Tài liệu Các bài giảng về tổ hợp_công thức khai triển nhị thức newton

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn n  a  b n   Ckn an  k bk , n   . k 0 2. Tam giác Pa-xcan n Từ công thức ta thấy Ckn là hệ số của an  k bk trong khai triển  a  b  . Như vậy, với mỗi n   cố định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là Cn0 , C1n , …, Cnn . Ta xếp các hệ số của các lũy thừa vào một bảng sao cho n +) dòng n là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển  a  b  , +) cột k là hệ số của lũy thừa an  k bk , ta được một tam giác. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal. C00 C10 C11 C02 C12 C22 C03 C13 C23 C33     C0n  Ckn C0n  1    .  Ckn  1  C0n Cnk  1 Cnk 11  Cnn  1 Cnn  11       Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới ( Ckn  Ckn  1  Ckn 11 ). Hơn nữa, ta thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1 . Từ các nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan. 1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 5 Ví dụ. Xét khai triển  a  b  . Viết 6 dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 1 . 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 5 Vậy  a  b   a5  5a4b  10a3b 2  10a 2b 5  5ab 4  a5 . 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau. 1) S1  Cn0  C1n  Cn2  ...  Cnn , n 2) S 2  Cn0  C1n  Cn2  ...   1 Cnn . Giải n 1) Ta có S1   k0 S2   Cnk 1n  k1k  1  1 n  2n . k  1   1   0n  0 . k 0 n 2) Ta có n Cnk    1  k k 0 Cnk  n  Cnk 1n  k  1 n k0 Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho a  b  1 . Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho a  1 , b  1 . Ví dụ 2. Rút gọn S  1 1 1 1    . 0!2012! 1!2011! k !n  k  ! 2012!0! Giải 2012 Ta có S  1 k !  2012  k  ! k0  2012  2012!S 2012 2012!     Ckn k !  2012  k  ! k  0 k 0 2012  2012  Ckn 12012 k1k  1  1  22012 . k0 3 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84  S 22012 . 2012! Ví dụ 3. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 5 2n  1 S 2  C12n  C32n  C2n  ...  C2n . 2 2n S1  C02n  C2n  C42n  ...  C2n , Giải 2n Ta có  S1  S 2  2n  Ck2n 12n k1k  1  1 Ck2n  k 0 2n  22n . k 0 2n 2n k 0 k 0 k k   1 Ck2n   Ck2n 12n k  1  1   1  S1  S 2  1 2n  02n  0 .  2  S1  S 2 . 2n Từ  1  ,  2  suy ra S1  S 2  2  22n  1 . 2 Ví dụ 4. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức S  C02n  C12n  C22n  ...  Cn2n . Giải Áp dụng công thức Ckn  Cnn  k ta có 2n  1 2n  2 2n S  C2n  ...  Cn2n  Cn2n  Cn2n1  Cn2n 2  ...  C2n 2n  C 2n  C 2n 2n  2S   Ck2n  k0 2n  Ck2n 12n  k1k  1  1 2n  22n k 0 2n  S  2  22n 1 . 2 Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: n 1) S1  Cn0  2C1n  22 Cn2  ...   1 2n Cnn . 2 n 2) S 2  1n Cn0  n21 C1n  n2 2 Cn2  ...   1 2n Cnn . 3 3 3 Giải n 1) S1    2  k0 k Cnk  n  Cnk 1n  k  2  k n n  1   2     1 . k 0 4 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 n 2) S 2   Cnk  13  k 0 nk  2 k   13   2   n  3  5 n   1  n 5 n . 3  5 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B. Bài tập Bài 1. Giải phương trình Cxx  1  Cxx  2  Cxx  3    Cxx  8  Cxx  9  Cxx 10  1023 . Bài 2. Tính k S  42010.C02010  42009.C12010  42008.C22010     1 42010  k .Ck2010    C2010 2010 . 2004 2004 Bài 3. Chứng minh C02004  22 C22004  24 C42004    22002 C2002 C2004  2004  2 32004  1 . 2 3 5 2n 1 Bài 4. Tìm số nguyên dương n sao cho C12n  C2n  C2n    C2n  2048 . Bài 5. Rút gọn 1) S  2n Cn0  2n  2 Cn2  2n  4 Cn4    Cnn ( n là số nguyên dương chẵn). 2) S  2n 1 C1n  2n  3 Cn3  2n  3 C5n    Cnn ( n là số nguyên dương lẻ). 6 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Loại 2. Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát A. Nội dung phương pháp Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây. * kCkn  k n! k ! n  k  !  n.  n 1 !  nCkn 11 .  k  1 ! n 1   k 1  ! Tương tự ta cũng có k  k  1 Ckn  n  n  1 Ckn  22 , … . * k 1 Cn Ck  n  1 ! n  1 n! 1  .  1 k  1 k  1 k ! n  k  ! n  1  k  1 ! n  1   k  1  ! n 1   Tương tự ta cũng có Ck n  k  1 k  2  k2 Cn 2 ,  n  1 n  2   . …. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 2 3 n n 1) S1  Cn0  C1n  2 Cn2  2 Cn3  ...   1 2 Cnn . 3 4 n 1 2) S 2  n1.2 Cn2  n2.3 Cn3  n3.4 Cn4  ...   1  2  3  4 3 3 3 n  n  1 nCnn . Giải n 1) S1   k 0  2  k k 1 Cnk . Với mọi k  0 , 1 , 2 , …, n , ta có 1 Ck k 1 n   1 . n! k  1 k ! n  k  ! S1  1 n 1  1 n 1  1 . n 1 n   2   n 1 !  1 Ckn 11 .   k  1 ! n  1  k  1 !        n  1 k Ckn 11 k 0 n 1   2  h 1 Chn  1 ( h  k  1 ) h 1   1 n 1 n 1   2 h Chn  1 h 1   n 1  h   1    Chn  11n  1 h  2    1 n 1      h  0   7 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84    Vậy S1    1 n  1 n 1 n 2) S 2   k2 n 1 1   2   1 n 1  1n  1 n 1 . .   1 k k  k  1  3n  k Cnk . Với mọi k  2 , 3 , 4 , …, n ta có: k  k  1 Ckn  k  k  1 . n! k ! n  k  !  n  n  1 . n 2!  k  2 ! n  2    n  k   !  n  n  1 Ckn  22 . 8 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 C. Bài tập Bài 6. Tính 2009 2008 2009  k 2009 0 1) S  C02010C2010  C12010C2009    Ck2010C2010  k    C2010C1 . 2 2 2 2) [ĐHB2003] Cn0  2 1 C1n  2 1 Cn2    2 1 Cnn . 2 n 1 3 Bài 7. Với n là số nguyên dương, rút gọn 1) S  C1n  2Cn2     n  1 Cnn 1  nCnn . 2) S  Cn0  2C1n    nCnn 1   n  1 Cnn . n 3) S  2.1Cn2  3.2Cn3    n  n  1  1 Cnn . 4) S  3.2C0n  4.3C1n    n  3  n  2  Cnn . C1 C2 Cn 5) S  Cn0  n  n   n . 2 3 n1 C1 C2 Cn 6) S  2n Cn0  2n 1 n  2n  2 n    n . 2 3 n1 Bài 8. Chứng minh 2001 2000 2001 k 2001 0 2002 1) C02002C2002  C12002C2001    Ck2002C2002 .  k    C2002 C1  1001.2 2) C1n 3n  1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n  3    nCnn  n4n  1 ( n nguyên dương). 2 3) C02n  2C12n  3C2n  4C32n  ...   2n  1 C2n 2n  0 ( n nguyên dương). 3 2n 1 C12n C2n C52n C2n 22n  1 4) [ĐHA07]    ...   ( n nguyên dương). 2 4 6 2n 2n  1 2 C02n C12n C2n Cn2n 22n  1  1 5)    ...   ( n nguyên dương). 3 6 9 3n  3 3n  3 Bài 9. [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n sao cho 2n  1 C12n  1  2.2C22n 1  3.22 C32n  1  4.23 C42n  1  ...   2n  1 .22n C2n  1  2005 . ĐS: 1002 . 9 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Loại 3. Các bài toán về hệ số của lũy thừa trong khai triển A. Một số ví dụ 7   Ví dụ 1. [ĐHD04] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 x  1  , với x  0 . 4x   Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 7 k 28  7k 7  7  7 k  3    k k 3 1 1 12    x   C x  C x   7 7  4  4x      x   k  0  k  0      .   28  7k hệ số của x 12 trong khai triển là Ck7 . Ta có 28  7k  0  k  4  số hạng không chứa x trong khai triển là C47  35 . 12 Ví dụ 2. [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  Cn3 . Tìm số hạng chứa x5 n  2 1   , x  0. trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  nx  14 x  Giải * Ta có 5Cnn 1  Cn3  5  5n  n  n 1 n  2  6  n 1 n  2  6 (do n nguyên dương)  n 2  3n  28  0  n  7  thoûa maõn    .  n  4  loaïi  7 k 7  7   17  k Ck  7 k   2   2 7 x3k  7  .    * n  7   x2  x1    Ck7  x2  x1     2k   k  0  k  0     hệ số của x 3k  7 trong khai triển là  17  k Ck7 2k .  13 C47 35 Ta 3k  7  5  k  4  hệ số của x5 trong khai triển là   16 4 . 2 10 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển là  35 x5 . 16 Ví dụ 3. [ĐHD07] Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của 5 10 P  x  1  2x   x 2  1  3x  . Giải Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của P là tổng các hệ số của x5 trong các khai triển 5 10 P1  x  1  2x  và P2  x 2 1  3x  . 5 Hệ số của x5 trong khai triển P1 là hệ số của x4 trong khai triển  1  2x  . 10 Hệ số của x5 trong khai triển P2 là hệ số của x 3 trong khai triển  1  3x  . Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có : k k k 0 k 0  1  2x 5   Ck5 15 k  2x k      2 k Ck5 xk  4  hệ số của x4 trong khai triển này là  2  C45  80  1  . 10  1  3x  10   k0 Ck 15  k  3x k    5  10 k k x    3k C10 k 0 3  hệ số của x 3 trong khai triển này là 33 C10  3240  1  . Từ  1  ,  2  suy ra hệ số của x5 trong khai triển P là 80  3240  3320 . 8 Ví dụ 4. [ĐHA04] Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1  x 2  1  x   .   11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 8 1  x 2  1  x      8 8 k  k 8k  2 k   C8 1  x 1  x      Ck8 x 2k 1  x   1 . k 0 k 0 k Trong khai triển Pk  x 2k  1  x  lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là x 2k và x 3k . Do đó muốn trong khai triển Pk có chứa x8 thì 2k  8  3k  8  k  4  k   3;4 . 3 3   +) P3  x6  1  x   x6 1  3x  3x2  x 3  x6  3x7  3x 8  x9  hệ số của x8 trong khai triển P3 là 3 . 4   +) P4  x8  1  x   x8 1  4x  6x2  4x3  x4  x8  4x9  6x10  4x11  x12 .  hệ số của x8 trong khai triển P4 là 1 . Vậy hệ số của x8 trong khai triển ban đầu là 3C38  C48  238 . 9 Ví dụ 5. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức  3x  2  . Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 9 9 k0 k 0  3x  2 9   Ck9  3x k 29  k     3k .29  k .Ck9 xk  .  hệ số của xk trong khai triển là ak  3k .29  k .Ck9 ( k  0,1, ..., 9 ). a Với mọi k  0,1, ..., 8 , xét tỷ số T  k 1 . a k Ta có T  T1  1 3k  1.28  k .Ck 9 3k .29  k .Ck 9 3 9  k  2 k  1  k ! 9  k  ! 9! . 2  k 1 ! 8  k  ! 9!  3.  3 9  k  2 k  1 .  1  k  5  k  0;1;2;3;4;5 , dấu bằng xảy ra  k  5 . Từ đó suy ra: a0  a1  a 2  a 3  a4  a5  a6  a7  a8  a9 . Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là x5 và x6 . n Ví dụ 6. Tìm n để đa thức  x  2  chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là x10 . Giải 12 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có  x  2 n n    Ckn xk 2n  k  k 0 n   2n k Ckn xk  . k 0  hệ số của xk trong khai triển là ak  2n  k Ckn ( k  0,1, ...,n ). a Với mọi k  0,1, ..., n  1 , xét tỷ số Tk  k  1 . ak Ta có Tk  1 k ! n  k  ! 2n  k  1 Ck n n!  1. .  n k . n  k k 2 n! k  1 ! n  k  1 ! 2  k  1     2 Cn Lũy thừa có hệ số cao nhất là x10 nên  a10  1  n9  1  a9 T9  1  n  29  n  30  20 a9  a10  a11           . 10 n  32  n  31 T10  1 1  a11  1  n 22  a10 Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. 13 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B. Bài tập 18  1  Bài 1. [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2x  , với x  0 . 5  x   n Bài 2. [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong đa thức  2  x  , biết n 3n Cn0  3n 1 C1n  3n  2 Cn2      1  Cnn  2048 . n  1  Bài 3. [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển   x5  biết rằng 3 x  8 Cnn  14  Cnn  3  7  n  3  . n Bài 4. [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa x 26  1  trong khai triển   x7  , biết rằng  x4  2 n 20 C12n  1  C2n  1    C2n  1  2  1 . 2 3 20 Bài 5. Tìm hệ số của x15 trong đa thức  1  x   2  1  x   3  1  x   ...  20  1  x  . Bài 6. [ĐHA08] Giả sử  1  2x n  a0  a1x  a 2x 2  ...  an xn . Biết rằng a a a a0  1  2  ...  n  212 . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a 2 , ..., an . 2 22 2n Bài 7. [ĐHD03] Gọi a 3n  3 là hệ số của x3n  3 trong khai triển thành đa thức của  x2  1  n  x  2n . Tìm n để a3n  3  26n . n Bài 8. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức  1  x  có hai lũy thừa liên tiếp có tỷ số các hệ số bằng 7 . 5 n Bài 9. Khai triển biểu thức  1  2x  ta được đa thức có dạng a0  a1x  a 2 x2    an xn . Tìm hệ số của x5 biết a0  a1  a 2  71 . 14 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 C. Đáp số Bài 1 6528 . Bài 2 22 . Bài 3 495 . Bài 4 210 . Bài 5 400995 . Bài 6 a8 . Bài 7 5 . Bài 8 21 . Bài 9 672 . 15