Tài liệu C1_vd4_bptquyvebachai_ptbac3_4

Vaán ñeà 4 PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ BAÄC HAI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC 3 – BAÄC 4 I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ: 1. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ BAÄC 2 Daïng 1: Phöông trình truøng phöông: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) 1 ta ñöôïc phöông trình : x at 2 + bt + c + 2a = 0 + Chia 2 veá cho x 2 vaø ñaët t = x − ax 4 + bx 3 + cx 2 ± dx = c = 0 trong ñoù a, c ≠ 0 vaø c ⎛d⎞ = a ⎜⎝ b ⎟⎠ 2 + Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm. + Chia 2 veá cho x 2 , laøm gioáng nhö treân. Daïng 5: mx nx = k (k ≠ 0) ax + bx + c ax + b' x + c + Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm. m n + Phöông trình ñöôïc vieát : + =k c c ax + + b ax + + b' x x c m n + =k Ñaët t = ax + vaø phöông trình ñöôïc vieát : x t + b t + b' Ñaët t = x 2 (t ≥ 0) ta coù phöông trình : at 2 + bt + c = 0 Daïng 2: (x + a)(x+b)(x+c)(x+d) = k (k ≠ 0) Trong ñoù: a + b = c + d (a − b)2 Ñaët t = (x + a)(x + b) vôùi t ≥ − ta coù phöông trình : 4 t 2 + (cd − ab)t − k = 0 Daïng 3: (x + a)4 + (x + b)4 = k(k ≠ 0) a+b a−b Ñaët t = x + ñöa veà thì x + a = t + α, x + b = t − α vôùi α = 2 2 phöông trình truøng phöông : t 4 + 12α 2 t 2 + 2α 4 − k = 0 a+b (x − a)4 + (x − b)4 = k(k ≠ 0) . Ñaët t = x − 2 Daïng 4: ax 4 + bx3 + cx 2 + bx + a = 0 (a ≠ 0) + Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình 1 2 + Chia hai veá cho x vaø ñaët t = x + , t ≥ 2 x 2 Ta coù phöông trình : at + bt + c − 2a = 0 ax 4 + bx3 + cx 2 − bx + a = 0 (a ≠ 0) 2 + 2 x+b =8 x+a x+b x+b Ñieàu kieän : ≥ 0 . Ñaët t = (x + a) x+a x+a Daïng 6 : α(x + a)(x + b) + β(x + a) 2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC 3: a. Ña thöùc : Ña thöùc baäc n theo x (n ∈N) laø bieåu thöùc coù daïng: P(x) = a0 x n + a1x n −1 + ..... + an −1x + an vôùi a0 ≠ 0 Caùc soá a0 ,a1 ,......an goïi laø caùc heä soá. α laø moät nghieäm cuûa ña thöùc P(x) khi P(α) = 0 Ñònh lyù Bezout : P(α) = 0 ⇔ P(x) chia heát cho x - α. b. Phöông trình baäc 3: ax3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) + Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình : Phöông trình baäc 3 luoân luoân coù nghieäm Ñònh lyù Viete: 23 24 Neáu phöông trình : ax3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) (1) Ví duï 2: Coù 3 nghieäm x1, x2, x3 thì : b ⎧ ⎪x1 + x 2 + x 3 = − a ⎪ c ⎪ ⎨x1x 2 + x 2 x3 + x3 x1 = a ⎪ a ⎪ ⎪x1x 2 x3 = − a ⎩ Caùch giaûi : + Neáu bieát moät nghieäm x = x 0 , ta phaân tích: Ñònh m ñeå phöông trình : (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) nghieäm. Giaûi Ñaët t = (x − 3) Ñeå (1) coù nghieäm, ñieàu kieän caàn (2) coù nghieäm. Ta coù : ∆ ' = 4 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ −4 Thöû laïi vôùi m ≥ −4, phöông trình (1) cuõng coù nghieäm. Vôùi m ≥ −4, phöông trình (2) coù nghieäm t = t0 theá vaøo (*) : + Neáu bieát moät heä thöùc giöõa caùc nghieäm thì ta duøng ñònh lyù viete + Duøng haèng ñaúng thöùc bieán ñoåi thaønh phöông trình tích soá vôùi caùc phöông trình coù daïng : t 0 = (x − 3) x +1 x−3 (3) Ta coù 3 tröôøng hôïp : t 0 = 0 : (3) ⇔ x = −1 (nhaän) A3 + B3 = (A + B)3 ⇔ (A + B)3 − A3 − B3 = 0 ⇔ 3AB(A + B) = 0 II. CAÙC VÍ DUÏ : ⎧⎪x > 3 ⎧⎪x > 3 ⇔ t 0 > 0 : (3) ⇔ ⎨ ⎨ 2 2 2 ⎩⎪(x − 3)(x + 1) = t 0 ⎩⎪x − 2x − (3 + t 0 ) = 0 Ví duï 1: Giaûi phöông trình : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 (*) ⇔ x = 1 + 4 + t 20 nhaän. Giaûi (*) ⇔ (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) = 3 (**) ⎧⎪x < 3 ⎧⎪x < 3 ⇔ t 0 < 0 : (3) ⇔ ⎨ ⎨ 2 2 2 ⎩⎪(x − 3)(x + 1) = t 0 ⎩⎪x − 2x − (3 + t 0 ) = 0 (1 − 4)2 9 =− 4 4 ⇔ x = 1 − 4 + t 20 nhaän. (**) ⇔ (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 3 ⇔ t(t + 2) = 3 ⇔ x +1 (*) ⇒ t 2 = (x − 3)(x + 1) x −3 (1) ⇔ t 2 + 4t − m = 0 (2) (1) ⇔ (x − x 0 )(Ax 2 + Bx + C) = 0 Ñaët t = (x + 1)(x + 4) = x 2 + 5x + 4 Ñieàu kieän t ≥ − x +1 = m (1) coù x−3 Toùm laïi phöông trình (1) coù nghieäm khi m ≥ −4 Ví duï 3: Ñònh a sao cho phöông trình : x 4 − ax3 − (2a + 1)x 2 + ax + 1 = 0 (1) 2 ⎧ t = 1(nhaän) t + 2t − 3 = 0 ⇔⎨ (a + b + c = 0) ⎩ t = −3(loaïi) ⎡ −5 + 13 ⎢x = + + = x 5x 3 0 2 Vôùi t = 1: x 2 + 5x + 4 = 1 ⇔ ⇔⎢ ⎢ ∆ = 13 −5 − 13 ⎢x = 2 ⎣ Coù 2 nghieäm khaùc nhau vaø lôùn hôn 1. Giaûi Vôùi x = 0 : (1) ⇔ 1 = 0 voâ nghieäm. Chia hai veá cho x2 : 2 25 26 a 1 + =0 x x2 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⇔ ⎜ x 2 + 2 ⎟ − a ⎜ x − ⎟ − (2a + 1) = 0 (2) x⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ ⎡ t− ⎢ x1 = 1 thì x 2 − tx − 1 = 0 ⇔ ⎢ Ñaët t = x − ⎢ x ⎢x = t + ⎢⎣ 2 1 (t 2 = x 2 + 2 − 2) x khi t > 0 ⇒ x 2 > 1 Baûng bieán thieân: x 2 − ax − (2a + 1) + t2 + 4 2 t2 + 4 2 (2) ⇔ t 2 + 2 − at − (2a + 1) = 0 ⇔ t 2 − at + 1 − 2a = 0 Töø baûng bieán thieân ñeå phöông trình (*) coù nghieäm phaân bieät khi vaø chæ khi : −4 < k < 5 Ví duï 5: Ñònh a ñeå phöông trình : x 4 + 2x 2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0 coù nghieäm. Vôùi moãi a ñoù, goïi xa laø nghieäm beù nhaát cuûa phöông trình. Ñònh a ñeå xa nhoû nhaát. Giaûi 4 2 2 Ta coù : x + 2x + 2ax + a + 2a + 1 = 0 ⇔ a2 + 2(x a + 1)a + (x a4 + 2x 2a + 1) = 0 (*) (3) Ñeå (1) coù 2 nghieäm khaùc nhau vaø lôùn hôn 1 laø (3) coù 2 nghieäm thoaû: ⎧a2 − 4(1 − 2a) > 0 ⎧∆ > 0 ⎪ 1 ⎪ ⇔ 2 5 −4 0 ⇔ ⎨1 − 2a > 0 2 ⎪S > 0 ⎪a > 0 ⎩ ⎩ Ví duï 4: Ñònh k ñeå phöông trình : x 4 − 4x3 + 8x = k (*) Ñeå (*) coù nghieäm ⇔ ∆ ' = (x a + 1)2 − (x a4 + 2x 2a + 1) ≥ 0 ⇔ (x a + 1)2 − (x 2a + 1)2 ≥ 0 Coù 4 nghieäm phaân bieät. ⇔ (x a + 1 + x 2a + 1)(x a + 1 − x a2 − 1) ≥ 0 Giaûi (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñoà thò: y = x 4 − 4x3 + 8x vaø y = k. 4 ⇔ (x 2a + x a + 2)(− x 2a + x a ) ≥ 0 ⇔ x a (− x a + 1) ≥ 0 (vì x 2a + x a + 2 > 0 ∀x a ) ⇔ 0 ≤ x a ≤ 1 3 Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá : y = x − 4x + 8x Vaäy xa nhoû nhaát laø xa = 0, thì (*) ⇔ (a + 1)2 = 0 ⇔ a = −1 . MXD : D = R . y' = 4x3 − 12x 2 + 8 = 4(x − 1)(x 2 − 2x − 2) Ví duï 6 : Tìm ñieàu kieän cuûa a, b ñeå phöông trình x3 + ax + b = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät laäp thaønh caáp soá coäng. Giaûi Goïi x1, x2, x3 laø 3 nghieäm phaân bieät cuûa phöông trình cho, laäp thaønh moät caáp soá coäng : x1 + x3 = 2x2 (*) B Ñònh lyù viete cho : x1 + x 2 + x3 = − = 0 ⇔ 3x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 A ⎡x = 1 ⇒ y = 5 Cho y' = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = 1 ± 3 ⇒ y = −4 27 28 Thay x2 = 0 vaøo phöông trình : x3 + ax + b = 0 ta ñöôïc: b = 0 ⎡x = 0 ⇒ x3 + ax = 0 ⇔ x(x 2 + a) = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣ x + a = 0 (**) Ñeå (**) coù 2 nghieäm phaân bieät vaø khaùc 0 ⇔ a < 0 Vaäy ñeå phöông trình cho coù 3 nghieäm phaân bieät laäp thaønh moät caáp soá coäng laø : a < 0 , b = 0 Ví duï 7: Bieát phöông trình x3 + px + q = 0 coù 3 nghieäm x1, x2, x3 B ⎧ ⎪x1 + x 2 + x3 = − A = 1 ⎪ C ⎪ ⎨x1x 2 + x 2 x3 + x3 x1 = = a A ⎪ D ⎪ ⎪x1x 2 x3 = − A = − b ⎩ Ta coù : (x1x 2 + x 2 x3 + x 3 x1 )2 = (x1x 2 )2 + (x 2 x3 )2 + (x3 x1 )2 + 2x1x 22 x3 +2x12 x 2 x 3 + 2x32 x1x 2 Chöùng minh : x13 + x32 + x33 = 3x1x 2 x3 ⇔ a2 = (x1x 2 )2 + (x 2 x3 )2 + (x 3 x1 )2 + 2x1x 2 x 3 (x1 + x 2 + x3 ) Giaûi Vì x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa phöông trình : x3 + px + q = 0 ⇔ a2 = (x1x 2 )2 + (x 2 x3 )2 + (x 3 x1 )2 − 2b ⇒ a2 + 2b = (x1x 2 )2 + (x 2 x3 )2 + (x3 x1 )2 Ta coù : x13 + px1 + q = 0 + (1) Ta coù : x 2 + y2 ≥ 2xy x 32 + px 2 + q = 0 + x33 + px3 + q = 0 ⇒ x13 + x32 + x33 + p(x1 + x 2 + x3 ) + 3q = 0 (*) B D Ñònh lyù viete cho : x1 + x 2 + x3 = − = 0 ; x1x 2 x 3 = − = −q A A Theá vaøo (*) ta ñöôïc: x13 + x32 + x33 − 3x1x 2 x 3 = 0 ⇔ x13 + x 32 + x33 = 3x1x 2 x3 y2 + z2 ≥ 2yz z2 + x 2 ≥ 2zx ⇒ 2(x 2 + y2 + z2 ) ≥ 2(xy + yz + zx) ⇔ x 2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx (2) AÙp duïng BÑT (2) ta coù : (x1x 2 )2 + (x 2 x3 )2 + (x 3 x1 )2 > x1x 22 x3 + x 2 x32 x1 + x12 x 2 x3 ⇔ (x1x 2 )2 + (x 2 x3 )2 + (x3 x1 )2 > x1x 2 x3 (x1 + x 2 + x3 ) = − b (3) Ví duï 8: Giaû söû phöông trình : x3 − x 2 + ax + b = 0 coù 3 nghieäm thöïc phaân bieät. Chöùng minh raèng : a2 + 3b > 0 (Ñaïi hoïc quoác gia Haø Noäi, khoái A naêm 1998) Giaûi Goïi x1, x2, x3 laø nghieäm phaân bieät cuûa phöông trình cho ñònh lyù viete cho : Khoâng coù ñaúng thöùc vì x1, x2, x3 ñoâi moät khaùc nhau. (1) vaø (3) ⇒ a2 + 2b > − b ⇔ a2 + 3b > 0 Ví duï 9: Ñònh m ñeå phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät. x3 − 3mx 2 + 2(m 2 + 1)x − 2m = 0 (1) Giaûi 2 (1) ⇔ (x − m)(x − 2mx + 2) = 0 ⎡x = m ⇔⎢ 2 ⎢⎣ f(x) = x − 2mx + 2 = 0 (2) Ñeå (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät ⇔ (2) coù 2 nghieäm döông khaùc m. 29 30 (1), (2), (3) ⇒ x1 < x 2 < 2 < x3 ⎧m > 0 ⎧m > 0 ⎪ ⎪ ⎪∆ ' = m 2 − 2 > 0 ⇔⎨ ⇔ ⎨m > 2 ∨ m < − 2 ⇔ m > 2 ⎪P = 2 > 0(hieån nhieân) ⎪2m > 0 ⎩ ⎪S = 2m > 0 ⎩ Vaäy m > 9. Ví duï 12 : Giaûi phöông trình : (3x + 1)3 + (2x − 3)3 = (5x − 2)3 Ví duï 10: Giaûi phöông trình : x 4 − 4x = 1 (*) Giaûi Vì (3x + 1) + (2x –3 )= 5x –2 Aùp duïng haèng ñaúng thöùc: Giaûi 4 2 2 (*) ⇔ x + (2x + 1) = (2x + 1) + 4x + 1 2 2 (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) 2 ⇔ (x + 1) = 2(x + 1) = 0 2 (*) 1 ⎡ ⎢x = − 3 ⎡3x + 1 = 0 ⎢ 3 (*) ⇔ 3(3x + 1)(2x − 3)(5x − 2) = 0 ⇔ ⎢⎢2x − 3 = 0 ⇔ ⎢ x = ⎢ 2 ⎢⎣5x − 2 = 0 ⎢ ⎢x = 2 ⎢⎣ 5 2 ⇔ (x + 2x + 2 + 1)(x − 2x + 1 − 2 ) = 0 ⎡ x 2 + 2x + 2 + 1 = 0 VN ⎢ ⇔⎢ 2 1 2 ⎢⎣ x − 2x + 1 − 2 = 0 ⇔ x1,2 = 2 ± 2 2(2 2 − 1) Ví duï 11: Cho phöông trình : x3 + x 2 − (m + 2)x + m + 1 = 0 . Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm x1, x2, x3 thoûa ñieàu kieän : x1 < x2 < < 2 < x3 Giaûi 3 2 Ñaët f(x) = x + x − (m + 2)x + m + 2 Ñieàu kieän caàn: Giaû söû phöông trình f(x) = 0 coù 3 nghieäm x1, x2, x3 thoûa ñeà baøi, ta coù : f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3) vaø f(2) < 0 ⇔ 9 − m < 0 ⇔ m > 9 Ñieàu kieän ñuû: Giaû söû ta coù: m > 9 f(0) = m + 1 > 0 vaø f(2) = 9 – m < 0 ⇒ f(0).f(2) < 0 Neáu toàn taïi x 2 ∈ (0,2) : f(x 2 ) = 0 (nghóa laø 0 < x2 < 2 (1)) Vì lim x →+∞ f(x) = +∞ neân toàn taïi m > 2 maø f(m) > 0 ⇒ f(2).f(m) < 0 ⇒ Phöông trình ñaõ cho coù 1 nghieäm x3 ∈ (2,m) sao cho f(x) = 0 (nghóa laø 2 < x3 < m (2)). Vì lim x→−∞ f(x) = −∞ , neân toàn taïi n < 0 maø f(n) < 0 ⇒ f(0).f(n) < 0 neân phöông trình coù nghieäm x1 vôùi n < x1 < 0 (3) 31 32 4.11. Giaûi phöông trình : (x 2 + 3x − 4)2 + 3(x 2 + 3x − 4) = x + 4 III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ 4.1. Ñònh m ñeå phöông trình : x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 = 0 (ÑH Ngoaïi Thöông – Khoái D Naêm 2000) coù 4 nghieäm phaân bieät laäp thaønh moät caáp soá coäng. 4.12. Cho phöông trình : x 4 + ax 2 + b = 0 Giaû söû phöông trình coù 4 nghieäm laäp thaønh caáp soá coäng. Chöùng minh: 9a2 − 100b = 0 4.2. Ñònh taát caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå cho phöông trình : x3 + 2(1 − 2m)x 2 + (5 − 7m)x + 2(m + 5) = 0 Coù 3 phaân bieät nhoû hôn 1, bieát raèng phöông trình coù 1 nghieäm khoâng phuï thuoäc m. 4.3. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình : 8x(2x 2 − 1)(8x 4 − 8x 2 + 1) = 1 thoûa maõn ñieàu kieän 0 < x < 1 4.4. Giaûi phöông trình : (x − 2 3)3 + (2x + 3)3 = (3x − 3)3 4.5. Ñònh m ñeå phöông trình : x3 + 3mx 2 − 3x − 3m + 2 = 0 Coù 3 nghieäm x1, x2, x3 vaø x12 + x 22 + x32 nhoû nhaát. 4.6. Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 + (x + 1)2 = Coù 1 nghieäm duy nhaát. m 2 x + x +1 4.7. Ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm: x 4 + x 2 + 2(a − 2)x − a2 + 4a − 3 = 0 4.8. Giaûi phöông trình : 8x3 − 6x = 1 4.9. Giaûi phöông trình : x 4 + x3 − 7x 2 − x + 6 = 0 4.10. Giaûi phöông trình : 12x3 + 4x 2 − 17x + 6 = 0 Bieát phöông trình coù 2 nghieäm maø tích baèng –1 33 34 Giaûi Toùm Taét 4.1. Ñaët t = x 2 . Phöông trình ñaõ cho ⇔ t 2 − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (1) Ñeå phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm döông phaân bieät . ⎧∆ ' = (m + 1)2 − (2m + 1) > 0 ⎪ 1 ⇔ ⎨P = 2m + 1 > 0 ⇔ m > − vaø m ≠ 0 (*) 2 ⎪S = 2(m + 1) > 0 ⎩ Vôùi ñieàu kieän (*), (1) coù 2 nghieäm t1, t2 thoûa 0 < t1 < t 2 . ⎡ π⎤ 4.3. Vì x ∈ [ 0,1] , ñaët x = cost , t ∈ ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ Phöông trình ñaõ cho ⇔ 8cos t(2 cos2 t − 1)(8cos4 t − 8cos2 t + 1) = 1 (*) Vôùi cos2 t − 1 = cos2 t Phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm : x1 = − t 2 < x 2 = − t1 < x3 = t1 < x 4 = t 2 2 ⎛ 1 + cos2 t ⎞ ⎛ 1 + cos2 t ⎞ 8cos t − 8cos t + 1 = 8 ⎜ − 8⎜ ⎟ ⎟⎟ + 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 x1, x2, x3, x4 laäp thaønh moät caáp soá coäng ⇔ 2x3 = x 2 + x 4 ⇔ t 2 = 91 (2) 2 = 2 cos2 2t − 1 = cos4 t (*) ⇔ 8cos t.cos2 t.cos4 t = 1 ⇔ 8cos t.sin t.cos2 t.cos 4 t = sin t 2π ⎡ ⎧ ⎛ π⎞ t1 = ⎢ ∈ t 0, ⎪ 7 ⇔ ⎨ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⇔⎢ π ⎢t = ⎪8t = t + k2 π ∨ 8t = π − t + k2π ⎩ ⎢⎣ 2 9 2π π ⇒ caùc nghieäm phöông trình : x = cos ∨ x = cos 7 9 ⎧t + t = 2(m + 1) (3) Ñònh lyù viete cho : ⎨ 1 2 (4) ⎩t1t 2 = 2m + 1 (2), (3), (4) ⇔ 9m 2 − 32m − 16 = 0 ⇔ m = 4 ∨ m = − ⎧∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0 ⎪ 1.g(1) = 1 − 4m + m + 5 > 0 ⎪ < < x x 1 ⎧ ⎪ 2 YCBT ⇔ ⎨ 1 ⇔ m < −1 ⇔ ⎨s ⎩g( −2) ≠ 0 ⎪ <1 ⎪2 ⎪⎩g(−2) = 4 + 8m + m + 5 ≠ 0 4 thoûa (*) 9 4.2 Phöông trình ñaõ cho coù theå vieát: (−4x 2 − 7x + 2)m + (x3 + 2x 2 + 5x + 10) = 0 (1) Vì phöông trình ñaõ cho coù 1 nghieäm khoâng phuï thuoäc m thì phöông trình (1) voâ ñònh theo m. ⎧⎪ −4x 2 − 7x + 2 = 0 ⇔⎨ ⇔ x = −2 < 1 3 2 ⎪⎩ x + 2x + 5x + 10 = 0 Phöông trình ñaõ cho ⎡ x = −2 ⇔ (x + 2)(x 2 − 4mx + m + 5) = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣g(x) = x − 4mx + m + 5 = 0 4.4. Vì (x − 2 3) + (2x + 3) = 3x − 3 AÙp duïng haèng ñaúng thöùc : (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Phöông trình cho : ⎡ ⎢x = 2 3 ⎢ 3 ⎢ ⇔ 3(x − 2 3)(2x + 3)(3x − 3) = 0 ⇔ ⎢ x = − 2 ⎢ 3 ⎢ ⎢⎣ x = 3 35 36 4.5. Ta coù : (x1 + x 2 + x 3 )2 = x12 + x 22 + x32 + 2(x1x 2 + x 2 x3 + x3 x1 ) 4.7. Phöông trình cho ⇔ a2 − 2(x + 2) − a − x 4 − x 2 + 4x + 3 = 0 ⇔ x12 + x 22 + x32 = (x1 + x 2 + x3 )2 − 2(x1x 2 + x 2 x3 + x3 x1 ) ∆ ' = (x 2 + 1)2 Ñònh lyù viete cho : B ⎧ ⎪⎪x1 + x 2 + x3 = − A = −3m ⇒ x12 + x 22 + x 32 = 9m 2 + 6 ≥ 6 ⎨ C ⎪ x x + x x + x x = = −3 2 3 3 1 ⎪⎩ 1 2 A Daáu “ = “ xaûy ra ⇔ m = 0 Thöû laïi, vôùi m = 0 phöông trình cho trôû thaønh : x3 − 3x + 2 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 2) = 0 ⇔ x1 = x 2 = 1,x 3 = −3 ⎡a = x + 2 + x 2 + 1 ⎡ x 2 + x + 3 − a = 0 (1) ⇔⎢ ⇔⎢ 2 2 ⎣⎢a = x + 2 − x − 1 ⎣⎢ x − x + a − 1 = 0 (2) (1) coù ∆1 = 4a − 11 , (2) coù ∆ 2 = −4a + 5 Phöông trình cho coù nghieäm ⇔ ∆1 ≥ 0 ∨ ∆ 2 ≥ 0 ⇔ a ≥ 4.8. 8x3 − 6x = 1 ⇔ 4x − 3x = Vaäy m = 0 Ñaët x = cos t (*) ⇔ 4 cos3 t − 3cos t = 4.6. MXÑ D = R Phöông trình cho ⇔ ⎡2(x 2 + x + 1) − 1⎤ (x 2 + x + 1) = m ⎣ ⎦ (1) 1 (*) 2 1 π ⎛π ⎞ ⇔ cos3 t = cos = cos ⎜ ± 2 π ⎟ 2 3 ⎝3 ⎠ π 2 π 7π π 2π 5π π = , t3 = − =− , t2 = + 9 3 9 9 3 9 9 π 7π 5π ⇒ nghieäm x = cos , x = cos , x = cos 9 9 9 Choïn t1 = 2 1⎞ 3 3 ⎛ Ñaët t = x 2 + x + 1 = ⎜ x + ⎟ + ≥ 2⎠ 4 4 ⎝ 3⎞ ⎛ (1) ⇔ 2t 2 − t = m ⎜ t ≥ ⎟ 4⎠ ⎝ 4.9. Phöông trình cho ⇔ (x − 1)(x3 + 2x 2 − 5x − 6) = 0 ⎛3⎞ 3 Ñaët y = 2t 2 − 1, y' = 2t cho y' = 0 ⇔ t = 0,y = ⎜ ⎟ = ⎝4⎠ 8 Baûng bieán thieân: Baûng bieán thieân cho, ñeå phöông trình coù 1 nghieäm duy nhaát m ≥ 11 5 ∨m≤ 4 4 ⇔ (x − 1)(x + 1)(x 2 + x − 6) = 0 ⇔ x = ±1 ∨ x = 2 ∨ x = −3 4.10. Goïi x1, x2 laø 2 nghieäm coù x1, x2 = -1 d 1 1 1 Ñònh lyù viete cho: x1 x2 x3 = − = − ⇔ ( −1)x3 = − ⇔ x 3 = a 2 2 3 Phöông trình cho : 1 2 2 1⎞ ⎛ ⇔ ⎜ x − ⎟ (12x 2 + 10x − 12) = 0 ⇔ x = ∨ x = ∨ x = − 2 3 3 2⎠ ⎝ 3 8 ⎧⎪x 2 + 3x − 4 = t 4.11. Ñaët t = x 2 + 3x − 4 . Ta coù heä: ⎨ 2 ⎪⎩t + 3t = x + 4 37 38 ⎧⎪x 2 + 3x − t − 4 = 0 ⎧⎪ x 2 + 3x − t − 4 = 0 (1) ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 2 ⎪⎩t + 3t − x − 4 = 0 ⎪⎩ x − t + 4x − 4t = 0 (2) ⎡t = x ⇔ (x − t)(x + t + 4) = 0 ⇔ ⎢ ⎣ t = −x − 4 . t = 2 : (1) ⇔ x 2 + 2x − 4 = 0 ⇔ x = − ± 5 . t = − x − 4 : (1) ⇔ x 2 + 4x = 0 ⇔ x = −4,x = 0 Vaäy nghieäm x = 0, x = - 4, x = - 1 ± 5 4.12. Ñaët α = x 2 ≥ 0, Phöông trình cho trôû thaønh: α 2 + aα + b = 0 (*) Phöông trình cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ phöông trình (*) coù 2 nghieäm döông phaân bieät : ⎧∆ = a2 − 4b > 0 ⎪ ⎪⎧a < 0 < b 0 < α1 < α 2 ⇔ ⎨P = b > 0 ⇔⎨ 2 ⎪S = − a > 0 ⎩⎪a − 4b > 0 ⎩ Khi ñoù ta coù: x1 = − α 2 < x 2 = − α1 < x3 = α1 < x 4 < α 2 x1 ,x 2 ,x3 ,x 4 hôïp thaønh moät caáp soá coäng ⇔ x 2 + x 4 = 2x3 ⇔ α 2 = 9x1 Ñònh lyù viete: 2 ⎧⎪10α1 = −a ⎧α1 + α 2 = −a ⎛ a ⎞ 2 ⇔ ⇔ − 9 ⎨ ⎨ 2 ⎜ 10 ⎟ = b ⇔ 9a − 100b = 0 α . α = b ⎝ ⎠ ⎩ 1 2 ⎩⎪9α1 = b 39