Tài liệu Bộ đề thi luyên tập môn đại số tuyến tính

ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2010-2011 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 8 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN. CA 1 Caâu 1 : Cho ma traän A =
1 +2 i 2 −i 1 +2 i 3 +2 i     1 −1 0 −2   Caâu 2 : Cho hai ma traän A =  −1 2 1 vaø B =    1 3 −3 1 3 T Tìm ma traän X thoûa 2 I + AX = B .      Caâu 3 : Giaûi heä phöông trình     x1 2 x1 3 x1 5 x1 √ 5 z. . Ñaët z =det( A) . Tính + x2 + x2 + x2 + 3 x2 − x3 − 3 x3 − 5 x3 − 7 x3 3 −2 1 − 2 x4 − 5 x4 − 8 x4 − 1 2 x4 6 7  5  . = = = = 0 0 0 0 Caâu 4 : Trong IR3 , cho tích voâ höôùng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 3 x1 y1 + 2 x1 y2 + 2 x2 y1 + 5 x2 y2 + x3 y3 . Tìm ñoä daøi cuûa veùcto u = ( 1 , 2 , −1 ) . Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( 1 , 1 , 0 ) = ( 6 , 5 , 2 ) , f( 1 , 0 , 1 ) = ( 6 , 2 , 5 ) . Tìm taát caû caùc veùcto rieâng cuûa f öùng vôùi trò rieâng λ1 = 3 . Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f ( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( 2 x1 + x2 − 3 x3 , x1 + 2 x2 + x3 , x1 − 2 x3 ) . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 0 ) } Caâu 7 : Ñöa daïng toaøn phöông f ( x1 , x2 ) = 5 x21 − 4 x1 x2 + 8 x22 veà daïng chính taéc baèng bieán ñoåi TRÖÏC GIAO. Neâu roõ pheùp ñoåi bieán. Caâu 8 : Cho ma traän vuoâng thöïc A caáp 3, X1 , X2 , X3 ∈ IR3 laø 3 veùcto coät, ñoäc laäp tuyeán tính. Bieát A · X1 = X2 , A · X2 = X3 , A · X3 = X1 . Tìm taát caû trò rieâng vaø veùcto rieâng cuûa A3 . CHUÛ NHIEÄM BOÄ MOÂN ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2010-2011 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 8 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN. CA 2 √ √ 2 +6 i 3 + 2 i) z + = 3 iz + ( 3 + i) ( 2 − i) . Tính 10 z. 1 +i     1 1 1 −2 1 2    0 1  Caâu 2 : Cho hai ma traän A =  1 2 1  vaø B =  3  . 1 1 2 1 4 2 Tìm ma traän X thoûa 3 B + AX = I, trong ñoù I laø ma traän ñôn vò caáp 3. Caâu 1 : Cho z thoûa phöông trình ( Caâu 3 : Trong IR3 , cho tích voâ höôùng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 4 x1 y1 + 5 x2 y2 + 2 x2 y3 + 2 x3 y2 + 2 x3 y3 . Tìm khoaûng caùch giöõa hai veùcto u = ( 1 , 2 , −1 ) vaø v = ( 2 , 1 , 3 ) . Caâu 4 :  Tìm cô x1     2 x 1  7 x  1   5 x1 sôû + + + + vaø soá x2 x2 4 x2 3 x2 chieàu cuûa khoâng gian − x3 − 2 x4 = − 3 x3 − 5 x4 = − 8 x3 − 1 3 x4 = − 7 x3 − 1 2 x4 = nghieäm cuûa heä 0 0 0 0 Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t ma traän cuû  a f trong cô sôû 1 −1 2 E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) } laø A =  3 5   2 . 3 7 8 Tìm ma traän cuûa f trong cô sô E1 = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } . Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát nhaân cuûa f sinh ra bôûi hai veùcto ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) vaø f ( 1 , 1 , 0 ) = ( −1 , −1 , 0 ) . Tìm taát caû caùc trò rieâng vaø veùcto rieâng cuûa aùnh xaï f . Caâu 7 : Ñöa daïng toaøn phöông f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x21 + 8 x22 + 2 x23 − 2 x1 x2 + 4 x1 x3 + 6 x2 x3 veà daïng chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange (bieán ñoåi sô caáp). Neâu roõ pheùp ñoåi bieán. Caâu 8 : Cho ma traän vuoâng thöïc A caáp 2, X1 , X2 ∈ IR2 laø hai veùcto coät, ñoäc laäp tuyeán tính. Bieát A · X1 = X2 , A · X2 = X1 . Tìm taát caû trò rieâng vaø veùcto rieâng cuûa A100 . CHUÛ NHIEÄM BOÄ MOÂN Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2010-2011, ca 1 Thang ñieåm: caâu 1, 2, 5, 6: 1.5 ñieåm. Caùc caâu coøn laïi 1 ñieåm. Neáu caùch laøm ñuùng maø ñaùp aùn sai, thì vaãn cho ñieåm tuøy theo möùc ñoä. √ Caâu 1. det ( A) = −5 + 5 i = 5 2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 ) .
√ √ 3 π/4 + k2 π 3 π/4 + k2 π 5 z = zk = 10 5 0 c o s , k = 0 , 1 , ..., 4 . + i s in 5 5     5 1 −1 −2 3 −4 1 1     1 −1  −5 8  Caâu 2. X = A−1 B T − 2 I , A−1 =  4  Suy ra X =  −1 9  −3 0 1 1 8 2 −4 Caâu 3. Ñöa veà baäc thang, giaûi ra ñöôïc nghieäm toång quaùt X = ( 2 α + 3 β, −α − β, α, β) .  √ √ Caâu 4. Ñoä daøi veùcto ||u|| = ( u, u) = 3 + 4 + 4 + 2 0 + 1 = 3 2 Caâu 5. Coù nhieàu caùch laøm. Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( −1 2 ,  −5 , −8 ) , f ( 0 , 0 , 1 ) = 1 8 −1 2 −1 2 −5 −8  ( −1 2 , −8 , −5 ) , suy ra ma traän cuûa f trong chính taéc laø A =   1 0  1 0 −8 −5 ÖÙng vôùi trò rieâng λ1 = 3 , giaûi heä ( A − 3 I) X = 0 , ta coù nghieäm X = ( 4 α, 5 α − β, β) T . Suy ra taát caû caùc veùcto rieâng cuûa f öùng vôùi trò rieâng λ1 = 3 laø X = ( 4 α, 5 α − β, β) Caâu 6. f ( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f ( 1 , 1 , 1 ) ]E = ( −1 , 5 , −4 ) T ; f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ]E = ( 1 , 2 , 0 ) T   −1 1 1  T 2 0  f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ]E = ( 1 , 0 , 1 ) . Ma traän caàn tìm: A =  5  −4 0 1
 5 −2 Caâu 7. Ma traän cuûa daïng toaøn phöông: A = . Cheùo hoùa tröïc giao A = P DP T , trong −2 8   1 2
 √   √ 9 0  5 5  ñoù D = , P =  −2 . 1  0 4 √ √  5 5 Daïng chính taéc caàn tìm: f ( y1 , y2 ) = 9 y12 + 4 y22 . Pheùp ñoåi bieán X = P Y . Caâu 8. Ta coù A3 ( X1 ) = A( A( AX1 ) ) = A( AX2 ) = AX3 = X1 . Suy ra X1 laø veùcto rieâng cuûa A3 öùng vôùi trò rieâng λ1 = 1 . Töông töï 2 veùcto X2 , X3 ñeàu laø veùcto rieâng cuûa A3 öùng vôùi trò rieâng λ1 = 1 . Vì X1 , X2 , X3 ñoäc laäp tuyeán tính neân Boäi hình hoïc cuûa λ1 baèng 3. Suy ra A3 chæ coù moät trò rieâng vaø A3 = I. 1 ðáp án ðề ñại số tuyến tính 2011 – Ca 2. Thang ñiểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 ñiểm, các câu còn lại 1 ñiểm. Nếu cách làm ñúng, ñáp án sai, thì vẫn cho ñiểm tùy theo mức ñộ. 3 − 3i 3 2   π   π  =  cos  −  + i sin  −   2  3 −i  12   12     π   π  − + k 2π  − + k 2π      3 2 12 ⇒ 10 z = 10  cos  12  + i sin  ,k 2  10 10             7 −3 −6  3   − 1 Câu 2: AX = I − 3B =  −9 1 −3  ⇒ X = A . ( I − 3B ) =  −1   −3 −12 −5   −1    Câu 1: z = = 0,1,..., 9 −1 −1 7 −3 −6   33 2 −10      1 0  −9 1 −3  =  −16 4 3   −3 −12 −5   −10 −9 1  0 1     Câu 3: v − u = (1, −1, 4 ) ⇒|| ( v − u ) ||= v − u, v − u = 25 = 5 1  Câu 4: Viết ở dạng ma trận:  2 7  5 1 −1 −2 0   1 1 −1 −2 0    x1 = − x4     1 −3 −5 0   0 −1 −1 −1 0    x2 = x4 → ⇒ 4 −8 −13 0   0 0 2 4 0    x3 = −2 x4    3 −7 −12 0   0 0 0 0 0    x4 ∈ R Câu 5: Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E1. Tìm P ta giải hệ: 1 1 1 1 1 1  2 2 1     1 1 0 2 1 1 suy ra P =  0 −1 0  suy ra ma trận của f trong cơ sở E1 là: 1 0 1 1 2 1  −1 0 0  2 B = P −1 AP =  1  −6 Câu 6: Ta có: f −3 −1 −2 3 11  (1,1, 2 ) = 0, f (1, 2,1) = 0 suy ra (1,1,2)T và (1,2,1)T là 2 VTR ứng với TR λ = 0 1 f (1,1, 0 ) = − (1,1, 0 ) nên (1,1,0)T là VTR ứng với TR λ = −1 T T T Vì 3 vecto (1,1,2) , (1,2,1) , (1,1,0) có hạng bằng 3 nên:  E = (1,1, 2 )T , (1, 2,1)T  λ =0  T  Eλ =−1 = (1,1, 0 )  (không còn trị riêng khác nữa) 2 Câu 7: 2 x 8  32   15  f = 2  x1 − 2 + x3  +  x2 + x3  − x3 2 2 15  15   1 19   x1 = y1 + 2 y 2 − 15 y 3  15 32 2 Phép biến ñổi:  x = y − 8 y Dạng chính tắc: f = 2 y12 + y22 − y3  2 2 3 2 15 15   x3 = y 3   x2   y1 = x1 − 2 + x3  8  y2 = x2 + x3  Hoặc phép biến ñổi  15  y 3 = x3   Câu 8: ta có: A2 X 1 = X 1, A2 X 2 = X 2 nên X1,X2 là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của A2, do ñó X1,X2 cũng là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của ma trận A100. Vì X1,X2 ñltt nên A100 không còn TR nào khác. Vây: Eλ =1 ( A100 ) = X 1 , X 2 ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 1  7 4 Caâu 1 : Cho ma traän A =   2 −2 Caâu 2 : Tìm chieàu  x1 +     2 x + 1  3 x 1 +    5 x1 + Caâu 3 : Cho aù nh xaï 2  A= 1 −1 vaø x2 x2 x2 3 x2 moät − − − − tuyeán 1 −1 3 4 1 0 5 −2 cô x3 3 x3 5 x3 7 x3  1 6 8  . Tính A2010 , bieát A coù hai trò rieâng laø 1 vaø 3 . −5 sôû TRÖÏC − 2 x4 − 5 x4 − 8 x4 − 1 2 x4 CHUAÅN cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình = 0 = 0 = 0 = 0 3 3 tính  f : IR −→ IR , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc laø  . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }. Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t 2  E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  3 4 ma traän cuû  a f trong cô sôû 1 −1 2 4  . Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa kerf. 3 9 Caâu 5 : ChoA laø ma traän vuoâng tuøy yù, thöïc, caáp n, thoaû A10 = 0 . Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi vaø chæ khi A laø ma traän khoâng.  1  Caâu 6 : Tìm m ñeå ma traän A =  −2 3 −2 5 1 3  1   coù ba trò rieâng döông (coù theå truøng nhau). m Caâu 7 : Trong heä truïc toaï ñoä Oxy cho ñöôøng cong ( C) coù phöông trình 5 x2 +2 xy+5 y 2 −2 Nhaän daïng vaø veõ ñöôøng cong ( C) . √ √ 2 x+4 2 y = 0 . Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 1 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 ñieåm; caâu 7: 1.0 ñieå m.   −2 −1 −4 1    −1 1 0 . D =  0 Caâu 1(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän ( 1ñ) A = P DP ; P =  −1 1 0 1 0     1 1 4 1 0 0     2010 2010 2010 −1 −1 2010 2 4 ; D 0 A = P D P , tính ra ñöôïc P =  1 = 0 3 . 2010 −1 −1 −3 0 0 3 Caâu 2 (1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa khoâng gian nghieäm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) } Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 167 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } 0 0 0  . 3 0 }  3   Caâu 3 (1.5ñ). Coù nhieàu caùch laøm. Ma traän chuyeån cô sôû töø chính taéc sang E laø: P =  2 1   1  1 1 1   2 1 1 8 1 1 6   Ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû E laø B = P −1 AP = −2 −1 −2  −3 −9 −2 T Caâu 4(1.5ñ) . Giaû söû x ∈Kerf ; [x]E = ( x1 , x2 ,  x3 ) . Khiñoù f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ]E = 0 ⇔ A · [x]E = 0    2 1 −1 x1 0 6 α        4   x2  =  0  ⇔ [x]E =  −1 1 α  ⇔ 3 2 ⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) . 4 3 9 x3 0 α Dim( Kerf ) = 1 , cô sôû: ( 1 0 , −7 , 4 ) . Caâu 5 (1.5ñ). Vì A10 = 0 neân A chæ coù moät trò rieâng laø λ = 0 (theo tính chaát, neáu λ0 laø TR cuûa A, 10 −1 thì λ10 , D laø ma traän 0 neân A = 0 . 0 laø TR cuûa A . A cheùo hoùa ñöôïc ⇔ A = P · D · P Caâu 6 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc coù ba trò rieâng döông, suy ra daïng toaøn phöông töông öùng xaùc ñònh döông ( hay ma traän ñaõ cho xaùc ñònh döông). Theo Sylvester, A xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi caùc ñònh thöùc con chính döông ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m− 5 8 >0 ⇔ m > 5 8 . 5 1 Caâu 7(1.0ñ). Xeùt daïng toaøn phöông 5 x21 + 2 x1 x2 + 5 x22 coù ma traän A = . Cheùo hoùa tröïc 1 5     1 1 −1 6 0 giao ma traän A bôûi ma traän tröïc giao P = √ vaø ma traän cheùo D = 1 1 0 4 2     1 −1 1 1 Ñöôøng cong ( C) coù ptrình trong heä truïc Ouv vôùi hai veùctô cô sôû laø √ , √ , √ , √ laø: 2 2 2 2 . Ñaây laø ñöôøng cong ellipse. Heä truïc Ouv thu ñöôïc töø heä Oxy baèng caùch 6 ( u + 16 ) 2 + 4 ( v + 34 ) 2 = 11 12 o quay 1 goùc 4 5 ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà. ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 2 Caâu 1 : a/ Cho ma traän A =
7  −3 −4 . 1 0 a/ Cheùo hoaù ma traän A. b/ AÙp duïng, tìm ma traän B sao cho B 20 = A. Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t 1  E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  2 3 Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc .  3 Caâu 3 : Cho ma traän A =   −3 2 6 ma traän A . 2 −2 2 Caâu 4 : Tìm m ñeå vectô X = ( 2 , 1 , m)  1  Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A =  3 −2 ma traän cuû  a f trong cô sôû 2 0 1 −1  . 0 2  2 −3   . Tìm trò rieâng, cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa 3 T  −5  laø veùctô rieâng cuûa ma traän A =  −3 −3 3 m −4 3 3 3  . 1 3  1  −2 −4   coù ñuùng hai trò rieâng döông vaø moät trò rieâng aâm. 6 Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp quay trong heä truïc toaï ñoä Oxy quanh goác toïa ñoä CUØNG chieàu kim ñoàng hoà moät goùc 6 0 o . Tìm aùnh xaï tuyeán tính f . Giaûi thích roõ. Caâu 7 : Cho A laø ma traän vuoâng caáp n. Chöùng toû raèng A khaû nghòch khi vaø chæ khi λ = 0 KHOÂNG laø trò rieâng cuûa A. 1 Khi A khaû nghòch chöùng toû raèng neáu λ laø trò rieâng cuûa A, thì laø trò rieâng cuûa A−1 . λ Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 2 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 ñieåm; caâu 7: 1.0 ñieå
m. 
 3 1 2 0 −1 Caâu 1(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän ( 0.5ñ) A = P DP ; P = . D= . 5 2 0 1 −1 −1 20 20 −1 Ta coù
A = √ P · D · P . Giaû söû B = Q · D1 · Q , ta coù B = Q · D1 · Q = A. Choïn Q = P vaø 20 2 0 √ D1 = . Vaäy ma traän B = P · D1 · P −1 20 0 1 Caâu 2 (1.5ñ). Coù nhieàu caùch laøm. Goïi ma traän chuyeå n cô sôû   töø E sang chính taéc laøP . Khi ñoù ma 1 1 1 traän chuyeån cô sôû töø chính taéc sang E laø : P −1 =  1 1   2  Ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong 1 2 1   −6 5 2  6 4  cô sôû chính taéc laø B = P −1 AP = −9  −1 2 8 4 Caâu 3 (1.5ñ). Giaû söû λ0 laø trò rieâng cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 . Khi ñoù A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ60 · x0 . Laäp ptrình ñaëc tröng, tìm ñöôïc TR cuûa A: λ1 = 1 , λ2 = 2 , Cô sôû cuûa Eλ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, cuûa Eλ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }. TR cuûa A6 : δ1 = 1 6 , δ2 = 2 6 , Cô sôû cuûa: Eδ1 : {( −1 ,  1 , 0 ) T , ( −1 , 0 ,1 ) T }, cuû a Eδ2 :  {( 2 , −3 , 2 ) T }.  −5 3 3 2 2     1 3  Caâu 4 (1.5ñ). x laø VTR cuûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔   −3  1  = λ ·  1  ⇔ m = 1 −3 3 1 m m 2 Caâu 5 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc. Daïng toaøn phöông töông öùng f ( x, x) = x1 + mx22 + 6 x23 + 6 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 . Ñöa veà chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 + 2 ( x3 + x2 ) 2 + ( m − 1 1 ) x23 . Ma traän A coù moät TR döông, 1 TR aâm ⇔ m < 1 1 . Caâu 6 (1.5ñ). f : IR2 −→ IR2 . f ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn neáu bieát aûnh cuûa moät cô sôû cuûa IR2 . Choïn cô sôû chính taéc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }. √ √ √ √ Khi ñoù f ( 1 , 0 ) = ( 12 , −2 3 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( 23 , 12 ) . f ( x, y) = ( x2 + y 2 3 , −x2 3 + y2 ) Caâu 7 (1.0ñ). A khaû nghòch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 khoâng laø TR cuûa A. Giaû söû λ0 laø TR cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ10 · x0 (vì λ0 = 0 ) → ñpcm. ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 3 Caâu 1 : Trong khoâng gian IR4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc, cho khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = 0 & 2 x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = 0 & 3 x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = 0 } Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa F . Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá a f trong cô sôû  t ma traän cuû −1 4 −2  0  E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  −3 4 . −3 1 3 Cheùo hoaù aùnh xaï tuyeán tính f . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t 1  E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  2 3 Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa Imf . ma traän cuû  a f trong cô sôû 1 2 3 0  . 5 −4 Caâu 4 : Cho A vaø B laø hai ma traän ñoàng daïng. Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi vaø chæ khi B cheùo hoaù ñöôïc.  1 Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A =   4 −1  4 −1 m 2   coù ít nhaát moät trò rieâng aâm. 2 4 Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + 2 x3 , −2 x1 + x2 + 2 x3 , x1 − x2 + x3 ) . Tìm m ñeå veùctô x = ( 2 , 2 , m) laø veùctô rieâng cuûa f . Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp ñoái xöùng trong heä truïc toaï ñoä Oxy qua ñöôøng thaúng 2 x−3 y = 0 . Tìm taát caû caùc trò rieâng vaø cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa f . Giaûi thích roõ. Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 3 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 ñieåm; caâu 4: 1.0 ñieåm. Caâu 1(1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 167 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }    2 1 1  1 3  Caâu 2(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän (1.0 ñ) A = P · D · P −1 , P =   3 . D =  3 1 4 Cô sôû caàn tìm laø B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma traän cuûa f trong B laø D. laø caùc VTR cuûa A, phaûi ñoåi sang cô sôû chính taéc!! )} 2 0 0 1 0  0  . 0 0 3 Caùc coät cuûa P Caâu 3(1.5ñ). Dim(Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f ( E) >=< f ( 1 , 0 , 1 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >= =< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cô sôû cuûa Im( f ) laø {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Caùch khaùc: Vì Dim(Imf ) = r( A) = 3 , neân Im( f ) laø IR3 vaø cô sôû cuûa Im( f ) laø cô sôû chính taéc cuûa IR3 . Caâu 4(1.0ñ). A ñoàng daïng B ⇔ ∃Q : B = Q−1 · A · Q. Giaû söû A cheùo hoùa ñöôïc ⇔ A = P · D · P −1 . −1 Khi ñoù B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →ñpcm. Caâu 5 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc. Daïng toaøn phöông töông öùng f ( x, x) = x21 + mx22 + 4 x23 + 8 x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 . Ñöa veà chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3 ) 2 + 3 ( x3 + 2 x2 ) 2 + ( m − 2 8 ) x22 . A coù moät TR aâm ⇔ m < 2 8 . Caâu 6 (1.5ñ). x laø VTR cuûa f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m) ⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2 Caâu 7 (1.5ñ).f : IR2 −→ IR2 . VTR laø veùctô qua pheùp bieán ñoåi coù aûnh cuøng phöông vôùi veùctô ban ñaàu. Caùc veùctô cuøng phöông vôùi veùctô chæ phöông a = ( 3 , 2 ) cuûa ñöôøng thaúng laø taát caû caùc VTR töông öùng vôùi TR λ1 = 1 ; caùc veùctô cuøng phöông vôùi veùctô phaùp tuyeán n = ( 2 , −3 ) cuûa ñöôøng thaúng laø taát caû caùc VTR töông öùng vôùi λ2 = −1 . Vì f laø axtt cuûa khoâng gian 2 chieàu neân khoâng coøn VTR khaùc. Kluaän: Cô sôû cuûa Eλ1 : ( 3 , 2 ) cuûa Eλ2 : ( 2 , −3 ) . Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 1 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt Caâu 1 : Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình z 4 + i = 0 . Caâu 2 : Trong khoâng gian IR3 cho hai khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 + 2 x3 = 0 }, G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + 3 x2 + x3 = 0 }. Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa F ∩ G Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR2 , bieát ma traän cuûa aù
nh xaï tuyeán tính trong cô sôû 1 −2 1 E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) } vaø F = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 1 ) } laø A = . Tìm f ( 4 , 7 , 3 ) 2 0 4 Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 2 ) ; f ( 1 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 ) ; f( 0 , 1 , 1 ) = ( 1 , −1 ) . Tìm moät cô sôû E vaø chieàu cuûa Ker f . Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( 1 , 1 ) = ( −5 , −1 1 ) ; f( 0 , 1 ) = ( 3 , 7 ) . Tìm taát caû caùc trò rieâng cuûa f . Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 thoaû ∀( x1 , x2 ) ∈ IR2 : f ( x1 , x2 ) = ( 2 x1 + x2 , x1 − 3 x2 ) . Tìm ma traän AE,E cuûa f trong caëp cô sôû E, E, vôùi E = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 1 ) }. Caâu 7 : Trong khoâng gian IR4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho x = ( 1 , 0 , 1 , 1 ) vaø khoâng gian con H = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 + x2 − x3 + x4 = 0 & 2 x1 + 3 x2 − x3 + 3 x4 = 0 }. Tìm hình chieáu vuoâng goùc prH x töø x xuoáng khoâng gian con H. Caâu 8 : Tìm moät ma traän ñoái xöùng thöïc A caáp 3 (khoâng laø ma traän cheùo), sao cho A coù ba trò rieâng laø 2 ,4 ,5 . Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 10 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt Caâu 1 : Tính det( A) 100  2 , vôùi I laø ma traän ñôn vò caáp 3 vaø A =   3 −2 1 0 5  −1 4  . 2 Caâu 2 : Trong khoâng gian IR3 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho hai khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } vaø G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >. Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa ( F ∩ G) ⊥ . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR 3 , bieát ma traä n cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû 2 2 −2  3 −1  E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } laø A =  1 . −1 1 1 Tìm m ñeå veùctô ( 2 , 1 , m) laø veùctô rieâng cuûa f . Caâu 4 : Tìm    x   2 x  3 x    4 x chieàu + y + 3 y + 5 y + 7 y vaø + + + + 1 moät cô z + t 4 z − t 7 z − 3 t 0 z − 5 t sôû = = = = tröïc chuaån cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä 0 0 0 0 Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ; f( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) . Tìm cô sôû cuûa IR2 sao cho ma traän cuûa f trong cô sôû ñoù laø ma traän cheùo D. Tìm D. Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( 3 x1 + x2 − x3 , 2 x1 − x2 + 2 x3 , x1 − x2 + 2 x3 ) . Tìm ma traän A cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }.  −1 1 Caâu 7 : Cho ma traän vuoâng caáp 2 A = −2 0 2010 Tìm ma traän B sao cho B = A. 6 1 1  . Caâu 8 : Chöùng minh raèng A laø ma traän vuoâng caáp n khaû nghòch khi vaø chæ khi λ = 0 khoâng laø trò rieâng 1 laø trò rieâng cuûa A−1 cuûa A. Giaû söû λ0 laø trò rieâng cuûa ma traän A, chöùng toû λ0 Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 2 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt √ i2007 ( − 3 + i) Caâu 1 : Tìm argument cuûa soá phöùc z = ( 1 + i) 18  1  Caâu 2 : Tìm ma traän X thoaû X ·  2 1 1 1 −1   −1 5   0 = 4 1 1 22 . −1 3 −2 1  2  . 5 Caâu 3 : Trong IR3 cho hai khoâng gian con F = {( 1 , 1 , 1 ) ; ( 2 , 1 , 1 ) } vaø G = {( 2 , 3 , 1 ) ; ( −1 , 1 , 2 ) }. Tìm cô sôû vaø chieàu cuûa khoâng gian con F ∩ G. Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , 2 , −1 ) ; f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 2 , 1 , 3 ) ; f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −1 , 0 , 1 ) . Tìm f ( x) . Caâu 5 : Tröïc chuaån hoaù cô sôû E = {( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 3 , 0 , 1 ) } cuûa IR3 . Caâu 6 : Cho hai khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 − x2 − 2 x3 = 0 & 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 } vaø G =< ( 1 , 2 , 2 ) ; ( 2 , 1 , 0 ) ; ( 0 , 4 , m) >. Tìm m ñeå F tröïc giao vôùi G.  7 Caâu 7 : Tìm m ñeå λ = 1 laø giaù trò rieâng cuûa ma traän A =   2 −2 4  1 6 5 8   m −5   4 6 0  3 3 Caâu 8 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR −→ IR coù ma traän trong cô sôû chính taéc laø A =  −3 −5 0  . −3 −6 1 Tìm moät cô sôû (neáu coù) cuûa IR3 ñeå ma traän cuûa f trong cô sôû ñoù laø ma traän cheùo D. Tìm D. Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 3 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt Caâu 1 : Giaûi phöông trình z 4 + 4 z 3 + z 2 − 1 6 z − 2 0 = 0 , bieát z = −2 + i laø moät nghieäm.
Caâu 2 : Tính ñònh thöùc cuûa ma traän A100 , bieát A =  2 3  −3 5  Caâu 3 : Tìm m ñeå r( A) = 4 , bieát A =   3 1 2 4 1 3 4 2 5 7 0 −1 2 1 m −1  .      Caâu 4 : Trong P2 [x], cho khoâng gian con F = {p( x) | p( 1 ) = 0 } vaø tích voâ höôùng ( p, q) = Tìm m ñeå veùctô f ( x) = x − 8 x + m thuoäc khoâng gian F . 2 ⊥ 1 p( x) q( x) dx. 0 Caâu 5 : Trong IR4 cho khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = 0 & 2 x1 +3 x2 −x3 −3 x4 = 0 } vaø moät veùctô x = ( 1 , 2 , 1 , 1 ) . Tìm hình chieáu vuoâng goùc cuûa x xuoáng F . Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t ma 2 3 1 E = {( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =   3 1 0 Tìm ma traän B cuûa f trong cô sôû chính taéc. traän cuûa f trong cô sôû −1 0  . −1 Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) , f( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) . Tìm m ñeå x = ( m, −1 , 0 ) laø veùctô rieâng cuûa f . Caâu 8 : Ñöa daïng toaøn phöông sau veà chính taéc baèng BIEÁN ÑOÅI TRÖÏC GIAO, neâu roõ pheùp bieán ñoåi: f( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 . Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 4 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt −1 + i Caâu 1 : Tính z = √ . ( 3 − i) 17 Caâu 2 : Trong IR3 , vôùi tích voâ höôùng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 5 x1 y1 + x2 y2 + 2 x3 y3 , cho khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − 2 x3 = 0 }. Tìm m ñeå veùctô x = ( 1 , 5 , m) ∈ F ⊥  2 3  −3 5  Caâu 3 : Tìm m ñeå A khaû nghòch, bieát A =    1 3 4 2 5 7   0 −1  2 1  m 2 Caâu 4 : Trong P2 [x], cho hai khoâng gian con F =< x + 1 , x2 − 1 > vaø G =< x2 + 1 , 2 x + 1 >. Tìm chieàu vaø moät cô sôû F ∩ G. Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) , f( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) . Tìm ma traän B cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) } Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f IR3 1 2 E = ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) laø A =   3 : −→ 1 −1 3 0 5 1 I R3 ,  . bieát ma traän cuûa f trong cô sôû Tìm cô sôû vaø chieàu cuûa Kerf. Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( 1 , 1 ) = ( 5 , 8 ) ; f ( 1 , 2 ) = ( 5 , 9 ) . Tìm moät cô sôû B cuûa IR2 sao cho ma traän cuûa f trong B laø ma traän cheùo. Tìm ma traän cheùo naøy. Caâu 8 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát nhaân sinh ra bôûi ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) vaø f ( 1 , 0 , 1 ) = ( 2 , 0 , 2 ) . Tìm trò rieâng vaø cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng. Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 5 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt Caâu 1 : Giaûi phöông trình z 4 + 3 z 2 − 4 = 0 trong C.  3 1  Caâu 2 : Tính 3 A2 − 5 I, vôùi I laø ma traän ñôn vò caáp 3 vaø A =  2 4 1 1 0  0  . −1 Caâu 3 : Trong khoâng gian IR3 cho hai khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = 0 } vaø G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >. Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa ( F ∩ G) ⊥ . Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR  3, 1  E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } laø A =  2 3 Caâu 5 : Cheùo hoùa ma traän A =  2 1 2 3 bieát matraän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû 2 −1 3 0   Tìm moät cô sôû vaø chieàu cuûa Im f . 1 2  Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( 3 x1 + x2 + x3 , 2 x1 + x2 + 2 x3 , x1 − x2 − 2 x3 ) . Tìm ma traän A cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) }. Caâu 7 : Ñöa daïng toaøn phöông f ( x1 , x2 ) = x21 + 4 x1 x2 + x22 veà daïng chính taéc baèng bieán ñoåi tröïc giao. Neâu roõ pheùp bieán ñoåi.  7 Caâu 8 : Tìm m ñeå λ = 1 laø giaù trò rieâng cuûa ma traän A =   2 −2 Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh 4  1 6 5 8   m −5 Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 6 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt  2 3  −3 5  Caâu 1 : Tìm m ñeå det( A) =2 vôùi A =    1 3 5 2 5 7   0 −1  2 1  m 2 Caâu 2 : Trong khoâng gian IR4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = 0 & 2 x1 +x2 +2 x3 −3 x4 = 0 & 5 x1 +3 x2 +5 x3 −7 x4 = 0 }. Tìm soá chieàu vaø cô sôû cuûa F ⊥ . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t 1  E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  2 3 Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa Imf . ma 2 1 0 traän cuûa f trong cô sôû −1 0  . −1 Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 5 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , −2 , 7 ) , f( 1 , 0 , 1 ) = ( 1 , 0 , 1 ) . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc. Caâu 5 : Ñöa daïng toaøn phöông f ( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x21 + 3 x23 − 8 x1 x2 + 2 x1 x3 − 8 x2 x3 veà chính taéc baèng BIEÁN ÑOÅI TRÖÏC GIAO, neâu roõ pheùp bieán ñoåi ( bieát ma traän cuûa daïng toaøn phöông coù trò rieâng laø 2 , 8 , −4 ).  6 Caâu 6 : Cho ma traän A =   1 −4 −1 2 −3 1 2  −1 −1   . Tìm trò rieâng cuûa ma traän ( 5 A) 3 10 . Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 ) = ( 3 x1 + x2 , 3 x1 + 5 x2 ) . Tìm moät cô sôû cuûa IR2 sao cho ma traän cuûa f trong cô sôû ñoù laø ma traän cheùo D. Tìm D. Caâu 8 : Chöùng toû raèng neáu λ laø trò rieâng cuûa ma traän A caáp n, thì λk laø trò rieâng cuûa Ak , vôùi ∀k ∈ N. Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 7 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt Caâu 1 : Tính z =
5 √ 1 −i 3 Caâu 2 : Giaû i heä phöông trình:  z   x + 2 y −   3 x + y + 4 z  7 x + 3 y    9 x + 7 y − 2 z + + + + 1 4 t=0 2 t=0 4 t=0 2 t=0 Caâu 3 : Trong IR3 cho 2 khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } vaø G =< ( 1 , 1 , −2 ) >. Tìm cô sôû vaø chieàu cuûa F + G. Caâu 4 : Trong P2 [x] vôùi tích voâ höôùng ( p, q) =  1 0 p( x) q( x) dx, cho khoâng gian con F = {p( x) |p( 0 ) = 0 & p( 1 ) = 0 }. Tìm cô sôû vaø chieàu cuûa F ⊥ Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( 2 x1 − x2 + x3 , x1 − 2 x2 , x1 + x2 − 2 x3 ) . Tìm ma traän A cuûa aùnh xaï tuyeán tính f trong caëp cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 , ( 1 , 1 , 0 ) }; F = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 0 ) } Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR2 , bieát ma traän cuûaaùnh xaï tuyeán tính trong caëp cô sôû 1 0 −1 E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 , ( 1 , 1 , 2 ) }; F = {( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) } laø A = . 3 1 5 Tìm cô sôû vaø chieàu cuûa Kerf Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( 1 , 1 ) = ( 2 , 0 ) ; f ( 1 , −1 ) = ( 2 , −6 ) . Tìm cô sôû E (neáu coù) cuûa IR2 sao cho ma traän cuûa f trong E laø ma traän cheùo D. Tìm D. Caâu 8 : Tìm aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 bieát f coù ba trò rieâng −2 , 3 , 5 vaø ba veùc tô rieâng ( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , −1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) . Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 8 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt Caâu 1 : Tính: I = ( −1 + i) 25 √ ( 2 − i 1 2 ) 15 Caâu 2 : Trong khoâng gian IR3 cho hai khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = 0 } vaø G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + 3 x2 − x3 = 0 }. Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa F + G. Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR2 , bieát ma traän cuûa
aùnh xaï tuyeá  n tính trong cô sôû 3 1 −2 . E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } vaø F = {( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) } laø A = 2 4 5 Tìm f ( 4 , 1 , 3 ) . Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( 1 , 1 , 1 ) = ( 2 , 1 ) ; f( 1 , 1 , 2 ) = ( 1 , −1 ) ; f( 1 , 2 , 1 ) = ( 0 , 1 ) . Tìm moät cô sôû vaø chieàu cuûa Ker f . Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( 1 , 1 ) = ( 5 , −1 ) ; f( 1 , −1 ) = ( 5 , −3 ) . Tìm taát caû caùc trò rieâng cuûa f . Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + 2 x2 + 2 x3 , 2 x1 − x2 + x3 , 3 x2 + 4 x3 ) . Tìm ma traän AE,E cuûa f trong caëp cô sôû E, E, vôùi E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) }. Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laøpheùp ñoái xöùng qua maët phaúng 2 x + 3 y − z = 0 trong heä truïc toaï ñoä Ñeà Caùc Oxyz. Tìm taát caû caùc veùctô rieâng cuûa f .  3 3    2 3     1 −2  vaø veùctô x =  3 Caâu 8 : Cho ma traän A =  1 . −3 −1 0 m+5 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì x laø veùctô rieâng cuûa A. Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng. Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 9 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt   Caâu 1 : Tìm m ñeå ma traän sau ñaây khaû nghòch. A =    3 4 2 −3 −1 0 0 1 2 1 2  6   . 4 1  m 4 Caâu 2 : Trong khoâng gian IR3 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho hai khoâng gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +x2 +x3 = 0 ; 2 x1 +3 x2 − x3 = 0 } vaø G = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +2 x2 − 2 x3 = 0 }. Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa ( F + G) ⊥ . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR  3, 2  E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } laø A =  3 5 Tìm moät cô sôû vaø chieàu cuûa Ker f . bieát matraän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû 1 −1 2 0  . 3 −1 Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( 1 , 1 , 1 ) = ( 3 , 1 , 2 ) ; f ( 1 , 1 , 2 ) = ( 2 , 1 , −1 ) ; f( 1 , 2 , 1 ) = ( 2 , 3 , 0 ) . Tìm f ( x) . Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( x1 , x2 , x3 ) = ( 5 x1 − 4 x2 − 2 x3 , −4 x1 + 5 x2 + 2 x3 ; −2 x1 + 2 x2 + 2 x3 ) Tìm taát caû caùc veùctô rieâng cuûa f öùng vôùi trò rieâng λ1 = 1 .      x1 2 x Caâu 6 : Giaûi heä phöông trình  1 3 x1    x1 + x2 + x2 + 4 x2 + 3 x2 + x3 + 3 x3 + 6 x3 + 3 x3 − x4 − x4 − 2 x4 − x4 = 1 = 2 = 0 = −2 . Caâu 7 : Tìm aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát x1 = ( 1 , 1 ) ; x2 = ( 1 , 2 ) laø caùc veùctô rieâng töông öùng vôùi caùc trò rieâng λ1 = 2 ; λ2 = 3 . Caâu 8 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( x) = ( 7 x1 + 4 x2 , −3 x1 − x2 ) . Tìm cô sôû cuûa IR2 sao cho ma traän cuûa f trong cô sôû ñoù laø ma traän cheùo D. Tìm D. Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh