Tài liệu Bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Cao Thị Hải Yến BƯỚC CHUYỂN TỪ LỜI GIẢI TOÁN HỌC SANG LỜI GIẢI TIN HỌC CỦA MỘT BÀI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Cao Thị Hải Yến BƯỚC CHUYỂN TỪ LỜI GIẢI TOÁN HỌC SANG LỜI GIẢI TIN HỌC CỦA MỘT BÀI TOÁN Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Chí Thành, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy, cô: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga về những bài giảng Didactic Toán sinh động và đầy ý nghĩa. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ Tin học TrườngTHPT Trần Phú đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp didactic Toán khóa 22 vì những sẻ chia, giúp đỡ trong thời gian học tập. Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá trình học tập của tôi. Cao Thị Hải Yến 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 4 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................................5 2. Mục đích và phạm vi nghiên cứu ..................................................................................8 3. Khung lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu..........................................9 4. Tổ chức luận văn ...........................................................................................................10 CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN – MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN ........ 11 1.1. Thế nào là vấn đề - bài toán ......................................................................................11 1.2. Thuật toán và các phương pháp biễu diễn thuật toán ...........................................13 1.3. Biến và lệnh gán .........................................................................................................18 1.4. Cấu trúc cơ bản của thuật toán ................................................................................20 1.5. Một số phương pháp giải quyết vấn đề - bài toán...................................................24 1.6. Vai trò của công cụ tính toán ....................................................................................28 CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI THUẬT TOÁN TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG GIAI ĐOẠN 1990 – 2000 ................................ 30 2.1. Khái niệm thuật toán .................................................................................................31 2.1.1 Phần lý thuyết .........................................................................................................31 2.1.2. Phần bài tập ...........................................................................................................35 2.2. Ngôn ngữ biểu diễn thuật toán .................................................................................38 2.2.1 Phần lý thuyết .........................................................................................................38 2.2.2 Phần bài tập ............................................................................................................42 CHƯƠNG 3: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI THUẬT TOÁN TRONG DẠY HỌC TIN HỌC GIAI ĐOẠN 2006 ĐẾN NAY ............................................. 46 3.1. Bài toán và thuật toán trong [M] .............................................................................47 3.1.1. Khái niệm bài toán ................................................................................................48 3.1.2. Khái niệm thuật toán .............................................................................................49 3.1.3. Một số ví dụ về thuật toán .....................................................................................53 3.1.4 Các tổ chức tin học ................................................................................................61 CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM ............................................................................... 66 4.1. Mục đích và giả thuyết nghiên cứu ..........................................................................66 4.2. Giới thiệu thực nghiệm ..............................................................................................66 2 4.2.1. Hình thức thực nghiệm: .........................................................................................66 4.2.2. Bài toán thực nghiệm ............................................................................................66 4.2.3. Dàn dựng kịch bản ................................................................................................67 4.3. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................................69 4.3.1. Biến tình huống và biến didactic ...........................................................................69 4.3.2. Các chiến lược có thể ............................................................................................70 4.3.3. Phân tích kịch bản .................................................................................................72 4.4 Phân tích hậu nghiệm .................................................................................................75 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 90 PHỤ LỤC ................................................................................................................... 91 3 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giáo viên GV: Giáo viên HS: Học sinh UCLN: Ước chung lớn nhất MT: Máy tính MTCT: Máy tính cầm tay 4 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Toán học và Tin học là hai ngành khoa học có liên quan chặt chẽ mật thiết với nhau. Trong toán học, để giải một bài toán chúng ta cần nghiên cứu giả thiết đã cho, tìm ra những phương pháp có thể có để giải, lựa chọn phương pháp thích hợp nhất (có thể là phương pháp ngắn gọn nhất, cũng có thể là dễ hiểu nhất đối với người làm) và tiến hành giải bài toán đó. Trước đây, con người tự mình giải quyết tất cả những bài toán mà họ bắt gặp. Cùng với sự phát triển của xã hội, con người tìm cách sáng tạo ra các công cụ giúp họ giải quyết những vấn đề trong cuộc sống, và máy tính điện tử ra đời. Ban đầu máy tính điện tử chỉ giúp con người tính toán những phép tính đơn giản như cộng trừ nhân chia các số, đặc biệt là giữa những con số có giá trị lớn. Dần dần, cùng với sự phát triển của các loại ngôn ngữ lập trình, con người cải tiến chiếc máy tính điện tử sao cho nó có khả năng giải quyết những bài toán phức tạp hơn như kiểm tra một số nguyên có phải là số nguyên tố không, tìm số lớn nhất trong dãy các số nguyên, và không những trên lĩnh vực tính toán mà trên nhiều lĩnh vực khác nhau, nhiều loại dữ liệu khác nhau: các số liệu, hình ảnh, âm thanh, … Trong các lĩnh vực đó, chúng tôi quan tâm đến việc lập trình giải các bài toán toán học. Máy tính dưới sự điều khiển của con người (thông qua các chương trình, phần mềm được con người lập trình sẵn trong máy tính) có thể giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp trong thời gian ngắn, không hề biết mệt mỏi hay ảnh hưởng bởi sự tác động của các yếu tố khách quan, trong khi đó, con người không thể làm được, hoặc làm được trong khoảng thời gian lớn và tốn nhiều công sức. Nhưng con người lại có khả năng phản ứng linh hoạt với những tình huống bất ngờ, và xét cho đến cùng con người là nhân tố quyết định khả năng giải quyết các vấn đề, bài toán của MT. Vì vậy trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến quá trình mà con người “ra lệnh” cho MT giải quyết các vấn đề, bài toán. Với những ứng dụng đa dạng và phong phú trong nhiều lĩnh vực, Tin học bắt đầu được đưa vào giảng dạy ở chương trình phổ thông ở hầu hết các nước. Theo Nguyễn Chí Thành (2005), tại Pháp và Việt Nam, Tin học được đưa vào trường phổ thông theo hai hình thức: - Đưa các yếu tố Tin học vào môn Tin học với tư cách là môn học độc lập; - Đưa các yếu tố Tin học vào môn Toán học; 5 Ở Việt Nam, khác với Toán học là môn học xuyên suốt trong chương trình phổ thông, môn Tin học mới được đưa vào giảng dạy ở trường phổ thông từ những năm 1990. Trong chương trình cải cách giáo dục năm 1990 (từ 1990 đến trước 2000) Tin học được đưa vào dạy lồng ghép với môn toán, trong chương IV: Khái niệm sơ đẳng về tin học và thuật toán - đại số lớp 10 (Trần Văn Hạo, Nxb Giáo dục - 1990). Đến chương trình cải cách giáo dục 2006, Tin học xuất hiện trong chương trình phổ thông với tư cách là môn học độc lập và là môn học chính khóa. Cũng theo Báo cáo của uỷ ban nghiên cứu Dacunha-Castelle, 1989: Chúng tôi không nghĩ rằng Tin học phải được giảng dạy như một môn (lí thuyết) riêng biệt ở cấp bậc phổ thông. Thật vậy, Tin học dạy ở trình độ này sẽ chưa các nguy cơ liên quan đến sự hình thức hoá và nó sẽ còn nghiêm trọng hơn cả những cái có thể có bên Toán học. Lập luận cho rằng một số học sinh yếu kém trong môn Toán học có thể sẽ khá hơn khi học Tin .học không có nhiều cơ sở lí thuyết. Ngược lại, việc dẫn nhập các phương tiện Tin học có thể « cứu vãn » các học sinh có khó khăn và khuyến khích các em khác khi học toán. [11, tr 254] Từ đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Việc đưa tin học vào giảng dạy trong chương trình phổ thông với tư cách là một môn học độc lập ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập môn Toán và môn Tin học của học sinh ở bậc phổ thông? Học sinh có nhận thấy mối liên hệ mật thiết giữa hai môn học này hay không? Như đã nói ở trên, việc giải một bài toán trong toán học thì chỉ cần đưa ra một phương pháp hay thuật toán giải và tiến hành giải theo thuật toán để tìm đáp án là bài toán đã được giải xong. Tuy nhiên, để MT giải được bài toán đó, từ lời giải toán học được đưa ra, con người cần phải viết một chương trình hoàn chỉnh theo một ngôn ngữ lập trình nào đó rồi biên dịch thành ngôn ngữ máy và cài đặt vào MT, khi đó MT mới hiểu và giải quyết được bài toán. Vậy thế nào là lời giải toán học, thế nào là lời giải tin học? Chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu các nguồn tài liệu để trả lời cho câu hỏi trên. Tuy nhiên, qua những tài liệu mà chúng tôi có được, chúng tôi không tìm được định nghĩa “lời giải toán học” và “lời giải tin học”. Vì vậy, chúng tôi xin đưa ra định nghĩa lời giải toán học và lời giải tin học như sau: - Lời giải toán học là lời giải của một bài toán dựa trên các kiến thức toán học sao cho tìm được kết quả cho bài toán sau khi kết thúc lời giải mà con người có thể hiểu được. 6 - Lời giải tin học là lời giải của một bài toán được biễu diễn bằng một thuật toán hoặc chương trình sao cho có thể cài đặt được trên MT và cho kết quả bài toán. Xét bài toán: Với a là số nguyên lớn hơn 2 cho trước, tính tổng: S= 1 1 1 1 + + + ... + a a +1 a + 2 a + 50 Có nhiều cách để tính tổng trên, một lời giải toán học được đưa ra để tính tổng trên là quy đồng mẫu số tất cả các số hạng rồi cộng các phân số cùng mẫu, hoặc ta có thể tính tổng S bằng cách thực hiện phép cộng dồn từ trái sang phải đến số hạng cuối cùng thì ta có tổng cần tính (vẫn dùng quy đồng mẫu số các phân số): S= 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = + + + ... + a a +1 a + 2 a + 50  a a +1 a + 2 a + 50  2 a +1 a ( a +1) 2 a +1 a ( a +1)  Tuy nhiên, nếu lập trình để MT giải quyết bài toán này theo lời giải toán học trên thì MT sẽ không hiểu được “quy đồng” là gì? Lời giải tin học của bài toán này dựa trên việc xây dựng vòng lặp để tính tổng như sau: Phát biểu lại bài toán: Tính tổng S = 1 1 1 1 + + + ... + với N = 1;50 a a +1 a + 2 a+N Để tính tổng này ta sẽ không thực hiện gán giá trị S cho biểu thức 1 1 1 1 + + + ... + nữa mà sẽ thực hiện cộng dồn từng giá trị của các số hạng vào a a +1 a + 2 a+N tổng S bằng cách sử dụng vòng lặp. Việc tính tổng kết thúc khi N > 50 . Và thuật toán để giải bài toán trên như sau: Bước 1: Khởi tạo S và N; S ← 1 ; N ←0 a Bước 2: N ← N + 1 ; Bước 3: Nếu N > 50 thì chuyển đến bước 5; Bước 4: S ← S + 1 ( a + N ) rồi quay lại bước 2; Bước 5: In ra S và kết thúc. Sau đó thuật toán này sẽ được viết thành chương trình trong một ngôn ngữ nào đó để máy tính thực hiện việc tính tổng. 7 Nếu như không có MT, khi các số hạng của tổng được tăng lên đến 100, 1000, … số hạng hay khi giá trị của a lớn thì con người sẽ mất rất nhiều thời gian và công sức để có thể tính được tổng trên, và đôi khi có thể không tính được giá trị của tổng. Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của công cụ tính toán là MT, thông qua việc xây dựng chương trình tính tổng xuất phát từ thuật toán trên, ta có thể tính tổng S với số lượng số hạng bất kỳ giá trị a nguyên bất kỳ chỉ trong khoảng thời gian rất ngắn. Từ một bài toán cụ thể thì chưa thể kết luận được điều gì. Tuy nhiên chúng tôi nhận thấy rằng dường như từ lời giải toán học sang thuật toán trong ngôn ngữ lập trình (lời giải tin học) có một bước chuyển. Bước chuyển đó là không dễ dàng đối với những người làm công việc lập trình, đặc biệt là đối với học sinh phổ thông - đối tượng mới được làm quen với tin học và lập trình trong tin học. Vì vậy, câu hỏi chúng tôi đặt ra ở đây là: Học sinh phổ thông sẽ làm như thế nào để chuyển từ lời giải toán học của bài toán trên sang lời giải tin học khi mà Toán học và Tin học được tách thành hai môn học chính khóa? Tất cả những điều trên dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu “Bước chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán”. Từ những ghi nhận trên, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi ban đầu như sau: - Giữa lời giải toán học và lời giải tin học của một bài toán có gì giống và khác nhau? - Liệu rằng học sinh có nhận thấy sự cần thiết hay điều gì dẫn học sinh tới việc sử dụng tin học để giải quyết các bài toán toán học? - Học sinh gặp phải khó khăn, chướng ngại và sai lầm gì khi chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán? Trong quá trình giảng dạy tin học giáo viên quan tâm như thế nào đến việc hình thành bước chuyển đó? - Bước chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán tin học có tác động như thế nào đến việc hình thành tri thức về thuật toán, tri thức tin học ở học sinh? - Vai trò của ngôn ngữ thuật toán? 2. Mục đích và phạm vi nghiên cứu Việc nghiên cứu bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học có thể xem xét ở nhiều phạm vi khác nhau: trong chương trình và SGK, trong thực hành giảng dạy của GV, trong thực hành giải toán của HS. Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi tập trung vào 8 việc nghiên cứu bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán trong chương trình và SGK Tin học PT hiện hành. Cụ thể, chúng tôi sẽ: - Làm rõ bước chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán ở bậc trung học phổ thông (nếu có) và ảnh hưởng của nó đến việc hình thành tri thức về thuật toán và tin học ở học sinh. - Phân tích sự lựa chọn của chương trình và SGK Toán học và Tin học để biết sự lựa chọn này có ảnh hưởng như thế nào đến việc hình thành bước chuyển đó. Những khó khăn, chướng ngại và sai lầm của học sinh khi chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán. - Những bài toán được giải quyết trong tin học có tồn tại trong toán học và yêu cầu của hai thể chế đối với bài toán đó. 3. Khung lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu 3.1. Khung lý thuyết tham chiếu Nội dung đề tài liên quan đến cả hai lĩnh vực Toán học và Tin học. Vì vậy việc chọn một khung lý thuyết phù hợp để tham chiếu cho việc nghiên cứu là rất quan trọng. Ở đây, chúng tôi muốn ứng dụng lý thuyết Didactic toán, cụ thể: lý thuyết nhân chủng học, chướng ngại và sai lầm, lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic trong việc nghiên cứu dạy học Tin học. Dựa trên khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức luận, thuật toán và ngôn ngữ thuật toán có những đặc trưng cơ bản nào? Q2: Mối quan hệ thể chế (thể chế dạy học toán học PT giai đoạn 1990 – 2000 và thể chế dạy học tin học PT hiện nay) đối với thuật toán có những đặc trưng cơ bản nào? Bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán được thực hiện hay không, nếu có thì được thực hiện như thế nào? Bước chuyển đó tác động như thế nào đến việc hình thành tri thức về thuật toán, tri thức tin học ở học sinh? Q3: Trong thể chế dạy học toán học trung học phổ thông hiện nay, tồn tại hay không những kiểu nhiệ m vụ liên quan đến thuật toán? Có những bài toán toán học nào được viết dưới dạng thuật toán để chuyển sang bài toán tin học? Và ngược lại, những bài toán được 9 giải quyết trong tin học có tồn tại trong thể chế dạy học toán học không? Nếu tồn tại ở cả hai thể chế thì những mong đợi thể chế của hai môn học đối với bài toán đó có gì giống và khác nhau? Q4: Học sinh gặp phải khó khăn, chướng ngại và sai lầm gì khi chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán? 3.2 Phương pháp nghiên cứu • Tiến hành nghiên cứu lý thuyết thuật toán và các phương pháp giải quyết vấn đề - bài toán trên máy tính được đề cập trong tài liệu: Hoàng Kiếm, Giải một bài toán tin học như thế nào?,tập 1, Nxb Giáo dục. Tìm hiểu mối quan hệ giữa thuật toán và công cụ tính toán qua công trình nghiên cứu của Nguyễn Chí Thành (2005) để trả lời cho câu hỏi Q1. • Tiến hành phân tích làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế đối với thuật toán để trả lời cho câu hỏi Q2. Chúng tôi tiến hành phân tích hai thể chế: - Thể chế dạy học Toán học phổ thông giai đoạn 1990 – 2000. - Thể chế dạy học Tin học phổ thông giai đoạn hiện hành. • Phân tích giáo khoa Toán hiện hành để tìm hiểu những bài toán trong chương trình toán phổ thông được viết dưới dạng ngôn ngữ thuật toán và sự tồn tại của các bài toán được đề cập trong tin học trong chương trình toán phổ thông, những mong đợi của hai thể chế đối với bài toán đó (nếu có) để trả lời cho câu hỏi Q3. • Để trả lời cho câu hỏi Q4: Tiến hành thực nghiệm trên học sinh để biết được những khó khăn và chướng ngại, sai lầm mà học sinh gặp phải khi thực hiện bước chuyển từ lời giải theo ngôn ngữ toán học sang thuật toán trong tin học thông qua phần mềm Algobox. 4. Tổ chức luận văn Phần mở đầu Chương 1: Thuật toán trong giáo trình bậc đại học. Chương 2: Mối quan hệ thể chế đối vối thuật toán trong dạy học toán học lớp 10 giai đoạn 1999 – 2000. Chương 3: Mối quan hệ thể chế đối với thuật toán trong dạy học toán học và tin học lớp 10 giai đoạn 2006 đến nay. Chương 4: Thực nghiệm. Kết luận Tài liệu tham khảo 10 CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN – MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN Mục tiêu của chương Trong chương này chúng tôi sẽ đi làm rõ những vấn đề liên quan đến thuật toán trong tin học và các phương pháp giải quyết vấn đề - bài toán được trình bày trong giáo trình “Giải một bài toán trên máy tính như thế nào?”, tập 1của tác giả Hoàng Kiếm, Nxb Giáo dục. Qua đó làm cơ sở tham chiếu cho các phân tích ở chương 2 và chương 3. 1.1. Thế nào là vấn đề - bài toán Theo Hoàng Kiếm, Giải một bài toán trên máy tính như thế nào?, Nxb Giáo dục, hiểu một cách đơn giản vấn đề là “những vướng mắc, khó khăn trong cuộc sống mà chúng ta cần giải quyết” và dưới góc nhìn khoa học thì “vấn đề thường được thể hiện dưới dạng một bài toán” còn “bài toán là một loại vấn đề mà để giải quyết nó, chúng ta phải ít nhiều cần đến tính toán như các bài toán trong vật lý, hóa học, xây dựng, kinh tế, …” Trong một thời kỳ dài, các nhà khoa học đều cho rằng “mọi vấn đề đều có thể biểu diễn dưới dạng một bài toán”. Hơn thế nữa, khi đại số đang ở đỉnh cao của sự phát triển, Descartes phát biểu rằng: “tất cả mọi bài toán đều có thể quy về bài toán đại số, từ đó, việc giải toán chỉ là vấn đề của giải phương trình”. Và vì vậy, ở thời kỳ này các nhà khoa học trong tất cả các lĩnh vực đều cố gắng biểu diễn các bài toán trong lĩnh vực của mình dưới dạng các phương trình toán học. Tuy nhiên cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà khoa học cũng dần nhận thức được rằng Toán học không phải là công cụ vạn năng để giải quyết mọi vấn đề. Về sau, Pythagore chia những vấn đề mà con người cần giải quyết ra làm hai loại: Theorem và Problem. Trong đó: - Theorem là vấn đề cần được khẳng định tính đúng sai. - Problem là vấn đề cần tìm giải pháp để đạt được một mục tiêu xác định từ những điều kiện ban đầu nào đó. Sau đó các nhà nghiên cứu lại cho rằng, hai loại vấn đề mà Pythagore đưa ra đều có thể được diễn đạt bằng sơ đồ sau: 11 Trong đó: A là giả thuyết hoặc điều kiện ban đầu B là kết luận hoặc mục tiêu cần đạt “ ⇒ ” là suy luận, giải pháp cần xác định. Tuy nhiên trên thực tế, không phải lúc nào ta cũng gặp những vấn đề mà A và B được xác định rõ ràng, chính xác. Vì vậy, nếu xét theo tính rõ ràng của vấn đề thì người ta chia vấn đề thành 4 loại: Loại 1 là các vấn đề - bài toán với thông tin về A và B rất rõ ràng, loại 2 có mục tiêu không rõ ràng, loại 3 có giả thiết không rõ ràng và cuối cùng là loại 4 với cả giả thiết và mục tiêu đều không rõ ràng. Việc giải quyết các vấn đề - bài toán nhanh hay chậm, đơn giản hay phức tạp là phụ thuộc nhiều yếu tố khác nhau. Có những vấn đề được giải quyết thông qua nhiều quá trình phức tạp và cũng có những vấn đề tưởng chừng như rất đơn giản nhưng để giải quyết nó đôi khi con người phải lặp đi lặp lại các thao tác giống nhau dẫn đến sự nhàm chán. Vì vậy sự ra đời của MT đã giúp cho con người giải quyết các vấn đề - bài toán một cách đơn giản hơn. Bởi vì so với con người, MT có thể tính toán một khối lượng phép tính rất lớn với tốc độ cực nhanh, chính xác mà không hề biết “mệt mỏi” hay nhàm chán. Tuy nhiên, như đã nói trong phần mở đầu, không phải là MT tự bản thân nó có khả năng thực hiện những tính toán đó, mà con người chính là nhân tố quyết định cho quá trình giải quyết các vấn đề - bài toán của máy tính. MT chỉ thực hiện các quá trình tính toán theo các yêu cầu của con người được cài đặt sẵn trong chương trình của máy. Nhưng MT lại không hiểu được ngôn ngữ của con người, mà chỉ hiểu những yêu cầu dưới dạng những con số nhị phân 0 và 1. Ban đầu (trong các thế hệ MT đầu tiên) để hướng dẫn cho MT thực hiện các yêu cầu của mình con người phải “ra lệnh” cho MT bằng ngôn ngữ máy, tuy nhiên việc này tốn quá nhiều công sức. Sau này con người sáng tạo ra một loại ngôn ngữ “dễ chịu” hơn mà ta thường gọi là ngôn ngữ bậc cao. Ngôn ngữ bậc cao gần giống với tiếng Anh nên việc ra lệnh bằng ngôn ngữ này dễ dàng hơn so với ngôn ngữ máy. Có nhiều loại ngôn ngữ bậc cao khác nhau, trong đó phải kể đến ngôn ngữ Basic, Pascal và C. Với sự ra đời của ngôn ngữ bậc cao, việc ra lệnh cho MT không còn phức tạp như trước nữa. Lúc này, việc quá trình giải quyết một vấn đề - bài toán nào đó bắt đầu từ việc xác định bài toán, nghĩa là xác định dữ liệu vào, ra và các yêu cầu đối với thuật toán rồi lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp với dữ liệu vào ra của bài toán. Tiếp đó là xây dựng thuật 12 toán, lập trình, kiểm thử và cuối cùng là tối ưu chương trình. Sau khi xây dựng được một chương trình hoàn thiện, chương trình sẽ được biên dịch thành ngôn ngữ máy và cài đặt vào MT. Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết tất cả các quá trình trên mà tập trung nghiên cứu thuật toán và việc xây dựng thuật toán. 1.2. Thuật toán và các phương pháp biễu diễn thuật toán Từ “thuật toán” (Algorithm) xuất phát từ tên một nhà toán học người Trung Á là Abu Abd - Allah ibn Musa al’Khwarizmi. Ông là tác giả một cuốn sách về số học, trong đó ông đã dùng phương pháp mô tả rất rõ ràng, mạch lạc cách giải những bài toán. Sau này, phương pháp mô tả cách giải của ông đã được xem là một chuẩn mực và được nhiều nhà toán học khác tuân theo. Từ Algorithm ra đời dựa theo cách phiên âm tên của ông. Trong từ điển bách khoa toàn thư, Hebeinstrait đưa ra định nghĩa sau đây cho “thuật toán”: Thuật toán là một dãy hữu hạn các quy tắc cần áp dụng trong một thứ tự nhất định cho một số hữu hạn các dữ liệu, để sau một số bước hữu hạn có thể đi đến một kết quả, và điều đó không phụ thuộc vào các dữ liệu. [11, tr 258] Còn trong khoa học về máy tính, “thuật toán được định nghĩa là một dãy hữu hạn các bước không mập mờ và có thể thực thi được, quá trình hành động theo các bước này phải dừng và cho kết quả như mong muốn”, [8, tr 50].  Các tính chất cơ bản của thuật toán: Thuật toán có ba tính chất cơ bản là tính xác định, hữu hạn, tính đúng. Trong đó, số bước hữu hạn của thuật toán và tính chất dừng của nó được gọi chung là tính hữu hạn. Số bước hữu hạn của thuật toán là một tính chất khá hiển nhiên. Tính “không mập mờ” và “có thể thực thi được” gọi chung là tính xác định. Ngoài những đặc trưng trên, thuật toán còn có những đặc trưng khác như sau: Thứ nhất, đầu vào và đầu ra. Mọi thuật toán cho dù đơn giản hay phức tạp đến đâu cũng phải nhận dữ liệu đầu vào, xử lý nó và cho ra kết quả cuối cùng. Thứ hai, tính hiệu quả. Tính hiệu quả được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thi hành. Đây là yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Phương pháp phổ biến nhất để đánh giá thuật toán là độ phức tạp của thuật toán. 13 Khi viết thuật toán để giải quyết một bài toán nào đó thì thông thường thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp chứ không phải chỉ một vài trường hợp riêng lẻ của bài toán. Đó chính là tính tổng quát của thuật toán. Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc hai bằng Delta luôn áp dụng được cho mọi số thực a, b, c. Tuy nhiên, trong thực tế không phải lúc nào người ta cũng xây dựng được các thuật toán tổng quát, mà đôi khi chỉ xây dựng được thuật toán áp dụng cho một số trường hợp hay cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi.  Các phương pháp biểu diễn thuật toán Thuật toán là phương pháp biểu diễn lời giải của bài toán dưới một góc độ nào đó, vì vậy cũng cần phải tuân theo một số quy tắc nào đó. Để biểu diễn thuật toán, người ta thường dùng 3 phương pháp sau: - Dùng ngôn ngữ tự nhiên. - Dùng lưu đồ - sơ đồ khối (flowchart). - Dùng mã giải (ngôn ngữ giả lập trình). • Ngôn ngữ tự nhiên Đó là cách biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ thường ngày, liệt kê các bước của thuật toán. Phương pháp này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc phải nắm các quy tắc nào cả. Tuy nhiên cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu lầm và khó hiểu cho người đọc. Vì vậy để dễ đọc, người ta thường viết các bước con lùi vào bên phải và đánh số bước theo quy tắc phân cấp như 1, 1.1, 1.1.1. Chẳng hạn thuật toán Euclide tìm UCLN của hai số nguyên được biễu diễn như sau: 14 [8, tr 58] • Lưu đồ - sơ đồ khối Đây là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán. Việc biểu diễn bằng sơ đồ khối sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán, thường sử dụng trong những thuật toán rắc rối phức tạp và khó theo dõi được quá trình xử lý. Việc biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối yêu cầu người viết cần phân biệt hai loại thao tác, đó là thao tác lựa chọn dựa theo một điều kiện nào đó và thao tác hành động (hay thao tác xử lý). • Thao tác chọn lựa được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu thức điều kiện. ∆>0 a=b • Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội dung xử lý, chẳng hạn: Tăng i lên 1 Chọn một hộp bất kỳ • Đường đi. Khi biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên ta mặc định hiểu rằng quá trình thực hiện diễn ra theo trình tự từ bước trước sang bước sau và chỉ nhảy tới bước nào đó khi có yêu cầu. Đối với việc biểu diễn bằng sơ đồ khối, các bước được thể hiện bằng hình vẽ và có thể đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên cần phải có phương pháp để thể hiện trình tự thực hiện các thao tác. Theo đó hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một cung, trên cung có mũi tên chỉ hướng thực hiện. Như vậy việc thực hiện các thao tác trên sơ đồ khối tuân theo chỉ dẫn của đường mũi tên. Từ thao tác lựa chọn có thể có đến hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện thỏa và hướng còn lại ứng với điều kiện không thõa. Do vậy ta dùng hai cung xuất phát từ các đỉnh hình thoi, trên mỗi cung có ký hiệu Đ/S hoặc Yes/No để chỉ hướng đi ứng với hai trường hợp thõa điều kiện và không thõa điều kiện đặt ra. 15 Ví dụ: thuật toán giải phương trình bậc hai được biểu diễn bằng sơ đồ khối. [8, tr 62] • Điểm cuối Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật toán được biểu diễn bằng hình ôvan bên trong có ghi chữ “Bắt đầu” (Begin) hoặc “Kết thúc” (End). Điểm cuối chỉ có cung đi ra (điểm khởi đầu) hoặc chỉ có cung đi vào (điểm kết thúc). Ngoài ra, việc biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối là khá cồng kềnh nên trong môt số thuật toán phức tạp, trên sơ đồ khối thường được chia thành nhiều phần khác nhau, và các phần đó được nối với nhau bằng các điểm nối (connector). Khi sơ đồ biểu diễn thuật toán quá lớn, phải trình bày trên nhiều trang giấy, người ta phải dùng các điểm nối phần sơ đồ từ trang này sang trang khác, đó gọi là điểm nối sang trang (off – page – connector). Bên trong các điểm nối đặt một ký hiệu để biết được sự liên hệ giữa các điểm nối hay các điểm nối sang trang. 16 Điểm nối giữa các phần khác nhau của sơ đồ. Điểm nối sang trang (off - page - connector) [8, tr 63] • Ngôn ngữ giả lập trình (mã giả) Một nhược điểm của việc biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối là sự cồng kềnh, dù chỉ để mô tả một thuật toán nhỏ ta cũng phải cần đến một không gian rất lớn. Hơn thế nữa sơ đồ khối chỉ phân biệt hai loại thao tác là thao tác lựa chọn và thao tác rẽ nhánh trong quá trình xử lý, nhưng trong thực tế còn có thêm các thao tác lặp. Vì vậy ta sử dụng một phương pháp biểu diễn thuật toán khác, đó chính là dùng ngôn ngữ giả lập trình (mã giả). Khi sử dụng thuật toán bằng ngôn ngữ giả lập trình, ta sẽ vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó và dùng một phần ngôn ngữ tự nhiên để thể hiện thuật toán. Tất nhiên, mọi ngôn ngữ lập trình đều có những thao tác cơ bản là xử lý, rẽ nhánh và lặp. Từ 17 thuật toán người ta cần phải viết thành chương trình trong một ngôn ngữ lập trình cụ thể và biên dịch thành ngôn ngữ máy. Vì vậy, việc dùng ngôn ngữ giả lập trình vừa tận dụng được các khái niệm trong ngôn ngữ lập trình, vừa giúp người cài đặt dễ dàng nắm bắt nội dung thuật toán. Và một khi đã vay mượn cú pháp và khái niệm của ngôn ngữ lập trình nào đó thì chắc chắn rằng ngôn ngữ giả lập trình sẽ bị phụ thuộc vào ngôn ngữ lập trình (NNLT) đó. Sau đây là một ví dụ về biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ giả lập trình: [8, tr 64 ] 1.3. Biến và lệnh gán Để biễu diễn thuật toán ngắn gọn hơn, người ta sử dụng các biến - nơi lưu trữ giá trị. Trong tin học, mỗi biến bất kì đều có ba thuộc tính cơ bản: tên, kiểu biến và giá trị hiện tại mà biến đang lưu giữ. Giá trị của biến có thể thay đổi trong quá trình thực hiện chương trình, tuy nhiên kiểu biến và tên biến không thay đổi. Chẳng hạn, nếu biến A lưu trữ giá trị số nguyên thì nó không thể lưu trữ giá trị số thực hay chuỗi kí tự. Mỗi biến đều có tên riêng để phân biệt với các biến khác. Trong các chương trình, tùy vào từng ngôn ngữ lập trình khác nhau mà có những yêu cầu đối với việc đặt tên biến nhưng đều tuân thủ một nguyên tắc chung là ngắn gọn và dễ nhớ. Biến có thể thay đổi giá trị trong quá trình thực hiện chương trình. Để thay đổi giá trị của biến, ta sử dụng lệnh gán với cú pháp như sau: Biến:= Lệnh gán không phải là phép so sánh giữa hai biểu thức mà là thao tác tính giá trị biểu thức bên phải lệnh gán và đặt kết quả này vào biến ở bên trái lệnh gán. Lệnh gán làm thay đổi giá trị hiện tại của biến và không thể nào lấy lại giá trị này của biến. Chẳng hạn, xét 18