Tài liệu Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến

Bài 8. Tiếp tuyến BÀI 8. TIẾP TUYẾN §8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG Cho đồ thị (C): y = f (x). Gọi M0, M là 2 điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó nếu cố định điểm M0 và cho điểm M chuyển động trên (C) đều M gần điểm M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến (M0 M) là tiếp tuyến (M0 T) tại điểm M0. M1 M2 lim ( M 0 M ) = TiÕp tuyÕn (M 0 T) M→M 0 M0 B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN I. BÀI TOÁN 1: 1. Bài toán: T Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm M0 ( x0 , y0 ) ∈(C). Viết PTTT của (C) tại điểm M 0 ( x0 , y 0 ) y (C): y=f(x) T 2. Phương pháp: f(x 0 )
Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra phương trình tiếp tuyến tại M 0 ( x0 , y 0 ) của (C) là: M0 O x0 x y − y 0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) ⇔ y = f ′ ( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) II. BÀI TOÁN 2: 1. Bài toán: Viết PTTT theo hệ số góc cho trước Cho (C): y = f (x) và số k ∈
. Viết PTTT của (C) có hệ số góc k. 2. Phương pháp: 2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm x1
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với x0 ... xi ... xn x (C): y = f (x) tại điểm có hoành độ xi ⇒ f ′ ( xi ) = k ⇒ xi là nghiệm của f ′ ( x ) = k
Giải phương trình f ′ ( x ) = k ⇒ nghiệm x∈{x 0, x1,… xi,… xn } PTTT tại x = xi là: y = k ( x − xi ) + f ( xi ) 71 Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi) Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình kx + m = f ( x ) có nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: ux 2 + v ( m ) x + w ( m ) = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = g ( m ) = v 2 ( m ) − 4u.w ( m ) = 0 . Giải phương trình g ( m ) = 0 ⇒ các giá trị của m ⇒ PTTT. c) Chú ý: Vì điều kiện ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C 2 ) : y = g ( x ) tiếp xúc nhau là hệ điều  f ( x ) = g ( x ) kiện  có nghiệm chứ không phải là điều kiện f ( x) = g ( x) có  f ′ ( x ) = g ′ ( x ) nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số f (x) mà phương trình tương giao kx + m = f ( x ) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2. 3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k a) Dạng trực tiếp: k = ±1, ±2,... ± 1 , ± 1 ,... ± 2, ± 3,... 2 3 b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tgα với α = {15°,30°, 45°, 60°, 75°,105°,120°,135°,150°,165°} (*) c) Tiếp tuyến  với đường thẳng (∆ ) : y = ax + b ⇒ k = a d) Tiếp tuyến ⊥với đường thẳng (∆ ) : y = ax + b ⇒ k = −1 với a ≠ 0 a e) Tiếp tuyến tạo với (∆ ) : y = ax + b góc α ⇒ k − a = tg α với α ∈ (*) 1 + ka III. BÀI TOÁN 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước 1. Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm A(a, b) cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, b) đến đồ thị ( C ) : y = f ( x ) 2. Phương pháp: 72 Bài 8. Tiếp tuyến 2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm: • Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a, b) tiếp xúc (C): y = f (x) tại tiếp điểm có (C): y=f(x) A(a,b) hoành độ xi suy ra PTTT có dạng: ( t ) : y = f ′ ( xi )( x − xi ) + f ( xi ) Do A ( a, b ) ∈ ( t ) nên b = f ′ ( xi )( a − xi ) + f ( xi ) ⇒ x = xi là nghiệm của phương trình b = f ′ ( x ) ( a − x ) + f ( x ) ⇔ f ′ ( x ) ( x − a ) + b − f ( x ) = 0 (*) Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x 0, x1,… xi,… xn }. Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: y = k ( x − xi ) + f ( xi ) • Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có PT y = k ( x − a ) + b tiếp xúc với đồ thị (C): y = f (x)  f ( x ) = k ( x − a ) + b ⇔ Hệ phương trình  có nghiệm  f ′ ( x ) = k ⇒ f ( x) = f ′ ( x) ( x − a) + b (C): y=f(x) A(a,b) ⇔ f ′ ( x ) ( x − a ) + b − f ( x ) = 0 (*) Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x 0, x1,… xi,… xn } Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: y = f ′ ( xi )( x − xi ) + f ( xi ) 2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi) • Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − a ) + b tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình k ( x − a ) + b = f ( x ) có nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: u ( k ) x 2 + v ( k ) x + w ( k ) = 0 có nghiệm kép ⇔ u ( k ) ≠ 0 và ∆ = g ( k ) = v 2 ( k ) − 4u ( k ) .w ( k ) = 0 u ( k ) ≠ 0 ⇔  (**) Hệ sinh ra hệ số góc  g ( k ) = α.k 2 + β.k + γ = 0 Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k. Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a, b). 73 Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương §8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ Bài 1. Cho hàm số (C m ) : y = f ( x ) = x 3 + 1 − m ( x + 1) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (C m) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8. Giải: y ′ ( x ) = 3x 2 − m . Gọi ( C m ) ∩ Oy ≡ A ⇒ x A = 0 ; y A = 1 − m ; y ′ ( 0 ) = −m Tiếp tuyến của (C m) tại A là: ( t ) : y = y ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + y ( 0 ) = −mx + 1 − m . ( ) Xét tương giao: ( t ) ∩ Oy ≡ A ( 0,1 − m ) ; ( t ) ∩ Ox ≡ B 1 − m , 0 m 2 ⇒ S ∆OAB = 1 OA.OB = 1 y A x B = 8 ⇔ 1 − m = 16 m 2 2 2   m − 2m + 1 = 16m  m 2 − 18m + 1 = 0   m = 9 ± 4 5 ⇔ ⇔ ⇔  m 2 − 2m + 1 = −16m  m 2 + 14m + 1 = 0  m = −7 ± 4 3 Bài 2. Cho ( C m ) : y = f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 . a. Tìm m để (C m) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b. Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. Giải: Đạo hàm: y ′ ( x ) = 3x 2 + 6 x + m  x = 0 ⇒ §iÓm C ( 0,1) a. ( Cm ) ∩ ( y = 1) : x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x ( x 2 + 3x + m) = 0 ⇔   g ( x ) = x 2 + 3x + m = 0 Yêu cầu bài toán ⇔ x D, x E là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x) = 0 9  ∆ = 9 − 4m > 0  m < ⇔  ⇔ 4 ⇔ 0 ≠ m < 9 (*) ⇒ xD + xE = m ; xD x E = −3 4  m ≠ 0  g ( 0 ) = m ≠ 0 b. Với điều kiện 0 ≠ m < 9 thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau 4 ⇔ −1 = y ′ ( x D ) y ′ ( x E ) = ( 3x D2 + 6 x D + m )( 3x E2 + 6 x E + m ) = 3 g ( x D ) − ( 3 x D + 2m )  3g ( x E ) − ( 3 x E + 2m )  = ( 3 x D + 2m )( 3 x E + 2m ) = 9 x D x E + 6m ( x D + x E ) + 4m 2 = 9m + 6m. ( −3) + 4m 2 = 4m 2 − 9m ⇔ 4m 2 − 9m + 1 = 0 ⇔ m = 74 9 ± 65 (thoả mãn điều kiện (*) ) 8 Bài 8. Tiếp tuyến Bài 3. Cho hàm số (C ) : y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2 ) ( a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A 23 , −2 đến (C) 9 b) Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến ⊥ nhau Giải: Đạo hàm: y ′ = 3x 2 − 6 x = 3x ( x − 2 ) ( ( ) ) Đường thẳng đi qua A 23 , −2 với hệ số góc k có phương trình y = k x − 23 − 2 9 9  f ( x ) = k x − 23 − 2  ( ) ( ) 9 tiếp xúc với C : y = f x ⇔ Hệ  có nghiệm  f ′ ( x ) = k ) ( ( ) ( ) ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) x − 23 − 2 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 2 = 3x ( x − 2 ) x − 23 − 2 9 9 ( ) ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − x − 2 ) = 3x ( x − 2 ) x − 23 ⇔ 2 ( x − 2 ) ( 3 x 2 − 10 x + 3) = 0 9 3 ( ( ( )( ) ) )  x = x = 2 ⇒ TiÕp tuyÕn t : y = y ′ ( 2 ) x − 23 − 2 ⇔ y = −2 ( 1) 1  9  23 − 2 ⇔ y = 9 x − 25 ⇔  x = x 2 = 3 ⇒ TiÕp tuyÕn ( t 2 ) : y = y ′ ( 3) x − 9   x = x = 1 ⇒ TiÕp tuyÕn ( t ) : y = y ′ 1 x − 23 − 2 ⇔ y = −5 x + 61 3 3  3 3 9 3 27 b) Lấy bất kì M(m, −2) ∈ đường thẳng y = −2 Đường thẳng đi qua M(m, −2) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − m) − 2  f ( x ) = k ( x − m ) − 2 có nghiệm tiếp xúc với ( C ) : y = f ( x ) ⇔ Hệ   f ′ ( x ) = k ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) ( x − m ) − 2 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 2 = 3x ( x − 2 ) ( x − m ) − 2 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − x − 2 ) = 3 x ( x − 2 ) ( x − m ) ⇔ ( x − 2 ) [ 2 x 2 − ( 3m − 1) x + 2] = 0  x = 2 ⇒ TiÕp tuyÕn ( t1 ) : y = y ′ ( 2 ) ( x − m ) − 2 ⇔ y = −2 ⇔   g ( x ) = 2 x 2 − ( 3m − 1) x + 2 = 0 Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y = −2 // Ox nên để từ M(m, −2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1, x2 vuông góc với nhau ⇒ ∆ g = ( 3m −1) −16 = ( 3m − 5)( 3m + 3) > 0 ⇔ m > 5 ∨ m < −1 (*) 3 2 75 Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương Khi đó: x1 + x2 = 3m − 1 ; x1 x2 = 1 ⇒ f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) = 3x1 ( x1 − 2) .3x2 ( x2 − 2) = −1 2 ⇔ 9 x1 x 2  x1 x 2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4  = −1 ⇔ 9 [1 − ( 3m − 1) + 4] = −1 ⇔ 54 − 27 m = −1 ( ) ⇔ m = 55 (thoả mãn (*) ). Vậy M 55 , −2 ∈ ( y = −2 ) thoả mãn yêu cầu. 27 27 Bài 4. Cho hàm số (C ) : y = f ( x ) = x 3 − 12 x + 12 Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải: Đạo hàm: y ′ = 3 x 2 − 12 Lấy bất kì M(m, −4) trên đường thẳng y = −4. Đường thẳng đi qua M(m, −4) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − m ) − 4 tiếp xúc với ( C ) : y = f ( x )  f ( x ) = k ( x − m ) − 4 ⇔ Hệ  có nghiệm ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) ( x − m ) − 4  f ′ ( x ) = k ⇔ x3 − 12x + 12 = ( 3x 2 − 12) ( x − m) − 4 ⇔ ( x − 2) ( x 2 + 2x − 8) = 3( x − 2)( x + 2)( x − m) ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x − 8 ) = ( x − 2 ) [3 x 2 + ( 6 − 3m ) x − 6m ] ⇔ ( x − 2) [ 2x 2 − ( 3m − 4) x − 2 ( 3m − 4)] = 0 . Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì g ( x ) = 2 x 2 − ( 3m − 4 ) x − 2 ( 3m − 4 ) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2  m < −4 ∆ = ( 3m − 4 ) 2 + 16 ( 3m − 4 ) > 0 3 ( 3m − 4 ) ( m + 4 ) > 0 ⇔  ⇔  ⇔ 4  0 nên g ( k ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt k1, k2 thoả mãn k1 k 2 = −1 . Từ đó suy ra từ A(1, −1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C). 2 Bài 13. Viết PT tiếp tuyến đi qua A(6, 4) đến (C): y = f ( x ) = x − 2 x + 1 x−2 Giải: Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc k có phương trình  f ( x ) = k ( x − 6 ) + 4 y = k ( x − 6 ) + 4 tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ  có nghiệm  f ′ ( x ) = k 2 ( x − 1) ( x − 3) ( ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) . ( x − 6) + 4 ⇔ x − 2 x + 1 = ⋅ x − 6) + 4 x−2 ( x − 2)2 81 Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương ⇔ … ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3. Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến. ( t1 ) : y = f ′ ( 0 ) ( x − 6 ) + 4 = 3 ( x − 6 ) + 4 ⇔ y = 3 x − 1 và 4 4 2 (t 2 ) : y = f ′ ( 3) ( x − 6 ) + 4 = 0 ⋅ ( x − 6 ) + 4 ⇔ y = 4 2 Bài 14. Cho họ (C m ) : y = f ( x ) = 2 x + mx + m và điểm A(0, 1). Tìm m để: x +1 1) Từ A không kẻ được tiếp tuyến nào đến (C m) 2) Từ A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) 3) Từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C m) 4) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (C m) 5) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ với nhau đến (C m) 6) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm) 7) Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C m) Giải: • Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1  f ( x ) = kx + 1 tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ  có nghiệm  f ′ ( x ) = k 2 2 ( x2 + 2x) x ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) .x + 1 ⇔ 2 x + mx + m = +1 x +1 ( x + 1) 2 ⇔ ( 2 x 2 + mx + m ) ( x + 1) = 2 x 2 ( x + 2 ) + ( x + 1) 2 ⇔ h ( x ) = ( m − 3) x 2 + 2 ( m − 1) x + ( m − 1) = 0 Với m = 3 thì h ( x ) = 4 x + 2 ⇒ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x = −1 2 1) Qua A(0, 1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 vô nghiệm ⇔ m ≠ 3 và ∆ ′h = 2 ( m − 1) < 0 ⇔ m < 1 2) Qua A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có nghiệm m = 3 ⇔  ⇔ m ≥1 m ≠ 3 và ∆′ = 2 ( m − 1) ≥ 0 3) Qua A(0, 1) kẻ được đúng 1 TT đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm ⇔ m = 3 m = 3 ⇔   m ≠ 3 và ∆ ′ = 2 ( m − 1) = 0 m = 1 82 Bài 8. Tiếp tuyến 4) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (C m) ⇔ h ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 3 và ∆ ′ = 2 ( m − 1) > 0 ⇔ 1 < m ≠ 3 5) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ đến đồ thị (C m) ⇔ h ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn f ′ ( x1 ) . f ′ ( x 2 ) = −1 ⇔ 1 < m ≠ 3 và 4 x1 x 2 ( x1 + 2 )( x2 + 2 ) = − ( x1 + 1) 2 ( x2 + 1) 2 2 ⇔ 1 < m ≠ 3 và 4 x1 x 2  x1 x2 + 2 ( x1 + x 2 ) + 4  +  x1 x 2 + ( x1 + x2 ) + 1 = 0 ⇔ 1 < m ≠ 3 và 4 ( m 2 − 10m + 10 ) ( m − 3) 2 = 0 ⇔ m = 5 ± 15 2 6) (C m ) : y = 2 x + mx + m = 2 x + m − 2 + 2 ⇒ TCX: y = 2x + m − 2 x +1 x +1 2x ( x + 2) 1 f ′ ( x ) = −1 ⇔ + = 0 ⇔ 5 x 2 + 10 x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ± 2 2 2 2 ( x + 1) 5 Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm) ⇔ h ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm là nghiệm của: f ′ ( x ) = −1 2 ⇔ 1 < m ≠ 3 và h  −1 − 2  h  −1 + 2  = 0 ⇔ 1 < m ≠ 3 và 5  5  ( 2m − 11 − 4 5 )( 2m − 11 + 4 5 ) = 0 ⇔ m= 11 ± 4 5 2 7) Do h ( x ) = 0 là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm phân biệt. Vậy từ A(0, 1) không thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm) ∀m. Bài 15. Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị 2 (C): y = f ( x ) = x − x + 1 x −1 2 1 Giải: • f ( x ) = x − x + 1 = x + 1 ⇒ f ′ ( x ) = 1 − . x −1 x −1 ( x − 1) 2 Lấy bất kì điểm A(0, a)∈Oy. Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có  f ( x ) = kx + a PT y = kx + a tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ  có nghiệm  f ′ ( x ) = k 83 Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 1 x+a ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) .x + a ⇔ x + 1 = 1 − x − 1  ( x − 1) 2  ⇔ x 1 + = a ⇔ 2 x − 12 = a ⇔ ax 2 − 2 ( a + 1) x + a + 1 = 0 (1) x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) Qua A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm  a = 0 và a + 1 ≠ 0 ⇔  ⇔ a ≥ −1  a ≠ 0 và ∆ ′ = a + 1 ≥ 0 2 Bài 16. Tìm trên Ox các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C ) : y = x + x − 3 x+2 2 1 Giải: • y = x + x − 3 = x − 1 − 1 ⇒ y ′ = 1 + . x+2 x+2 ( x + 2) 2 Lấy bất kì điểm A(a, 0)∈Ox. Đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có  f ( x ) = k ( x − a ) phương trình y = k ( x − a ) tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ  có nghiệm  f ′ ( x ) = k ⇒ f ( x) = f ′ ( x) ( x − a) ⇔ x − 1 − 1 − 1 + 1  ( x − a) = 0 x + 2  ( x + 2 ) 2  ⇔ 2 x − a +22 + 1 − a = 0 (1). Nếu a = −2 thì (1) ⇔ 2 + 3 = 0 ⇔ x = − 8 x+2 3 ( x + 2) Xét a ≠ −2, khi đó (1) ⇔ g ( x ) = (1 − a ) x 2 + 2 ( 3 − 2a ) x + ( 6 − 5a ) = 0 (2) Qua A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm a = 1 1 − a = 0 và 3 − 2a ≠ 0  ⇔  . ⇔ 2 a = −1 ± 13 ( ) 1 − a ≠ 0; ∆ ′g = − a + a − 3 = 0  2  −1 − 13   −1 + 13  Vậy từ 4 điểm A1 ( −2, 0 ) ; A2 (1, 0 ) ; A3  , 0  ; A4  , 0  ∈ Ox kẻ 2 2     được đúng 1 tiếp tuyến đến (C). 2 Bài 17. Cho đồ thị (C ) : y = 2 x − x + 1 . Chứng minh rằng: Trên đường thẳng x −1 (∆): y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45° . 84