Tài liệu Các bài toán chọn lọc về chóp tam giác

www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến ( BCD ) . Giải: ∆ABC vuông tại A Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: z D A ( 0; 0; 0 ) , B ( 3; 0; 0 ) , C ( 0; 4; 0 ) , D ( 0; 0; 4 ) Phương trình mặt phẳng ( ΒCD ) : x y z + + =1 3 4 4 ⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = 0 A Khoảng cách từ A đến ( BCD ) . d  A, ( BCD )  = −12 2 2 4 +3 +3 2 = C y 12 34 x B Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) . Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên ( ABC ) ⇒ Ο là trọng tâm ∆ABC Gọi I là trung điểm BC 3 a 3 a 3 a 3 = ⇒ OA = , OI = 2 2 3 6 a 3  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; 0 ) , A  ; 0; 0  , S ( 0; 0; h )  3    Ta có AI = BC www.MATHVN.com ( h, a > 0 ) 5 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com  a 3   a 3 a   a 3 a   a 3 a h  a 3 a h ⇒ I− ; 0; 0  , B  − ; ;0 , C − ;− ;0, M− ; ;  , N − ;− ;      12 4 2   12 6 6 2   6 2  4 2       







  ah 5a 2 3  ⇒ n( AMN ) =  AM, AN  =  ; 0;     4 24  




  a2 3  ⇒ n( SBC ) =  SB,SC  =  −ah; 0;     6  

 ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n( AMN ) .n( SBC) = 0 ⇒h= a 5 2 3 ⇒ S ∆AMN = 1 2 3






  AM, AN  = a 10   16 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy là ∆ABC vuông tại C, SA ⊥ ( ABC ) , CA = a, CB = b, SA = h .Gọi D là trung điểm AB. 1. Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD. 2. Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) . Giải: Trong ( ABC ) vẽ tia Ax ⊥ AC. Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A ( 0; 0; 0 ) , C ( 0; a; 0 ) , S ( 0; 0; h ) b a  ⇒ Β ( b; a; 0 ) , D  ; ; 0  2 2  6 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com 1. Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD.


 AC = ( 0;a; 0 )  Ta có: 

  b a  SD =  ; ; − h  2 2   




 ⇒ cos ϕ = AC.SD AC.SD = a a 2 + b 2 + 4h 2 2. Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) .






  BC,SD  BS ha   d ( BC,SD ) = =




  BC,SD  a 2 + 4h 2  







  AC,SD  AS   d ( AC,SD ) = =




  AC,SD    hb 2 b + 4h 2 Ví dụ 4: Cho ∆ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) tại A lấy điểm M. Gọi I là hình chiếu của trọng tâm G của ∆ABC trên ( BCM ) . 1. Chứng minh I là trực tâm ∆BCM. 2. GI cắt d tại N. Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc. 3. Chứng minh AM.AN không đổi khi M di động trên d. Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB. Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: a a 3  a a 3  A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) , M ( 0; 0; m ) , C  ; ;0 ⇒ G ; ;0 2 2      2 6  www.MATHVN.com 7 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 1. Chứng minh I là trực tâm ∆BCM.  BC ⊥ MA Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( GIA )  BC ⊥ GI z M ⇒ BC ⊥ AI Tương tự MC ⊥ BI ⇒ I là trực tâm ∆BCM 2. Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc.


 a Ta có: BC = − 1; − 3; 0 2 ( ) A


 ( 1 MC = a;a 3; −2m 2 y I ⇒ ( AMI ) : x − 3y = 0 G ) x B ⇒ ( BGI ) : ax + a 3y − 2mz − a 2 = 0 C N d  x − 3y = 0 GI = ( AMI ) ∩ ( BGI ) =  2 ax + a 3y − 2mz − a = 0  a2 a2  N ∈ d ⇒ N ( 0; 0; n ) và N ∈ GI ⇒ n = − ⇒ N  0; 0; −   2m 2m   ā


















 BC.MN = 0, BM.CN = 0, BN.BM = 0 Vậy BC ⊥ MN, BM ⊥ CN, BN ⊥ CM. Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. AC = 2OB , BC = 2OA . Vẽ OM ⊥ AC tại M, ON ⊥ BC tại N. 1. Chứng minh MN ⊥ OC. 2. Tính cos MON. 3. D là trung điểm AB. Chứng minh tan 4  OCD 4 tan OCA + MN = 1. AB Giải: OA 2 + OC2 = AC 2 Ta có:  ⇒ 4OB2 − OA 2 = 4OA 2 − OB2 ⇒ OA = OB 2 2 2 OB + OC = BC Đặt OA = a = OB ⇒ ΟC = a 3 ( Chọn trục hệ tọa độ Oxyz sao cho: O ( 0; 0; 0 ) , A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; a; 0 ) , C 0; 0; a 3 8 www.MATHVN.com ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 1. Chứng minh MN ⊥ OC.


 ( AC = −a 1; 0; − 3 ) Phương trình tham số của AC : x = a + t  ( t ∈  ) ⇒ Μ a + t; 0; − 3t y = 0   z = − 3t (






 OM ⊥ AC ⇒ OM.AC = 0 ⇔ t = − ) a 4  3a a 3 


 ⇒ M  ; 0;  , BC = −a 0;1; − 3  4 4   Phương trình tham số của x = 0  BC :  y = a + t ( t ∈  )   z = − 3t ( ( ⇒ Ν 0; a + t ; − 3t ) )





 ON ⊥ BC = ON.BC = 0 ⇒ t = −






  3a a 3  a ⇒ N  0; ;  ⇒ MN.OC = 0 ⇒ MN ⊥ OC  4 4  4 






 OM.ON 1 2. Tính cos MON : cos MON = = OM.ON 4 4 3. D là trung điểm AB. Chứng minh tan OCD 4 + tan OCA MN = 1. AB Đặt β =  OCD, α =  OCA,OC ⊥ ( OAB ) ⇒ OC ⊥ OD  OD 4  tan β = OC' a 2 1 tan 4 β  OD  1 OD = AB = ,⇒  ⇒ =  = 4 O A 2 2 OA 4 tan α    tan α =  OC 3a 2 MN 3 tan 4 β MN = 4 = ⇒ + =1 AB 4 a 2 tan 4 α AB Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có cạnh đáy là a đường cao SH = h. Mặt phẳng ( α ) qua AB và ( α ) ⊥ SC. 1. Tìm điều kiện của h để ( α ) cắt cạnh SC tại K. Tính diện tích ∆ABK. 2. Tính h theo a để ( α ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. www.MATHVN.com 9 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng tỏ khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Hy ⊥ HA. a 3  Chọn hệ trục tọa độ Hxyz sao cho: H ( 0; 0; 0 ) , A  ; 0; 0  , S ( 0; 0; h )  3     a 3 a   a 3 −a  ⇒ B − ; ;0 , C − ; ;0  6 2   6 2   1. Tìm điều kiện của h để ( α ) cắt z S cạnh SC tại K. Tính diện tích ∆ABK.

 1 Ta có: SC = − a 3 ; 3a; 6h 6 ( K ) ⇒ ( α ) : a 3x + 3ay + 6hz − a 2 = 0 C B Phương trình tham số của x = a 3t  SC :  y = 3at (t ∈  ). z = h + 6ht  SC ∩ ( α ) ⇒ t = H I Ò −6 h 2 + a 2 2 x A 2 12a + 36h  a 3 3 − 6 3ah 2 3a 3 − 18ah 2 18a 2 h ⇒ K ; ;  12a 2 + 36h 2 12a 2 + 36h 2 12a 2 + 36h 2  K ∈ SC ⇔ zC < zK < zS ⇔ 0 < 18a 2 h 2 12a + 36h 2     a 6 Cách 1: S ∆ABK = 1 





  3a 2 h AB,AK =  2  4 a 2 + 3h 2 Cách 2: a 3 a  Gọi I là trung điểm AB ⇒ I  ; ; 0  ⇒ IK ⊥ SC, IK ⊥ AB  12 4   



 SC,SI  3ah 1 3a 2 h   IK = = ⇒ S ∆ABK = IK.AB = SC 2 2 a 2 + 3h 2 4 a 2 + 3h 2 2. Tính h 10 www.MATHVN.com y Nguyễn Phú Khánh (α) www.MATHVN.com chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau khi K là trung điểm của SC. 3a 2 a 2 + 12h 2 2 = ⇔h=a 4 12 3 Khi đó: ∆CAB = ∆SAB ⇒ SA = SB = a ⇒ IC = IS ⇔ 2a 2 a 2 + ⇒ SC = a 3 3 ⇒ Chóp SABC đều. Vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp của SABC trùng nhau. SC2 = SH2 + CH 2 = Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong ( P ) lấy điểm C, trong ( Q ) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD và d  A, ( BCD )  theo a. Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A ( 0; 0; 0 ) , B ( 0; a; 0 ) , C ( 0; 0; a ) , D ( a; a; 0 ) Phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2αx − 2βy − 2 γz = 0 a 2 = 2βa  B, C, D ∈ S ⇒ a 2 = 2 γa  2 2a = 2αa + 2β a  a α = 2  a a 3  ⇒ β = ⇒ R = 2 2  a  γ = 2 






 n( BCD ) =  BC, BD  = a 2 ( 0;1;1)   ⇒ ( BCD ) : y + z − a = 0 ⇒ d  A, ( BCD )  = a z ā C A Δ B y x 2 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN. www.MATHVN.com 11 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 1: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Trên đường thẳng vuông góc ( ABC ) tại A lấy điểm S sao cho SA = 3a. AD là đường cao tam giác ∆ABC. E, F là trung điểm của SB, SC. H là hình chiếu của A trên EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin góc CP giữa hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) . 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. Bài tập 2: Cho tứ diện SABC. ∆ABC vuông tại A có AC = a, BC = a 3 , SB = a 2 , SB ⊥ ( ABC ) . Qua B vẽ BH ⊥ SA, BK ⊥ SC ( H ∈ SA, K ∈ SC ) . 1. Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) . 2. Tính diện tích ∆BHK. 3. Tính góc giữa ( ASC ) và ( SCB ) Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu của O trên ( ABC ) . 1. Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn. 2. Chứng minh H là trực tâm ∆ABC. 1 1 1 1 3. Chứng minh = + + . 2 2 2 OH OA OB OC2 4. Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa các mặt phẳng ( OAB ) , ( OBC ) , ( OAC ) với mặt ā phẳng ( ABC ) . Chứng minh rằng cos 2 α + cos2 β + cos 2 γ = 1. Bài tập 4: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và đôi một vuông góc. OH ⊥ ( ABC ) tại H. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là hình chiếu của H lên các mặt ( OBC ) , ( OAC ) , ( OAB ) . 1. Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 . 2. Gọi S là điểm đối xứng H qua O. Chứng minh tứ diện SABC đều. 3. Chứng minh OH không vuông góc ( A1 B1C1 ) . Bài tập 5: Cho tứ diện OABC và OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = a 2 , OC = c ( a,c > 0 ) . Gọi D là đỉnh đối diện O của hình chữ nhật OADB, M là trung điểm BC mặt phẳng ( α ) qua A và M cắt ( OCD ) theo đường thẳng vuông góc AM. 1. Gọi E là giao điểm ( α ) với OC. Tính OE. 2. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) . 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( α ) và chóp C.OADB. 12 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. OA = a, OB = b, OC = c. 1. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp ( S ) của OABC. Tính bán kính r của ( S ) . 2. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh rằng góc giữa ( NOM ) của ( OMP ) là vuông khi và chỉ khi 1 = 1 + 1 . a b c2 Bài tập 7: Trên 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một lấy các điểm A, B, C sao 2 2 cho OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H, G là trực tâm, trọng tâm ∆ABC. 1. Tính OH, OG và S ∆ABC theo a, b, c. 2. Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn và a 2 tan A = b 2 tan B = c 2 tan C. Bài tập 8: Cho ∆ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) tại A lấy điểm S,SA = h. 1. Tính d  A, ( SBC )  theo a và h. 2. Đường thẳng ∆ ⊥ ( SBC ) tại trực tâm H của ∆SBC, chứng tỏ ∆ luôn đi qua điểm cố định khi S di động trên d. 3. ∆ cắt d tại S'. Tính h theo a để SS' nhỏ nhất. Bài tập 11: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân tại B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 2 . Gọi D là trung điểm của AC. ) 1. Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) . 2. Mặt phẳng ( α ) qua A và vuông góc SC, ( α ) cắt SC và SB tại M và N. - Chứng minh ∆AMN là thiết diện giữa ( α ) và tứ diện SABC. - Tính thể tích hình chóp SAMN. 3. Tính cosin góc ϕ giữa mặt phẳng ( ASC ) và ( SCB ) Bài tập 15: Cho ∆ABC đều có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm của AH. Trên đường thẳng vuông góc với ( ABC ) tại O lấy điểm S sao cho OS = 2a. ( BSA ) và ( SAC ) lấy điểm I. Đặt OI = m ( 0 < m < a ) . Mặt phẳng ( α ) 1. Tính góc cosin ϕ góc giữa 2. Trên đoạn OH qua I vuông góc với AH cắt các cạnh AB, AC, SC, SB tại M, N, P, Q. - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x. - Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. Bài tập 20: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân tại B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a. AH ⊥ SB tại H, AK ⊥ SC tại K. 1. Chứng minh rằng HK ⊥ SC. www.MATHVN.com 13 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com 2. Gọi I = HK ∩ BC. Chứng minh rằng B là trung điểm của CI. 3. Tính sin góc ϕ giữa SB và ( AHK ) . 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC. Bài tập 21: Trong mặt phẳng ( α ) có góc vuông  xOy. M, N lần lượt di động trên cạnh Ox, Oy sao cho OM + ON = a. Trên đường thẳng vuông góc với ( α ) tại O lấy điểm S sao cho OS=a. 1. Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn nhất. 2. Khi thể tích SOMN lớn nhất, hãy tính: - d O, ( SMN )  . - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN. 3. Khi M, N dị động sao cho OM + ON = a chứng minh  OSM +  OSN + MSN = 90°. VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) , C ( 0; 2a; 0 ) , a 3a   3a  S ( 0; 0; 3a ) , E  ; 0;  , F  0; a;  2   2  2 1. Chứng minh H là trung điểm của SD.

  a  a Ta có: FE =  ; −a; 0  = ( 1; −2; 0 ) 2   2 z S ) Phương trình tham số của  x = t  FE :  y = a − 2t ( t ∈  ) .  3a z =  2


  3a  H ∈ FE ⇒ AH =  t; a − 2t;  2  




 FE ⊥ AH ⇒ t =





 2a  2a a 3a  ⇒ H ; ;  , 5  5 5 2  SH.BC = 0 ⇒ SH ⊥ BC F H E A C y D B x SD ⊥ BC ( BC ⊥ AD, BC ⊥ SA ) Mà  ⇒ H ∈ SD ⇒ H là trung điểm của SD do EF là SH ⊥ BC  4a 2a  đường trung bình trong ∆SBC ⇒ D  ; ; 0  .  5 5  14 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 2. Tính cosin góc CP giữa hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) . Ta có BC ⊥ ( SAD ) ⇒ FE ⊥ ( SAD ) do FE song song với BC





 ( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD ( 4; 2;15 )( 2;1; 0 )  2 ⇒ cosϕ= cos AD, AH ⇔ cosϕ = =  7 SAD ∩ AEF = AH ) ( ) 16 + 4 + 224 4 + 1 + 0 ( 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. ) ( Ta có VASEF = 1 6 3








 1 3  AS, AE  .AF = a , V ASBC = AS.AB.AC = a   4 6 Vậy VA.BCEF = VASBC − VASEF = Chú ý: S ∆SEF = 3a 3 4 1 1 a3 S ∆SBC ⇒ VASEF = VASBC = 4 4 4 Bài tập 2: Trong ( ABC ) , vẽ Bx ⊥ BA. Ta có: AB = BC 2 − AC 2 = a 2 ⇒ ∆BAS vuông cân tại B ⇒ H là trung điểm của SA. Chọn hệ trục tọa độ  a 2 a 2 Bxyz: B ( 0; 0; 0 ) , A 0; a 2 ; 0 , S 0; 0; a 2 , C a; a 2; 0 , H  0; ;   2 2   1. Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) . z (

 ) ( ( Ta có: SC = a 1; 2; − 2 ) ( ) ) ) S Phương trình tham số của x = t  SC :  y = 2 t (t ∈  )  z = a 2 − 2t ( ⇒ K t; 2t; a 2 − 2t H K )




 BK ⊥ SC ⇔ BK.SC = 0 ⇔ t = 2 5 A B y  2a 2 2a 3a 2  ⇒ K ; ;   5 5 5  




 BH.SC = 0 ⇒ ΒΗ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) x 2. Tính diện tích ∆BHK : S ∆BHK = 1 2 C 2





  BH, BK  = a 13   10 www.MATHVN.com 15 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh




 SC ⊥ HK   3. Ta có SC ⊥ ( BHK ) ⇒  ⇒ BKH = KB,KH SC ⊥ KB









 KB.KH  3 ⇒ cos KB,KH = = KB.KH 5 6 ( ( ) ) Bài tập 3: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O ( 0; 0; 0 ) , A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) . 1. Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn. z





 Ta có AB.AC = a 2 > 0 ⇒  BAC là góc nhọn C Tương tự  ABC,  ACB là góc nhọn Vậy ∆ABC có ba góc nhọn. 2. Chứng minh H là trực tâm ∆ABC. Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) là H x y z + + = 1 ⇔ bcx + acy + abz − abc = 0 a b c

 O OH ⊥ ( ABC ) ⇒ u OH = n ( ABC ) = ( bc; ac; ab ) Phương trình tham số của  x = bct  OH :  y = act ( t ∈  ) .  z = abt  B D A ) x Thay x, y, z vào phương trình ( ABC ) ta được: (b c 2 2 ) + a 2 c 2 + a 2 b 2 t = abc ⇒ t = abc 2 2 b c + a 2 c2 + a 2 b2   ab2 c 2 a 2 bc 2 a 2 b2 c ⇒ H ; ;   a 2 b2 + a 2 c 2 + b2 c 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 a 2 b2 + a 2 c 2 + b2 c 2    


 a2 −ab2 − ac 2 ; bc 2 ; b 2 c AH = 2 2 2 2 2 2  a b +a c +b c ⇒


 b2  BH = ac 2 ; −a 2 b − bc 2 ; a 2 c  a 2 b2 + a 2 c 2 + b2 c 2 





 AH.BC = 0  AH ⊥ BC ⇒ 





 ⇒ ⇒ H là trực tâm ∆ABC.  BH.AC = 0  BH ⊥ AC 1 1 1 1 3. Chứng minh = + + . 2 2 2 OH OA OB OC2 −abc 1 a 2 b2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 OH = d  O, ( ABC )  = ⇒ = OH 2 a 2 b2 c 2 a 2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2 16 ( ) ( ) www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Mà 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + OA 2 OB2 OC2 a 2 b2 1 1 1 1 ⇒ = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2 1 = c2 b2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b2 a 2 b2 c 2 4. Chứng minh rằng cos 2 α + cos 2 β + cos2 γ = 1. 
 
  Nhận xét: cos α = cos ( OAB ) , ( ABC )  = cos  n( OAB ) , n( ABC )      




 Gọi Gọi n = n( ABC ) = ( bc; ac; ab ) , n1 = n( OAB ) = k = ( 0; 0;1) ,

 

  n 2 = n ( OBC ) = i = ( 1; 0; 0 ) , n 3 = n ( OAC ) = j = ( 0;1; 0 )

  (

  ) (

  ) ( ⇒ cos 2 α + cos 2 β + cos2 γ = cos2 n1 ,n + cos2 n 2 , n + cos2 n 3 , n = a 2 b2 b2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 + b2 c 2 b2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b2 + a2c2 b2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b2 ) =1 Vậy cos 2 α + cos 2 β + cos2 γ = 1. Bài tập 4: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; 0 ) , A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; a; 0 ) , C ( 0; 0; a ) 1. Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 . z Do OA = OB = OC nên OABC là hình chóp tam giác đều đỉnh O. OH ⊥ ( ABC ) tại H ⇒ H là C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H  ; ;   3 3 3 a a  HC1 ⊥ ( AOB ) ⇒ C1  ; ; 0  3 3  H  a a a a A1 =  0; ;  , B1  ; 0;  3  3 3 3 y O B


  a  ⇒ HA1 =  − ; 0; 0  ,  3  C1  a 


  a HB1 =  0; − ; 0  , HC1 =  0; 0; −  3 3    S


 a3 ⇒ VHA B C = 1 1 1 162 2. Chứng minh tứ diện SABC đều. x A Ta có AB = AC = BC = a 2 www.MATHVN.com 17 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 2 2 2  a a a  4a   a   a  O là trung điểm SH ⇒ S  − ; − ; −  ⇒ SA =   +   +   = a 2 3 3 3    3   3 3 Tương tự SB = SC = a 2 ⇒ SA = SB = SC = AB = AC = BC = a 2 Vậy tứ diện SABC đều. 3. Chứng minh OH không vuông góc ( A1 B1C1 ) .




  a a 




  a









  a 2 a 2  a A1 B1 =  ; − ; 0  , A1C1 =  ; 0; −  ⇒  A1 B1 , A1C1  =  ; ; 0    9 9  3  3 3  3  


  a a a 












 Mà OH =  ; ;  ⇒  A1 B1 , A1C1  / / OH  3 3 3  Vậy OH ⊥ ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:  a 2 c O ( 0; 0; 0 ) , A ( a; 0; 0 ) , B 0; a 2; 0 , C ( 0; 0; c ) ⇒ M  0; ;   2 2   1. Tính OE. z Gọi I là tâm C OADB, G = CI ∩ AM ⇒ G là ( ) trọng tâm ∆ABC a a 2 c ⇒ G ; ;  3 3 3   E ∈ OC ⇒ E ( 0; 0; e ) ) M E G Ta có: ( α ) ∩ ( OCD ) = EG






 ⇒ ΟΕ = K O ⇒ EG.AM = 0 c  c ⇒ e = ⇒ Ε  0; 0;  3 3  A c 3 B I x D 2. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) .







 a n( α ) =  AM,EG  = − c 2; −c; 3a 2 ⇒ ( α ) : c 2x − cy + 3a 2z − ac 2 = 0   6 ( ⇒ d C , ( α )  = ) 2ac 2 18a 2 + 3c 2 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( α ) và chóp C.OADB. Trong ( OCD ) gọi K = EG ∩ CD ⇒ Thiết diện là tứ giác AKME 18 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Do CE CG 2 = = nên: EG / /OD ⇒ EK / /OD ⇒ G là trung điểm EK CO CI 3 ⇒ S AKME = 2S ∆AEM = EG.AM = a 3 6a 2 + c 2 . 3 2 Bài tập 6: Trọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O ( 0; 0; 0 ) , A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) 1. Tính bán kính r của ( S ) . z VIOAB + VIOBC + VIOCA + VIABC = VOABC C r abc + S ∆OBC + S ∆OCA + S ∆ABC ) = (S 3 ∆OAB 6 1 2 2 S ∆ABC = a b + b2 c 2 + a 2 c 2 2 r 2 2 2 2 2 2  abc  ab + bc + ca + a b + b c + a c  = 6 6  abc r= ab + bc + ca + a 2 b2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 2.  b c a c a b  Ta có: M  0; ;  , N  ; 0;  , P  ; ; 0  2 2 2   2 2 2







  bc ac ab  n( OMN ) =  OM,ON  =  ; ; −  ,    4 4 4 







  bc ac ab  n( OMP ) = OM,OP  =  − ; ; −     4 4 4 

 Giả thiết, suy ra n( OMN ) .n( OMP ) = 0 ⇔ − M N O B P ) A x 1 1 1 b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 = + + + =0 ⇔ 2 2 16 16 16 a b c2 Bài tập 7: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O ( 0; 0; 0 ) , A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) www.MATHVN.com 19 y Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com z 1. Tính OH, OG và S ∆ABC theo C a, b, c. a b c 1 2 G  ; ;  ⇒ OG = a + b2 + c 2 3  3 3 3 1 2 2 a b + b2 c 2 + c 2 a 2 S= 2 AB ⊥ CH Ta có:  AB ⊥ OC H O ⇒ AB ⊥ ( OCH ) ⇒ ΑΒ ⊥ ΟΗ B Tương tự: AC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH = d O, ( ABC )  ( ABC ) : bcx + acy + abz − abc = 0 x ⇒ OH = A abc 2 2 a b + b2 c 2 + a 2 c 2 2. Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn và a 2 tan A = b 2 tan B = c 2 tan C.











 ) AB.AC 2 Ta có: AB.AC = ( −a; b; 0 )( −a; 0; c ) = a > 0 ⇒ cos A = > 0 ⇒ A nhọn. AB.AC Tương tự B, C nhọn.  2S ∆ABC sin A = 2S  AB.AC





 ⇒ tan A =


∆ABC Ta có: 


 ⇒ a 2 tan A = 2S ∆ABC AB.AC cos A = AB.AC  AB.AC Tương tự cho b2 tan B = c 2 tan C. Bài tập 8: Gọi I là trung điểm AB. Trong ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Ta có: CI = a 3 2 a a 3  Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) , S ( 0; 0; h ) ⇒ C  ; ;0 2 2    20 www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh z S A D I H x y C B 1. Tính d  A, ( SBC )  theo a và h. ( ) Gọi D = BC ∩ Ay ⇒ D 0; a 3; 0 ⇒ ( SBC ) ≡ ( SBD ) ah 3 ⇒ ( SBC ) : h 3x + hy + a 3z − ah 3 = 0 ⇒ d  A, ( SBC )  = 3a 2 + 4h 2. Chứng tỏ ∆ luôn đi qua điểm cố định khi ) S di động trên d. Gọi ( α ) ≡ ( S, ∆ ) , ( β ) ≡ ( B, ∆ ) Ta có: ( α ) ⊥ BC, ( β ) ⊥ SC ( SH ⊥ BC, ∆ ⊥ BC, BH ⊥ SC, ∆ ⊥ SC )




 1 a 1; − 3; 0 , SC = a;a 3; −2h ⇒ ( α ) : x − 3y = 0, ( β ) : a ( x − a ) + a 3y − 2hz = 0 2 2 x − 3y = 0 ⇒ (∆) :  a ( x − a ) + a 3y − 2hz = 0 ∆ qua điểm cố định khi h thay đổi.  a x = 2 x − 3y = 0   a a  a  ⇔ z = 0 ⇔ y = ⇒ ∆ qua G  ; ; 0  cố định 2 3 2 2 3    x − 3y = a z = 0   3. Tính h theo a để SS' nhỏ nhất. BC = − ( ) ( ) Ta có: S' ∈ d ⇒ S' ( 0; 0; s' ) ,S' ∈ ∆ ⇒ −2hs'− a 2 = 0 ⇒ s' = − www.MATHVN.com a2 2h 21 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh  a2  a2 a2 ⇒ S'  0; 0; − ≤2 h =a 2  ⇒ SS' = h +  2h  2h 2h  ⇒ SS'min = a 2 ⇔ h = a2 a ⇔h= 2h 2 Bài tập 11: Trong mặt phẳng ( ABC ) , vẽ Ay ⊥ AB. ( Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) , C ( a; a; 0 ) , S 0; 0; a 2 ) a a  ⇒ D ; ;0 2 2  1. Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) .

 (  BS = −a 1; 0; − 2  Ta có: 


  BC = a ( 0;1; 0 ) d  A, ( SBC )  = −a 2 3 = )
 ⇒ n( SBC ) = ( ) 2 ; 0; 1 ⇒ ( SBC ) : 2x + z − a 2 = 0 a 6 , d  D, ( SBC )  = 3 a 2 −a 2 2 = a 6 6 3 Vậy, khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) . 2.

 ( )
 ( ) ) Ta có: SC = a 1;1; − 2 ⇒ n α = 1;1; − 2 ⇒ ( α ) : x + y − 2z = 0 x = a + t


  Phương trình tham số của SB :  y = 0 ( t ∈  ) qua B và u = BS.  z = − 2 t a a a 2   2a a a 2 ⇒ a + t + 2t = 0 ⇒ t = − ⇒ N  ; 0;  ⇒ M là trung điểm SC ⇒ M  ; ;   3 2 2 2  3 3     - Chứng minh ∆AMN là thiết diện giữa ( α ) và tứ diện SABC.





  2a 2a 2  a a 2 2a 2 < 0 ⇒ Ν thuộc cạnh SB và M Ta có NS.NB =  − ; 0;  ; 0; − =−  3  3 3  3  3  trung điểm cạnh SC Vậy ∆AMN là thiết diện giữa ( α ) và tứ diện SABC. - Tính thể tích hình chóp SAMN. VSAMN = 22 1 6 3









       AS, AM  .AN = 1  0; 0; a 2 ,  a ; a ; a 2    2a ; 0; a 2  = a 2  2 2 2   3   6  3  18    ( ) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 3. Tính cosin góc ϕ giữa mặt phẳng ( ASC ) và ( SCB )















  AM ⊥ SC MA.MN 3 Ta có ( AMN ) ⊥ SC ⇒  ⇒ ϕ = MA,MN ⇒ cos ϕ = = MA.MN 3 MN ⊥ SC ) ( Bài tập 15: Gọi D là trung điểm AB ⇒ OD ⊥ OH AH = a 3 4a 1 a ⇒ BC = ⇒ ΟD = BC = 2 4 3 3  a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O ( 0; 0; 0 ) , D  ; 0; 0  , H ( 0; a; 0 ) , S ( 0; 0; 2a )  3   2a   2a  ⇒ A ( 0; −a; 0 ) , B  ; a; 0  , C  − ; a; 0  3  3    1. Tính góc cosin ϕ góc giữa z ( BSA ) và ( SAC ) S Vẽ BE ⊥ SA tại E ⇒ CE ⊥ SA ⇒ ϕ =  BEC

 P SA = ( 0; a; 2a ) = a ( 0;1; 2 ) Phương trình tham số của x = 0  SA :  y = −a + t ( t ∈  ) . z = 2t  E φ N Q O A Phương trình mặt phẳng ( BCE ) : y − a + 2z = 0 ⇒ −2a + t + 4t = 0 ⇒ t = C ) I x 2a 5 H y D M B 

  2a 8a 4a  ; ;−  EB = 



 5   3a 4a   7  3 5 ⇒ E  0; − ;  ⇒  ⇒ cos ϕ = cos EB,EC =

 5 5 17   2a 8a 4a    EC =  − ; ;−   5  3 5   2. - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x. ) (


 Ta có I ( 0; m; 0 ) , OH = a ( 0;1; 0 ) ⇒ ( MNPQ ) : y − m = 0


 AB = (1; 3 2a )


 3; 0 , AC = − (1; − 3 2a )

 3; 0 , SB = ( 2; 3 a )

 3; −2 3 , SC = − www.MATHVN.com a 3 ( 2; − 3; 2 3 23 ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh x = t  a+m  Phương trình tham số của AB :  y = −a + 3t ( t ∈  ) ⇒ M  ; m; 0   3  z = 0  x = t   −a − m  Phương trình tham số của AC :  y = −a − 3t ( t ∈  ) ⇒ N  ; m; 0  3   z = 0  x = 2t   2m  Phương trình tham số của SB :  y = 3t ( t ∈  ) ⇒ Q  ; m; 2a − 2m   3   z = 2a − 2 3t  x = 2t    Phương trình tham số của SC :  y = − 3t ( t ∈  ) ⇒ P  − 2m ; m; 2a − 2m  3     z = 2a + 2 3t







 1






 2 −3m 2 + 2am + a 2 S MNPQ =  MQ,MP + MQ,MN  =   2 3 ) ( ( ) ( ) - Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. Cách 1: Bảng xét dấu: ) m a 3 −∞ −3m 2 + 2am + a 2 − +∞ 4a 2 3 −∞ ⇒ S MNPQ ≤ 8a 3 3 2 ( −∞ 2 Vậy SMNPQ ) max = 38a 3 khi m = a 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 2 S MNPQ (   a   (a − m ) +  m +   3   a 8a 2  = 2 3 (a − m )  m +  ≤ 2 3  =   3 2 3 3      ⇒ SMNPQ 24 2 ) max = 38a 3 ⇔ a − m = m + a3 ⇔ m = a3 www.MATHVN.com