Tài liệu Các bài giảng về phương trình lượng giác

r N guyền V ũ L ư ơ n g (C hú biên) P h ạ m V ăn H ù n g , N g u y ễn N g ọ c T h ắ n g C Á C BÀI GIÁNG VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG G IÁ C NHÀ XUẤT BÁN CÍÀO DỤC 62-2005/C X B /l 9-1684/X B G D /G D M ã số: PTK 6 4 B5 MỚĐẨU Trong môn T oán, khá nảng liếp thu kiến ihức và vận dụng k iế n thức, sự thông m inh, tính sá n s tạo của học sinh dược đánh giá thống q u a việc giải các bài tăp. N h ờ việc giài các bài tập mà học sinh rút ra được các phương pháp giài, các phép biến đổi hay hoặc nhận dạng nhanh các dạng bài tập. T u y nhiên quá trình nhận thức đó đòi hỏi nhiều thời gian và phụ thuộc n h iểu vào níinỉí lực của các em. Chính vì vậy việc hệ ihống các phương pháp giải, phân loại các dạng bài tập theo nội dung kiến thức, thống k ẽ các phép biến dổi hay là việc rất cần thiết và cũng chính là m ục đích củ a cuốn sách này. Khi dọc cuốn sách này c á c bạn nên đọc kĩ các ví d ụ m inh hoạ đ ể hiểu rõ phương pháp và tự giải các bài tập trướe khi đ ọ c lời giải. Trong lời giải của một sổ bài tẠp các tác giã chi dẫn tới c á c phương trình lượng giác cơ bản, phán cò n lại dành cho bạn đọ c giải q u y ết tiếp. Nội dung cùa cuốn sách dược c h ia thành các chương sau: C h ư ơ n g I. M ộ t s ỏ kiên th ứ c cơ h á n về phư ơ ng t r i n h lư ợ n g giác Trong chương này giới thiệu các phương trình lượng giác c ơ bản, các bước giải m ột phư ư ng trình lượng giác và các phương pháp giải phương trình lượng giác. C h ư ơ n g II. M ột s ỏ d ạ n g p h ư ơ n g tr ìn h lượng giác th ư ờ n g g ậ p Trong chương n à y giới thiệu m ột sô' dạng phương trình lượng giác thường gặp và q u e n thuộc. Việc phân loại chi tiết các d ạn g phương trình này giúp các bạn d ễ dàng nhận dạng phương trình cùng với cách giãi đơn giản củ a nó. C h ư ơ n g U I. S ử d u n g c ô n g th ứ c lư ợng giác đ ể giíii m ộ t s ò d ạ n g p h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iác Trong chương này, dựa trổn dạc điểm cúa các công thức lượng giác chúng ta xủy d ự n g các phép biến đổi cụ thể, không thê’ thiếu được khi giải một sỏ' dạng phương trình. Các dạng phương trình trong chương này được sắp xếp v à phân loại theo các phép biến đổi đó. C h ư ơ n g IV . S ử d ụ n g c á c p h é p b iế n đổi đ ại s ố đ ế giải m ộ t s ô d ạ n g p h ư ư n g t r ì n h lư ợ n g giác Khi giải m ộ t sô' d ạn g phương trình ta cán có sự kết hợp giữa c á c công thức lượng giác và các h ằn g đảng Ihức đại sỏ' thì việc sử dụng các hàng dẳng thức đại sô lại là bước quyết định. Trong chương này tác g iả phân 4 loại một sô’ dạng phương trình lượng giác theo các hàng đ ản g thức hay các phép biến đổi đại s ố đ ể học sinh dẻ nhận ra cách giải phương trình. C h ư ư n g V. S ử d ụ n g c á c b ắ t đ ẳ n g th ứ c đ e giải m ột s ỏ (lạn g p h ư ơ n g tr ìn h lư ợng giác Trong chương này tác g iả sử dụng các bất đảng thức đại số, lượng giác cơ bàn đ ể giải m ột sô' d ạn g phương trình. V iộc nhận ra cách giải dựa vào các bất đẳng thức q u en thuộc sẽ được (ác giả trình bày trong chương này. Trong quá trình biên so ạn q u y ến sách này c h ú n g tỏi dã nhận được nhiều sự dộng viên khích lộ củ a các đồng nghiệp thuộc khối C huyên T oán Tin, Ban chủ nhiệm K hoa Toán - Cơ - T in học, lãnh đạo T rường Đ H K H T ự nhiên - Đ H Q G H à N ội, Ô n g Trần Xuân Thuận, T ổng g iám đốc liên hiệp khoa học sản xuất c ô n g nghộ phán m é m (CSE) và chị Đ ạn g Thị Minh Thu, N hà xuất bàn G iáo dục, người biên tập quyổn sách này. Nhủn dịp này ch o phép ch ú n g tôi được nói lời cảm ơn chân thành tới các tập thể và các cá nhân nói trẽn. Tuy đã hết sức cô' gáng song chác chắn cuốn sách vản cò n khiếm khuyết, chúng tôi m ong được s ự góp ý của độc giả đẽ’ cuốn sách có nôi d u n g hoàn hảo hơn. Xin chân thành cảm ơn. T hư góp ý xin gửi về: K hối phổ thông chuyên Toán - T in - T rường Đại học Khoa học T ự nhiên - Đại học Q uốc gia H à Nội, 334 Đ ường N guyẻn Trãi, Q uận Thanh X uân, H à Nội. Các tác giá Mục Lục C hương 1. Một s ố kiến thứ c c ơ bán vể phương trình lượng g iác 9 1.1. Phương trình lượns giác cơ b ả n .............................................. 9 1.1.1. P hư ơng trình sin X = a .................................................. 9 1.1.2. Phương trình c o s x = a .................................................. 12 1.1.3. Phương trình t g x = a .................................................. 17 1.1.4. Phương trình c o tg X = a .................................................. 20 1.1.5. C ác bước giải c ơ bản m ội phương trình lượng giác 22 1.2. C ác phương pháp giải phương trình lượng g i á c ................. 33 1.2.1. Phươnẹ pháp biến đổi đảng thức 1.2.2. Phương pháp s o sánh ..........................33 ............................................... 35 1.2.3. Phương pháp xét sự biến t h i ê n .................................... 36 C hương 2. Một s ố d ạ n g p h ư ờ n g trình lượng giác thường g ặ p 41 2.1. Sử dụng c ô n g thức s in 2 a + cos 2 a = 1 giải m ột sô' dạng phương trình lượng g i á c ..............................................................41 2.2. M ột sô' phép đảt ẩn p hụ cơ bản .............................................. 54 2.2.1. P h ép đ ặt ẩn phụ t = sin X cos X = - sin 2 x 2.2.2. . . . . 54 Phép đặt ẩn phụ t = c o s 2 x , (|í| < 1 ) ...................... 56 2.2.3. Phép đặt ẩn phụ t = t g x hoạc t = c o t g i ............... 56 2.3. 2.2.4. Phép đặt ẩn phụ t = s i n x + c o s x , (ịí| < \ / 2 ) 2.2.5. Phép đạt ẩn phụ t = t g x + c o t g i , (|í| > M ột sô’ dạng phương trình dơn giản thườne gập . . 59 2) . . . 61 .............. 68 2.3.1. Phương trình dạng A tg n x + B c o t g m x + c — -TỊ— + D — Ịj— + E = 0 68 co s^x s itr X 6 2-3.2. P hư ơng trình dạng A cos 3 x + B cos 2x + c cos 3 X + D cos 2 X + E c o s £ + F = 0 . . . . . . . . . . . . . . ................................. 70 2.3.3. Phương trình dạng / l ( s i n 3 x + c o s 3 x ) + B ( sin x + c o s x ) + C s i n x c o s x + D = 0 ............................................... ... ................................ 71 2.3.4. P hư ơng trình dạng A sin 2 1 + B cos 2 x + c s i n X cos x + D = 0 ...............7 ................................................................ 73 2.3.5. P hư ơng trình giải được nh ờ các công thức biến tổ n g thành t í c h ..................................................................75 2.3.6. Phương trình giải được n hờ các cỏng thức biến tích th àn h t ổ n g .............................................................................76 2.3.7. 2.4. P hư ơng trình giải được nh ờ các công thức cộng c u n g ..........................................J ............................................ 77 Phương trình bậc nhất đối với sin X và cos X ........................ 88 2.4.1. N ế u \A\ = \ c \ h oặc | ỡ | = \ c \ ................................. 88 2.4.2. N ếu \A\ 4 IC ị; |i?| í \c\ ....................................... 89 2.4.3. M ộ t s ố phương trình đưa vể dạng .4 sin X+ / i cos X = c ....................................... ....................................92 2.4.4. G iá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cù a hàm số y = a sin X + 6 c o s X + c ..................................................... 9 6 2.4.5. Đ iểu kiên tổn tại nghiệm cùa phương trình a sin X + b cos X = c 2.4.6. ..............................................................9 8 Sử d ụ n g bấl đẳng thức - V a 2 + b2 < a s i n i + b c o s x < \Já2 + b2 để giải phương trình và hệ phương trình lượng giác ............................................... 99 2.5. Một sô' d ạ n g hệ phương trình lượng g i á c ...............................106 2.5.1. H ệ phương trình đưa được vẻ các hệ cơ bàn . . . . 2.5.2. H ộ phương trình đưa được vé hệ đại sô' đơn giàn . 108 2.5.3. H ệ c ó thể k hừ ẩn nh ờ công thức Py-ta-go 2.5.4. H ệ phương trình giải được nhờ các bất đảng thức . 1 1 2 2.5.5. . . . . 106 111 H ệ phương trình giải được nh ờ tính chất đơn điệu c ù a hàm sổ’ lượng giác trên một k h o ả n g ....................114 7 * C hương 3 . s ứ d ụ n g công th ứ c lượng giác đ ể giải một s ố d ạ n g phư ơ ng trình lư ợng g iác 121 3.1. Biểu thức C ôsin và áp d ụ n g .......................................................... 121 3.2. Biểu thức đối xứng và áp dụna giải một số phương trình lượng giác .......................................................................................130 3.3. Biểu thức bậc 3 - 1 c ủ a sin X, cos X và ứng d ụ n g .................. 138 3.4. Sừ d ụ n g tính chất đặc trưng của cõng thức lượng giác giải m ột s ố dạng phương t r ì n h .................................................. 145 3.5. G iải m ột s ố phương trình lượng giác bằng cách sử dụng các c ô n g thức c ộ n e c u n g ............................................................. 153 3.6. Sử d ụ n g c á c công thức cộng cune với điều kiện giải một số phương t r ì n h ............................................................................... 172 3.7. Sử d ụ n g các công thức lượng giác của các hàm s ố vòng với c u n g n x , n € z giải m ột số dạng phưưiig trình lượng g i á c ......................................................................................................... 182 3.8. Giải m ột số dạng phương trình lượng giác nhờ các công thức tính tổniỊ hữu hạn các hàm lượng g i á c ............................. 196 C hương 4. S ử d ụ n g các p h é p biến đổi đại s ố để giải m ộ t s ố dạng phương trìn h lượng g iác 4 . 1. Biến đổi phươnc trìn h thành phương trình tích nh ờ hằng đẳng thức u 2 - 4.2. V2 = {u - v ) ( u + v) 4.5. . . . .............................................. 7 ........................................... 240 Biến đổi phương trình thành phươntí trình tích khi biết các cặp nghiệm đ ặ c b i ệ t ................................................................ 245 Đạt ẩn phụ để d ư a các phương trình lượng giác về các phương trình đại s ố cơ bàn 4.6. (u — b)(v - a) = 0 . . . 228 Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ định lý Viét 4.4. ....................................... 215 Biến đổi phương trình thành phương trình tích nh ờ hằng đẳng thức a u + bv = ab + u v 4.3. 215 ......................................................... 251 Giải m ôt s ố phương trình, hệ phươna trình đại sô' bằng phương pháp lượniỉ g i á c ................................................................ 260 C hương 5 . s ử d ụ n g các b ấ t đ ăn g th ứ c đẽ’ giải một s ố d ạ n g phương trình lư ợng giác 269 8 5.1. Sử dụng m ột số bất d ẳn g thức đơn giản giải m ộ t sô dạng phương trình lượng g i á c .............................................................. 269 5.2. Sừ d ụ n g điều kiộn tổn tại nghiệm củ a phương trình bâc hai đ ể giải phương trình lượng giác hai ẩn ..........................286 5.3. Các bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bậc cao và áp dụng 292 Chương 1 Một sô kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác 1 .1 . P h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iá c c ơ b ả n 1 .1 .1 . P h ư ơ n g tr ìn h sin X = a a . Nếu | a | > 1 phư ơ ng trình vô nghiệm vì |s i n x | < 1. b. Nếu ịaị < 1, ta lấy mội điểm A trên trục sin sao ch o O A = a . T ừ A ta kè đư ờ n g th ả n g vuổng góc với trục sin cầt vòng tròn lượng giác tại B , (h. 1. 1). Các điểm B , là các điếm ngọn cùa các cung a và 7T - a , ta có c c H. 1.1 sin a = sin(7T - a ) = a. v ạ y nghiêm củ a phương trình dã cho là X = n — a + k 2 tt. (*€Z) 1 y/2 y/3 c. N ếu a là c á c giá trị đặc biệt như ± 1 , ± ~ , ± — , ± — các bạn có thể giải n h ẩm trên đường tròn đơn vị như ví dụ sau. 10 N quyên V ũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N gọc Thắng \/3 Ví dụ 1. sinrr = —2— . Lấy A trên trục sin sao c h o O A — 2 J điểm - Kẻ đường (hẳng vuông góc với trục sin cắt vòng tròn lượng giác tại các điểm là c á c điểm ngọn cù a các c u n g ^ + k 2 n ; — + k 2 n (H. 1.2), vậy ta thu được nghiệm X = — + 2kĩĩ ổ ; X = —- + 2kiĩ Ổ (k € Z) d. M ờ rộng ta giải phương trình sin A ( x ) = sin B ( x ) . Tương tự ta thu được các nghiêm : / \ { x ) = B { x ) + 2kir A ( x ) = 7T - B { x ) + 2k'iĩ (Ả- 6 Z) Ví d ụ 2. G iải các phương (rình . 7T . 1. s i n £ = s i n — ; 3. s i n x + s i n 3 x = 0 7T 2 . s i n x = cos —, ; 4. sin X + cos 3 x = 0. G iải: X = — + 2 A:7r 1. Ta có sin X — sin - « • 6 tt X = y o l _ (* e + 2A-7T 11 C ác bài giáníỊ v é phương trinh lượng giáí . n 2. Ta c ó sin X = eos - o . X 7 r\ { n Õ7T = sin ! - - - ! = si n — X = 7 7 + 2kir, tí ( k e Z) X = 7 7 + 2A-7T. 14 o 3. T a c ó sin s i n I + s i n 3 x = ()<=> s i n 3 x = - s i n I = s i n ( - i ) Ict: <=> 3x = -X I = + 2kn 3 z = 7T + X + 2/C7T <=> 4. Ta có s i n I + e o s 3 x = 0 <=> s i n X = — c o s 3 z = — s i n —3x^ X = 3x - — + 2kĩĩ « sin I = sin I 3 i — - 1 x = ~2— X = X = - + k 71-, ấ tor ------- 1------- + 2kn N ỉ) - 8 2' e. Các bạn nên chú ý c á c dạng dặc biột sau Ví du 3. Giải phương trình Giải: 1. Ta có y/x = s in V I = - <=> rv /ĩ = * = - + 2kir 07T -7 - + 2 k ĩ ĩ 6 ( j + 2 /nr (k € Z ) o I = ( ^ 7- + 2kĩĩ N guyễn V ũ Lương, P hạm Ván H ùng, NíỊuỵén Ngọc Thảng 12 Vì v / ĩ > 0 ta suy ra k chì có thể nhận các giá trị k = 0 ,1 , • • • ( k € N) 2. T a c ó 7rsin X = 7rsin X = — + 2kn ^r — + 2Á.-7T sin X = ị + 2/c («) sim = - + 2k 6 ( 6) <=> Giải (a): Vì I s in x ị < 1 suy ra - 1 < ị + 2k < 1 6 ke z k = 0. <=> Vây ta có <=> sin 1 = 7 = sin ư <=> 6 X = a + 2kĩĩ, X = lĩ — a + 2kn. Giải (b): Vì Ị sin xỊ < 1 suy ra - 1 < £ + 2k < 1 6 *€ z o Ta c ó sin X = - = sin 0 o 1 .1 .2 . P h ư ơ n g trìn h co s X = a a. < 12 Ar G z 12 k = 0. X = 0 + 2k.1T, X = 7T - ị3 + 2ẢT7T Nếu Ịa| > 1 phưcmg trình vô nghiộm vì I c o s i | < 1. b. Nếu |a | < 1 ta lấy điểm A trên trục cosin sao ch o O A = a. Kẻ đường thảng qua A vuông góc với trục cosin cắt đường tròn đơn vị tại B , c (h. 1.3). Đ iểm c là điểm ngọn cùa các c u n g a + 2 k n , điểm lì là điểm ngọn của các c u n g —a + 2 k n ta có c o s ( q + 2 k n ) = c o s ( —a + 2 k n ) = a. Vậy ta thu được c á c nghiệm cùa phương trình đ ã cho là C ác bài giảniỊ vé phươniị trình lượng giác 13 H. 1.3 X = o + 2kn X = — a + 2kn ( k G Z) s/z y/2 1 c. N ếu a là m ột trong các giá trị đẫc biệt ± 1 ; ± — ; ± —— ; ± - ;0. Các bạn có thể giải nhẩm nh ờ đường tròn lượng giác như sau Ví d ụ 4. Sử dụng đ ư ờ n g tròn lượng giác giải các phương trình 1 1. C06X = ~ 2 ' c o s x — —1; Giải: 2 7T y v/3 3. c o s x = —ị . 14 N guyễn V ũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N g ọ c Thắng X = 1. (H .l.4 )ta c ó cosx = - ị <=> 2 lĩ + 2Ả-7T Z7T * = ~ i + 2k* y H. 1.5 2. ( H . l . S ) t a c ó c o s X = —1 X = 7T + 2kn. 3. (H. 1.6) ta có X = ^ + 2ẢT7T, c o s 3 x = —c o s x <=> c o s 3 i = cos(7T — X ) 7T <=> Ả-7T 3 z = 7T - z + 2 Ar7r Ỉ = ự = I — 7T + 2fc7T ỉ ’ ( f c € Z) 2 + kn■ 1 = e. C ác bạn chú ý c á c dang phương trình sau Ví d ụ 6 . Giải các phương trình 1. c o s ( x 2 ) = s i n x ; 1 2. c o s ( 7 r c o s i ) = - ; \/3 3. c o s ( 7 T 8 Ì n x ) = —— . G iải: 1. Ta c ó c o s (x 2) = sin Giải (a): X <=> c o s(x 2) = cos ^ Phương trình trờ thành X2 + z - tỴ - ^ - 2ẢT7T = trình c ó nghiệm khi A = 1 + 2n + 8 k n > 0 hay k > — 1 +2n 8n 0. Phương 16 N guyền Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N gọc Thắng Suy ra Ẳ phải là s ố tự nhiên 0 , 1 , 2 , • • • , hay k € N Ta thu dược nghiệm —1 ± \J 1 + 2iĩ + S k n Giải (b): Phương trình trở thành X2 - ( với k € N). X + - — 2ẢT7T = 0. Phương trình có nghiệm khi 2 tt - 1 hay k > — ----- . Ồn Suy ra k phải là s ố tự nhiên dương 1, 2 ,3 , • • • , hay k e N*. Ta ihu được nghiệm A = 1 - '2n + 8 k n > 0 1 ± V 1 - 27T + 8Ả-7T 7T-----------2 *3.4 = ( với k e W ) . 2. Ta có c o s( 7r c o s x ) = 7TCOSX = -^ + 2 k n n <í^ Tỉ cos X = — - + 2kn ổ Giải (a): c o s x = - + 2 A', 31 cosx = - - Ỏ (a) + 2fc. (6) VI l c o s x ị < 1 ta suy ra 1 - 1 < f + 2A- < 1 với /i' £ z => A’ =• 0 . Ả- e z 5 1 «=> co sX = ^ = c o s a X = ± a + 2 Ả:7T, (Ả- £ Z). ú 1 2 Ciiải (b): Tương tự ta có < k < - với Ả' e z => k = 0. u o v ạ y (a) Vộy (b) <=> COS.T = = cosớ o r = ± đ + 2kn. ( k £ Z ). 3. Ta có cos(7T sin I ) = <=> 7Tsin £ = 7 + '2Ả-7T 6_ 7TSÌI1X = —7 : + 2 k ĩ ĩ 0 o s i m = 7 + 2 A\ 61 s im = - 7 + 2 A\ 6 (a) (Ả- € Z ) (/)) 17 C ác bời giảng vé phương trình lượng giác Giải (a): Vì I sin x | < 1 ta suy ra 1 - 1 < - 4- 2 A: < 1 với k € 6 z => k = 0. Vậy phương trình (a) tương dương với sin Giải (b): X 1 = - = sin 6 a X = Q + 2kĩĩ. <=> X = 7T — a + 2ẢT7T. (k e Z) Vì | s i m | < 1 ta suy ra 1 - 1 < - - + 2k < 1 với k 6 e z =» Ả;= 0 . Vậy phirưng trình (b) tương đ ư ơ n s với sin X — — - = sin 0 <í^ 6 1 .1 .3 . Phương trìn h tg X — p + 2kn, X = n — 0 + 2kiĩ. {k e Z) X = a H. 1.7 a. Trên trục tang ta lấy điếm B sao cho A B = a. Nối điểm B với gốc loạ độ và kéo dài cắt vòng tròn lượnc giác tại các điểm M . N là các điểm ngọn cùa các c u n g a + k n , có tg a = a. K hi đó ta thu được n sh iêm cùa phươnc trình đã cho là X = a + kn ( k e Z). Nguyền Vũ Lương, Phạm Vảtì Hùng, N guyễn Ngọc Thắng 18 b. Khi a nhan các giá tri đãc biêt ± \ / 3 , ± 1 , ± - 7=. 0 các ban c ó thể v3 giải nhám bẳng cách sử d ụ n g đường tròn đơn vị. Ví d ụ 7. Sử d ụ n g đirờng tròn lượng giác giải các phương trình 1. tg x = - v /3 ; 2. t g x = - ỹ = . G iải: 1. tg I = —v/3 <=> X = —— + kir «3 ( k e Z ). 7T 2. t g X = - J = <í=> X = ^ + k-ĩĩ ( k € Z). v3 o c. Xét dạng tg A ( x ) = t g B ( x ) <=> A( x) = B{ x ) + k~. Ví d ụ 8 . Giải các phương trình 1. tg X = t g \ ; 5 3. tg 3 x + t g I = 0. 2. t g 3 x = c o tg X ; G iải: 1. t g i = tg ỲX = ỵ + kiĩ 2. tg 3 z = c o tg x 0 (keZ ). 0 t.g 3 x = tg 7T <=> 3 x = - x) . ^ - X + Ả-7T ^ 7T k n <=> X = ^ o T (í' E Z ). 20_______ Nguyền Vũ Lương, P hạm Văn Hừnq, Nguyền N gọc Tháng 2. Ta có tg(7TCOSl) = 1 <=> COs(7T c o s x ) Ỷ 0 tg(7TCOSl) = 1 o c o sx ^ ị+ k < f cos X = - + k 4 Vì I c o s i | < 1 ta su y ra 7Tcos X Ỷ ^ + k n <=> < ì , 7T c o s X = — h k n I ^ COSI = 2 + k. 1 - 1 < - + k < 1 với k 6 TL o Jfc = 0 , A; = - 1 Vậy phương trình đ ã ch o tirưnií đươnc với 1 COSI = - = CO Síi X = ± Q + 2A.-7T, 3 C.OS X = - - = cos /? 4 1 .1 .4 . P hư ơng trìn h c o tg X = ± / ỉ + 2kiĩ. (k G Z) X = a a. Trẽn trục cô tan g ta lí y đ iểm t ì sao ch o A B = «. Nỏ'i diểm l ĩ với gốc toạ dộ và kéo dài cát vòng tròn lượng giác tại các điểm A/, jV (h. 1.10). M . jV là các điểm ngọn cùa c á c c u n e í» + kir với c o t g a = a. H. 1.10