Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề hệ thống bài tập áp dụng phương trình trạng thái và nguyên lí i nhiệt động lực học cho khí lí tưởng

CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI NĂM 2013 HỆ THỐNG BÀI TẬP ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ TƯỞNG A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Việc viết chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi hàng năm là việc làm cần thiết đối với mỗi giáo viên đang giảng dạy ở trường chuyên. Hưởng ứng phong trào viết chuyên đề của Hội trường chuyên Duyên hải, tôi xin được trao đổi với các đồng nghiệp về hệ thống bài tập nâng cao trong phần Nhiệt học. Các bài tập này được sưu tầm và tích lũy từ nhiều nguồn khác nhau. Các bài tập đều có đáp án chi tiết. II. Mục đích của đề tài: Xây dựng hệ thống bài tập “ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ TƯỞNG” để bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. B. PHẦN NỘI DUNG Phần 1: Cơ sở lý thuyết I. Phương trình trạng thái Phương trình Cla pê rôn - Men đê lê ep (phương trình C – M) m pV  RT ; R: hằng số của các khí. R  8,31J / mol.K   Với lượng khí xác định ( m,   cos nt ): pV  const T II. Nguyên lí I 1. Công thức của nguyên lí I U  Q  A U : Độ biến thiên nội năng của hệ. Q: Nhiệt lượng mà hệ nhận được. A: Công mà hệ nhận được. 2. Công và nhiệt lượng a. Công: Công A’ mà hệ sinh ra trong quá trình đẳng áp A'  p (V2  V1 ) Công A’ mà hệ sinh ra trong một quá trình cân bằng bất kì: A'  V2  pdV V1 Có thể xác định A’ bằng đồ thị. Công mà hệ nhận được: A   A' b. Nhiệt lượng +) Nếu truyền nhiệt lượng Q cho hệ làm nhiệt độ của hệ tăng lên dT thì tỉ số C Q dT được gọi là nhiệt dung của hệ. +) C  C1mol ; C1mol: nhiệt dung mol +) C  mc ; c: nhiệt dung riêng +) Nhiệt dung phụ thuộc quá trình biến đổi của hệ. VD: đối với 1 mol khí thì nhiệt dung mol đẳng áp Cp khác với nhiệt dung mol đẳng tích CV. 1 3. Ứng dụng của nguyên lý I a. Độ biến thiên nội năng Áp dụng nguyên lí I cho quá trình đẳng tích  Độ biến thiên nội năng của chất khí khi nhiệt độ của nó thay đổi từ T1 đến T2: U  CV (T2  T1 ) i CV  R ; i: Số bậc tự 2 do Với khí đơn nguyên tử: i  3 Với khí lưỡng nguyên tử: i  5 b) Hệ thức May – e giữa Cp và CV C p  CV  R c) Quá trình đoạn nhiệt cân bằng pV   const   Cp CV  i2 i III. Áp dụng nguyên lí I cho chu trình 1. Chu trình là một quá trình mà trạng thái cuối trùng với trạng thái đầu. Chu trình cân bằng có thể biểu diễn trên đồ thị bằng một đường cong khép kín. Lượng khí biến đổi theo chu trình gọi là tác nhân. 2. Theo nguyên lí I: U  Q  A  Q  A' mà U  0  Q  A' : Tổng đại số nhiệt lượng nhận được Q = tổng đại số công sinh ra A’ Công A’ mà tác nhân sinh ra có độ lớn bằng diện tích bao quanh bởi đường biểu diễn chu trình trong hệ (p,V), có dấu (+) nếu chu trình diễn biến theo chiều kim đồng hồ trên đường biểu diễn và ngược lại. 3. Động cơ nhiệt a. Nguyên tắc hoạt động Tác nhân nhận nhiệt lượng Q1 từ nguồn nóng biến một phần thành công A’ và tỏa nhiệt lượng Q '2 cho nguồn lạnh. Nguồn nóng T1 Q1 Tác nhân A’ Q2’ Nguồn lạnh T2 b. Hiệu suất H A' Q1  Q2 '  Q1 Q1 Nhắc lại: Nhiệt lượng trong các quá trình 2 +) Quá trình đẳng nhiệt: Q  A'  Khi dãn đẳng nhiệt thì khí nhận nhiệt , khi nén đẳng nhiệt thì khí tỏa nhiệt. +) Quá trình đẳng tích: Q  U  Khi nung nóng đẳng tích thì khí nhận nhiệt, khi làm lạnh đẳng tích thì khí tỏa nhiệt. +) Quá trình đẳng áp: Q  U  A'  CV (T2  T1 )  p(V2  V1 )  Khi nung nóng đẳng áp thì khí nhận nhiệt, khi làm lạnh đẳng áp thì khí tỏa nhiệt. 4. Chu trình Các – nô Chu trình Các – nô là một chu trình gồm có hai quá trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai quá trình đoạn nhiệt. Nếu động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Các – nô thì H A' Q1  Q2 ' T1  T2   Q1 Q1 T1 Phần 2: Hệ thống bài tập I. Áp dụng phương trình trạng thái Bài 1 Người ta chứa 20g khí heli trong một xi lanh có pittong rồi cho lượng khí đó biến đổi chậm từ trạng thái 1 có V1  32l ; p1  4,1atm sang trạng thái 2 có V2  9l ; p 2  15,5atm . Biết trên hệ trục (p,V) đồ thị biểu diễn quá trình biến đổi của khí có dang như hình vẽ Tìm nhiệt độ lớn nhất mà khí có thể đạt được. Đáp án: p Từ đồ thị có: p  aV  b (1) 2 a  0 , 5 atm / l với ; b  20atm 1 Áp dụng phương trình C-M: pV  m RT  (2) V thay (2) vào (1) được a 2 b V  V mR mR  Tmax  490 K T Bài 2: Có ba bình thể tích V1  V , V2  2V , V3  3V thông với nhau nhưng cách nhiệt đối với nhau . Ban đầu các bình chứa khí ở cùng nhiệt độ T0 và áp suất p0. Người ta hạ nhiệt độ bình 1 xuống T1  T3  2T0 . T0 và nâng nhiệt độ bình 2 lên T2  1,5T0 , bình 3 lên 2 Tính áp suất mới p? Đáp án Gọi n là số mol khí trong ba bình có thể tích V1  V2  V3  6V , áp suất p0 và nhiệt độ 6p V 0 T0. Ta có n  RT 0 Về sau, bình 1 (thể tích V) chứa n1 mol khí ở áp suất p và nhiệt độ n1  T0 . Ta có 2 2 pV RT0 3 Tương tự có Có n2  n  n1  n2  n3  p p.2V 4 pV  R.1,5T0 3RT0  ; n3  p.3V 3 pV  R.2T0 2 RT0 6 p0V 2 pV 4 pV 3 pV    RT0 RT0 3RT0 2 RT0 36 p0 29 Bài 3: Hai bình có thể tích V1  40dm 3 và V2  10dm 3 thông với nhau bằng ống có khóa ban đầu đóng. Khóa này chỉ mở nếu p1  p2  105 Pa . p1 là áp suất của khí trong bình 1; p 2 là áp suất của khí trong bình 2. Ban đầu, bình 1 chứa khí ở áp suất p0  0,9.10 5 Pa và nhiệt độ T0  300 K . Trong bình 2 là chân không. Người ta nung nóng đều cả hai bình từ T0 lên T  500 K . a) Tới nhiệt độ nào thì khóa sẽ mở? b) Tính áp suất cuối cùng trong mỗi bình. Đáp án: a) Khóa ban đầu đóng sẽ mở khi p1  p2  105 Pa ; ban đầu p2  0  p1  pm  105 Pa . Từ ban đầu cho đến khi khóa mở, khí trong bình 1 bị nung nóng đẳng tích. Có p0 p m   Tm  333K T0 Tm Khóa mở, một ít khí ở bình 1 lọt sang bình 2 làm cho áp suất ở bình 1 ( p1 ) tụt xuống một ít nên p  p1  p2 nhỏ hơn 10 5 Pa một ít và khóa lại đóng lại. Nhưng tiếp tục nung thì p1 lại tăng, khóa lại mở. Có thể coi như khóa luôn giữ cho chênh lệch áp suất là p  10 5 Pa . b) Tới nhiệt độ T  500 K thì áp suất trong bình 2 là p , trong bình 1 là ( p  p ) . Gọi n là tổng số mol khí, n1 và n2 là số mol khí trong hai bình lúc đó. Lúc đầu: Số mol khí trong bình 1 là n; số mol khí trong bình 2 bằng 0. Áp dụng phương trình trạng thái: đối với bình 1 lúc đầu p0V1  nRT0 n p0V1 RT0 đối với bình 1 lúc sau ( p  p)V1  n1 RT  n1  đối với bình 2 lúc sau p V2  n2 RT  n2  Có n  n1  n2  ( p  p )V1 RT p V2 RT p V2 p0V1 ( p  p )V1   RT0 RT RT Thay số, rút ra p  0,4.10 5 Pa Vậy áp suất trong bình 2 là p  0,4.10 5 Pa ; trong bình 1 là p  p  1,4.10 5 Pa Bài 4: Hai bình giống nhau nối với nhau bằng một ống có van chỉ cho khí đi từ bình này sang bình kia khi hiệu áp suất p  1,1atm . Lúc đầu một bình là chân không, bình kia là khí lí tưởng ở nhiệt độ t1  27 0 C và áp suất p1  1,00atm . Sau đó, cả hai bình được đốt nóng tới nhiệt độ t 2  107 0 C . Hãy tìm áp suất của khí trong bình mà trước đó là chân không. 4 Đáp án p V 1 Từ phương trình trạng thái suy ra m  RT 1 Tại nhiệt độ T2, bình 1 có và bình 2 có m2  m1   ( p  p )V RT2 pV RT2 Vì m1  m2  m  p1 p  p p 2 p  p    T1 T2 T2 T2  1  p1T2  p  2  T1   p   Thay số được p  0,0833atm Bài 5: Hình bên là sơ đồ nén không khí vào bình có thể tích V bằng bơm có thể tích v. Khi pittông đi sang bên phải thì van A đóng không cho không khí thoát ra A 1 khỏi bình đồng thời van B mở cho V không khí đi vào xi lanh. B Khi pittông đi sang bên trái thì van B đóng, van A mở, pittông nén không khí vào bình. a) Ban đầu, pittông ở vị trí 1 và áp suất trong bình là p0, áp suất khí quyển là pk. Tính số lần phải ấn pittông để áp suất trong bình có giá trị cuối pc. Người ta ấn chậm để nhiệt độ trong bình không đổi. b) Bố trí lại các van như trong hình bên thì có thể rút không khí trong bình. Ban đầu, pittông A 1 ở vị trí 1 và áp suất trong bình là p0, Tính số V lần cần kéo pittông để áp suất trong bình giảm đi r lần, pc  B p0 . Áp dụng bằng số r  100 ; r V  10v Đáp án Gọi m là khối lượng khí trong xi lanh (thể tích v, áp suất pk);  là khối lượng mol của không khí. Có p k .v  m  RT (1) Tại một thời điểm nào đó, gọi M là không khí có trong bình (thể tích V, áp suất p) thì pV  M RT  (2) Mỗi lần ấn pittông, đưa vào bình một lượng không khí có khối lượng m  khối lượng khí trong bình là ( M  m) và áp suất tăng thêm p . Phương trình trạng thái sau lần ấn pittông ( p  p )V  M m  RT (3) Đặt (1), (2) vào vế phải của (3) được ( p  p )V  pV  p k .v  p  pk .v V Sau mỗi lần ấn pittông thì áp suất trong bình tăng thêm p . Vậy số lần cần ấn 5 pittông bằng n pc  p0 ( pc  p0 )V  p pk .v b) Gọi p là áp suất trong bình trước khi kéo pittông, M là khối lượng không khí trong pV  đó. Có M RT  (4) Khi kéo, thể tích V thành vẫn là M. Ta có p ' (V  v)  M  (V  v ) RT ; áp suất thành p' ; khối lượng không khí (5) Đặt (4) vào vế phải của (5) được p ' (V  v )  pV  p' V  p V v Tức là sau mỗi lần kéo pittông, áp suất khí lại giảm theo tỉ số  V   . V  v  Nếu pn là áp suất sau khi kéo n lần thì pn p p p  V   n . n1 .... 1    p0 pn1 pn2 p0  V  v  p Nếu pn  0 thì r n n log r V  v   n  V  v  r   log   V   V  Áp dụng bằng số được n  48 lần Bài 6: Một xi lanh kín hình trụ chiều cao h , tiết diện S  100cm 2 đặt thẳng đứng. Xi lanh được chia thành hai phần nhờ một pittông cách nhiệt khối lượng m  500 g , kích thước pittông không đáng kể. Khí trong hai phần là cùng loại ở cùng nhiệt độ 27 0 C và có khối lượng là m1 , m 2 với m2  2m1 . Pittông cân bằng khi cách đáy dưới đoạn m1 3h h2  . 5 m2 h1 h2 h a) Tính áp suất khí trong hai phần của xi lanh. Lấy g  10m / s 2 . b) Để pittông cách đều hai đáy xi lanh thì phải nung nóng phần nào, đến nhiệt độ bao nhiêu? (Phần còn lại giữ ở nhiệt độ không đổi). Đáp án: a) Có h2  0,6h  h1  0,4h t1  27 0 C  T1  300 K Áp dụng phương trình Men đê lê ép – Cla pê rôn cho khí trong hai phần ở nhiệt độ T1  300 K p1V1  m1 RT1  p1 .0,4hS  m1 RT1   m m p2V2  2 RT1  p2 .0,6hS  1 RT1   Chia vế cho vế được 6 0,4 p1 m1 1    p2  4 p1 (1) 0,6 p2 m2 2 3 Khi pittông cân bằng: p2  p1  mg S (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) được 3mg 4mg  1500( Pa) ; p2   2000( Pa ) S S Do h1  h2 nên phải nung nóng phần khí ở p1  b) trên (m1) Với khối khí ở dưới có nhiệt độ không đổi nên: p 2V2  p ' 2 V ' 2  p 2 Sh2  p ' 2 Sh' 2 mà h2  0,6h ; h'2  0,5h 6 p2  2400( Pa) 5 mg p1 '  p 2 '  1900( Pa ) S  p'2  Có Áp dụng phương trình trạng thái cho khối khí ở trên: p1V1 p' V ' p' V ' p ' 0,5hS  1 1  T '1  1 1 T1  1 . T1  475K T1 T '1 p1V1 p1 0,4hS  t '1  202 0 C Bài 7: Một xilanh đặt thẳng đứng, kín cả hai đầu, được chia thành hai phần bằng nhau bởi một pittông khối lượng M, cách nhiệt. Pittông có thể di chuyển không ma sát. Người ta đưa vào phần trên khí hiđrô ở nhiệt độ T , áp suất p ; phần dưới khí oxi ở nhiệt độ 2T . Lật ngược đáy lên trên. Để pittông vẫn ở vị trí chia xilanh thành hai phần bằng nhau, người ta hạ nhiệt độ khí oxi đến T 2 . Nhiệt độ của khí hiđrô vẫn giữ như cũ. Hãy xác định áp suất khí oxi ở trạng thái ban đầu và lúc sau. ĐS: p1  8 2 p ; p2  p 5 5 Đáp án: Khí hiđro có nhiệt độ và thể tích không đổi nên áp suất ở hai trạng thái là như nhau. Gọi p1, p2 là áp suất của khí oxi ở trạng thái 1 và 2. Phương trình cân bằng của pittong ở hai trạng thái: ( p1  p ) S  Mg ( p  p 2 ) S  Mg (S: tiết diện của pittong)  p1  p2  2 p (1) Áp dụng phương trình Men đê lê ép – Cla pê rôn cho khí oxi ở hai trạng thái: p1V  R.2T T p2V  R. 2  p1  4 p2 (2) Giải hệ (1) và (2) được: p1  8 2 p ; p2  p 5 5 Bài 8: 7 Một pittông nặng có thể dịch chuyển không ma sát trong một xilanh thẳng đứng. Trên và dưới pittông đều chứa một mol của cùng một chất khí. V1 V1 Khi ở cùng nhiệt độ T, tỉ số các thể tích V  2 . Hỏi cần tăng 2 V2 nhiệt độ lên bao nhiêu lần để tỉ số trên bằng 1,5? Bỏ qua sự dãn nở của xilanh. Đáp án Gọi p1 , p2 , p1 ' , p2 ' , V1 , V2 , V1 ' , V2 ' là áp suất và thể tích của ngăn trên và ngăn dưới ứng với các nhiệt độ T và T’ p 2  p1  p 2 ' p1 '  p pt (1) p1V1  2 p1 (2) p1V1  p 2V2  RT  p 2  V2 p1 ' V '1  p2 ' V '2  RT '  p'2  V1  V2  V '1 V2 '  p'1 V '1 3  p'1 (3) V '2 2 3 5 V1  V '1 2 3 Thay (2) và (3) vào (1) được p1  (4) p1 ' (5) 2 Nhân (5) với (4) theo vế 3 5 3 5 T ' 18 p1V1  p '1 V '1  RT  RT '    1,8 T 10 2 6 2 6 Bài 9: Trong một ống hình trụ thẳng đứng với hai tiết diện khác nhau có hai pittông nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, luôn căng, không dãn. Giữa hai pittông có 1 mol khí lí tưởng. Pittông trên có tiết diện lớn hơn pittông dưới là S  10cm 2 . Áp suất khí quyển bên ngoài là p0  105 Pa . a) Tính áp suất p của khí giữa hai pittông. b) Phải làm nóng khí đó thêm bao nhiêu độ để các pittông dịch chuyển lên trên một đoạn l  5cm . Biết khối lượng tổng cộng của hai pittông là m  5kg . Khí không lọt ra ngoài. Đáp án a) Có S1  S 2  S và m  m1  m2 Điều kiện cân bằng của hai pit tông: m1 g T   T  S1 ( p  p0 )  m1 g (1) S1 S1 m g T p  2  p0   T  S 2 ( p  p0 )  m2 g (2) S2 S2 p  p0  Từ (1) và (2)  ( S1  S 2 )( p  mg  p0  1,5.10 5 Pa  p p0 )  ( m1  m2 ) g  mg S b) Khi làm nóng khí thì pittông dịch chuyển lên trên một đoạn l . Muốn pittông cân bằng ở vị trí này thì p'  p (p’: áp suất chất khí sau khi dịch pittông) Theo phương trình C – M: pV  RT p ' (V  V )  R (T  T ) 8 V p  .V V R mà V  l.S S .l  0,9 K  T  p. R  T  T . Bài 10: Một bình dạng hình trụ được ngăn thành hai phần bằng nhau bởi pittông nhẹ, dẫn nhiệt. Pittông có thể chuyển động không ma sát. Một phần của bình chứa không khí, phần kia chứa ít nước và hơi nước. Nung nóng từ từ toàn bộ bình, pittông bắt đầu chuyển động. Khi nó dừng lại, các phần thể tích của bình có tỉ lệ 1:3. Hãy xác định tỉ số khối lượng nước và khối lượng hơi nước ban đầu. Cho rằng hai phần bình luôn cùng nhiệt độ. Thể tích nước rất nhỏ. Đáp án m V h +) Ban đầu hơi nước ở trạng thái p1V1   RT1 ; V1  0 với V0 là thể tích của bình. 2 +) Khi nung nóng, nước bay hơi, thể tích hơi nước tăng, pit tong dừng lại khi nước bay hơi hết. Có p 2V2  mn  mh 3V0 RT2 ; V2   4 pV pV p 3 p 1 1 2 2 1 2 Do đó (mn  mh ) T  mh T  (mn  mh ) T  2 mh T (1) 1 2 1 2 +) Khí ở phần bình kia: p1 (V0  V1 ) p (V  V2 ) p 1 p2  2 0 (2)  1 T1 T2 T1 2 T2 Từ (1) và (2) suy ra: mn  mh  3mh mn Vậy m  2 h Bài 11 : Trong xi lanh đặt thẳng đứng có chứa một lượng khí, đậy phía trên là một pittông khối lượng m  1kg , diện tích S  10cm 2 . Pittông được giữ bằng lò xo L nhẹ, dài, độ cứng k  100 N / m , đầu trên của lò xo có thể móc vào một trong những cái đinh cố định có độ cao khác nhau như hình vẽ. Ban đầu, khí trong xi lanh có thể tích 0,5l và nhiệt độ 27 0 C . Lò xo móc vào điểm O, đang bị nén một đoạn 10cm . 1) Nung nóng khí trong xi lanh đến nhiệt độ 127 0 C . Để vị trí của pittông trong xi lanh không đổi, cần móc đầu trên của lò xo vào điểm M cách O một đoạn bao nhiêu, về phía nào? 2) Nung nóng khí trong xi lanh lên đến nhiệt độ 227 0 C . Để pittông nằm ở vị trí phía trên và cách vị trí ban đầu của nó một đoạn 50cm , phải móc đầu trên của lò xo vào điểm N cách O một đoạn bao nhiêu? Về phía nào? Biết áp suất khí quyển p0  105 N / m 2 . Lấy g  10m / s 2 . Đáp án: 1) Gọi p là áp suất lúc đầu của khí trong xi lanh. Khi pit tong cân bằng: p mg kl   p0  1,2.10 5 ( N / m 2 ) S S 9 pit tong không dịch chuyển nên quá trình biến đổi trạng thái của khí là quá trình đẳng tích. Áp suất của khí lúc sau: p'  Có T2 p  1,6.105 ( N / m 2 ) T1 p'  mg kl '   p0  l ' 50cm S S Vậy lúc sau lò xo bị nén 50cm  phải móc lò xo vào điểm M phía dưới O cách O một khoảng OM  40cm 2) Chiều cao ban đầu của cột khí: h V  50cm S Khi pit tong dịch chuyển lên trên một đoạn 50cm thì thể tích khí tăng gấp hai: V3  2V pVT 5 2 3 Từ phương trình trạng thái  p3  TV  10 ( N / m ) 3 Khi pit tong nằm cân bằng: p3  mg kl3   p0  l3  10cm  lò xo dãn 10cm. S S Vậy phải móc lò xo vào điểm N phía trên và cách O một khoảng ON  50  10  10  70(cm) II. Áp dụng nguyên lí I p Bài 1: 2 p0 Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử chuyển từ trạng thái 1( p1  2 p0 ;V1  V0 ) sang trạng thái 2( p 2  p0 ;V2  2V0 ) với đồ thị là đoạn thẳng cho trên hình vẽ. Hãy xác định: a) Thể tích V’ tại đó nhiệt độ của chất khí lớn nhất. b) Thể tích V * sao cho V1  V  V * thì chất khí thu nhiệt. V *  V  V2 thì chất khí tỏa nhiệt. Đáp án a) p  aV  b ở trạng thái 1: 2 p0  aV0  b ở trạng thái 2: p0  a 2V0  b  p 1 p0 O 2 V0 2V0 V p0 V  3 p0 V0 Đối với 1 mol khí pV  RT T  pV R 3 2  (pV) đạt max  V '  V0 (Suy ra điều này bằng 2 cách: Cách 1: Xét tam thức bậc 2: pV  f (V )   p0 2 V  3 p0V V0 b vì a  0 nên nó đạt max tại V '   2a  3 V0 2 10 Cách 2: Trên đồ thị diện tích pV lớn nhất khi V' 3 V0 2 b) Xét quá trình từ V1 đến V Nhiệt lượng nhận được Q  U  A' 3 3 3  p0V  3 p0V0 3 )V  p1V1 V0 2 3 trong đó: U  2 R(T  T1 )  2 pV  2 p1V1  2 ( 2 p0  p 2 4p 15 p0 11 p0V0 2 V Q 0V  2V0 2 2 A'  (V  V0 ) Sau khi Q đạt max, V vẫn tiếp tục tăng nhưng Q thì giảm  từ trạng thái ứng với Qmax trở đi, chất khí thu nhiệt. Vậy V* chính là giá trị ứng với Qmax. b' 15  V0 Vì Q(V) là một parabol có a ' 0  V *   2a ' thấy V  V ' Bài 2: Với 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử, người ta thực hiện một quá trình như hình vẽ. p1  2atm  2.10 5 Pa ; V1  1l ; p 2  1atm ; V2  3l . Hãy tính công mà khí thực hiện trong quá trình khí nhận nhiệt. Đáp án Xét xem giai đoạn nào khí nhận nhiệt. +) Có : p  aV  b ở trạng thái 1: 2  a  b ở trạng thái 2: 1  3a  b 8 *  p 1 p1 p2 2 V1 V2 V p  0,5V  3,5 +) Xét quá trình từ V1 đến V Nhiệt lượng mà khí nhận được Q  U  A'  V 2  8,25V  5,75 Qmax  V  V0  4,125l Thấy V0  V2 nên trong quá trình từ 1 đến 2, Q luôn tăng nên khí luôn nhận nhiệt. Do đó, công trong quá trình khí nhận nhiệt là công trong toàn bộ quá trình từ 1 đến 2 A 1 ( p1  p2 )(V2  V1 )  300 J 2 Bài 3: T Cho 1 mol khí lí tưởng biến đổi theo chu T2 trình 1  2  3  1 trên đồ thị p (T ) trong đó: 1  2 là đoạn thẳng kéo dài qua O. 2  3 là đường thẳng song song với OT. T1 p 3  1 là một cung parabol qua O. Biết T1  T3  300 K ; T2  400 K . Tính công do p2 mol khí ấy sinh ra. O Đáp án Cách 1: Tính công trong từng quá trình 2 1 3 2 p p1 O 3 1 11 V3 V2 V Cách 2: Xét đồ thị biểu diễn chu trình trong hệ (p,V) +) Quá trình 3 – 1 có phương trình T   a. p 2  b. p ( Vì đồ thị qua gốc O) +) Phương trình C – M cho 1 mol: pV  RT  p V b  a.R a Đây là phương trình đường thẳng trong hệ (p,V) +) Chu trình 1-2-3-1 biểu diễn trong hệ (p,V) +) Công do khí sinh ra trong cả chu trình 1 ( p2  p1 )(V2  V3 ) 2 TT 1   R (T2  T1  T3  1 3 )  104( J ) 2 T2 A'   S123   Bài 4: Tính hiệu suất của chu trình cấu tạo từ hai đường đẳng áp và hai đường đẳng nhiệt, tác nhân sinh công là khí lí tưởng đơn p nguyên tử. Cho biết T1 , T2 là nhiệt độ p của các quá trình đẳng nhiệt 4  1 và 2 1 3 , p1 , p 2 là áp suất của hai quá trình đẳng áp 1  2 và 3  4 . Đáp án: Q1  Q12  Q23 Q23  RT2 ln với Q12   O 5 R (T2  T1 ) 2 3 4 V4 V1 V2 V3 V V3 p  RT2 ln 1 V2 p2 5 2  Q1  R  (T2  T1 )  T2 ln Có 2 p2 Q2 Hiệu suất H  1  Q 1 Có 1 p1   p2  Q2  (Q34  Q41 ) 5 p  Tương tự, tính được Q2  R  2 (T2  T1 )  T1 ln p1   2  H  Từ đó suy ra T 2T1 5(T2  T1 ) T2  p 2 ln 1 p2 Bài 5: Một hình trụ cách nhiệt được chia thành hai phần có thể tích V1; V2 nhờ một bản cách nhiệt. Phần 1 chứa khí ở nhiệt độ T1 và áp suất p1. Phần thứ 2 cũng chứa khí này nhưng ở nhiệt độ T2 và áp suất p2. Tìm nhiệt độ trong hình trụ khi bỏ bản cách nhiệt. Đáp án Vì hình trụ làm bằng vật liệu cách nhiệt nên áp dụng phương trình cân bằng nhiệt cho hệ khí ở hai phần ta có cm1 (T  T1 )  cm2 (T2  T ) (1) 12 Trong đó c là nhiệt dung riêng của khí ; m1, m2 là khối lượng khí tương ứng trong hai phần của hình trụ. T là nhiệt độ được thiết lập trong hình trụ khi cân bằng. m1 T1  T2 m2 Từ (1) suy ra T  m 1 1 m2 Áp dụng phương trình trạng thái cho khí ở hai phần trước khi bỏ bản cách nhiệt: p1 .V1  m1 RT1 ; p2 .V2  m2 RT2   m pVT  1  1 1 2 m2 p2V2T1 T T ( p V  p 2V2 ) T  1 2 1 1 p1V1T2  p 2V2T1 Bài 6: Cho một bình chân không cách nhiệt, bao quanh nó là khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt độ T0. Tại một thời điểm nào đó người ta mở van và khí chiếm đầy bình. Tìm nhiệt độ của khí trong bình ngay sau khi khí chiếm đầy bình. Đáp án Khi mở van, khí tràn vào bình. Quá trình diễn ra nhanh nên có thể bỏ qua sự trao đổi nhiệt của khí vào bình với khí bao quanh và với thành bình. Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực cho khí vào bình: A  U (1) Trong đó A là công của áp lực của khí bao quanh bình đặt vào khí có trong bình. Khi lấp đầy bình, áp suất và nhiệt độ của khí bao quanh không thay đổi. Để tìm công A, ta tưởng tượng bình nằm trong hình trụ lớn có pittông di động Lực tác dụng lên pittông thực hiện một công A  p0V0 Với V0 là thể tích quét bởi pittông khi nó dịch chuyển, V0 không trùng với thể tích của bình. Công này bằng công của áp lực của khí bao quanh bình đặt vào khí có trong bình. Áp dụng phương trình trạng thái có A  p0V0  RT0 (2) U là độ biến thiên nội năng của khí vào bình U   . 3 R (T  T0 ) 2 (3) Thay (2), (3) vào (1) được T  5 T0 3 Nhiệt độ của khí chiếm đầy bình lớn hơn nhiệt độ của khí bao quanh bình. Kết quả nhận được không phụ thuộc thể tích của bình cũng như áp suất p0. Nhiệt độ của khí trong bình cũng không phụ thuộc sự lấp đầy khí vào bình xẩy ra đến khi mà áp suất trong bình có bằng áp suất khí trong môi trường bao quanh hay không hoặc là van sẽ đóng trước cũng như đóng muộn hơn. 13 Bài 7: Hai bình cách nhiệt nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa. Bình thứ nhất có thể tích V1  500l , chứa m1  16,8kg Nitơ ở áp suất p1  3.10 6 Pa . Bình thứ hai có thể tích V2  250l , chứa m2  1,2kg Argon ở áp suất p2  5.10 5 Pa . Hỏi sau khi mở khóa cho hai bình thông nhau, nhiệt độ và áp suất của khí là bao nhiêu? Cho biết nhiệt dung mol đẳng tích của Nitơ là C1  5 3 R ; của Argon C 2  R . 2 2  2  40 g / mol . Khối lượng mol của Nitơ là 1  28 g / mol , của Argon là Đáp án Gọi T1 và T2 là các nhiệt độ tuyệt đối của Nitơ và Argon khi chưa mở khóa. Ta có m pV 1 1 1 Số mol của Nitơ là:   RT 1 1 m pV 2 2 2 Số mol của Argon là:   RT 2 2 m pV 5 p1V1 (1) 2 m1 p2V2 3 p2V2 Nội năng của Argon là : U 2   .C 2 .T2  C 2 . R  2 (2) 1 1 1 1 Nội năng của Nitơ là : U 1   .C1 .T1  C1 . R  1 Gọi T và C là nhiệt độ và nhiệt dung đẳng tích của hỗn hợp khí. Nội năng của hỗn hợp khí là : m  m U  CT   1 C1  2 C 2 T 2  1  (3) Khi mở khóa, khí dãn nở không sinh công, hai bình lại cách nhiệt nên theo nguyên lí I của nhiệt động lực học, nội năng được bảo toàn : U  U 1  U 2 (4) 5 p1V1 3 p 2V2  2 2  306,7 K T  Từ (1), (2), (3) và (4)  m1 m2 C1  C2 1 2 Áp dụng phương trình trạng thái cho hỗn hợp khí :  m1  m1 m2  RT m2  6 p (V1  V2 )        RT  p       V  V  2,14.10 Pa  1 2   1 2  1 2 Bài 8: Một quả bóng đá khối lượng 800 g , đường kính 22cm được bơm căng đến áp suất 2atm . Tính nhiệt độ của khí trong bóng lúc tiếp đất sau khi bóng rơi thẳng đứng từ độ cao 25m . Cho rằng vỏ bóng hoàn toàn mềm và cách nhiệt. Nhiệt độ ban đầu của quả bóng là 27 0 C . Bỏ qua sức cản của không khí. Nhiệt dung mol đẳng tích của không khí CV  2,5 R . R  8,31J / mol.K ; g  10m / s 2 ; 1atm  10 5 Pa Đáp án Số mol khí trong bóng là 4 d 3 p.  3  3 2  pV     0,447 mol RT RT Khi bóng tiếp đất, nó bị bẹp, khí trong bóng bị nén đẳng tích và đoạn nhiệt. Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học A  U 14 mgh  C v T mgh  21,5( K )  T  C v Vậy Tsau  321,5( K ) hay 48,50 C Bài 9: Một xilanh cách nhiệt nằm ngang, thể tích V1  V2  V0  80l được chia thành hai phần không thông với nhau bởi một pittông cách nhiệt (hình vẽ). Pittông có thể chuyển động không ma sát. Mỗi phần của xilanh có chứa 2 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử. Ban đầu, pittông đứng yên, nhiệt độ hai phần khác nhau. Truyền cho khí ở bên trái nhiệt lượng Q  120 J . Hỏi khi đã có cân bằng, áp suất mới trong xi lanh lớn hơn áp suất ban đầu bao nhiêu? Đáp án Gọi U 1 và U2 V1 V2 là nội năng của khí ở hai phần của xi lanh. 3 R( T1  T2 ) (1) 2 pV1  2RT1 và pV2  2RT2 (2) Q  U 1  U 2  2. Lúc đầu, có: Sau khi cung cấp nhiệt lượng và khi đã có cân bằng thì thể tích mỗi phần là V1  V  V2  V Có: ( p  p )(V1  V )  2 R (T1  T1 ) (3) ( p  p )(V2  V )  2 R (T2  T2 ) (4) Từ (2), (3) và (4) suy ra: pV  V1p  p.V  2 RT1  pV  V2 p  p.V  2 RT2  (V1  V2 ).p  2 R (T1  T2 )  p  2Q  10 3 ( N / m 2 ) 3V0 Bài 10: Một xilanh đặt cố định nằm ngang. Xilanh được chia làm hai phần bởi một pittông. Phần xilanh bên trái chứa một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử. Phần bên phải của xilanh là chân không, trong phần này có một lò xo gắn vào pittông và thành xi lanh. Ban đầu pittông được giữ ở vị trí lò xo không biến dạng, khi này khí có áp suất p1 , nhiệt độ T1 . Sau đó, thả pittông. Bỏ qua các lực ma sát. Sau một thời gian chuyển động, pittông nằm yên ở vị trí cân bằng. Lúc đó, khí có áp suất p 2 , nhiệt độ T2 còn thể tích tăng gấp đôi so với ban đầu. Cho biết xi lanh cách nhiệt với môi trường ngoài; nhiệt dung của xi lanh, pittông và lò xo là nhỏ, có thể bỏ qua. Hãy tính áp suất p 2 và nhiệt độ T2 . Đáp án: 15 Áp dụng nguyên lí I cho 1 mol khí: Q  U  A' (1) Với U  CV (T2  T1 ) ; A'  1 2 kx 2 Trạng thái cuối của 1 mol khí: p 2V2  RT2 (2)  p 2 .2 Sx  RT2 Khi pit tông ở vị trí cân bằng: RT2 2x RT2 Vậy A'  4 kx  p2 S  Từ (1) có RT2 6  0  T2  T1 7 4 CV (T2  T1 )  Trạng thái đầu của 1 mol khí V p1V1  RT1  p1 . 2  RT1 (3) 2 Từ (2) và (3) suy ra: p2  3 p1 7 Bài 11: Một xi lanh kín hình trụ đặt thẳng đứng, bên trong có mộtpit tông nặng, có thể trượt không ma sát. Pittông này và đáy xi lanh nối với nhau bởi một lò xo, và trong khoảng đó có chứa n  2mol khí lí tưởng đơn nguyên tử ở thể tích V1 , nhiệt độ T1  27 0 C . Phía trên là chân không. Ban đầu lò xo ở trạng thái không biến dạng. Sau đó, truyền cho khí một nhiệt lượng Q và thể tích khí lúc này là 4 V1 , 3 nhiệt độ T2  147 0 C . Cho rằng thành xi lanh cách nhiệt, mất mát nhiệt là không đáng kể. R  8,31( J / mol.K ) , CV  3 R. 2 Tìm nhiệt lượng Q đã truyền cho khí. Đáp án: gọi m, S, k là khối lượng, tiết diện pit tông, độ cứng lò xo. Các trạng thái khí lúc đầu và lúc sau là (p1, V1, T1) và (p2, V2, T2) Sau khi truyền cho khí một nhiệt lượng thì pit tông dịch chuyển lên trên một đoạn x 4 V V V2  V1 3 1 1 x  S S V  V1  3 xS hay x  1 3S Xét sự cân bằng của pit tông, có p1  mg S ; p2  mg  kx  kx  ( p 2  p1 ) S S Công mà khí thực hiện được: A'  mgx  1 2 1 1 1 1 kx  p1V1  ( p 2  p1 )V1  R ( T1  T2 ) 2 3 6 6 8 16 Độ biến thiên nội năng của khí U   Có 3 R (T2  T1 ) 2 13 4 Q  A' U  R ( T2  T1 )  4695,15( J ) 8 3 Bài 12: Trong một xi lanh thẳng đứng, thành cách nhiệt, có hai pittông: pittông A nhẹ (trọng lượng có thể bỏ qua) và dẫn nhiệt, pittông B nặng và cách nhiệt. B Hai pittông và đáy của xilanh tạo thành hai ngăn, mỗi ngăn chứa 1 mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử và có A chiều cao là h  0,5m . Ban đầu, hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt. Làm cho khí nóng lên thật chậm bằng cách cho khí (qua đáy dưới) một nhiệt lượng Q  100 J . Pittông A có ma sát với thành bình và không chuyển động, pittông B chuyển động không ma sát với thành bình. Tính lực ma sát tác dụng lên pittông A. Đáp án Gọi nhiệt độ ban đầu của hệ là T0 , nhiệt độ sau cùng là T1 . Áp suất ban đầu của khí trong hai ngăn bằng nhau và bằng p0 . Khí trong ngăn trên nóng đẳng áp từ nhiệt độ T0 đến nhiệt độ T1 , thể tích tăng từ T 1 V0 đến V1  V0 . T , công A mà khí sinh ra là 0 A  p0 (V1  V0 )  p0V0 ( T1  1)  R (T1  T0 ) T0 Khí trong ngăn dưới nóng đẳng tích từ p1  p0 T0 đến T1 , áp suất tăng từ p0 đến T1 T0 Áp dụng nguyên lí I: Q  A  U Mà U  2CV (T1  T0 )  5 R(T1  T0 ) Vậy Q  6 R (T1  T0 ) Lực ma sát tác dụng lên pit tông A là T V 1 F  ( p1  p0 ) S  p0  1  1 0  R (T1  T0 ) h  T0  h F Q 100  N 6h 3 Bài 13: Một xi lanh nằm ngang, bên trong có một pittông ngăn xi lanh làm hai phần: Phần bên trái chứa khí lí tưởng đơn nguyên tử, phần bên phải là chân không. Hai lò xo k1 , k 2 gắn vào pittông và đáy xi lanh nhưA hình vẽ. Lúc đầu, pittông được giữ ở vị trí mà cả hai lò xo chưa bị biến dạng, trạng thái khí lúc đó là ( P1 , V1 , T1 ) . Giải phóng pittông thì khi pittông ở vị trí cân bằng, trạng thái khí là ( P2 , V2 , T2 ) với k1 k2 B 17 V2  3V1 . Bỏ qua các lực ma sát. Xilanh, pittông và các lò xo đều cách nhiệt. P2 T2 Hãy tính P và T . 1 1 Đáp án Khi pit tông ở VTCB, độ biến dạng của mỗi lò xo là x. V2  V1 2V1  S S Có x  p 2 S  k1 x  k 2 x  p 2  ( k1  k 2 ) x (k  k )V  2 1 2 2 1 (1) S S Áp dụng phương trình trạng thái T 3p p 2V2 pV p pV p  1 1  2  1 1  1  2  2 T1 p1 T2 T1 T2 T1V2 3T1 (2) Hệ không trao đổi nhiệt Q  U  A  0  A  U 2 2V1  2(k1  k 2 )V12 1 1  2 mà A  (k1  k 2 ) x  ( k1  k 2 )   2 2 S S2   U   3 3 3 R (T2  T1 )  ( p 2V2  p1V1 )  (3 p 2  p1 )V1 2 2 2 2(k1  k 2 )V12 3  ( p1  3 p 2 )V1 2 S 2  2(k1  2k 2 )V1  3 ( p1  3 p 2 ) S 2 Thế (1) vào (3)  T (3) p2  p2 3 3 9  p1  p2  p1 11 2 2 9 2 (2)  T  11 1 Bài 14: Xi lanh hình trụ, pittông và vách ngăn (hình vẽ) được chế tạo từ các vật liệu cách nhiệt. Van tại vách ngăn được mở (1) (2) khi áp suất bên phải lớn hơn áp suất bên trái. Khi van đã được mở thì nó không đóng lại nữa. Trong trạng thái đầu của phần bên trái của hình trụ dài l  11,2dm có m1  12 g Heli; trong phần bên phải cùng độ dài có m2  2 g Heli. Từ hai phía nhiệt độ bằng 0 0 C . Áp suất ngoài p0  10 5 Pa . Nhiệt dung riêng của Heli khi thể tích không đổi là CV  3,15.10 3 J / kg.đô , còn khi áp suất không đổi là C p  5,25.10 3 J / kg .đô . Pittông được dịch lại chậm theo hướng tới vách ngăn (có sự nghỉ nhỏ khi van được mở ra) và được dịch sát tới vách ngăn. Cho diện tích pittông S  10 2 m 2 . Tính công mà pittông đã thực hiện. Đáp án 18 Xét khí trong xi lanh. Công toàn phần thực hiện trên khí: A  A1  A2 (1) Với A1 là công do pittông thực hiện A2 là công của áp lực khí quyển: A2  p0 Sl (2) Độ biến thiên nội năng của khí U  Cv ( m1  m2 )(T  T0 ) ; T0, T là nhiệt độ lúc đầu và lúc sau của khí. Vì hệ cách nhiệt nên theo nguyên lí I U  A  A1  Cv ( m1  m2 )(T  T0 )  p0 Sl (*) Trong biểu thức còn đại lượng T chưa biết. Để tìm T cần phải xét các giai đoạn của quá trình. Ban đầu, áp suất của phần bên trái lớn hơn của phần bên phải: p1  m1 RT0 m RT .  p2  2 . 0  lS  lS Trong sự chuyển động của pittông tới vách ngăn, khí ở phần bên phải hình trụ sẽ bị nén cho đến khi áp suất bằng p1 thì van được mở. Gọi V1 , T1 là thể tích và nhiệt độ của khí ở phần bên phải khi van bắt đầu mở. Vì sự nén xảy ra đoạn nhiệt nên: p1V1  p 2 .V0 trong đó  1   Cp Cv  V  V  p 2   V  m2  1 0 0   - hệ số đoạn nhiệt, còn V0  lS 1   p1   m1  Áp dụng phương trình trạng thái: 1 1  m  p1V1 m2 pV  pV   T1  1 1  1 1 T0  T0  2  RT1  Rm2 p2V0  m1  Khi áp suất ở phần bên phải bằng phần bên trái thì van tại vách ngăn được mở ra và các chất khí trộn lẫn vào nhau (lúc này pittông không được dịch chuyển). Gọi T2 là nhiệt độ của hỗn hợp khí khi có sự cân bằng nhiệt. Có: c.m1 (T2  T0 )  c.m2 (T1  T2 )  m1T0  m2T1 m1   m2  T2   T0 . 1  m1  m2 m1  m2   m1         1  Sau khi trộn lẫn, toàn bộ khí có khối lượng m  m1  m2 bị nén đoạn nhiệt từ thể tích đến thể tích V0 , còn nhiệt độ của nó biến đổi từ T2 đến T. Ta có: TV0 1  T2V  1 Từ đó rút ra T, thay vào biểu thức của A1, tính được A1  3674 J C. PHẦN KẾT LUẬN Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy việc xây dựng hệ thống các bài tập cho từng phần sao cho thật nhiều, thật đa dạng là điều cần thiết. Vì vậy phong trào viết chuyên đề của Hội trường chuyên Duyên hải là việc làm rất thiết thực, các trường có thể chia sẻ tài liệu cho nhau, giúp các giáo viên dạy ở trường chuyên bớt nhọc nhằn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. V  V1  V0 19 Với kinh nghiệm dạy ôn thi học sinh giỏi ít và thời gian hạn hẹp thì chắc chắn hệ thống bài tập được đưa ra ở trên là chưa thật đầy đủ. Rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô giáo đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! 20