Tài liệu C2_vd4_hedangcap

Baøi 4: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ ⎧⎪f(tx,ty) = t 2 f(x,y) ⎧f(x,y) = a vôùi ⎨ 1. Daïng: ⎨ 2 ⎩g(x,y) = b ⎩⎪g(tx,ty) = t g(x,y) 2. Caùch giaûi: * Tìm nghieäm thoûa x = 0 (hay y = 0) * vôùi x ≠ 0 ( hay y ≠ 0 ), ñaët y = tx (hay x = ty ) ⎧⎪ax 2 + bxy + cy 2 + d = 0 * Ñoái vôùi heä ⎨ 2 2 ⎪⎩a1x + b1xy + c1y + d1 = 0 Ta coù theå khöû y2 (hay x2) roài tính y theo x ( hay x theo y) roài thay vaøo moät trong 2 phöông trình cuûa heä. II. CAÙC VÍ DUÏ: Ví duï 1: ⎧⎪3x 2 + 2xy + y2 = 11 Cho heä phöông trình: ⎨ 2 2 ⎪⎩x + 2xy + 3y = 17 + m 1. Giaûi heä phöông trình vôùi m = 0 2. Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì heä coù nghieäm ? (ÑH Kinh Teá TPHCM naêm 1998, Khoái A) Giaûi 2 ⎧⎪3x + 2xy + y2 = 11 1. m = 0 : Heä ⇔ (I) ⎨ 2 2 ⎪⎩x + 2xy + 3y = 17 Nhaän xeùt x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa heä . Ñaët y = tx ⎧⎪3x 2 + 2tx 2 + t 2 x 2 = 11 ⎧⎪x 2 (3 + 2t + t 2 ) = 11 (1) Heä (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎪⎩x + 2tx + 3t x = 17 ⎪⎩x (1 + 2t + 3t ) = 17 (2) 91 (1) chia (2): 3 + 2t + t 2 2 = 11 5 ⇔ 16t 2 − 12t − 40 = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = − 17 4 1 + 2t + t . t = 2 : (2) ⇔ x 2 .11 = 11 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ y = 2x = ±2 5 4 3 5 5 3 ⇒y=− x=∓ . t = − : (2) ⇔ 3x 2 = 16 ⇔ x = ± 4 3 4 3 ⎛4 3 5 3⎞ ⎛ 4 3 5 3⎞ Toùm laïi coù 4 nghieäm: (1, 2), (-1, -2), ⎜ ,− , ⎟ ,⎜ − ⎟ ⎜ 3 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ ⎝ ⎧⎪3x 2 + 2xy + y2 = 11 2. Ñaët 17 + m = k. Heä ⇔ ⎨ 2 2 ⎪⎩x + 2xy + 3y = k ⎧⎪x 2 (3 + 2t + t 2 ) = 11 (4) Ñaët y = tx ⇒ Heä: ⎨ 2 2 ⎪⎩x (1 + 2t + 2t ) = k (5) (4) 3 + 2t + t 2 11 = ⇔ (k − 33)t 2 + 2(k − 11)t + 3k − 11 = : (5) 1 + 2t + 3t 2 k * k = 33: ⇒ m = 16, phöông trình (6) coù nghieäm t = - 2 * k ≠ 33 : (6) coù nghieäm: ⇔ ∆ ' = (k − 11)2 − (k − 33)(3k − 11) ≥ 0 = k 2 − 44k + 121 ≤ 0 ⇔ 22 − 11 3 ≤ k ≤ 22 + 11 3 vôùi k = m + 17. ⇔ 22 − 11 3 ≤ m + 17 ≤ 22 + 11 3 ⇔ 5 − 11 3 ≤ m ≤ 5 + 11 3 Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm. ⎧⎪xy − y2 = 12 ⎨ 2 ⎪⎩x − xy = m + 26 Giaûi (1) ⎧ y(x − y) = 12 Heä ⇔ ⎨ ⎩ x(x − y) = m + 26 (2) 92 Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét (m + 26)y ⎧ (m + 26)y ⎧ ⎪x = ⎪x = 12 (2) chia (1) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 12 ⎪⎩ y(x − y) = 12 ⎪y2 (m + 14) = 144 ⎩ Vaäy heä coù nghieäm khi m + 14 > 0 ⇔ m > −14 . ⎧⎪x 2 + mxy + y 2 = m (1) 4.1. ⎨ 2 2 ⎪⎩x + (m − 1)xy + my = m (2) III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ (1) – (2) : xy + (1 − m)y2 = 0 ⇔ y = 0 ∨ x = (m − 1)y ⎧⎪x 2 + mxy + y2 = m 4.1. Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm: ⎨ 2 2 ⎪⎩x + (m − 1)xy + my = m ⎧⎪ y = 0 ⎧⎪x = (m − 1)y ∨⎨ 2 Heä phöông trình: ⇔ ⎨ 2 2 2 ⎩⎪ x + mxy + y = m ⎩⎪x + mxy + y = m 1 ⎧ 3 3 2 ⎪x − my = (m + 1) 2 4.2. Ñònh m ñeå heä phöông trình: ⎨ ⎪x3 + mx 2 y + xy2 = 1 ⎩ Coù nghieäm vaø moïi nghieäm ñeàu thoûa: x + y = 0 ⎧⎪x 2 − 4xy + y2 = m 4.3. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪⎩y − 3xy = 4 a. Giaûi heä khi m = 1 b. chöùng minh heä luoân coù nghieäm. ⎧ x = (m − 1)y ⎧⎪ y = 0 ⎪ ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 m (4) ⎩⎪ x = m(3) ⎪ y 2 ⎩ 2m − 3m + 2 ⎡(3)coù nghieäm ⇔m≥0 Heä ñaõ cho coù nghieäm ⇔ ⎢ ⎣(4)coù nghieäm 4.2. Giaû söû (x 0 ,y 0 ) laø nghieäm. Töø x + y = 0 ta coù: y 0 = − x 0 1 ⎧ 3 2 ⎪x 0 (m + 1) = (m + 1) (1) 2 Theá vaøo heä : ⎨ ⎪x3 (2 − m) = 1 (2) ⎩ 0 Veá phaûi (2)khaùc 0 ⇒ veá traùi cuûa (2) cuõng khaùc 0. (1) m + 1 1 : = (m + 1)2 ⇔ m = 0 ∨ m = ±1 (2) 2 − m 2 Thöû laïi: a/ Vôùi m = 0: heä cho x vaø y khoâng thoûa: x + y = 0 ⇒ m = 0 (loaïi) ⎧⎪x3 + y3 = 0 b/ Vôùi m = - 1: Heä ñaõ cho trôû thaønh: ⎨ 3 2 2 ⎪⎩x − x y + xy = 1 1 ⎧ ⎪x = ⎧⎪y = − x 3 3 ⎪ thoûa x + y = 0. ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 2 2 ⎩⎪x − x y + xy = 1 ⎪y = − 1 3 3 ⎩⎪ 93 94 ⎧⎪x3 − y3 = 2 c/ Vôùi m = 1. Heä trôû thaønh: ⎨ 3 2 2 ⎪⎩x + x y + xy = 1 ⎧⎪x 3 (1 − t 3 ) = 2 Ñaët y = tx ⇒ ⎨ ⇒ t − 1 = −2 ⇔ t = −1 ⇒ y = − x, 3 2 ⎪⎩x (t + t + 1) = 1 ⇒ x3 = 1 ⇔ x = 1 ⇒ x + y = 0 Vaäy m = ±1 nhaän. 4.3. y = 0 khoâng thoûa phöông trình: y2 − 3xy = 4 . Ñaët x = ty ⎧ y 2 (t 2 − 4t + 1) m ⎧⎪ y 2 (t 2 − 4t + 1) = m = ⎪ 4 Heä ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ y 2 (1 − 3t) 2 ⎪ 2 ⎩⎪ y (1 − 3t) = 4 ⎩y (1 − 3t) = 4 ⎧ t 2 − 4t + 1 1 (1) = ⎪ a. Vôùi m = 1: ta coù heä: ⎨ 1 − 3t 4 ⎪y2 (1 − 3t) = 4 (2) ⎩ 1 (1) cho t = 3 ∨ t = 4 . t = 3 : (2) ⇔ −8y 2 = 4VN 1 1 . t = : (2) ⇔ y2 = 4 ⇔ y = ±4 4 4 x = ty = ±1 ⎧ x 2 4xy + 1 = m ⎧ y2 − 4 ⎪ ⎪x = 3y b. Heä ⇔ ⎨ y2 − 4 ⇔⎨ ⎪x ⎪ 4 2 ⎩ 3y ⎩11y − (49 − 9m)y − 16 = 0 (*) (*) luoân coù nghieäm ⇒ ÑPCM. 95