2t
và (d’): �
�
z 3 3t
�
Giải:
uuuu
r
d M (1; 1;12)VTCP u( d ) (1; 1; 3)
uuur
d ' M '(1;2;3)VTCP u( d ') (1; 1; 3)
uuuuur
uuuuur uuur
r
MM ' (0;3; 9); �
MM ', u( d ) � (18; 9; 3) �0
�
�
� (d ) P(d ')
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
uuuuuur
�
uuur
uuuuuur uuur
�M1 M 2 (0;3; 9)
�
u
u
u
r
�
VTPT
n
M1 M 2 , u( d ) � (18; 9; 3)
�
(P)
�
�
u( d ) (1; 1; 3)
�
�
( P ) : 18( x 1) 9( y 2) 3( z 3) 0
� (P ) : 6 x 3y z 15 0
Daïng 10: Viết
(P) là trung trực của AB.
uuurptmp
uuur
+ VTPT n( P ) AB
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 7 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
+ Tìm tọa độ trung điểm M0 của đoạn AB
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của
đoạn AB biết A(1;1; 1); B(5;2;1).
Giải:
uuur uuur
3
VTPT n( P ) AB (4;1;2) Trung điểm M0 của đoạn AB: M 0 (3; ; 0)
2
3
27
(P) : 4(x 3) (y ) 2(z 0) 0 � (P) : 4x y 2z
0
2
2
Daïng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
r
+ (d) M 0 , VTCP u d
uuuuu
r
�M A
uuur uuuuu
r uuur
�uuu0r
�
�
VTPT
n
M
A
, u( d ) �
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) �
(P)
0
�
�
u
�
�( d )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
x 1 y 1 z 12
thẳng (d):
và đi qua điểm A(1;1; 1)
1
1
3
Giải:
uuuu
r
uuuuu
r
d M 0 (1; 1;12)VTCP u( d ) (1; 1; 3) ; M 0 A (0;2; 13)
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
uuuuu
r
�
uuur uuuuu
r uuur
M
A
� 0 (0;2; 13)
� VTPT n( P ) �
M 0 A, u( d ) � (19; 13; 2)
�uuur
�
�
u( d ) (1; 1; 3)
�
�
(P ) : 19( x 1) 13( y 1) 2(z 1) 0
� (P ) :19 x 13y 2z 30 0
Daïng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )
+ Tìm điểm M0�(d)
uuur
�
uuur uuur uuur
u( d )
�
u
u
u
r
�
VTPT
n
�
u( d ) , u( ) �
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) �
(P)
�
�
u( )
�
�
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ:
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng (d):
x y z
; ( )
1 1 2
x 1 y z 1
Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với ()
2
1
1
Giải:
uuur
�
uuur
uuur uuur
u
�( d ) (1;1;2)
� VTPT n( P ) �
u( d ) , u( ) � (1; 5;3)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) �uuur
�
�
u( ) (2;1;1)
�
�
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 8 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
uuur
(d) M 0 (0; 0; 0) Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT n( P ) (1; 5;3)
� (P) : 1(x 0) 5(y 0) 3(z 0) 0 � (P) : x y 3z 0
Daïng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
+ Tìm điểm M0�(d)
uuur
�
uuur
uuur uuur
u
�( d )
�
uuur � VTPT n( P ) u( d ) , n(Q ) �
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) �
�
�
n(Q )
�
�
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):
x 1 y z 2
2
1
3
và mặt
phẳng (Q) : 2x y z 1 0 . Viết phương trình mp (P) chứa (d) và vuông góc với
mp (Q)
Giải:
uuur
(d) M(1; 0; 2) VTCP u(d) (2;1; 3)
uuur
�
uuur
uuur uuur
u
�( d ) (2;1; 3)
�
�
VTPT
n
u
, n(Q ) � (4; 8; 0)
u
u
u
r
Cặp VTCP mặt phẳng (P) �
(P)
(d )
�
�
n
(2;1;1)
�
(
Q
)
�
(P) : 4(x 1) 8(y 0) 0(z 2) 0
� (P) : 2x 4y 2 0
Daïng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 và d(A;(P))=h
A(x A ; y A ; zA ) cho trước
+ Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’ �D)
+ Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ . Kết luận pt mặt phẳng (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2
Giải:
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D � - 3)
d(A;(P))=2 �
3 D
3
�
D 9(n)
2 � 3 D 6 � �
D 3(n)
�
Vậy (P1 ) : x 2y 2z 9 0;(P2 ) : x 2y 2z 3 0
Daïng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) và d(A,( P))=h; A( x A ; y A ; z A )
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
r
+ (d) M0(x0; y0; z0), VTCP u d
uuur
uuur
+ Vì (d) nằm trong (P) � n (P) u(d) �
r
u
d.
r
n ( P ) = 0 (1)
+ PT mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 9 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
+ d(A,( P)) = h (2)
+ Giải (1); (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ, ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):
x 1 y z 2
và
2
1
3
điểm
A(3;1;1). Viết pt mp (P) chứa (d) và d (A,( P))= 2 3 .
Giải:
r
n
Gọi VTPT của mp (P) là ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
uuur
(d) M 0 (1; 0; 2) VTCP u(d) (2;1; 3)
uuur uuur
V� d �(P)d. � n(P) u(d) � 2A B 3C 0 � B 3C 2A 1
(P): A(x 1) B(y 0) C(z 2) 0 � Ax By Cz A 2C 0
d(A,( P))= 2 3
2A B 3C
�
2 3 � 2A B 3C 2 3 A 2 B2 C2 (2)
A 2 B2 C2
2
2
�
(1)(2)�
�
�� 6 C 2 3 5A 12AC 10C
�
AC
2
2
�
� 5A 12AC 7C 0 �
7
�
A C
� 5
*A C chon
�A=C=1 � B=1 � (P):x+y+z+1=0
7
*A C chon
�C=5;A=7 � B 1 � (P):x+y+z+3=0
5
Daïng 16: Viết Pt mp (P) chứar(d) và hợp với mp (Q) một góc �900
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
r
+ (d) M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r r
+ Vì d �(P) � u d . n ( P ) = 0 (1)
+ cos ((P),(Q))= cos (2)
+ Giải (1) ; (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết
được pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và
x 1 y 2 z 3
. Viết phương trình mp (P) chứa (d) và hợp với
1
1
1
3
mp (Q) một góc thỏa cos = .
6
đường thẳng (d):
Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
uuur
(d) M 0 (1; 2; 3),VTCP u(d) (1; 1; 1)
r r
Vì d �(P) � u d. n ( P ) = 0 � A B C 0 � A B C (1)
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 10 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
cos
uuur uuur
3
, n (Q) )
�
(P)
6
P , Q cos�� cos(n
A 2B C
6 A 2 B2 C2
3
6
� 6 A 2B C 3 A 2 B2 C2 (2)
�
B C
�
�
(1)(2)�
3
�
�� 2 4C 3B 3 A B C � 8B 11B 3C 0 � �
B
C
� 8
2
2
2
2
2
*B C chon
�B=1;C=-1 � A=0 � (P):(y-2)-(z+3)=0 � (P ):y-z-5=0
3
C chon
�B=3;C=-8 � A=-5 � (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0
8
� -5x+3y-8z-35=0
�900
Daïng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d)
r và hợp với đth( )một góc
+ Gọi VTPT của mp ( ) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
*B
r
+ (d) M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r r
+ Vì d �(P) � u d. n ( P ) = 0 (1)
+ sin ((P),( )) = sin (2)
+Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và () lần lượt có
x2
z5
y 3
. Viết phương trình
2
1
mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với () một góc 300
phương trình: (d): x
y2
z và
1
() :
Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
uuur
uuur
(
)
M
(2;3;
5)
M
(0;2;
0)
u
(1;
1;1)
d)
và VTCP (d)
;
và VTCP u( ) (2;1; 1)
2
1
r r
Vì d �(P) � u d. n ( P ) = 0 � A B C 0 � B A C (1)
uuur uuur
sin ((P),()) sin30 � cos(n (p) ; u ( ) ) sin 30 0 �
0
2A B C
6 A 2 B2 C2
1
2
� 2 2A B C �6 A 2 B2 C2 �
(2)�
�
�
�
AC
�
�
(1)(2)�
1
�
�� 2 3A 6 A (A C) C � 2A AC C 0 � �
A
C
� 2
2
2
2
2
2
*A C chon
�A=C=1 � B=2 � (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0) =0 � (P):x 2y z 4 0
1
C chon
�C=-2;A=1 � B=-1 � (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x y 2z 2 0
2
Daïng 18: Cho A (xA; yA; zA) và (d), viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là
lớn nhất
+ Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
*A
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 11 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
+ Ta có: d (A,(P)) = AK �AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do
đó d(A(P)) max � AK = AH � K �H uuur
+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
�x 1 2t
�
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d): �y t
�z 1 t
�
và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn
nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
Ta có: d (A, (P)) = AK �AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên).
Do đó d(A, (P)) max � AKuu=ur AH � K �H
Mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
uuur
H �(d) � H(1 2t; t;1 t) � AH (2 2t; t 2; t 2)
uuur uuur
V�
H=hc(d) (A) � AH u(d) (2;1;1) � 6t 0 � t 0
uuur uuur
� H(1;0;1) � VTPT n (p) AH (2;2;2)
� (P) : 2(x 1) 2(y 0) 2(z 1) 0 � (P) : x y z 0
Daïng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu
(S)
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = 0 (D’ �D)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R � tìm được D'
+ Từ đó ta có pt (P) cần tìm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = 0. Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz
+ D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
(S): (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 25 � I(1;2;1) BK R=5
Vì (P) // (Q) � (P): x - 2y + 2z + D = 0 (D �-3)
D3
�
(P)tiep
�xuc�v�
�
i mat�cau
�(S) � d I, P R �
5 � D 3 15
3
�
D 18 � P1 : x 2y 2z 12 0
��
�
D 12 � P2 : x 2y 2z 18 0
�
2 Daïng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r 2 tính r.
+ d(I,(P)) =
R 2 r 2 (1)
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 12 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' �D)
1 2 �
+ Suy ra d (I,(P)) (2) � �
�
�� D' � pt (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + 4 = 0 và mặt
cầu
(S): x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Viết pt mp(P) // (Q và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r = 2
Giải:
(S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 � Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = 3
Vì (P) // (Q) � (P): x+y-2z+D = 0 (D �4)
d I, P
�
D 1 30 � P : x y 2z 1 30 0
R r � 1 D 30 � �
�
D 1 30 � P : x y 2z 1 30 0
�
2
2
Daïng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)không cắt mặt
cầu)
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
r
+ (d) M0(x0; y0; z0), VTCP u d
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x
+urB(y-y0) + C(z-z0) = 0
uuur0)uu
+ (d) �(P) � u(d) .n (P) 0 (1)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2)
+ Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C � pt mp (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0
x 1 y z 2
và d :
. Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
1 1
4
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (zuu
-ur3)2 = 9 � tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3
(d) M 0 (1; 0; 2),VTCP u(d) (1;1; 4)
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
� mp(P) đi qua điểm M0:
�
(P): A(x -1) +uu
B(y
ur uu–ur0) + C(z +2) = 0 Ax + By + Cz -A +2C = 0
(d) �(P) � u(d ) .n(P) 0 � A B 4C 0 � A B 4C (1)
(P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R � 5C 2B 3 A 2 B2 C2 (2)
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 13 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
2
2
2
2
�
(1)(2)�
�
�� 5C 2B 3 2B 8BC 17C � 14B 92BC 128C 0
�
B 2C
�
�
32
�
B
C
�
7
*B 2C chon
�B=-2; C=1 � A=2 � (P):2x-2y+z=0
*B
32
C chon
�B=32;C=-7 � A=4 � (P): 4x+32y-7z-18=0
7
Daïng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r 2 tính r.
r
+(d) M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n (P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0,
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
uur r
+ Vì d �(P) � ud . n ( P )=0 (1)
+ Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
+Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C � pt mp (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):
x 3 y z4
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 và d :
. Viết pt mp (P) chứa
3
1
1
(d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r = 6 .
Giải:
2
�
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z
uuu+1)
r = 9 tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
(d) M 0 (3; 0; 4),VTCP u(d) (3; 1;1)
r
n
Gọi VTPT của mp (P) là ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 �0
=>pt mp (P) đi qua M0
(P): A(x - 3) +
-r0) + C(z - 4) = 0 � Ax + By + Cz –3A – 4C = 0
uuB(y
ur uuu
(d) �(P) � u(d) .n(P) 0 � 3A – B + C = 0 � B = 3A + C (1)
Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r
� 2A 2B 5C 6 A 2 B2 C2 (2)
2
2
2
2
�
(1)(2)�
�
�� 8A 7C 6 10A 6AC 2C � 4A 76AC 37C 0
� 1
A C chon
�A=1; C=-2 � B=1 � (P):x+y-2z+5=0
�
2
��
37
�
B
Cchon
�A=37;C=-2 � B=109 � (P): 37x+109y-2z-1 03=0
�
2
�
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 14 -
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Daïng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có bán kính nhỏ nhất ((d) cắt mặt cầu) .
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Bán kính r = R 2 d 2 (I,(P))
+Để r min � d(I,(P)) max
+ Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)
+Ta có: d(I,(P))= IK �IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
+Do đó: d(I,(P)) max � AK u=ur AH � K �H
+ Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT � pt mp(P).
Ví
dụ:
Trong
không
gian
Oxyz,
cho
mặt
cầu
(S):
x 1 y 1 z
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 và d :
. Viết pt mp (P) chứa (d)
2
1 1
và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r nhỏ nhất
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = 9 � tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
uuur
uuuu
r
uuuu
r uuur
(d) M 0 (1; 1; 0),VTCP u(d) (2; 1;1); IM 0 (0;1;1); �
IM 0 , u(d) � (2;2; 2)
�
�
uuuur uuur
�
IM , u �
� 0 (d) �
d(I,(d))
2 R � (d) cat�mat�cau
�
uuur
u(d)
Bán kính r = R 2 d 2 (I,(P)) = 9 d 2 (I, (P))
Để r min � d(I,(P)) max
Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)
Ta có: d(I,(P))= IK �IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó: d(I,(P)) max � AKuu=r AH � K �H
Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT
Gọi (Q) làrmặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc vơi (d)
� VTPT n ( Q ) =(2;-1;1)
� (Q) 2x –y +z – 3=0; H là hình chiếu của I lên (d); tọa độ điểm H lả
�x 1
�x 1 y 1 z
�
�
� �y 1 � H(1; 1;0)
1 1
nghiệm của hệ phương trình: � 2
�
�
2x – y z – 3 0
z0
�
�
r
uur
� VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1)
(P): (y + 1) + (z – 0) = 0 � y + z + 1 = 0
C. KẾT QUẢ KIỂM TRA SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:
Lớp
Điểm TB
Sĩ số (5 đến 6,4)
12A10 35
SL
2
%
13,2
Người thực hiện:
Điểm khá
(6,5 đến 7,9)
Điểm giỏi
Đạt yêu cầu
(từ 8 trở lên)
SL
4
SL
29
%
10,5
Nguyeãn Baù Töôøng
%
76,3
- Trang 15 -
SL
35
%
100,0
Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
D. KẾT LUẬN:
Các bài tập về Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, thường
học sinh không biết bắt đầu từ giả thiết như thế nào?, nhưng khi giảng dạy xong đề
tài học sinh sẽ thấy rằng việc tìm lời giải các bài toán viết phương trình mặt
phẳng, có thể giải được rất nhiều bài toán về viết phương trình mặt phẳng. Đồng
thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng viết phương trình mặt phẳng học sinh
cũng có hướng suy nghĩ và tập tính toán, các em sẽ có tự tin hơn khi giải các bài
toán về viết phương trình mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng là một chủ đề
không khó, để giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo đề tài còn có thể tiếp tục
phát triển sang việc tìm lời giải các bài toán viết phương trình mặt phẳng nhờ
những dạng toán cơ bản trên.
E.TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa lớp 12 THPT
2. Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian Trần Đức Huyên.
3. Hướng dẫn giải toán hình học giải tích Nhóm giáo viên trung học phổ thông
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 16 -
- Xem thêm -
.DOC 
16 
2478 
125 
