PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014
Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)
Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung........................................................................1
§1. Các phương trình lượng giác cơ bản ........................................................................................... 1
§2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .................................................................................. 14
Chủ đề 2. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ ...............23
§1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản ................................................................................................. 23
§2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos ........................................................... 31
§3. Phép đặt ẩn phụ t tan
x
......................................................................................................... 39
2
§4. Phép đặt ẩn phụ t = tanx............................................................................................................ 43
Chủ đề 3. Phương trình tích ...............................................................................45
Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung
§1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình cơ bản đối với sin
y
Xét phương trình
(1)
sin x m .
Điều kiện có nghiệm: m 1;1 .
1
y=sinx
m
-
π
2
O
arcsinm
Công thức nghiệm: Với mọi m 1;1 , ta có
x arcsin m 2k
(1)
( k ).
x arcsin m 2k
x
π
2
-1
Hình 1
Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn ; của phương trình (1) (
2 2
với mỗi m 1;1 , giá trị arcsin m luôn tồn tại duy nhất.
Hình 1). Ta thấy
2. Phương trình cơ bản đối với cos
y
Xét phương trình
cos x m .
1
(2)
Điều kiện có nghiệm: m 1;1 .
y=cosx
m
π
2
O
π
x
arccosm
Công thức nghiệm: Với mọi m 1;1 ,
ta có
(2) x arccos m 2k ( k ).
-1
Hình 2
Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình (2) (Hình 2). Ta thấy với mỗi
m 1;1 , giá trị arccos m luôn tồn tại duy nhất.
3. Phương trình cơ bản đối với tan
1
y
y=tanx
Xét phương trình
tan x m .
Với mọi m , (3) có nghiệm và
(3)
m
(3) x arctan m k ( k ).
-
π
2
O
π
2
x
π
x
arctanm
Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng ; của
2 2
phương trình (3) (Hình 3). Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m
luôn tồn tại duy nhất.
Hình 3
4. Phương trình cơ bản đối với cot
y
y=cotx
Xét phương trình
cot x m .
(4)
m
Với mọi m , (4) có nghiệm và
(4) x arctan m k ( k ).
π
2
O
arccotm
Trong đó, arc cot m là nghiệm thuộc khoảng 0; của phương
trình (4) (
Hình 4).
Ta thấy với mỗi m , giá trị arc cot m luôn tồn tại duy nhất.
Hình 4
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản
2
f x g x 2k
sin f x sin g x
( k );
f
x
g
x
2
k
cos f x cos g x f x g x 2k ( k );
f x g x k
tan f x tan g x
( k );
f x k
2
f x g x k
cot f x cot g x
( k ).
f x k
6. Một số chú ý
Phương trình cot x m với m 0 thường được giải bằng cách quy về phương trình cơ
bản đối với tan , cụ thể:
cot x 0 x k .
2
Với m 0 :
1
1
cot x m tan x x arctan k .
m
m
Các giá trị arcsin m , arccos m , arctan m cos thể được tính bằng máy tính cầm tay. Tuy
nhiên, có một số trường hợp đặc biệt dưới đây
Xét phương trình sin x 0 . Nếu áp dụng công thức nghiệm đã cho, thì phương
trình tương đương với
x arcsin 0 2k
x 2k
x arcsin 0 2k x 2k x k .
Vậy sin x 0 x k .
Một số trường hợp tương tự:
sin x 1 x
cos x 0 x
k ; sin x 1 x k ;
2
2
k ; cos x 1 x 2k ; cos x 1 x 2k .
2
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
1
a) sin 2 x .
2
b) cos 4 x 1
3
.
2
3
c) tan 4 x 2 3 .
3
1
d) cot 3x 1
.
3
e) sin 2 x sin 3x 0 .
f) sin 2 x sin 3x 0 .
g) cos 4 x cos 5 x 0 .
h) cos 4 x cos 5 x 0 .
i) sin 3 x cos 5 x 0 .
Giải.
2 x 6 2k
x 12 k
a) PT
( k ).
2 x 7 2k
x 7 k
6
12
b)
c)
d)
e)
f)
5
1 5 k
4 x 1 6 2k
x 4 24 2
PT
( k ).
4 x 1 5 2 k
x 1 5 k
6
4 24 2
Chú ý rằng arctan 2 3 , do đó
12
k
PT 4 x k x
( k ).
3 12
16 4
1 k
PT tan 3x 1 3 3 x 1 k x
( k ).
3
3 9 3
x 2k
3 x 2 x 2k
PT sin 3x sin 2 x
( k ).
x 2k
3
x
2
x
2
k
5
3 x 2 x 2k
PT sin 3x sin 2 x sin 3 x sin 2 x
( k ).
x x 2k
5
5
x 2k
5 x 4 x 2k
g) PT cos 5 x cos 4 x
( k ).
x 2 k
5
x
4
x
2
k
9
9
h) Ta có
4
PT cos 5 x cos 4 x cos 5 x cos 4 x
2k
5 x 4 x 2k
x
9
9 ( k ).
5 x 4 x 2k
x 2k
i) Ta có
PT cos 5 x sin 3 x cos 5 x cos 3 x
2
5 x 3 x 2 2k
x 4 k
(k ).
5 x 3 x 2k
x k
2
16 4
Ví dụ 2. Giải phương trình
a) [ĐHB13] sin 5 x 2 cos2 x 1 .
b) cos 2 x 3cosx 4 cos3 x .
7
c) sin 2 x cos 2
x 1
4
2
Giải.
a) Ta có
PT sin 5 x 1 2 cos2 x sin 5 x cos2 x sin 5 x sin 2 x
2
2 k
x 6 3
5 x 2 x 2 2 k
(k ).
x 3 2 k
5 x 3 2 x 2k
2
14
7
b) Ta có
PT cos 2 x 3cos x 4 cos 3 x 0 cos 2 x cos 3x 0 cos 3x cos 2 x
2k
3 x 2 x 2k
x
cos 3x cos 2 x
5
5 (k ).
3 x 2 x 2 k
x 2k
c) Ta có
5
1
1
7
PT sin 2 x cos 2
x 1 1 cos 2 x 1 cos 7 2 x 1
4
2
2 2
2
cos 2 x cos 7 2 x 0 sin 2 x cos 2 x 0 sin 2 x cos 2 x.
2
Ta thấy cos 2 x 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cuối cũng cho
cos 2x , ta được phương trình tương đương
k
tan 2 x 1 2 x k x
( k ).
4
8 2
Ví dụ 3. Giải các phương trình
a) sin 2 x cos2 2 x 1 .
b) cos2 x sin 2 x 1 .
Giải.
a) Ta có
cos 2 x cos x
.
PT cos 2 2 x 1 sin 2 x cos 2 2 x cos 2 x
cos 2 x cos x
x 2k
2 x x 2k
2k
cos 2 x cos x
x
.
2
k
x
3
2 x x 2k
3
2k
( 2k k
k ).
3
2 k
x
2 x x 2k
cos 2 x cos x cos 2 x cos x
3
3 .
2 x x 2k
x 2k
2k
2k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x
, x
, x 2k ( k ).
3
3
3
b) Ta có
PT cos2 x 1 sin 2 x .
2
Chú ý rằng 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2sin x cos x sin x cos x . Do đó, phương trình nói
trên tương đương với
cos x sin x cos x
sin x 2 cos x
2
cos 2 x sin x cos x
cos x sin x cos x
sin x 0
tan x 2
x arctan 2 k
( k ).
sin x 0
x k
Ví dụ 4. Giải các phương trình
6
5x
x
cos .
2
2
b) sin 4 x sin 7 x cos 3 x cos 6 x .
c) 4sin x sin 2 x sin 3 x cos 4 x sin 4 x sin 6 x cos 2 x 0 .
Giải.
a) sin 3x sin
a) Ta có
1
sin 3 x sin 2 x sin 3 x sin 2 x
2
x 2k
3 x 2 x 2k
(k ).
x 2k
3
x
2
x
2
k
5
5
PT sin 3x
b) Ta có
1
1
cos11x cos 3 x cos 9 x cos 3 x cos11x cos 9 x
2
2
k
x 20 10
11x 9 x 2k
cos11x cos 9 x
( k ).
11x 9 x 2k
x k
2
PT
c) Ta có
4sin x sin 2 x sin 3 x 2 cos 3x cos x sin 3 x
2sin 3 x cos 3x 2 sin 3 xcos x .
sin 6 x sin 4 x sin 2 x
Do đó
PT sin 6 x sin 4 x sin 2 x sin 4 x sin 6 x cos 2 x 0
sin 2 x cos 2 x 0 sin 2 x cos 2 x
tan 2 x 1 2 x
k
k x
( k ).
4
8 2
Ví dụ 5. Giải các phương trình
a) sin 3x 1 cos 4 x cos 3x sin 4 x .
b) cos 3x sin 2 x cos 2 x sin 3 x sin 2 x cos 2 x 0 .
Giải.
7
a) Ta có
PT cos 3 x sin 4 x sin 3 x cos 4 x sin 3x sin 7 x sin 3 x
k
x
7 x 3 x 2k
2
(k ).
7
x
3
x
2
k
x k
10 5
b) Ta có
PT sin 2 x cos 3 x cos 2 x sin 3x cos 3 x cos 2 x sin 3x sin 2 x 0
sin 5 x cos 5 x 0 sin 5 x cos 5 x
k
tan 5 x 1 5 x k x
4
20 5
(k ).
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
2 cos 2 x 1
a)
0.
2 sin x 1
b)
1
sin x .
8cos 2 x
Giải.
x 2k
1
6
a) Điều kiện: 2sin x 1 0 sin x
.
5
2
x
2k
6
(1)
Ta có
PT 2 cos 2 x 1 0 cos 2 x
1
2
2 x 3 2k
x 6 k
.
2 x 2k
x k
3
6
(2)
8
y
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (2) trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm điều kiện
(2) (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của
phương trình là là:
7
x
2k , x 2k ( k ).
6
6
b) Điều kiện: cos x 0 x
sin x 0
Ta có PT 1
2
8cos 2 x sin x
π
+2kπ
6
5π
+2kπ
6
-1
O
1
x
-π
+2kπ
6
7π
+2kπ
6
-1
k .
2
(1)
(2)
(3)
.
(3) 8sin 2 x cos 2 x 1 2 sin 2 2 x 1 cos 4 x 0 4 x
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (4) trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
trong hai điều kiện (1), (2) (điểm được khoanh trắng), ta
được các họ nghiệm của phương trình là:
k
k x
(4)
2
8 4
y
5π
+2kπ
8
1
7π
+2kπ
8
3π
+2kπ
8
π
+2kπ
8
-1
3
5
7
2k ,
2k ,
2k ,
2k ( k )
8
8
8
8
O
1
x
-π
+2kπ
8
-7π
+2kπ
8
-5π
+2kπ
8
Chú ý. Khi biểu diễn họ x
1
-1
-3π
+2kπ
8
2k
( k , n * , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác
n
ta được:
Một điểm trong trường hợp n 1 .
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 . Hai điểm này là các điểm
2k
biểu diễn giá trị
với k 0 , 1 .
2
9
n điểm tạo thành n đỉnh của một đa giác đều n cạnh trong trường hợp n 3 . n điểm
2k
này là các điểm biểu diễn giá trị
với k 0 , 1 , …, n 1 .
n
-1
y
y
y
1
1
1
O
1
x
-1
-1
O
1
x
-1
O
-1
n2
n3
1
x
-1
n4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a) tan x cot x 4 .
sin 2 x cos 2 x
b)
2 .
cos x
sin x
x
c) [ĐHB06] cot x sin x 1 tan x tan 4 .
2
Giải.
sin x 0
k
a) Điều kiện:
.
sin 2 x 0 x k x
2
cos x 0
Ta có tan x cot x
sin x cos x sin 2 x cos 2 x
1
1
2
.
cos x sin x
sin x cos x
sin x cos x 2sin x cos x sin 2 x
Do đó
2
1
4 sin 2 x (thỏa mãn điều kiện)
sin 2 x
2
2 x 6 2k
x 12 k
( k ).
2 x 5 2k
x 5 k
6
12
PT
sin x 0
k
b) Điều kiện:
.
sin 2 x 0 x k x
2
cos x 0
sin 2 x cos 2 x cos 2 x cos x sin 2 x sin x
cos x
1
Ta có
.
cos x
sin x
cos x sin x
cos x sin x sin x
Do đó
10
PT
1
1
2 sin x (thỏa mãn điều kiện)
sin x
2
x 6 2k
( k ).
x 5 2k
6
sin x 0
k
c) Điều kiện: cos x 0 sin 2 x x
.
2
x
cos 0
2
Ta có
x
x
x
x
cos
x
cos
sin
x
sin
cos
x
2
2
2
2 1
1 tan x tan 1
x
x
x cos x
2
cos x cos
cos x cos
cos x cos
.
2
2
2
x
cos x sin x cos 2 x sin 2 x
2
cot x sin x 1 tan x tan cot x tan x
.
2
sin x cos x
sin x cos x
sin 2 x
sin x sin
.
Do đó
PT
2
1
4 sin 2 x (thỏa mãn điều kiện)
sin 2 x
2
2 x 6 2k
x 12 k
( k ).
2 x 5 2k
x 5 k
6
12
C. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau
k .
10
a) sin 5 x 1 .
ĐS: x
3
b) cos 2 x
.
2
2
ĐS: x
c) sin 5 x sin 7 x 0 .
ĐS: x k , x
2
k , x k .
3
6
k
.
12 6
11
k
k , x
4
24 6
k
ĐS: x
.
21 7
k
k
ĐS: x
, x
.
6
8
ĐS: x
d) sin 2 x cos 7 x 0 .
e) cos 2 7 x
f)
1
.
4
cos2 x cos 2 7 x 0 .
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) sin x 3 cos x 0 .
b)
ĐS:
3 sin x cos x 0 .
c) sin x cos x
ĐS:
1
.
4
d) sin x cos x cos 2 x
ĐS:
1
.
8
ĐS:
e) 4sin x cos x cos 2 x sin 3x 0 .
ĐS:
f) sin 3x cos 2 x sin 2 x cos x .
ĐS:
g) cos x 4 cos 2 x 3 cos
x
0.
2
ĐS:
h) 2sin x 4sin 3 x 3sin x sin 2 x 0 ;
ĐS:
i) sin x sin 2 x cos x cos 2 x 0 .
ĐS:
j) sin x sin 2 x cos x cos 2 x 0 .
ĐS:
Bài 3. Giải các phương trình sau:
cos x cos 7 x
a)
sin 2 x .
cos 6 x
4
k .
6
5
k ,
k .
12
6
k 5 k
,
.
24 2 24 2
2k
x
, 2k .
7
k
.
k ,
8 4
4k 4k
,
.
5
7
k
, k .
k ,
8 2 4
2k
.
2k ,
6
3
2k
.
2k ,
6
3
ĐS: k ,
b)
1
1
2
.
sin x cos x sin 2 x
ĐS:
c)
1
1
2
.
sin x cos x sin 2 x
ĐS:
d) sin 2 x 1 tan 2 x tan x 1 .
k .
3
k
.
5
7
2k ,
2k .
12
12
7
2k ,
2k .
12
12
k
ĐS:
.
8 2
12
e) sin 2 x tan x 1 sin 2 x tan 2 x .
2 3 cos x 2 sin
f)
2
x
2 4
1.
2 cos x 1
cos 2 x 1
g) tan x 3tan 2 x
.
cos 2 x
2
ĐS:
4
2k .
3
ĐS: x k .
ĐS:
k
4
13
§2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x có dạng:
A sin x B cos x C ,
(1)
trong đó, A2 B 2 0 .
2. Cách giải
Chia hai vế của (1) cho
A2 B 2 , ta được phương trình tương đương:
A
2
A B
2
B
sin x
2
A B
2
cos x
C
2
A B2
.
A
cos
2
A
B
A B2
Vì
1
nên
tồn
tại
0;
2
để:
.
2
2
2
2
B
A B A B
sin
A2 B 2
2
2
Do đó, (1) được đưa về dạng cơ bản như sau:
(1) sin x cos cos x sin
C
2
A B
2
sin x
C
2
A B2
.
3. Một số chú ý
Điều kiện có nghiệm: Từ cách giải trên suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình (1):
(1) có nghiệm A2 B 2 C 2 0 .
B
cos
2
A B2
Nếu chọn 0; 2 để:
thì (1) cos x
A
sin
A2 B 2
A
cos
2
A B2
Nếu chọn 0; 2 để:
thì (1) sin x
B
sin
A2 B 2
C
A2 B 2
.
C
A2 B 2
.
14
B
cos
2
A B2
Nếu chọn 0; 2 để:
thì (1) cos x
A
sin
A2 B 2
C
A2 B 2
.
Trong từng trường hợp, việc chọn phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
4. Một số công thức hay sử dụng
sin x cos x 2 sin x 2 cos x ;
4
4
3
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
;
sin x 3 cos x 2sin x 2cos x ;
3
6
5
sin x 3 cos x 2 sin x 2 cos x
;
3
6
3 sin x cos x 2sin x 2cos x ;
6
3
2
3 sin x cos x 2sin x 2cos x
.
6
3
5. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S
A1 sin x B1 cos x C1
.
A2 sin x B2 cos x C2
Cách giải: Ta tìm tập giá trị của S , tức là tìm m để phương trình sau đây có nghiệm
A1 sin x B1 cos x C1
m .
A2 sin x B2 cos x C2
(2)
Ta có
A mA2 sin x B1 mB2 cos x C1 mC1
(2) 1
A2 sin x B2 cos x C2 0
(3)
(4)
.
15
Áp dụng điều kiện có nghiệm với phương trình (3), kiểm tra điều kiện (4) để loại bớt những giá
trị của m . Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S .
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
a)
3 sin x cos x 1 0 .
b) sin x 3 cos x 1 0 .
c) 3sin x 4 cosx 6 .
Giải.
a) Ta có
PT
3
2
12 2 , chia hai vế của phương trình cho 2 , ta được
3
1
1
sin x cos x sin x cos cos x sin sin
2
2
2
6
6
6
.
x 2k
x
2
k
6
6
sin x sin
(k ).
3
6
6
7
x
2k
x 2k
6
6
b) Ta có
1
3
1
PT sin x
cos x sin x cos cos x sin sin sin x sin
2
2
2
3
3
6
3
6
x 3 6 2k
x 2 2k
(k ).
x 5 2k
x 7 2k
3
6
6
c) Đặt A 3 , B 4 , C 6 . Ta có A2 B 2 C 2 11 0 . Suy ra phương trình vô
nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình
a) cos x sin x cos x 1 0 .
2
x
x
b) [ĐHD07] sin cos 3 cos x 2 .
2
2
c) 3 sin x cos x 4 sin 3 x cos3 x 1 0 .
Giải.
a) Ta có
16
- Xem thêm -
.PDF 
59 
364 
111 
