Tài liệu C2_vd3_hedoixungloai2

Baøi 3: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI 2 I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎧f(x,y) = 0 1. Daïng: ⎨ ⎩f(y,x) = 0 2. Caùch giaûi: Ta thöôøng bieán ñoåi veà heä töông ñöông: ⎧f(x,y) − f(y,x) = 0 ⎧f(x,y) − f(y,x) = 0 ∨⎨ ⎨ ⎩f(x,y) = 0 ⎩f(x,y) + f(y,x) = 0 II. CAÙC VÍ DUÏ Ví duï 1: Haõy xaùc ñònh a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát: ⎧⎪y2 = x3 − 4x 2 + ax (1) ⎨ 2 3 2 ⎪⎩x = y − 4y + ay (2) (ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái A naêm 1996) (1) - (2): (x − y) ⎡ x + y + xy − 4(x + y) + a + y + x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ 2 Khi a > 25 25 . Vaäy khi a > heä coù 1 nghieäm duy nhaát: x = y = 0 4 4 Ví duï 2: Chöùng minh raèng heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: ⎧ 2 a2 ⎪2x = y + y ⎪ (I) ⎨ (a ≠ 0) ⎪ 2 a2 ⎪⎩2y = x + x Giaûi Ñieàu kieän x > 0, y > 0 2 2 2 ⎪⎧2x y = y + a ⎪⎧2x 2 y = y2 + a2 Heä (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 2 2 ⎪⎩2y x = x + a ⎩⎪(x − y)(2xy + x + y) = 0 ⎧⎪ x = y ⇔⎨ 3 (*) 2 2 ⎪⎩2x − x = a Ñaët f(x) = 2x3 − x 2 ⇒ f '(x) = 6x 2 − 2x ; f '(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = Baûng bieán thieân: 1 3 2 ⇔ y = x ∨ x 2 + y2 + xy − 3(x + y) + a = 0 * x = y : (1) ⇔ x3 − 5x 2 + ax = 0 ⇔ x(x 2 − 5x + a) = 0 ⇔ x = 0 ∨ f(x) = x 2 − 5x + a = 0 (1) ⎧∆ = 0 ∨∆<0 Ñeå chæ coù moät nghieäm duy nhaát, (1) phaûi coù: ⎨ ⎩f(0) = 0 ⎧∆ = 0 ⎨ ⎩f(0) = 0VN 25 ∆ < 0 ⇔ 25 − 4a < 0 ⇔ a > 4 2 2 * x + y + xy − 3(x + y) + a = 0 ⇔ y2 + (x − 3)y + (x 2 − 3x + a) = 0 Do (*) coù nghieäm duy nhaát, Baûng bieán thieân ⇒ (I) coù nghieäm duy nhaát. ∆ = (x − 3)2 − 4(x 2 − 3x + a) = −3x 2 + 6x + 9 − 4a = −3(x − 1)2 + (12 − 4a) < 0 86 87 Ví duï 3: ⎧⎪x3 = y2 + 7x 2 − mx Ñònh m ñeå heä phöông trình: ⎨ 3 2 2 ⎪⎩y = x + 7y − my Coù nghieäm duy nhaát: Giaûi Ta nhaän thaáy x = 0, y = 0 laø nghieäm cuûa heä. Vaø neáu (x, y) laø nghieäm cuûa heä thì (y, x) cuõng laø nghieäm cuûa heä. Vaäy ñeå heä coù nghieäm duy nhaát laø x = y. ⇒ phöông trình : x 3 − x 2 − 7x 2 + mx = 0 ⇔ x 3 − 8x 2 + mx = 0 coù nghieäm duy nhaát. x3 − 8x 2 + mx = 0 ⇔ x(x 2 − 8x + m) = 0 (*) ⎡x = 0 ⇔⎢ 2 ⎢⎣ x − 8x + m = 0 (**) Ñeå (*) coù nghieäm duy nhaát ⇔ (*) coù nghieäm x = 0 vaø (**) VN ⇔ ∆ ' = 16 − m < 0 ⇔ m > 16 . III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. ⎧⎪x3 = 2x + y 3.1. Giaûi heä phöông trình: ⎨ 3 ⎪⎩y = 2y + x 3.2. Ñònh m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát : ⎧ x2 + 2 + y = m ⎪ ⎨ ⎪⎩ y2 + 2 + x = m ⎧⎪x(3 − 4y2 ) = m(3 − 4m 2 ) 3.3. Giaûi vaø bieän luaän heä : ⎨ 2 2 ⎪⎩y(3 − 4x ) = m(3 − 4m ) 88 Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét ⎧⎪x3 = 2x + y (1) 3.1. ⎨ 3 ⎪⎩y = 2y + x (2) (1) – (2): x3 − y3 = x − y ⇔ (x − y)(x 2 + y2 + xy − 1) = 0 ⎡x = y ⇔⎢ 2 2 ⎢⎣ x + y + xy − 1 = 0 Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi: 2 2 ⎪⎧ x = y ⎪⎧x + y + xy − 1 = 0 ∨ (II) ⎨ (I) ⎨ 3 3 3 ⎪⎩x + y = 3(x + y) ⎩⎪ x = 2x + y ⎧x = 0 ⎧⎪x = 3 ⎧⎪ x = − 3 ∨⎨ ∨⎨ Giaûi (I) : ⎨ ⎩y = 0 ⎪⎩y = 3 ⎪⎩ y = − 3 ⎧(x + y)2 − xy − 1 = 0 ⎪ Giaûi (II) : (II) ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩(x + y) ⎣⎡(x + y) − 3xy ⎦⎤ = 3(x + y) 2 ⎧⎪s2 − p − 1 = 0 ⎛s = x + y⎞ ⎪⎧s = 0 ⎪⎧s = p + 1 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ∨⎨ VN ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ p = xy ⎠ ⎪⎩s(s − 3p) = 3s ⎩⎪s − 1 = p ⎪⎩s = 3p + 3 ⎧s = 0 ⎧x = 1 ⎧x = −1 ⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ⎩ p = −1 ⎩ y = −1 ⎩y = 1 Ñaùp Soá: (0,0) , ( 3, 3), (1, −1),(−1,1),(− 3, − 3) ⎧ x 2 + 2 + y = m Neáu heä coù nghieäm (x ,y )thì cuõng coù 0 0 ⎪ 3.2. ⎨ 2 ⎪⎩ y + 2 + x = m nghieäm (− x 0 , − y 0 ),(y 0 ,x 0 ),(− y 0 , − x 0 ) Vaäy ñieàu kieän ñeå heä coù nghieäm duy nhaát laø x 0 = y 0 = 0 theá vaøo heä ta ñöôïc m = 2 . Thöû laïi: m = 2 ⎧ x2 + 2 + y = 2 ⎪ ⎨ ⎪⎩ x 2 + 2 + x = 2 89 ⎧⎪ x 2 + 2 > 2 . Neáu x ≠ 0 : ⎨ VN ⎪⎩ y ≥ 0 ⎧⎪ y2 + 2 > 2 . Neáu y ≠ 0 : ⎨ VN ⎪⎩ x ≥ 0 Vaäy x = y = 0 laø nghieäm khi m = 2 . ⎧⎪x(3 − 4y2 ) = m(3 − 4m 2 ) (1) 3.3. ⎨ 2 2 ⎪⎩y(3 − 4x ) = m(3 − 4m ) (2) (1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0 TH 1: x = y : (1) ⇔ 4x 2 − 3x + 3m − 4m 3 = 0 ⇔ (x − m)(4x 2 + 4mx − 3 + 4m) = 0 ⎡x = m ⇔⎢ 2 2 ⎣ 4x + 4m − 3 + 4m = 0 ∆ ' = 4(m 2 − 4m + 3) (3) . m ≤ 1 ∨ m ≥ 3 : phöông trình (3) coù 2 nghieäm x1 ,x 2 ⇒ heä coù 3 nghieäm. m ⇒ heä . m = 1 ∨ m = 3 : Phöông trình (3) coù nghieäm keùp: x1 = x 2 = − 2 coù 2 nghieäm. 3 TH 2: 3 + 4yx = 0 ⇔ xy = − . 4 Maët khaùc (1) + (2): 3(x + y) − 4xy 2 − 4x 2 y = 2m(3 − 4m 2 ) ⇔ (x + y)(3 − 4xy) = 2m(3 − 4m 2 ) ⇒x+y= m(3 − 4m 2 ) 3 ⇒ x,y laø nghieäm phöông trình: t 2 − giaûi töông töï nhö treân. 90 m(3 − 4m 2 ) 3 t− =0 3 4