Chuyên đề: Lăng kính. Sự tán sắc ánh sáng qua lăng kính
Đặt vấn đề:
Lăng kính là một dụng cụ quang học rất quan trọng trong quang hình. Nó có ứng dụng rộng
rãi như đo góc với độ chính xác cao, đo chiết suất, trong ống nhòm, máy ảnh có kính ngắm quang
học để thay đổi hướng truyền ánh sáng, xoay ảnh 600, 900, 1800… và đặc biệt trong máy quang phổ
lăng kính để phân tích quang phổ của nguồn sáng.
Trong các đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia có xuất hiện những bài toán về lăng kính kết hợp
phản xạ toàn phần và đặc biệt là bài toán sự thay đổi góc lệch theo hàm của bước sóng ánh sáng.
Những bài toán này gây khó khăn cho học sinh vì học sinh ít được luyện tập, không quen xử lý các
biểu thức vi phân trong công thức lăng kính.
Nhằm giúp học sinh khắc phục khó khăn trên đồng thời hiểu sâu hơn ứng dụng của lăng
kính. Tiếp cận các bài toán đa dạng về lăng kính kết hợp tán sắc tôi biên soạn chuyên đề: Lăng kính.
Sự tán sắc ánh sáng qua lăng kính.
Chuyên đề gồm:
1. Lý thuyết cơ bản và nâng cao về lăng kính. Khảo sát sự biến thiên của góc lệch D theo các
yếu tố D, n, i,
2. Bài tập đa dạng liên quan đến lăng kính
- Bài tập vận dụng công thức tổng quát
- Bài tập vận dụng công thức góc lệch cực tiểu
- Bài tập về tán sắc ánh sáng qua lăng kính và máy quang phổ lăng kính
- Bài tập về lăng kính hẹp
1
Lý thuyết về lăng kính
1. Cấu tạo lăng kính
- Lăng kính là một khối chất trong suốt được giới hạn bởi hai mặt phẳng cắt nhau.
- Hai mặt giới hạn ở trên được gọi là các mặt bên của LK
A
- Lăng kính thường có dạng lăng trụ tam giác
- Giao của mặt phẳng song song với đáy với khối lăng trụ là
tam giác ABC gọi là thiết diện của lăng kính.
B
- Lăng kính được đặc trưng bởi 2 thông số:
C
ABC là thiết diện
của LK
+ A: góc ở đỉnh (góc chiết quang) của lăng kính
+ nLK: chiết suất của chất làm lăng kính
2. Đường đi của tia sáng qua lăng kính
a) Tia sáng trắng
Chùm tia ló ra khỏi lăng kính bị lệch về phía đáy và bị tách thành rải màu liên tục từ đỏ tới tím (dải màu cầu vồng)
Hiện tượng tán sắc ánh sáng.
b) Tia sáng đơn sắc
+ SII’K là đường đi của tia sáng qua lăng kính
A
+ SI: Tia tới lăng kính
+ I’K: Tia ló ra khỏi lăng kính
+ Nếu chiết suất tỉ đối của lăng kính so với môi trường lớn
I
·, I ' K ) là góc lệch của tia sáng qua lăng kính
D ( SI
S
3. Công thức tổng quát lăng kính
Gọi n
D
K
hơn 1 thì tia ló sẽ lệch về phía đáy của lăng kính
+
I’
nLK
là chiết suất tỉ đối của lăng kính với môi trường ngoài
nmt
a) Công thức tổng quát của lăng kính
Theo định luật khúc xạ tại điểm I:
sini n sin r
Theo định luật khúc xạ tại điểm I’:
sini; n sin r'
A r r'
Góc lệch của tia sáng qua lăng kính:
D i i' A
2
Bài tập áp dụng công thức tổng quát của lăng kính
Ví dụ 1: Cho lăng kính có tiết diện là tam giác đều ABC. Biết chiết suất chất làm lăng kính là
2 và lăng kính đặt
trong không khí . Chiếu tia sáng tới mặt bên AB với góc tới 600. Tính góc ló ra khỏi mặt AC và góc lệch của tia sáng
qua lăng kính.
Giải
sin i1 n sin r1
sin 600 2 sin r1
sin r1
3
r1 37 0 45'
2 2
r2 A r1 60 22015'
sin i2 n sin r2 2 sin 22015' 0,535
i2 320 21'
D i1 i2 A 600 32021' 600 32021'
Ví dụ 2: Cho lăng kính có thiết diện là tam giác đều ABC. Biết chiết suất chất làm lăng kính là
2 và lăng kính đặt
trong không khí. Chiếu tia sáng tới mặt bên AB với góc tới i1 . Tìm góc tới i1 để tia ló đi sát mặt AC.
Giải
Vì tia ló đi sát mặt AC nên: i2 90
0
sin i2 n sin r2
sin 900 2 sin r2
sin r2
1
r2 450
2
r1 A r2 600 450 150
sin i1 n sin r1 2.sin150 0,366
i1 210 28'
Ví dụ 3: Cho lăng kính có thiết diện là tam giác đều ABC với góc chiết quang A đặt trong không khí. Chiếu tia sáng
từ ngoài không khí tới AB với góc tới là 600. Biết tia ló ra khỏi mặt AC với góc ló là 30 0. Tia này bị lệch góc 450. Tìm
chiết suất n của lăng kính.
Giải
D i1 i2 A
450 600 300 A
A 450 r1 r2 450
sin i1 n.sin r1 sin 600 n.sin r1 sin r1
3
2n
(1)
sin i2 n.sin r2 sin 300 n.sin r2 sin r2
1
2n
(2)
Lấy (1): (2) ta được:
3
sin r1
3 sin r1 3 sin(450 r1 )
sin r2
Giải Shift solve trên máy tính Casio ta được: r1 28050'
sin i1 n.sin r1 sin 600 n.sin 28050'
n 1,80
Ví dụ 4: Một thấu kính tạo bởi hai mặt cầu lồi cùng bán kính R = 10 cm. Chiết suất của thủy tinh làm thấu kính là n
= 1,5. Bề dày của thấu kính là O1O2 = 1 cm. Chiếu một tia sáng đơn sắc song song với trục chính chiếu đến phần rìa
của thấu kính. Tính tiêu sự của thấu kính ứng với tia tới trên.
Giải
i
D
R
R1
O1
OO2 R
O2
F
O1O2
10 0,5 9,5(cm)
2
R1 102 9,52 3,12(cm)
R1 3,12
0,312
R
10
i 18,190
Sin sin i
Phần rìa của thấu kính ta coi là lăng kính có góc chiết quang A 2 36,38
0
Áp dụng công thức của lăng kính:
sin i n sin r sin r
0,312
r 12, 010
1,5
r ' A r 36,380 12, 010 24,37 0
sin i ' n sin r ' sin i ' 1,5.sin 24,37 0 i ' 38, 240
D i i ' A 200 25'
Tiêu cự của thấu kính ứng với tia tới là:
4
C1
OF
R1
3,12
8,55(cm)
tan D tan 20, 050
Ví dụ 5: Một chùm tia sáng trắng hẹp đến lăng kính thủy tinh có tiết diện thẳng là tam giác đều trong điều kiện góc
lệch của tia sáng tím đạt cực tiểu. Chiết suất của thủy tinh đối với ánh sáng tím n t = 1,53; với ánh sáng đỏ nđ = 1,51.
a) Tính góc tạo bởi tia đỏ và tia tím trong chùm tia ló.
b) Từ vị trí LK ban đà u, phả i xoay lang kính quanh đỉnh A, mọ t gó c bao nhieu và theo chiè u nà o đẻ tia đỏ có go ́c
lẹ ch cự c tiẻ u.
Giải
a) Vì tia tím có gó c lẹ ch cự c tiẻ u nen
sin i1 sin
Dt min A
A
nt sin 1,53.sin 300 0, 765
2
2
i1 49054'
Dt min 2i1 A 2.49054' 60 39048'
i2t i1t 49054'
Ta tính toá n gó c lẹ ch củ a tia đỏ :
sin i1 nđ sin r1 1, 64.sin 220 25'
sin 49054 ' 1,51.sin r1đ
r1đ 300 26 '
r2 đ A r1đ 600 300 26 ' 29033'
sin i2 đ nđ sin r2 đ 1,51.sin 29032 '
i2 đ 4809 '
Gó c lẹ ch củ a tia đỏ qua lang kính:
Dđ i1 i2đ A 49054' 4809' 60 3803'
Gó c lẹ ch giữ a tia ló đỏ và tia ló tím là :
D i2t i2đ 49054' 4809' 1045'
b) Vị trí LK có cho tia tím gó c lẹ ch cự c tiẻ u có gó c tới: i1t 49054'
Gó c tới cho tia đỏ có gó c lẹ ch cự c tiẻ u thỏ a mã n:
sin i1đ sin
Dđ min A
A
nđ sin 1,51.sin 300
2
2
i1đ 4901'
Do i1t i1đ nen phả i xoay lang kính quanh A ngược chiè u kim đò ng hò mọ t gó c
i i1t i1đ 49054' 4901' 0053'
4. Điều kiện để có tia ló
Bài toán: Một lăng kính làm bằng thủy tinh chiết suất n đặt trong không khí. Thiết diện của lăng kính là tam giác
ABC với A là góc chiết quang. Hãy tìm điều kiện của góc A và điều kiện của góc tới i để khi chiếu một tia sáng tới
mặt bên AB sẽ cho tia ló ra khỏi mặt AC
5
Giải
* Điều kiện về góc chiết quang
Để có tia ló ra khỏi mặt thứ hai thì r ' igh với sin igh
1
n
Khi tia sáng chiếu tới mặt thứ nhất thì góc khúc xạ thỏa mãn: r igh (Dấu = xảy ra khi i 90 )
0
Do đó: r r ' 2igh
Hay: A 2igh
* Điều kiện về góc tới i
Để có tia ló ra khỏi mặt AC thì r ' igh
Mặt khác: r A r '
Do r và A r ' đều là các góc nhọn nên: sin r sin( A igh )
Theo định luật khúc xạ: sin i n sin r
sin i n sin( A igh )
Tóm lại điều kiện để có tia ló ra khỏi mặt AC là: A 2igh và sin i n sin( A igh )
Cần phải chiếu tia tới với góc tới đủ lớn để có tia khúc xạ ra khỏi mặt thứ hai của lăng kính.
Đường đi của tia ló theo hàm của góc tới i với
lăng kính có A = 600 và n = 1,73
Ví dụ 6: Một lăng kính có thiết diện là tam giác ABC có góc chiết quang A làm bằng thủy tinh chiết suất n 1, 5 đặt
trong không khí.
a) Hãy tìm điều kiện của góc chiết quang A để khi chiếu một tia sáng tới mặt bên AB sẽ cho tia ló ra khỏi mặt AC.
b) Biết lăng kính có góc chiết quang A = 60 0. Tìm điều kiện của góc tới i để có tia sáng ló ra khỏi mặt AC.
Giải
a) sin igh
1 1
igh 410 48'
n 1,5
Điều kiện của góc chiết quang A để có tia ló ra khỏi mặt AC là:
b)Điều kiện của góc tới để có tia sáng ló ra khỏi mặt AC là:
sin i n sin( A igh )
sin i 1,5sin(600 410 48')
6
A 2igh A 83037 '
i 27 056 '
5. Khảo sát sự biến đổi của góc lệch D theo sự thay đổi của các yếu tố i, n, A
5.1. Sự biến đổi của D theo hàm của góc tới i
a) Khảo sát định tính
Khi cho A thay đổi từ 0 Agh , lăng kính làm lệch tia sáng về phía đáy. Ta thừa nhận A, n (nguồn đơn sắc) là
không đổi. Theo tính thuận nghịch chiều truyền của ánh sáng thì với góc tới i hoặc góc tới i ' D A i sẽ cho
cùng một góc lệch D . Hay với cùng một giá trị của D sẽ cho hai góc tới trừ trường hợp đặc biệt góc tới thỏa mãn:
i i'
D A
tương ứng với một cực trị của D.
2
b) Khảo sát định lượng
Do D là hàm của góc tới i Ta có thể tìm góc tới i ứng với góc lệch D đạt cực trị bằng cách xét góc i thỏa
mãn
dD
0
di
Lấy vi phân hai vế các hệ thức ở trên ta được:
sin i n sin r cos i.di n cos r.dr
(1’)
sin i ' n sin r ' cos i '.di ' n cos r '.dr '
(2’)
A r r ' dr dr ' 0
(3’)
D i i ' A dD di di '
(4’)
Thay (1’),(2’),(3’) vào (4’) ta được:
cos i.cos r '
dD 1
di
cos i '.cos r
Khi đó tại cực trị của D thì góc i thỏa mãn
dD
0
di
cos i '.cos r cos i.cos r '
(1 sin 2 r ').(1 sin 2 i) (1 sin 2 i ').(1 sin 2 r )
Kết hợp định luật khúc xạ ta được biến đổi thành:
sin 2 i '
sin 2 i
2
2
(1 2 ).(1 sin i) (1 sin i ').(1 2 )
n
n
1
2
1
2
2 1 sin i 2 1 sin i '
n
n
Do 0 i, i 90 ta lấy nghiệm: i i '
0
Dẫn đến: r r '
A
2
D 2i A i
D A
2
sin i n sin r sin
Dmin A
A
n sin
(Công thức xác định Dmin )
A
2
7
Bảng biến thiên của D (i ) và đồ thị D (i )
D
i0 900 A
2im A
O
5.2. Sự biến đổi của D theo hàm của góc chiết quang A
Khi A biên thiên thì r ', i ' biến thiên, còn
r không đổi.
Lấy vi phân hai vế các hệ thức ở trên ta được:
sin i ' n sin r ' cos i '.di ' n cos r '.dr '
(5)
A r r ' dA dr '
(6)
D i i ' A dD di ' dA
(7)
Thay (5), (6) vào (7) ta được:
n cos r '
dD
1 dA
cos i '
1 sin 2 r '
dD n.
1
dA
1 n 2 sin 2 r '
1 sin 2 r '
dD
1 0
0 D tăng khi A tăng
Do n 1 n.
2
2
1 n sin r '
dA
5.3. Sự biến đổi của D theo chiết suất của lăng kính
Để xét ảnh hưởng của chiết suất đến độ lệch của tia sáng. Hãy tính
A r r ' dr dr '
(1)
D i i ' A dD di '
(2)
sin i n sin r n cos r.dr sin r.dn 0 dr
sin r
.dn
n cos r
sin i ' n sin r ' cos i '.di ' sin r '.dn n cos r ' dr '
(4)
Thay (1), (2) vào (4) ta được:
cos i '.dD sin r '.dn n cos r ' dr
(5)
Thay (3) vào (5) ta được:
cos i '.dD sin r '.dn cos r '
sin r
.dn
cos r
sin r '.cos r cos r 'sin r
cos i '.dD
.dn
cos r
dD
sin A
dn cos r cos i '
8
dD
dn
(3)
i0
im
90 0
i
Bài tập vận dụng phần sự thay đổi góc lệch D theo các yếu tố i, A, n
Ví dụ 7: Năng suất tán sắc của một lăng kính
Xét một lăng kính có góc chiết quang A 60 , chiếu lăng kính bằng chùm sáng trắng 0, 43 m 0,77 m
0
với góc tới i 60 . Tính độ tán sắc (độ biến đổi của góc lệch của lăng kính ở hai bước sóng
0
0, 77 m và
0, 43 m . Biết lăng kính chế tạo bằng thủy tinh crown với n 0, 43 m 1,528; n 0, 77 m 1,511 .
Giải
* Xét sự lệch của tia sáng ứng với bước sóng
0, 43 m
sin i n sin r sin 600 1,528.sin r r 34031'
r ' A r 600 34031' 250 29 '
sin i ' n sin r ' sin i ' 1,528.sin 34031' r ' 4105'
D i i ' A 600 4105' 600 4105'
* Xét sự lệch của tia sáng ứng với bước sóng
0, 77 m
sin i n sin r sin 600 1,511.sin r r 34058'
r ' A r 600 34058' 250 2 '
sin i ' n sin r ' sin i ' 1,511.sin 2501' r ' 390 44'
D i i ' A 600 390 44 ' 600 390 44 '
Độ tán sắc giữa hai bước sóng là: D 41 5 39 44 ' 1 21'
0
0
0
Ví dụ 8: Chiếu tia sáng trắng vào mặt bên của lăng kính có thiết diện là tam giác đều với góc tới i 45 . Do tán
0
sắc các tia sáng ló ra khỏi mặt bên thứ hai của lăng kính với góc lệch khác nhau so với tia tới. Biết sự thay đổi chiết
suất của lăng kính đối với các tia từ đỏ đến tím rất chậm. Chiết suất của lăng kính với tia vàng là nv 1, 653.
a) Tính góc lệch của vàng ( DV ) sau khi ló ra khỏi lăng kính.
b) Biết hai tia đơn sắc ló ra khỏi lăng kính hợp với nhau một góc i ' nhỏ (dưới 20). Tìm hiệu số chiết suất n của
lăng kính đối với hai tia đơn sắc này. Áp dụng tính n với i ' 2 .
0
Giải
a) sin i nv sin r sin r
sin 450
r 25019'
1, 653
r ' A r 600 25019 ' 34 041'
sin i ' nv sin r ' 1,653.sin 34041' i ' 7007'
Góc lệch của tia vàng qua lăng kính là:
DV i i ' A 450 7007' 600 5507'
b) Từ công thức: r r ' A ta đạo hàm cả hai vế theo n ta được:
dr dr '
0 dr dr '
dn dn
(1)
Từ công thức: sin i n sin r với i 45 không đổi ta đạo hàm hai vế theo n:
0
9
0 sin r n.
dr
cos r
dn
dr
sin r
dn
n cos r
(2)
Từ công thức sin i ' n sin r ' ta đạo hàm hai vế theo n:
di '
dr '
cos i ' sin r ' n.
.cos r '
dn
dn
(3)
Thay (1), (2) vào (3) ta được:
di '
sin r
cos i ' sin r ' n.
.cos r '
dn
n cos r
di '
sin r 'cos r sin r cos r '
dn
cos i '.cos r
di '
sin A
dn
cos i '.cos r
(4)
sin 2 i
1
Lại có: cos r 1 sin r 1
1 2 .
2
n
2n
2
Kết hợp với (4) ta được:
di '
sin A
1
cos i '. 1 2
2n
dn
Xét sự thay đổi nhỏ của góc ló di ' 2 từ giá trị góc ló của tia vàng với n nv 1, 653 và i ' iv' 7007 '
0
2.
180
sin 450
1
cos 70 7 '. 1
2.1, 6532
dn
0
dn 0, 015
Bài tập lăng kính thỏa mãn góc lệch cực tiểu
Ví dụ 9: Một lăng kính có thiết diện thẳng là tam giác ABC, góc chiết quang A= 60 0, chiết suất n
3 đặt trong
không khí. Chiếu một tia sáng đơn sắc nằm trong thiết diện thẳng ABC vào mặt bên AB sao cho tia ló ra khỏi mặt
bên thứ hai. Biết góc lệch giữ a tia tới và tia ló đạt giá trị cực tiểu. Tìm góc tới và góc lệch đó.
Giải
Vì xảy ra góc lệch cực tiểu nên ta có
r1 r2
A
300
2
A
D A
sin min
n sin
2
2
3
D 60
0
sin min
3 sin 30
2
2
Dmin 600
10
Dmin 2i1 A
600 2i1 60 i1 600
Ví dụ 10: Lăng kính tam giác ABC có góc chiết quang A = 45 o, chiết suất n1 1, 5 , nhúng trong chất lỏng trong suốt
có chiết suất n2 . Tia sáng từ chất lỏng tới mặt AB và sau 2 lần khúc xạ tia sáng ló qua ra AC với góc lệch cực tiểu là
15o. Tính chiết suất n2 của chất lỏng.
Giải
Khi xảy ra góc lệch cực tiểu ta có:
Dmin 2i1 A 150 2i1 450 i1 300
sin i1 n sin r1
sin 300
n1
A
.sin
n2
2
1,5
.sin 22,50
n2
n2 1,148
Ví dụ 11: Cho lăng kính có tiết diện là tam giác đều ABC. Biết chiết suất chất làm lăng kính là n1 1,4. Tìm góc
lệch cực tiểu của tia sáng khi qua LK và góc tới tương ứng trong hai trường hợp sau:
a) Lăng kính đặt trong không khí
b) Lăng kính đặt trong môi trường nước chiết suất 4/3
Giải
A
D A nLK
sin min
.sin
2
2
nmt
a) Lăng kính đặt trong không khí
Dmin 450 1, 4
sin
.sin 22,50
2
1
Dmin 190 47'
b) Lăng kính đặt trong môi trường nước
D 450 1, 4
sin min
.sin 22,50
2
4/3
Dmin 20 23'
Ví dụ 12: Người ta đo góc lệch Dmin và góc chiết quang A với các sai số D, A . Tính sai số tương đối của phép
đo chiết suất n của lăng kính.
Áp dụng bằng số D A 10' 3.103 (rad);
n 1,733; Dmin 600 ; A 600
Giải
11
Từ công thức: n
sin
A Dmin
2
A
sin
2
A Dmin
ln(n) ln sin
2
A
ln sin
2
Đạo hàm 2 vế ta được:
dn
n
cos
A Dmin A Dmin
.d
2
2
A Dmin
sin
2
A dA
cos .
2 2
A
sin
2
A Dmin dA
dn dDmin
A Dmin
cotan
cotan
n
2
2
2
2
Do
A
cotan
2
Dmin A
A Dmin
A
; A đều trong khoảng từ 0 900 cotan
0; cotan 0
2
2
2
A Dmin A
n Dmin
A
A Dmin
cotan
cotan cotan
n
2
2
2
2
2
Khi D A công thức trên trở thành:
n A
A
cotan
n
2
2
3.103
n
cotan 300
1, 733
2
n 4,5.103
Ví dụ 13: Khả năng phân giải một vạch kép:
Trên hình vẽ là sơ đồ của máy quang phổ lăng kính. Biết chiết suất của lăng kính phụ thuộc vào bước sóng theo
định luật CAUCHY n a
a) Tính
b
2
2
2
với a 1, 652 và b 1,50.10 m
dn
tại giá trị 0
d
b) Cho A 60 và 0 0, 6( m) . Tiêu cự thấu kính trong ống chuẩn trực là f 20(cm) , tiêu cự vật kính trong
0
buồng tối là f ' 1( m) . Đã khắc phục hiện tượng sắc sai.
12
b1) Thiết lập hệ thức giữa góc lệch cực tiểu Dmin , góc A của lăng kính và chiết suất n đối với một bức xạ có bước
sóng cho trước. Tính Dmin đối với vạch kép vàng của thủy ngân ứng với bước sóng
1 577(nm); 2 579(nm);
b2) Chứng minh rằng khi xảy ra góc lệch cực tiểu thì mỗi biến thiên nhỏ của bước sóng d ứng với biến thiên của
góc lệch dD thỏa mãn:
b3) Hỏi khoảng cách giữa hai vạch sáng tương ứng với bước sóng 1 , 2 trên phim của buồng ảnh.
b4) Tính độ rộng cực đại mà khe của ống chuẩn trực để có thể tách vạch kép. Giả thiết không có giới hạn nào khác.
Giải
2b
2.1,5.102
dn
3.104 nm 1
3
3
0
0, 6
d 0
a)
4
Vậy n thay đổi một lượng là 3.10 khi thay đổi 1 nm
b1) Khi xảy ra góc lệch cực tiểu:
sin(
Dmin A
A
) n sin
2
2
Với 1 577(nm ) n 1, 6971 sin(
Dmin 600
) 1, 6971.sin 300 Dmin 5606 '
2
Với 2 579(nm) n 1, 6967 sin(
Dmin 600
) 1, 6967.sin 300 Dmin 560 4 '
2
b2) Theo bài trên ta có:
dD
sin A
dn
2b
kết hợp với
ta được:
dn cos r cos i '
d
0
A
d
2
dD 4b
. 3
D A
cos min
2
sin
dD dD dn
sin A 2b
.
d dn d cos r cos i ' 3
dD
d
2b
sin A
A
Dmin A 3
cos cos
2
2
A
2
dD 3
d
Dmin A
cos
2
4b
sin
Trên tiêu diện ảnh của vật kính, hai vạch tách nhau một đoạn:
A
2
. 2 3 1
b3) x dD . f ' 4bf '
D A 1
cos min
2
sin
13
x 4.(1,5.102 ).1.
sin 300
0,579 0,577
.
0,590(mm)
0
0
0,5773
56 6' 60
cos
2
b4) Do f ' 5 f trên phim hai ảnh đơn sắc ứng với bước sóng 1 , 2 có bề rộng gấp 5 lần khe hẹp S ở ống
chuẩn trực. Để tách biệt vạch kép thì độ rộng này phải nhỏ hơn khoảng cách hai vạch kép 0,59( mm) . Do đó bề
rộng tối đa của khe hẹp S là
0,59
0,118( mm) .
5
Giá trị này rất nhỏ, để cải thiện sự tách vạch ta có thể kết hợp nhiều lăng kính để tăng góc lệch của các tia đơn sắc.
Ví dụ 14: Trong máy quang phổ lăng kính, khe hẹp F của ống chuẩn trực có độ rộng a và song song với cạnh bên
của lăng kính. Cạnh đáy của lăng kính độ rộng là r, tiêu cự thấu kính C là f1' , tiêu cự thấu kính O là f ' . Ảnh của
khe hẹp có bề rộng là a’
1. Cho nguồn đơn sắc S có bước sóng , chùm tia tới mặt bên của lăng kính có bề rộng L và cho góc i . Chùm tia ló
ra khỏi lăng kính có bề rộng L’ và cho góc i '
a) Chùm tia tới tới lăng kính từ giá trị góc i sau đó góc biên thiên là di thì chùm tia ló ra khỏi lăng kính với góc
biến thiên là di ' . Chứng minh hệ thức:
i'
cos r 'cos i
i
cos r cos i '
b) Tìm liên hệ của L và L’
c) Tìm liên hệ giữa a và a’.
Giải
1a)
A, n i, r , r ', i ' thay đổi.
Lấy vi phân hai vế các hệ thức ở trên ta được:
sin i n sin r cos i.di n cos r.dr
sin i ' n sin r ' cos i '.di ' n cos r '.dr '
A r r ' dr dr ' 0
cos i.di
cos i '.di '
cos r
cos r '
di '
Hay
i'
cos r 'cos i
di
cos r cos i '
cos r 'cos i
i
cos r cos i '
(1)
14
1b) Bề rộng chùm tia tới: L AI .cos i
Bề rộng chùm tia ló : L ' AI '.cos i '
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác AII '
AI
AI '
cos r ' cos r
L
L'
cos r '.cosi cos r.cos i '
1c) Kết hợp (1) và (2) ta được:
Mặt khác: i
a
;
f1'
i '
i'
(2)
L
i
L'
a'
f'
La L ' a '
'
f1'
f
Bài tập lăng kính kết hợp với sự phản xạ toàn phần
Ví dụ 15: Lăng kính thủy tinh có chiết suất n có tiết diện vuông góc là tam giác ABC với A = 900, B = 750. Một chùm
tia sáng hẹp SI trong mặt phẳng của thiết diện vuông góc chiếu tới mặt AB với góc tới i
a) Tìm hệ thức giữa i và n để tia khúc xạ II ' hợp với BC góc 45 0
b) Tìm điều kiện về n để tia khúc xạ II ' phản xạ toàn phần tại điểm I ' trên cạnh BC.
c) Trong điều kiện của câu b, chứng minh tia ló JR ra khỏi lăng kính theo phương vuông góc với SI.
Giải
· ' B I ' 450
a) Vì tia khúc xạ II ' hợp với BC góc 45 0 nên II
1
· I ' I 1800 B I ' 1800 750 450 600
Trong BII ' ta có: BI
1 1
1
1
r 900 I1 300
Áp dụng định luật khúc xạ tại điểm I ta có:
sin i n.sin r n.sin 300
2sin i n
b) Góc tới tại điểm I ' là: I 2' 900 I1' 900 450 450
Điều kiện để có phản xạ toàn phần tại I ' là:
sin I 2' sin igh
I 2' igh
1
1
1
1
n
n 2
'
0
n
sin I 2 sin 45
2
c) Với điều kiện của câu b ta có: I3' I1' 450
J1 900 C I3' 900 150 450 300
Áp dụng định luật khúc xạ tại J : sin J 2 n.sin J1 n.sin 300 n / 2
Mặt khác: sin i
n
J 2 i JR SI
2
15
Ví dụ 16: Cho quang hệ như hình vẽ. Lăng kính có góc A = 30 0. (M) là gương phẳng đặt song song với mặt AB. Tia
ló cuối cùng ra khỏi mặt AB của lăng kính. Tính góc ló.
(M)
A
S
I
B
Giải
C
Góc giới hạn phản xạ toàn phần giữa thủy tinh và không khí thỏa mãn:
sin igh
1
1
0,5774 igh 35016 '
n
3
Tia tới SI vuông góc với AB truyền thẳng gặp AC tại J với góc tới
J1 A 300 igh
Tia này cho tia khúc xạ JK với góc khúc xạ J 2 và gặp gương phẳng (M) tại K với góc tới K1
Theo định luật khúc xạ tại J :
sin J 2 n sin J1 3.sin 300 J 2 600
J 3 900 J 2 300
K1 J 3 300
Tại K: K2 K1 300
Vì K2 A 300 nên tia KG vuông góc với AC tại G truyền thẳng. Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Tia KG gặp mặt BC như hình vẽ
Do
H1 C 600 igh có phản xạ toàn phần tại H, cho tia phản xạ HN với H 2 H1 600
Tia phản xạ HN gặp AB tại N với góc tới
Theo định luật khúc xạ tại N :
N1 300 igh cho tia ló NR ra không khí với góc ló N 2
sin N 2 n sin N1 3.sin 300 N 2 600
* Trường hợp 2: Tia KG gặp mặt AB như hình vẽ
16
Tia KG gặp AB tại M với góc tới
M1 A 300 igh , cho tia ló ra ngoài không khí với góc ló M 2
Theo định luật khúc xạ tại M :
sin M 2 n sin M1 3.sin 300 M 2 600
Cả hai trường hợp đều cho góc ló là 60 0
Ví dụ 17: Để đo chiết suất n của khối chất trong suốt hình lập phương, người ta đặt nó tiếp giáp với khối lập
phương trong suốt chiết suất suất n1 đã biết. Chiếu một tia sáng đơn sắc tới mặt tiếp giáp của hai khối lập phương
thì bị khúc xạ lần thứ nhất tại A. Tia ló ra ngoài không khí tại điểm B với góc ló là .
0
a) Tính n theo n1 , . Áp dụng bằng số n 1, 7321; 60
b) Nếu các sai số tương đối n1 0,10.104 ;
2,90.104 (rad ) . Thì sai số tương đối n là bao nhiêu?
Giải
a) Theo định luật khúc xạ tại A ta có:
sin i
n.sin 900 n1 sin i
n
n2
cos2 i 1 sin 2 i 1 2
n1
n1
Tại điểm B ta có:
(1)
n1 sin i ' 1.sin
n12 cos2 i sin 2
(2)
Thay (1) và (2) ta được:
17
n2
n12 1 2 sin 2
n1
n2 n12 sin 2
Thay số: n
(3)
n12 sin 2 1, 73212 sin2 600 1, 5001
b) Lấy vi phân hai vế của (3) ta được:
d (n2 ) d (n12 ) d (sin 2 )
2n.dn 2n1dn1 2sin .cos .d
n
n1
sin .cos
n1
.
n
n
n
1, 7321
sin 600.cos 600
.0,10.104
.2,90.104 0,95.104
1,5001
1,5001
Ví dụ 18: Một lăng kính P1 làm bằng thủy tinh, thiết diện thẳng là tam giác vuông cân ABC với góc chiết quang A =
900 và AB AC a . Mặt bên AB của nó được ghép với mặt huyền của lăng kính P2 cũng có thiết diện thẳng là
tam giác vuông cân ACD. Tia sáng đơn sắc vàng SI rọi vào điểm I của mặt AB theo phương song song với cạnh
n1 2 và chiết suất của P2 là n2 3 .
huyền BC. Đối với tia vàng chiết suất của P1 là
A
S
D
n2
I
B
n1
C
a) Tìm điều kiện mà đoạn AI phải thỏa mãn để tia khúc xạ trong P1 không phản xạ ở mặt huyền BC.
b) Giả sử điều kiện của câu a được thỏa mãn. Chứng minh rằng tia ló ra khỏi hệ lăng kính song song với tia tới.
Giải
a) Do n2 n1 nên không có phản xạ toàn phần tại AC
Góc giới hạn phản xạ toàn phần tại mặt BC thỏa mãn: sin igh
1
1
igh 450
n1
2
Tia tới SI song song với BC gặp AB tại I với góc tới I1 cho tia khúc xạ IJ với góc khúc xạ I 2 .
I1 900 B 450
Theo định luật khúc xạ tại I :
sin 450 1
sin I1 n1 sin I 2 sin I 2
I 2 300
2
2
Xét trường hợp tia khúc xạ IJ gặp BC tại J với góc tới J 2 (hình a). Ta có:
J 2 B I 2 450 300 750
Do J 2 igh nên có phản xạ toàn phần tại J trên BC.
18
- Khi điểm tới I di chuyển trên AB về phía A thì điểm tới J di chuyển trên BC về phía C nhưng góc tới J 2 luôn
bằng 750 igh nên luôn có phản xạ toàn phần tại BC Để có phản xạ toàn phần trên BC thì tia khúc xạ không
được gặp BC.
- Gọi I ' là vị trí của điểm I để tia khúc xạ đi qua C.
I1' 450 ; I'2 300 ; I3' 900 I 2' 600 C1 300
Trong vuông AI ' C cho: I ' A AC.tanC1
Điều kiện cần tìm là:
AI I ' A AI
AB
a
3
3
a
3
b) Với điều kiện của câu a) thì tia IJ gặp mặt AC
I 2 300 J 2 600
Theo định luật khúc xạ tại J : n1 sin J 2 n2 sin J 3
sin J 3
2.sin 600
1
J 3 450 JK / / AD KR / / SI
3
2
Ví dụ 19: Cho một khối trong suất mỏng có thiết diện thẳng là một phần tư hình tròn bán kính R và có chiết suất tỉ
đối so với môi trường ngoài là n. Chiếu tia sáng đơn sắc SH với mặt bên OA theo phương vuông góc với mặt này.
A
S
I
H
R
B
O
B
19
a) Biết n 2 và xét tia sáng bị phản xạ toàn phần một lần trên mặt cong tại I rồi ló ra khỏi mặt OB. Xác định
miền giá trị của góc lệch D giữa tia tới và tia ló ra khỏi khối chất.
b) Giả sử n chỉ thay đổi theo phương bán kính và tuân theo quy luật n( r ) 2 a
Trong đó
r
4R
r là khoảng cách từ điểm đang xét đến O và a là hằng số. Tìm giá trị của a để tia sáng đi trong khối chất
là cung tròn tâm O.
Giải
Gọi K là chân đường cao hạ từ I xuống OB.
Tia sáng bị phản xạ toàn phần tại I nên góc tới i igh sin i sin igh
1
1
i 450
n
2
Do đó những tia sáng sau khi phản xạ toàn phần một lần tại I đến mặt OB chỉ nằm trong miền KB
Góc lệch lớn hất của tia sáng ứng với trường hợp tia ló khỏi mặt OB tại K Dmax 900
Góc lệch nhỏ nhất của tia sáng ứng với trường hợp tia ló khỏi mặt OB tại B.
0
OIB đều nên góc tới tia sáng tại B là i 30
Theo định luật khúc xạ ánh sáng tại B:
n.sin i sin r sin r 2.sin 300
1
r 450
2
A
S
H
I
Góc lệch nhỏ nhất Dmin 900 450 450
Từ quy luật n( r ) 2 a
r
dn a
4R
dr 4 R
O
(1)
Khi tia sáng đi theo cung tròn CD có góc ở tâm là thì quang trình của tia sáng là:
K
i B
r
B
R
s n r
Theo nguyên lý Fecma, quang trình của tia sáng phải đại cực trị nên:
ds
0
dr
ds dn
.r n 0
dr dr
dn
r
dr
n
Từ (1) và (2) suy ra:
(2)
a
n
4R
r
Tại r R thì n 2
a
a
2 a
a 4
4
4R
R 4R
Ví dụ 20: Một lăng kính có tiết diện thẳng là một tam giác vuông cân ABC, A = 90°; B = 30° và C = 60°. Chiếu một tia sáng
đơn sắc SI tới mặt bên AB của lăng kính theo phương song song với đáy BC. Tia sáng đi vào lăng kính và ló ra ở mặt bên
AC. Biết chiết suất của lăng kính ( ứng với ánh sáng đơn sắc chiếu tới lăng kính) là n.
A
S
I
B
C
20
- Xem thêm -
.PDF 
25 
2112 
70 
