Tài liệu Bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh thông qua phương pháp giải bài tập toán ở cấp phổ thông trung học

  • Số trang: 77 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 189 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 39837 tài liệu

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Quang Hòe thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin trân trọng cảm ơn tất cả quý thầy cô trường Đại học Quảng Bình đặc biệt là các thầy cô giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên đã góp ý, bổ sung và góp phần quan trọng cho sự hoàn thiện khóa luận. Em xin trân trọng cảm ơn tất cả quý thầy cô trường THPT Lệ Thủy đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Ngọc Ninh thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong thời gian em thực tập tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Quảng Bình đã động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành tốt khóa luận này.Đồng thời cũng xin cảm ơn các em học sinh lớp 10A4, 10A10 trường THPT Lệ Thủy đã cùng tôi học tập nghiên cứu để có kết quả thực nghiệm trong khóa luận này. Đồng Hới, tháng 05 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Duyến MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU ............................................................................................ 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. ................................................................................. 1 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. ......................................................................... 1 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. ........................................................................ 2 IV.PHẠM VI NGHIÊN CỨU............................................................................. 2 V. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU......................................................... 2 VI.Ý NGHĨA CỦA KHÓA LUẬN. ................................................................... 3 VII. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN. ....................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................ 4 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI ................................................... 4 §1.NỘI DUNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH .................................................................................................................. 4 I. Phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh. .............................................................. 4 II. Bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh .................................. 9 §2. NỘI DUNG CỦA VIỆC DẠY CÁC BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC ............................................ 11 I. Nội dung cơ bản của việc dạy các bài tập toán cho học sinh. ........................ 11 II.Việc tìm lời giải các bài tập toán có nhiều khả năng để phát triển tư duy cho học sinh. ........................................................................................................... 11 CHƯƠNG II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở CẤP PHỔ THÔNG TRUNG HỌC ................................................... 12 §1. BIỆN PHÁP 1. KHAI THÁC TRIỆT ĐỂ CÁC GIẢ THIẾT CỦA BÀI TOÁN .............................................................................................................. 12 I. Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán. ............................................ 12 II. Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng có trong bài toán để tìm đường lối giải. .................................................................................................. 18 §2. BIỆN PHÁP 2. PHÂN TÍCH BIẾN ĐỔI ĐỒNG THỜI GIẢ THIẾT VÀ KẾT LUẬN...................................................................................................... 22 I. Làm gần gũi giả thiết và kết luận bởi việc định hướng các phép biến đổi giả thiết bằng cách dựa vào những điều kiện quan sát và phân tích được ở kết luận. ......................................................................................................................... 22 II. Phân tích và biến đổi kết luận (yêu cầu bài toán đòi hỏi) bởi những hợp lý qua quan sát được từ việc phân tích giả thiết để làm cho kết luận ngày càng gần với giả thiết hơn hoặc là chứng minh kết luận mà bài toán đòi hỏi là đúng đắn. ..... 24 III. Phân tích và biến đổi đồng thời cả giả thiết và kết luận, cả điều đã cho và điều mà bài toán đòi hỏi, làm cho chúng đồng thời xích lại gần nhau hơn. ....... 26 §3. BIỆN PHÁP 3. CHUYỂN HÓA NỘI DUNG BÀI TOÁN. ...................... 30 I. Chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. ......................................................................... 30 II. Chuyển bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số về bài toán chứng minh bất đẳng thức. ............................................................................... 32 III. Chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số về bài toán tìm miền giá trị của hàm số. ...................................................................... 34 IV. Chuyển việc chứng minh các bất đẳng thức, giải các bất phương trình, nghiên cứu các phương trình về việc xác định tính chất của hàm số. ................ 36 V. Chuyển việc tính số trị của các biểu thức lượng giác về việc lập phương trình lượng giác. ....................................................................................................... 37 §4. BIỆN PHÁP 4. CHUYỂN HÓA HÌNH THỨC BÀI TOÁN ..................... 38 I. Nội dung của biện pháp................................................................................. 38 II. Ví dụ minh họa. ........................................................................................... 38 §5. BIỆN PHÁP 5. LỰA CHỌN CÁC CÔNG CỤ ĐỂ GIẢI TOÁN.............. 39 I. Nội dung của biện pháp................................................................................. 39 II. Ví dụ minh họa. ........................................................................................... 39 §6. BIỆN PHÁP 6. CHUYỂN ĐỔI ẨN SỐ, SỐ PHƯƠNG TRÌNH, BẬC CỦA ẨN , BẬC CỦA PHƯƠNG TRÌNH. ................................................................ 42 I. Nội dung của biện pháp................................................................................. 42 II. Ví dụ minh họa. ........................................................................................... 42 §7. BIỆN PHÁP 7. VẬN DỤNG CÁC THAO TÁC: KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ ................................................................................. 44 I.Nội dung của biện pháp. ................................................................................ 44 II. Ví dụ minh họa ............................................................................................ 44 §8. BIỆN PHÁP 8. GỢI Ý HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .................................................................................................................... 46 I. Nội dung của biện pháp................................................................................. 46 II. Ví dụ minh họa ............................................................................................ 46 §9. BIỆN PHÁP 9. BIẾT VẬN DỤNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN .................................................................................................... 48 I. Nội dung của biện pháp................................................................................. 48 II. Ví dụ minh họa. ........................................................................................... 48 CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................... 49 §1. CÁC YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƯỢC ĐỐI VỚI VIỆC DẠY BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH ............................................................................................. 50 §2. CÁC YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƯỢC CỦA CÔNG VIỆC BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN ..................................................................................... 51 I. Rèn luyện khả năng phân tích bài toán. ......................................................... 51 II. Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải. ....................... 53 III. Rèn luyện khả năng chọn lựa phương pháp và công cụ. ............................ 57 §3. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 60 PHẦN III. KẾT LUẬN .................................................................................... 70 I. Xét về mặt nhận thức. ................................................................................... 70 II. Những kết luận về phương pháp tư duy. ...................................................... 70 III. Những kết luận về mặt tác dụng tư tưởng và tác động tâm lý. .................... 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 73 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xuất phát từ mục đích đào tạo học sinh trong nhà trường phổ thông “ Tập trung nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, khả năng lập nghiệp” (Nghị quyết Đại hội XI của Đảng). Từ đó có một vấn đề lớn đặt ra cho sự nghiệp giáo dục, đào tạo xác định được mục tiêu chiến lược “ Nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng nền văn hóa và con người Việt Nam ”. Trong vấn đề này việc bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học là một việc quan trọng và trách nhiệm của giáo viên là phải thực hiện sao cho tốt. Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực. Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, em rất quan tâm đến vấn đề dạy học là rèn luyện năng lực tư duy và phương pháp suy luận cho học sinh khi ra trường nhận nhiệm vụ. Vì những lý do trên, em chọn đề tài: “Bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh thông qua phương pháp giải bài tập toán ở cấp phổ thông trung học”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Tìm ra một số biện pháp nhằm bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán. Từ đó giúp học sinh có hứng thú và có sự say mê trong việc giải bài tập toán. - Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực để vận dụng tốt vào công việc giảng dạy sau này. 1 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh và cơ sở lí thuyết của dạy học giải bài tập toán học. - Vận dụng các biện pháp dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua phương pháp giải bài tập toán. - Đưa ra các ví dụ minh họa cho các biện pháp. - Thực nghiệm sư phạm nhằm rút kinh nghiệm để vận dụng vào việc dạy học sau này. IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập toán, và các tài liệu đổi mới dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh - Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 và tham khảo các sách bài tập khác. - Tìm hiểu tài liệu thông qua internet. V. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp nghiên cứu đặt ra trong đề tài này là: 1. Xét về mặt hình thức: Nội dung và phương pháp tìm lời giải các bài tập toán có vai trò gì trong việc rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình dạy và học? 2. Xét về phương pháp tư duy: a. Phân tích tìm lời giải các bài tập toán có rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy chính xác, nghiêm túc, chặt chẽ trong phạm vi của một vấn đề hay không? b. Phân tích tìm lời giải các bài tập toán có rèn luyện khả năng tư duy nhạy bén và linh hoạt cho việc học toán của học sinh không? c. Phân tích tìm lời giải các bài tập toán có giúp ích gì cho việc phán đoán và tìm các khẳng định cho các phán đoán để đi đến việc giải các bài toán? 3. Xét về mặt tác dụng tư tưởng và tác động tâm lý: - Công việc phân tích tìm lời giải các bài tập toán có đóng góp được gì trong việc nâng cao hiệu quả của việc học toán cho học sinh? - Việc tìm lời giải các bài tập toán có mở mang được trí tuệ một cách tự giác, tự tin và lạc quan cho học sinh không? 2 VI. Ý NGHĨA CỦA KHÓA LUẬN 1. Đối với học sinh - Giúp học sinh học tốt môn Toán, đặc biệt là việc giải các bài tập toán. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải quyết bài tập. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng các phương pháp đó để giải bài tập. - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết các dạng bài tập. 2. Đối với bản thân Đề tài đã giúp em làm quen dần với phương pháp nghiên cứu khoa học. Đồng thời, bằng việc hệ thống các biện pháp bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán bản thân em có thêm nhiều kiến thức và kinh nghiệm làm cơ sở và nền tảng cho công tác giảng dạy sau này. Ngoài ra, đề tài này có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên dạy toán, đặc biệt là các giáo viên mới ra trường. VII. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận được chia làm 3 chương. CHƯƠNG I: Dành cho việc trình bày các cơ sở lý luận của đề tài đó là trình bày những nội dung về vấn đề bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh và nội dung của việc dạy học giải bài tập toán. CHƯƠNG II: Tập trung chủ yếu vào một số biện pháp thông dụng, khi tìm tòi, phân tích tìm lời giải các bài tập toán có khả năng rèn luyện tư duy cho học sinh. Việc làm sáng tỏ các biện pháp đó cũng như sự minh họa các quá trình phân tích được thể hiện trong các bài toán cụ thể. CHƯƠNG III: Dành cho việc đánh giá các yêu cầu cần đạt được của các công việc: dạy toán, học toán, trình bày các giáo án và kết quả dạy thực nghiệm. 3 PHẦN II. NỘI DUNG CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI §1. NỘI DUNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH I. Phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh. 1. Phát triển các thao tác tư duy Trong quá trình học tập môn toán học sinh luôn thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… Vì vậy trong dạy học toán, giáo viên phải chú ý phát triển cho học sinh những thao tác này. 1.1. Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng thành phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để nhận thức sâu vào từng phần, từng khía cạnh. Ngược lại với phân tích, tổng hợp là hợp lại các phần riêng lẻ của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau của cái toàn thể. Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Nếu không tiến hành tổng hợp mà chỉ dừng lại ở phân tích thì sự nhận thức sự vật và hiện tượng sẽ phiến diện, không nắm được các sự vật và hiện tượng đó một cách đầy đủ và chính xác được. Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy. Năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức toán học. Ví dụ: Khi học tập khái niệm, học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu bản chất của khái niệm, phát hiện những mối liên hệ (tổng hợp) giữa các khái niệm với nhau. Khi học định lí, học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận của định lí, mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận,… mối liên hệ giữa định lí này với các định lí khác,… Khi giải bài tập, học sinh phải nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận được dạng bài toán (biết bài toán loại nào); phải biết phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa chúng; phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ khác nhau (xét riêng các trường hợp góc nhọn, vuông, tù,…), giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời giải bài toán đã cho. 4 1.2. Phát triển năng lực so sánh So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau. Giáo viên nên chú ý hướng dẫn học sinh so sánh những khái niệm định lí, quy tắc mới học với những khái niệm, định lí, quy tắc đã biết. Nhờ thấy được sự giống nhau và khác nhau giữa chúng nên học sinh nắm vững, hiểu biết sâu sắc hơn và có hệ thống hơn về kiến thức toán học. 1.3. Phát triển năng lực trừu tượng hoá và khái quát hoá Trừu tượng hoá là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất và tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng và hiện tượng. Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hoá. Trừu tượng hóa cho phép ta đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng cần nhận thức. Vì vậy, trong dạy học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh. Để phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh, cần nắm vững mối liên hệ chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng: từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn. Ví dụ: Khi dạy học về khái niệm góc, giáo viên cần đi theo con đường cụ thể (1) – trừu tượng (2) – cụ thể (3) - Hình tạo bởi kim phút và kim giờ trong đồng hồ Cụ thể (1) - Hình tạo bởi hai cạnh của ê-ke - Hình tạo bởi hai cạnh bàn Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc Trừu tượng (2) Góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt Cụ thể (3) Trong quá trình trừu tượng hoá, việc tách những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng để hình thành một khái niệm được gọi là sự khái quát hoá. Ví dụ: Qua xét các dãy số: 2, 4, 6, 8, 10. −2, 0, 2, 4, 6,..., 2n − 4 5, 9, 13, 17, 21,..., 4n −1 Có một đặc điểm chung là kể từ số thứ hai mỗi số đều bằng số đứng liền trước nó cộng với một số không đổi, từ đó khái quát hoá để hình thành khái niệm cấp số cộng. 5 Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện tập cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, phát hiện mối liên hệ bản chất của sự vật mà hình thức bên ngoài rất đa dạng. Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, đặc biệt hoá,… Do đó, khi có điều kiện giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những thao tác trí tuệ này. Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh họa qua ví dụ: tìm công thức tính sin 3x theo những hàm số lượng giác của đối số x. Trước tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin 3x thành sin(2x + x) . Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin 3x với công thức sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a .Việc khớp trường hợp riêng sin(2 x + x) vào biểu thức tổng quát sin(a + b) là một sự khái quát hóa. Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cho trường hợp a = 2 x, b = x để đi đến công thức sin(2 x + x ) = sin 2 x cos x + sin x cos 2 x . Thao tác phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin 2x và cos 2x trong công thức trên để biến đổi thành: sin 2 x = 2sin x cos x; cos2 x = cos 2 x − sin 2 x Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sin x cos 2 x − sin 3 x Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin 3x với kết quả biến đổi 3sin x cos 2 x − sin 3 x là một sự tổng hợp dẫn tới: sin 3x = 3sin x cos 2 x − sin 3 x 6 Sơ đồ sau đây minh họa quá trình tư duy vừa trình bày: Khái quát hóa Tổng hợp Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng. Nếu giáo viên có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như: - Hãy viết sin 3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích, khái quát hóa); - Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2x + x)? (khuyến khích đặc biệt hóa). 2. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Tư duy không tách rời ngôn ngữ, tư duy diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại ngôn ngữ được hình thành và phát triển nhờ tư duy. Vì vậy, rèn luyện tư duy logic không thể tách rời việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác cho học sinh. 7 Việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác qua dạy học môn toán được thực hiện theo ba hướng liên hệ chặt chẽ với nhau: - Nắm vững các thuật ngữ toán học và các kí hiệu toán học (ngôn ngữ toán học). - Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm. - Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, hợp logic. Giáo viên luôn coi trọng việc giáo dục học sinh sử dụng chính xác ngôn ngữ trong môn toán. Đặc biệt là biết sử dụng đúng các phép toán logic: và, hoặc, nếu… thì…, khi và chỉ khi, có ít nhất một, với mỗi,… Giáo viên cần thường xuyên uốn nắn những sai lầm của học sinh về mặt thiếu chính xác trong sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học. Cần chống thói quen không tốt là sử dụng các kí hiệu toán học một cách tuỳ tiện, chẳng hạn như: “Đây là hai việc ≠ nhau”; hay “Anh có = lòng không?” (Hoàng Chúng, 1995). 3. Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo Tư duy độc lập biểu hiện ở khả năng tự mình phát hiện được vấn đề cần phải giải quyết, và tự bản thân có thể đề ra phương án giải quyết khi gặp một trở ngại hay tìm ra được lời giải đáp cho các vấn đề gặp phải; không đi tìm lời giải sẵn. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy, luôn đề cao sự đánh giá mọi tư tưởng và ý kiến của người khác, có tinh thần hoài nghi khoa học, luôn tự vấn: “vì đâu?”, “tại sao?”,… Tư duy sáng tạo luôn suy nghĩ tìm tòi những điều mới, nó luôn gắn liền tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tư duy. Tính linh hoạt của tư duy biểu hiện ở các mặt chính yếu sau đây: Khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để nghiên cứu và giải quyết vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khắc phục thái độ rập khuôn theo mẫu định sẵn, máy móc, suy nghĩ theo lối mòn. Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược với cách đã biết. Khả năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau.Để bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh, trong dạy học toán cần chú ý tập duyệt cho học sinh “ suy luận có lí”, dự đoán thông qua quan sát, so sánh, 8 đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự…Chú ý đến mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung, cái cụ thể và cái trừu tượng; quy nạp và suy diễn trong khi giảng dạy toán học. II. Bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh Thông qua quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý giúp học sinh từng bước nhận biết được và nắm được hai phương pháp thường dùng trong nghiên cứu toán học là: phương pháp cụ thể – trừu tượng, phương pháp qui nạp – suy diễn. 1. Phương pháp cụ thể – trừu tượng Toán học là một khoa học có tính trừu tượng cao độ. Tuy nhiên, sự hình thành và sự phát triển của toán học thường được xuất phát từ mối quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng: không có cái cụ thể cảm tính thì không thể có cái trừu tượng và không có cái trừu tượng thì không thể có cái cụ thể trong tư duy (cái đến sau những cái trừu tượng). Ngược lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững những lí luận trừu tượng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì có nhiều công cụ sắc bén để phát hiện ra cái cụ thể bấy nhiêu. Trong dạy học toán trong nhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện pháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu tượng” (Đavưđốp, 1973). Nhưng giáo viên cũng không thể nào không quan tâm khía cạnh: từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, giáo viên phải chú ý dùng phép tổng quát hoá, khái quát hóa để trình bày nhiều vấn đề toán học như: từ một tính chất trong tam giác vuông đặt vấn đề mở rộng sang tam giác bất kỳ; từ nhiều vấn đề cụ thể dường như rất khác nhau như bài toán tìm vận tốc tức thời và bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm mà khái quát lên thành khái niệm đạo hàm. Từ một số bài toán cụ thể trong chương trình giáo viên gợi ý học sinh mở rộng và khái quát hoá thành những bài toán tổng quát hơn với những cách giải tổng quát hơn. 2. Phương pháp qui nạp – suy diễn Toán học khác với các khoa học khác ở phương pháp của nó. Trong khi các nhà vật lý, hoá học, sinh học,… cần có phòng thí nghiệm với rất nhi ều máy móc, d ụ ng c ụ , có khi rất phức tạp thì nhà toán học, trong đại đa số 9 trường hợp, hầu như chỉ cần sách báo, bút với tờ giấy hay một viên phấn với cái bảng. Toán học dùng phương pháp suy diễn logic mà không dùng phương pháp thí nghiệm để chứng minh các định lí vì hai lí do: i. Có khả năng áp dụng suy diễn logic vào những đối tượng đã được trừu tượng hoá thành thuần tuý số lượng và hình dạng không gian. ii. Không có khả năng làm thí nghiệm để trực tiếp xem các định lí hình học trong không gian n chiều (n > 3) là đúng hay không, vì không gian thực tế chỉ có ba chiều. Tư duy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của qui nạp cũng không phải là không quan trọng. Qui nạp lại liên hệ mật thiết với suy diễn: qui nạp giúp xây dựng giả thuyết toán học, tri thức thu được bằng qui nạp thì không đầy đủ, không hoàn chỉnh, có tính chất dự đoán; các kiến thức ấy biến thành tri thức chân thực cần phải chứng minh bằng suy diễn. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên phải dạy học sinh biết trình bày lời giải một bài toán hay chứng minh một mệnh đề toán học một cách chặt chẽ bằng suy luận diễn dịch, nhưng cũng phải chú ý bồi dưỡng khả năng tìm tòi sáng tạo, khả năng dự đoán, biết vận dụng các phép suy luận qui nạp để phát hiện ra cách giải một bài toán, để dự đoán một qui tắc, một kết quả. 10 §2. NỘI DUNG CỦA VIỆC DẠY CÁC BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC I. Nội dung cơ bản của việc dạy các bài tập toán cho học sinh. Trong quá trình giải các bài tập có hai nội dung: Tìm ra lời giải các bài toán và Giải các bài toán. Hai nội dung đó có khi được tiến hành đồng thời nhưng có khi tách thành hai quá trình.Tuy vậy về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau(tuy có quan hệ hỗ trợ cho nhau), mỗi nội dung có một nhiệm vụ riêng biệt trong việc rèn luyện học sinh giải toán. Người thầy giáo dạy toán cũng như người học sinh học toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và mối liên hệ giữa hai nội dung đó. Như vậy có nghĩa là bài toán sẽ được coi là không hoàn chỉnh nếu quá trình giải vụng về, có sai sót.Và một người giải toán phải hiểu rằng, làm một bài toán là phải hoàn thành trọn vẹn các khâu, chứ không phải đi tìm phương pháp mà thôi, lại có nhiều bài toán, đường lối giải không phải là khó có khi đã rất rõ mà cái khó chủ yếu là kỹ thuật giải, do vậy đòi hỏi người giải toán phải có sự sáng tạo, tư duy. II. Việc tìm lời giải các bài tập toán có nhiều khả năng để phát triển tư duy cho học sinh. Vì các lý do sau đây: 1. Khi chưa tìm được phương hướng phù hợp để giải bài toán thì chưa có thể có lời giải tốt cho bài toán dù học sinh đó có kỹ thuật cao,dù có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính cần thiết. 2. Lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có phương pháp là lao động có tính chất kỹ thuật còn lao động để tìm tòi lời giải bài toán là lao động sáng tạo.Đây là các điều kiện thuận lợi nhất cho việc phát triển tư duy của học sinh. 3. Khâu rèn luyện phương pháp cho học sinh để tìm tới lời giải bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập và sang tạo của học sinh. 11 CHƯƠNG II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở CẤP PHỔ THÔNG TRUNG HỌC Nội dung trong phần này tôi xin trình bày một số biện pháp thông dụng và chủ yếu để giúp học sinh tư duy trong quá trình giải toán. Đồng thời sau nội dung mỗi biện pháp được giới thiệu là việc trình bày các ví dụ minh họa mà lời giải của các ví dụ là sự thể hiện của việc vận dụng các biện pháp đó. §1. BIỆN PHÁP 1. KHAI THÁC TRIỆT ĐỂ CÁC GIẢ THIẾT CỦA BÀI TOÁN I. Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán. Các đặc điểm về dạng của bài toán là phần hình thức của bài toán đó. Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán về thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài toán. Chính vì thế, nhiều bài toán có được lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng bài toán. 1. Trước hết các đặc điểm đó thể hiện ở mối liên hệ giữa các số có mặt trong bài toán đó. Ví dụ 1. Giải bất phương trình x x 5 + 2 6 + 5 − 2 6 ≥ 10 (1) ) ( ( ) ( )( ) Phân tích tìm lời giải: Để ý rằng 5 + 2 6 5 − 2 6 = 1 Cho nên hai số hạng trong vế trái của bất phương trình đã cho là hai đại lượng nghịch đảo của nhau. Vì thế nếu ta đặt: x u = 5 + 2 6 với điều kiện u > 0 ) ( Thì 1 = u ( 5−2 6 ) x và khi đó bất phương trình (1) trở thành: 1 ≥ 10 ⇔ u 2 − 10u + 1 ≥ 0 u u ≥ 5 + 2 6 ⇔  0 ≤ u ≤ 5 − 2 6 u+ Trở về tìm x, ta thu được x ≥ 2 hoặc x ≤ −2 nghiệm của bất phương trình. 12 Ví dụ 2. Giải phương trình 2 ( tan x − sinx ) + 3 ( cot x − cosx ) + 5 = 0 (1) Phân tích tìm lời giải: Để ý đến 3 số có mặt trong phương trình là 2, 3 và 5. Có lẽ chúng ta hãy nên nghĩ đến điều hiển nhiên 2 + 3 = 5 và một điều quan trọng là để ý đến mối liên hệ giữa tan x , cot x với sin x, cos x chính là tan x = sin x ; cos x cos x chính vì thế, phương trình đã cho được biến đổi tương đương như sin x sau: (tách số 5 = 2 + 3 rồi ghép số 2 với số hạng đầu và số 3 với số hạng thứ hai cot x = sau đó biến đổi phương trình về ẩn sin x,cos x ). 2(tan x − sinx + 1) + 3(cot x − cos x + 1) = 0 (với điều kiện sin x cosx ≠ 0 )  sin x   cos x  ⇔ 2 − sin x + 1 + 3  − cos x + 1  = 0  cos x   sin x   sin x − sin x cos x + cos x   cos x − sin x cos x + sin x  ⇔ 2  + 3 =0 cos x sin x     3   2 ⇔ ( sin x + cos x - sin x cos x )  + =0  cos x sin x  Là phương trình tích và giải được. Lưu ý rằng, nếu không để ý đến đặc điểm đã nêu trên thì phương trình đã cho vô cùng khó giải. 2. Đặc điểm của bài toán thể hiện ở mối liện hệ giữa các nhóm số hạng tham gia trong bài toán. Mối liên hệ có khi thể hiện rõ ràng dễ thấy nhưng cũng có khi ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi và có cách nhìn tinh tế mới phát hiện được. Ví dụ 3. Giải phương trình sin x + cos x +sin x cos x = 1 (1) Phân tích tìm lời giải: Trước hết xét liên hệ giữa 2 nhóm chứa ẩn sin x + cos x và sin x cos x . Chúng có mối liên hệ với nhau cho bởi hệ thức. ( sin x + cos x )2 = 1 + 2sin x cos x Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, hãy đặt ẩn phụ: π  u = sin x + cos x = 2 sin  x +  với điều kiện − 2 ≤ u ≤ 2 . 4  13 u2 − 1 Khi đó: sin x cos x = và bất phương trình (1) trở thành: 2 u+ u2 − 1 = 1 ⇔ u 2 + 2u − 3 = 0 2 u = 1 ⇔ u = −3 loại nghiệm u = −3 , trở về tìm x, bằng cách giải phương trình π  2 sin  x +  = 1 4  Ta được hai họ nghiệm của phương trình đã cho:  x = k 2π  π  x = + k 2π  2 ( k ∈ Z ). Cách khác: Bây giờ, nếu ta để ý rằng hàm số sin x,cos x có thể biểu diễn được qua tan x x = t (với điều kiện cos ≠ 0 ) khi đó phương trình đã cho được 2 2 chuyển về dạng phương trình đại số với t: 2t 1+ t2 + 1− t2 1+ t2 + 2t 1− t2 ⋅ =1 1 + t2 1 + t2 Giải phương trình này ta tìm được t, khi đó suy ra giá trị của x. x Trường hợp: cos = 0 ta kiểm tra trực tiếp vào phương trình đã cho. 2 Ví dụ 4. Giải phương trình ( 4 x − 1) x2 + 1 = 2 x2 + 2 x + 1 (1) Phân tích tìm lời giải: ( ) Ta biến đổi: 2 x 2 + 2 x + 1 = 2 x 2 + 1 + 2 x − 1 Phương trình ta đã cho được biến đổi về dạng: ( 4 x − 1) ( ) x2 + 1 = 2 x2 + 1 + 2 x − 1 Đặt: u = x 2 + 1 ≥ 1 14 Khi đó phương trình (1) trở thành: ( 4 x − 1) u = 2u 2 + 2 x − 1 ⇔ 2u 2 − ( 4 x − 1) u + 2 x − 1 = 0 2 (2) 2 ∆ = ( 4 x − 1) − 8 ( 2 x − 1) = ( 4 x − 3) . Phương trình (2) có các nghiệm là:  4 x − 1) ± ( 4 x − 3) ( u= ⇔ 1 u =  2 4 u= u = 2x −1 1 < 1 (loại) 2 Trở về tìm x ta giải phương trình: x2 + 1 = 2 x − 1 1  2 x − 1 ≥ 0 4 x ≥ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = .  2 3  x + 1 = (2 x − 1) 3x 2 − 4 x = 0  Ví dụ 5. Giải phương trình 3.25 x − 2 + ( 3 x − 10 ) 5 x − 2 + 3 − x = 0 (1) Phân tích tìm lời giải: Ta để ý đến mối liên hệ giữa 25 x− 2 và 5 x− 2 : ( 25 x − 2 = 5 x − 2 ) 2 Khi đó đặt u = 5 x − 2 > 0 Khi đó phương trình (1) trở thành: 3u 2 + ( 3 x − 10 ) u + 3 − x = 0 2 ∆ = ( 3 x − 10 ) − 12 ( 3 − x ) = ( 3 x − 8 ) 2 Phương trình có nghiệm là: 1  u =  3  u = 3 − x 15 Trở về tìm x ta giải phương trình: 5x −2 = • 1 1 1 ⇔ x − 2 = log5 ⇔ x = 2 + log5 3 3 3 • 5x −2 = 3 − x Ta thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Đó cũng là nghiệm duy nhất vì 5 x− 2 là hàm đồng biến, trong khi đó 3 − x là hàm nghịch biến. Nhận xét: (Dấu hiệu để giải bài toán bằng cách chứa ẩn phụ). Đối với các bài toán (Giải phương trình, bất phương trình) mà biểu thức của nó có thể phân thành các nhóm số hạng và giữa chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì có thể giải được bằng cách chọn ẩn phụ. Tuy vậy cũng phải lưu ý rằng, có những bài toán khi đã sử dụng ẩn phụ, các biểu thức còn lại trong bài toán đó vẫn còn chứa ẩn ban đầu( ở ví dụ 4, ví dụ 5). 3. Đặc điểm của bài toán thể hiện ở tính chất của hình, vị trí tương đối của các đường, dạng của các biểu thức có trong bài toán. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, và AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh BC, CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kì trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC, CA và AB tương ứng là x, y, z. Tính: M = x y z + + ha hb hc Phân tích tìm lời giải: Để tính x ta nghĩ ngay đến việc xem x và ha là đường cao của 2 tam ha giác có chung cạnh đáy BC đó là ∆BOC và ∆BAC Ta có: x x.BC 2 S BOC S BOC = = = ha ha .BC 2 S BAC S BAC ( Ở đây S BAC ký hiệu là diện tích tam giác ABC ). Áp dụng tương tự cho các tỉ số y z và thu được: hb hc 16
- Xem thêm -