Tài liệu C4_vd4_heptchuacan

D. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA CAÊN Ví duï 1: ⎧⎪ x + y = a (a laø tham soá thöïc) Cho heä phöông trình: ⎨ ⎪⎩x + y − xy = a 1. Giaûi heä ñoù khi: a = 4 2. Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa a thì heä ñaõ cho coù nghieäm. (CAO ÑAÚNG SÖ PHAÏM naêm 1998). Giaûi Ta coù: ⎧⎪ x + y = a ⎪⎧ x + y = a ⎪⎧ x + y = a ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ 2 2 2 ⎪⎩( x + y ) = 3 xy = a ⎩⎪x + y − xy = a ⎪⎩( x ) + ( y ) − xy = a ⎧⎪s = x + y Ñaët ⎨ thì heä ñaõ cho trôû thaønh: (I) ⎪⎩ p = xy 1. Khi a = 4: ⎧⎪s = 4 ⎧s = 4 ⇔⎨ (I) ⇔ ⎨ 2 ⎩p = 4 ⎩⎪ 4 − 3p = 4 ⎪⎧s = a ⎨2 ⎪⎩s − 3p = a ⎧a ≥ 0 ⎪ ⇔ ⎨a ≤ 0 ∨ a ≥ 1 ⇔ a = 0 ∨ 1 ≤ a ≤ 4 ⎪0 ≤ a ≤ 4 ⎩ Ví duï 2: ⎧⎪ x + 5 + y − 2 = 7 Giaûi heä phöông trình: ⎨ ⎪⎩ x − 2 + y + 5 = 7 (ÑH Noâng Nghieäp I Khoái A naêm 2001). Giaûi 2 ⎧⎪ x − 2 = u ⎪⎧x = u + 2 (u,v ≥ 0) ⇔ ⎨ Ñaët ⎨ 2 ⎪⎩y = v + 2 ⎪⎩ y − 2 = v ⎧ u2 + 7 + v = 7 ⎪ Heä ⇔ ⎨ ⇒ u2 + 7 + v = v 2 + 7 + u 2 ⎩⎪ v + 7 + u = 7 ⇒ u2 + 7 + v2 + 2v u2 + 7 = v2 + 7 + u2 + 2u v2 + 7 ⇔ v. u2 + 7 = u v2 + 7 ⇔ 7(v2 + u2 ) = 0 ⇔ u = v ≥ 0 ⎧⎪7 − u ≥ 0 u 2 + 7 + v = 7 ⇔ u2 + 7 = 7 − u ⇔ ⎨ 2 2 ⎪⎩ u + 7 = (7 − u) ⎧0 ≤ u ≤ 7 ⇔⎨ ⇒ x − 2 = 3 ⇔ x = y = 11 ⎩u = 3 Thay vaøo ⇒ x , y laø nghieäm cuûa phöông trình: t 2 − 4t + 4 = 0 ⇔ (t − 2)2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x = y = 2 ⇔ x = y = 4 Ví duï 3: Ñònh m ñeå heä sau coù nghieäm: ⎧⎪ x + 1 + y − 2 = m (m ≥ 0) (*) ⎨ ⎪⎩ y + 1 + x − 2 = m Giaûi ⎧x + 1 ≥ 0 ⎪ ⎧x ≥ 2 ⎪x − 2 ≥ 0 Ñieàu kieän ⎨ ⇔⎨ ⎩y ≥ 2 ⎪y + 1 ≥ 0 ⎪⎩y − 2 ≥ 0 ⎧s ≥ 0 ⎧s = a ⎪ ⎪ 2. (I) ⇔ ⎨ a2 − a ⇒ Heä coù nghieäm ⇔ ⎨ p ≥ 0 ⎪2 ⎪p = 3 ⎩ ⎩s − 4p ≥ 0 ⎧ ⎪ ⎪a ≥ 0 ⎧a ≥ 0 ⎪ a2 − a ⎪ ⎪ ⇔⎨ ≥0 ⇔ ⎨a ≤ 0 ∨ a ≥ 1 ⎪ 3 ⎪ 2 2 ⎩3a ≥ 4a − 4a ⎪ 2 ⎛ a2 − a ⎞ ⎪a − 4 ⎜ ≥0 ⎜ 3 ⎟⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ 155 156 ⎧⎪x + 1 + y − 2 + 2 x + 1 y − 2 = m (1) (*) ⇔ ⎨ ⎪⎩y + 1 + x − 2 + 2 y + 1 x − 2 = m (2) (1) − (2) : (x + 1)(y − 2) = (y + 1)(x − 2) ⇔ x = y ⎧⎪x = y (*) ⇔ ⎨ ⎪⎩ x + 1 + x − 2 = m Xeùt haøm soá f(x) = x + 1 + (x − 2) ⇒ f '(x) = 1 2 x +1 + 1 2 x−2 (x ≥ 2) > 0 khi x > 2 BBT: Döïa vaøo BBT ñeå heä phöông trình coù nghieäm ⇔ m ≥ 3 ⇔ m ≥ 3 157