Tài liệu Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TÌNH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TÌNH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 Mục lục Mục lục i Lời cam đoan ii Lời nói đầu iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu 1 Mở đầu 1 1 3 2 Các khái niệm cơ bản 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều 10 L p , Wmp 2.1 Một số bất đẳng thức trong không gian . . . . . . . . 10 2.2 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach lồi đều 12 2.3 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach trơn đều 19 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Phụ lục 28 i Lời cam đoan Tác giả luận văn xin cam đoan về tính trung thực, tính đúng đắn và hợp pháp của luận văn. Đây không phải là sự sao chép bất cứ luận văn nào đã có trước đó, mà là sự tham khảo, tổng hợp và trình bày theo suy nghĩ chủ quan của tác giả luận văn về những kết quả khoa học đã có liên quan tới chủ đề đặt ra cho luận văn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Lê Thị Tình ii LỜI NÓI ĐẦU Luận văn trình bày các kết quả chủ yếu về các bất đẳng thức của không gian Banach lồi đều và trơn đều. Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này nhưng do thời gian và trình độ hạn chế chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn. Lê Thị Tình Học viên Cao học Toán Khóa 7: 2013-2015 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên iii Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, bồi dưỡng kiến thức trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại trường. Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình viết luận văn. Xin chân thành cảm ơn. Lê Thị Tình Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Toán Khóa 7: 2013-2015 Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên iv Danh sách ký hiệu k.k Không gian định chuẩn B(X) Hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 S(X) Mặt cầu đóng tâm 0, bán kính 1 h., .i Tích vô hướng C[a,b] Không gian các hàm liên tục Kn Không gian Euclid n-chiều 1 Mở đầu Như chúng ta đã biết trong không gian Hilbert có đẳng thức hình bình hành   2 2 2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk (1) và là không gian có cấu trúc đẹp đẽ. Lý do nói như vậy là vì vấn đề đặt ra trong không gian này có thể được phân tích một cách dễ dàng và hoàn chỉnh. Tuy nhiên trong nhiều ứng dụng cần phải xét trên không gian Banach, liệu không gian Banach có tính chất gần và đẹp đẽ như không gian Hilbert không? Mục đích của luận văn này trình bày các đặc trưng dạng tương tự (1) trong không gian Banach lồi đều và trơn đều, không phải là không gian Hilbert. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương I. Một số khái niệm cơ bản. Chương II. Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều. 2 Chương 1 Các khái niệm cơ bản Chương này trình bày các khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert và không gian Banach. Trong đó nêu lên các tính chất, ví dụ cụ thể của từng loại không gian. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ h., .i thỏa mãn các điều kiện sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X. Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h., .i được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Tính chất 1.1. Nếu X là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên X × X . Tính chất 1.2. (Đẳng thức Pythagore). Nếu x⊥y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . Một cách tổng quát nếu x1 , ....., xn ∈ X với xi .x j = 0 với mọi i 6= j thì n 2 n 2 ∑ xi = ∑ kxi k , i=o i=1 p p với kxk = hx, xi, kyk = hy, yi. 3 Tính chất 1.3. (Đẳng thức hình bình hành).   2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk , ∀x, y ∈ X, p p với kxk = hx, xi, kyk = hy, yi. 2 2 Ví dụ 1.1. (Không gian Euclide n-chiều). Xét không gian vectơ Cn = {x = (x1 , ....., xn ) : x1 , ....., xn ∈ C}. Khi đó dễ có công thức n hx, yi = ∑ x j y j , x = (x1, ....., xn), y = (y1,...., yn) ∈ C j=1 xác định một tích vô hướng trên C. Bởi vì C là đầy do đó Cn là đầy với mọi chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide !1 2 n kxk =  2 ∑ x j  = p hx, xi j=1 nên Cn là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2. (Không gian l2 ). Xét không gian các dãy số bình phương khả tổng !1 2 l2 = {x = {xn }n≥1 : kxk2 = 2 ∑ |xn| < ∞}. n≥1 Vì ∞ ∞ ∞ n=1 n=1 1 ! ∑ |xnyn| ≤ 2 ∑ |xn|2 + ∑ |yn|2 n=1 nên dễ thấy, công thức ∞ hx, yi = ∑ xn yn , x, y ∈ l2 , n=1 xác định một tích vô hướng trên l2 . Mặt khác, do kxk2 = p hx, xi, x ∈ l2 nên l2 là đầy với chuẩn này và do đó l2 là một không gian Hilbert. 4 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức C. Hàm ρ xác định trên X gọi là một chuẩn trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau: (N1 )ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0, (N2 )ρ(λ x) = |λ | ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X, (N3 )ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) , với mọi x, y ∈ X. khi ρ thõa mãn N2 và N3 còn N1 thay bởi điều kiện: (N 01 )ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X, thì ρ được gọi là nửa chuẩn trên X. Khi ρ thỏa mãn N3 còn N2 thay bởi điều kiện: (N 01 )ρ(λ x) = λ ρ(x), ∀0 ≤ λ ∈ R, ∀x ∈ X, thì ρ gọi là một sơ chuẩn trên X. Định nghĩa 1.3. Không gian vectơ X cùng với một chuẩn ρ trên nó gọi là không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn X là một không gian mêtric với khoảng cách sinh bởi chuẩn d(x, y) := ρ(x − y), (x, y ∈ X). Nếu không gian mêtric này đầy thì X gọi là không gian Banach. Chú ý: sau này ta viết kxk thay cho ρ(x) đối với x ∈ X và gọi chuẩn của vectơ x. Tính chất 1.4. Nếu X là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x 7→ kxk là liên tục đều trên X. Tính chất 1.5. Nếu X là không gian định chuẩn thì các phép toán + : X × X → X, (x, y) 7→ x + y × : K × X → X, (λ , x) 7→ λ x là liên tục. 5 Ví dụ 1.3. (Không gian Euclide n-chiều). Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích n lần trường vô hướng K, Kn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ K}. Ta xác định chuẩn k.k2 trên K bởi !1 2 n kxk2 = 2 , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn . ∑ |xi| i=1 Hiển nhiên hàm x 7→ kxk2 thỏa mãn các điều kiện tiên đề (N1 ) và (N2 ) trong định nghĩa chuẩn. Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski !1 !1 2 n n 2 ∑ |aibi| ≤ ∑ |ai| i=1 i=1 n 2 2 ∑ |bi| , i−1 suy ra hàm k.k2 thỏa mãn (N3 ). Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Kn ta có 2 n n n n  n 2 2 2 = ∑ |xi |2 + 2 ∑ |xi | |yi | + ∑ |yi |2 ∑ |xi + yi | ≤ ∑ |xi | + |yi | i=1 i=1 i=1 i=1 i=1  1  1 2 2 n n n n 2 ≤ ∑ |xi |2 + 2 ∑ |xi |2 + ∑ |yi |2 ∑ |yi | i=1 ! i=1 i=1 i=1 1  1  2 2 n n 2 = + ∑ |yi |2 . ∑ |xi | i=1 i=1 Hay kx + yk2 ≤ kxk2 + kyk2 , ∀x, y ∈ Kn . Nghĩa là hàm k.k2 thỏa mãn (N3 ). Vậy Kn là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k2 . Không gian này gọi là không gian Euclide n-chiều. Vì max |xi | ≤ kxk2 ≤ n max |xi | 1≤i≤n 1≤i≤n nên sự hội tụ trong Kn là sự hội tụ theo tọa độ. Do K là không gian metric đầy, từ đó suy ra Kn là không gian đầy. Vậy Kn là không gian Banach. Ví dụ 1.4. (Không gian các hàm liên tục). Ký hiệu C [a, b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Bởi vì mọi hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định k f k = sup{| f (x)| : x ∈ [a, b] }, f ∈ C [a, b] . 6 Dễ thấy rằng hàm f 7→ k f k xác định như trên là một chuẩn trên không gian C [a, b]. Như vậy C [a, b] là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong C [a, b] đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều. Ta sẽ kiểm lại C [a, b] là một không gian Banach. Cho { fn } là một dãy Cauchy trong C [a, b]. Khi đó ∀ε> 0,∃n0 , ∀n, m ≥ n0 , ∀x ∈ [a, b] , | fn (x) − fm (x)| ≤ ε. (1.1) Như vậy với mỗi x ∈ C [a, b] cố định, dãy số { fn (x)}∞ n=1 là một dãy Cauchy trong K. Do K đầy nên tồn tại f (x) = lim fn (x) , ∀x ∈ C [a, b] . n→∞ Ta sẽ chỉ ra f ∈ C [a, b] và fn → f trong C [a, b]. Trong (1.1) bằng cách cố định x ∈ C [a, b] và n ≥ n0 , cho m → ∞ ta được | fn (x) − f (x0 )| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b] , ∀n ≥ n0 . (1.2) Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho    fn (x) − fn (x0 ) ≤ ε, ∀ |x − x0 | < δ , ∀x ∈ [a, b] . 0 0 Từ (1.2) suy ra   | f (x) − f (x0 ) ≤ | f (x) − fn0 (x0 ) +  fn0 (x) − fn0 (x0 )   +  fn (x0 ) − f (x0 ) ≤ 3ε, với mọi x ∈ [a, b] , |x − x0 | < δ . 0 Tính liên tục của f được chứng minh. Cũng từ (1.2) suy ra { fn (x)}∞ n=1 hội tụ đến f trong C [a, b]. Ví dụ 1.5. (Không gian các hàm bị chặn). Giả sử S là tập tùy ý. Ký hiệu B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn trên S và k f k := sup{| f (s)| : x ∈ S} < +∞. (1.3) Có thể thấy B(S) là không gian Banach với chuẩn xác định như trên. Ví dụ 1.6. (Không gian các dãy khả tổng bậc p). Với mỗi số thực p ≥ 1 tùy ý, ta ký hiệu tập tất cả các dãy số (thực hoặc phức) khả tổng bậc p bởi: ( lp = x = (xn ) ⊂ N ∗ : ∞ ∑ |xn| p < +∞ n=1 7 ) l p là không gian Banach với chuẩn cho bởi ∞ kxk p = ∑ |xn| !1 p p . n=1 Định nghĩa 1.4. Cho không gian vectơ X - Đoạn thẳng [a, b] là tập hợp [a, b] = {λ a + (1 − λ )b ∈ X : 0 ≤ λ ≤ 1}. - Đoạn thẳng không tầm thường là [a, b] mà a 6= b. Đoạn thẳng tầm thường là [a, b] mà a=b. - Tập con A của một không gian vectơ X được gọi là lồi nếu nó có tính chất: nếu hai vectơ a, b ∈ A thì đoạn [a, b] nằm trọn trong A. Cho X là không gian định chuẩn, trong suốt luận văn này chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau: - S(x)là mặt cầu tâm 0, bán kính 1 trong X, S(x) = {x ∈ X : kxk = 1}, - B(x) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 trong X, B(x) = {x ∈ X : kxk ≤ 1}. Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ S(X) mà kx − yk ≥ ε ta có x + y 1− 2 ≥ δ. Ta gọi mođun lồi của không gian Banach X là hàm số δX : [0; 2] → R : x, y ∈ S(X), kx − yk = ε}. δX (ε) = inf {1 − x+y 2 Ta gọi đặc trưng lồi của không gian Banach X là số được xác định bởi ε0 (X) = sup{ε ∈ [0; 2] : δX (ε) = 0}. Ví dụ 1.7. Không gian Hilbert có số chiều bằng 1 không là không gian lồi đều. Mọi không gian Hilbert có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là không gian lồi đều. Thật vậy, khi không gian Hilbert X có dimX=1 trên S(X) chỉ có hai điểm e1 và x + y e2 = −e1 . Với x = e1 , y = −e2 không tồn tại δ > 0 sao cho 1 − 2 ≥δ x + y vì 1 − 2 = 0, mặc dù khi đó kx − yk = 2 > ε = 1. Vậy X không phải là không gian lồi đều. Giả sử X là không gian Hilbert có dimX ≥ 2. Giả sử ε ∈ (0; 2], với mọi x, y ∈ S(X) và kx − yk ≥ ε. Từ đẳng thức hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 8 ta có kx + yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 − kx − yk2 ≤ 4 − ε 2 x + y 2 ε2 ⇔ ≤ 1− 2 r 4 2 x + y ≤ 1− ε ⇔ 2 4 r ! 2 x + y ε ⇔ 2 ≤ 1− 1− 1− 4 , từ đó, suy ra rằng với mọi ε ∈ (0; 2] khi đặt r ε2 δ = 1 − 1 − > 0, 4 x + y thì với mọi x, y ∈ S(X) mà kx − yk > ε ta có 1 − 2 > δ . Vậy X là không gian Hilbert lồi đều. Định nghĩa 1.6. Không gian Banach X được gọi là trơn nếu mọi điểm x ∈ S(X) đều tồn tại duy nhất hàm f ∈ X ∗ (X ∗ là không gian đối ngẫu) sao cho k f k = 1 và f (x) = 1. Chúng ta xét một khái niệm mạnh hơn tính trơn đó là tính trơn đều. Định nghĩa 1.7. Một không gian Banach X gọi là trơn đều nếu ρX (t) = 0, t t→0+ lim trong đó ρX (t) là mođun trơn được xác định bởi ρX (t) = sup{ kx + tyk + kx − tyk − 1 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1}. 2 Tóm lại trong chương này tôi đã trình bày lại các khái niệm cơ bản của không gian Hilbert, không gian Banach đặc biệt là không gian Banach trơn, trơn đều, lồi, lồi đều. Chương tiếp theo dành cho việc xét các bất đẳng thức đặc trưng trong không gian Banach là mở rộng các đẳng thức trong không gian Hilbert. 9 Chương 2 Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều Chương 2 sẽ trình bày các bất đẳng thức đặc trưng trong không gian Banach lồi đều và trơn đều. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ bài báo [5]. 2.1 Một số bất đẳng thức trong không gian L p, Wmp Cho X là không gian Banach và X ∗ được gọi là không gian đối ngẫu. Gọi B(x) và S(x) tương ứng mặt cầu đơn vị đóng và hình cầu đơn vị trong X. Từ bất kỳ cặp x ∈ X và x∗ ∈ X ∗ , x∗ (x) biểu thị bởi hx∗ , xi. Cho  1 δx (ε) = inf 1 − 2 (x + y) : x, y ∈ S(X), kx − yk ≥ ε ,  và 1 sup {kx + yk + kx − yk − 2 : x ∈ S(x), kyk ≤ τ} . 2 Được nêu trong [5] rằng tất cả không gian Hilbert và không gian Banach l p , L p ,Wmp ,(1 ρx (τ) = < p < ∞) có các bất đẳng thức đặc trưng sau: q δH (ε) = 1 − 1 − (1/4)ε 2 ; 10 (2.1)   p−1 2 2) > p − 1 ε 2, 1 < p < 2  ε + o(ε   8 8 1 δl p (ε) = δL p (ε) = δWmp (ε) = h  ε pi p 1 ε p   > ( ) , p ≥ 2; 1 − 1 − ( ) 2 p 2 ρH (τ) = 1 + τ 2
1/2 − 1;  1 1  (1 + τ p ) p − 1 < τ p , 1 < p < 2 p ρl p (τ) = ρL p (τ) = ρWmp (τ) = p − 1 p−1 2   τ 2 + o(τ 2 ) < τ , p ≥ 2. 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) Chúng ta xét các tính chất cơ bản sau đây của hàm δx (ε) và ρx (τ): (δ 1) δx (0) = 0, δx (ε) ≤ 1 (<1 nếu lồi đều); (δ 2) δx (ε) là liên tục và không giảm, δx (ε) là tăng chặt nếu và chỉ nếu X là lồi đều; (δ 3) δx (ε) ≤ δH (ε); (δ 4) nếu X là lồi đều, thì δx (ε) = δx (ε)/ε là không giảm. (ρ1) ρx (0) = 0, ρx (τ) ≤ τ; (ρ2) ρx (τ) là lồi, liên tục, không giảm; (ρ3) ρx (τ)/τ là không giảm; (ρ4) ρx (τ) > ρH (τ); (ρ5) ρx∗ (τ) = sup{τε/2 − δx (ε) : 0 ≤ ε ≤ 2}; (ρ6) ρx (τ) là tương đương với các hàm giảm, cụ thể là, tồn tại một hằng số c sao cho ρx (η)/η 2 ≤ cρx (τ)/τ 2 tuy nhiên η ≥ τ > 0. cho ϕ : R+ → R+ , ϕ(0) = 0, là liên tục, hàm tăng chặt. Ánh xạ Jϕ : X → 2X ∗ định nghĩa bởi Jϕ = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx ∗k kx k , kx ∗k = ϕ(kx k)}, được gọi là ánh xạ đối ngẫu với biến ϕ. Trong trường hợp riêng hàm ϕ(t) = t ký hiệu bởi J được gọi là các ánh xạ đối ngẫu. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của ánh xạ đối ngẫu được thành lập trong [5], tương ứng: (J1) J = I nếu và chỉ nếu X là không gian Hilbert; (J2) X là trơn đều nếu và chỉ nếu J và (Jϕ ) là giá trị đều duy nhất liên tục trên tập co bị chặn của X; (J3) J là toàn ánh nếu và chỉ nếu X là phản xạ; 11 (J4) Jϕ (λ x) = sign(λ )(ϕ |λ | kxk)/ kxk)Jx, λ ∈ R1 ; (J5) Jϕ (x) ⊂ ∂ φ (kxk), ở đây ∂ φ (kxk) là vi phân của φ (k.k) với x và φ được cho bởi Zt φ (t) = ϕ(s)ds. 0 Mặt khác, nếu X là phản xạ, thì Jϕ (x) = ∂ φ (kxk). Trong các mục sau, các ký hiệu J p là ánh xạ đối ngẫu với hàm φ (t) = t p−1 , j p là một ký hiệu tùy ý lựa chọn từ J p (nếu j p x ∈ J p x với mọi x ∈ X). Cho số thực tùy ý a và b ta luôn có a ∨ b = max(a, b), a ∧ b = min(a, b) và khi λ , µ ∈ [0; 1] , p, q ∈ (1, ∞) giả sử rằng 1 1 λ + µ = 1, + = 1. p q ∗ Cũng như vậy, cho một đa giá trị ánh xạ F : X → 2X , D(F), R(F), G(F), F −1 và sẽ ký hiệu là miền, biểu đồ, đồ thị, ánh xạ ngược, ở đây được định nghĩa bởi D(F) = {x ∈ X : Fx 6= φ }; R(F) = {x∗ ∈ X ∗ , x∗ ∈ Fx, x ∈ D(F)}; G(F) = { bx, x∗ c ∈ X × X ∗ : x ∈ D(F), x∗ ∈ Fx}; F −1 x∗ = {x ∈ D(F) : x∗ ∈ Fx}. 2.2 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach lồi đều Cho X là không gian Banach với mođun lồi δX (ε), số thực p > 1 tùy ý, và A = {φ : R+ → R+ : φ (0) = 0, φ (t) là tăng chặt và có hằng số K sao cho φ (t) ≥ KδX (t/2)}. Bây giờ chúng ta thiết lập các kết quả chính của phần này: 12 Định lý 2.1. Các tính chất sau là tương đương: (i) X là lồi đều; (ii) Tồn tại một hàm φ p ∈ A như sau  kx − yk j p x − j p y, x − y ≥ (kxk ∨ kyk) p φ p ( ); kxk ∨ kyk (2.5) (iii) Tồn tại một số thực a của φ p ∈ A như sau  kx + yk p ≥ kxk p + p j p x, j + σ p (x, y), sao cho x, y ∈ X, ở đây Z1 σ p (x, y) = p t kyk (kx + tyk ∨ kxk) p φ p( )dt; kx + tyk ∨ kyk t (2.6) 0 Để chứng minh định lý này chúng ta cần có các bổ đề sau: Bổ đề 2.1. Cho x, y ∈ S(X)và t ∈ (0, 1) cho ε = kx − yk 6= 0 thì kλ x + µtyk ≤ λ + µt − 2(λ ∧ µ)tδX (ε). Chứng minh. Giả sử rằng x và y là độc lập tuyến tính và ký hiệu E là không gian con sinh bởi các phần tử x, y và phần tử 0, thì phần tử λ x + µty thuộc E. Cho z là giao điểm của vectơ x − y và tia τ(λ x + µty), τ ≥ 0, trong không gian con E, thì tồn tại một số thực α và β như sau z = α(λ x + µty), α ≥ 0; (2.7) z = β x + (1 − β )(λ x + µy), 0 ≤ β ≤ 1, (2.8) từ x và y độc lập tuyến tính, ta có αλ = β + (1 − β )λ α µt = µ(1 − β ). Giải phương trình và tìm được α = (λ + µt)−1 ; β = (λ + µt)−1 λ (1 − t). Do đó từ (2.7) và (2.8), được kết quả 13 kλ x + µtyk = α −1 kzk = (λ + µt) kβ x + (1 − β )(λ x + µy)k ≤ (λ + µt)[β kxk + (1 − β ) kλ x + µyk ]. (2.9) Tiếp theo, xét hàm f (s, w) = s−1 (kx + swk − kxk), s > 0 là không giảm theo s và mỗi s và w cố định trong X. Do đó theo định nghĩa mođun lồi suy ra kλ x + µyk = 1 + µ[ kx + µ(y − x)k − kxk ]/µ 1 = 1 + µ f (µ, y − x) ≤ 1 + µ f ( , y − x) 2 1 = 1 − 2µ[1 − kx + yk ] ≤ 1 − 2µδx (ε), 2 ở đây µ ≤ 1 2 và tương tự, ta thu được 1 kλ x + µyk = 1 − 2λ δx (ε), λ ≤ . 2 Kết hợp với (2.9), ta có kλ x + µtyk ≤ (1 − t)λ + t[1 − 2(µ ∧ λ )δx (ε) = λ + µt − 2(µ ∧ λ )tδx (ε), suy ra bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.2. X là lồi đều khi và chỉ khi, với mỗi p ∈ (1, ∞) luôn tồn tại một hàm tăng chặt kλ x + µyk p + (kxk ∨ ky)k p δ p (λ , µ, kx − yk ) ≤ λ kxk p + µkyk p , kxk ∨ kyk (2.10) với mọi x, y ∈ X. Chứng minh. Ở đây (2.10) nói rằng, với mọi x, y ∈ S(X), kx − yk ≥ ε ta đặt λ =µ= 1 2 ta được x + y p 1 1 2 + δ p ( 2 , 2 , ε) ≤ 1. khi đó suy ra 1 1 δx (ε) ≥ 1 − [1 − δ p ( , , ε)]i/p > 0, 2 2 do đó, X là lồi đều. Ngược lại, giả sử rằng X là lồi đều. Chúng ta xét hàm δ p (λ , µ, .) như trong (2.10). Để chứng minh chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ p : [0, 1] × [0, 1] × R+ bởi (1) (2) δ p (λ , µ, ε) = min{ f p (λ , µ, ε), f p (λ , µ, ε)}, 14 (2.11)