Tài liệu Bổ chính SUSY-QCD cho sinh cặp SQUARK trong quá trình hủy cặp e+ -e- với tham số phức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Đức Vinh BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK + TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP e e VỚI THAM SỐ PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên Ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã Số : 60.44.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. PHẠM THÚC TUYỀN Hà Nội-2011 Luận văn thạc sĩ khoa học ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Đức Vinh BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK + TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP e e VỚI THAM SỐ PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội-2011 Nguyễn Đức Vinh 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 CHƯƠNG I : MSSM TRONG NGÔN NGỮ TRƯỜNG THÀNH PHẦN .......... 4 1.1. SM............................................................................................................... 4 1.2. Siêu đối xứng, SUSY ................................................................................ 12 1.3. Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường................... 18 1.4 .Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT ............................................ 20 1.5. MSSM ....................................................................................................... 22 1.6. Vi pham siêu đối xứng............................................................................... 28 CHƯƠNG II : LAGRANGIAN VÀ ĐỈNH TƯƠNG TÁC TRONG MSSM .... 35 2.1 Phổ khối lượng của siêu hạt đồng hành ...................................................... 35 2.1a Lĩnh vực sfermion .................................................................................... 35 2.1b. Lĩnh vực trường Higgs vô hướng............................................................. 36 2.1c Lĩnh vực chargino ..................................................................................... 37 2.1d Lĩnh vực neutralino .................................................................................. 38 2.2. Lagrangian tương tác và quy tắc Feynman trong MSSM ........................... 38 2.2.1.Quark-quark-gauge boson: ...................................................................... 40 2.2.2. Squark-squark-gauge boson:................................................................... 41 2.2.3 Quark-quark-Higgs boson: ...................................................................... 42 2.2.4. Squark-squark-Higgs boson:................................................................... 43 2.2.5. Quark-squark-chargino ........................................................................... 47 2.2.6. Quark-squark-neutralino ......................................................................... 48 2.2.7. Tương tác với gluino .............................................................................. 49 2.2.8. Squark-squark-gauge boson-gauge boson ............................................... 50 2.2.9.Tương tác bốn squark .............................................................................. 53 2.2. Hàm truyền của các hạt ............................................................................. 53 CHƯƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO CẶP SQUARK VỚI THAM SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 55 KẾT LUẬN...................................................................................................... 60 TÀI LIỆU DẪN (REFERENCES) ................................................................... 62 Luận văn thạc sĩ khoa học MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, càng ngày càng có nhiều cơ sở để tin rằng thế giới tự nhiên thực sự là siêu đối xứng [1]. Nếu tự nhiên là siêu đối xứng, ngoài việc ta sẽ có một lý thuyết trường lượng tử tự tái chuẩn và ngoài việc thống nhất boson với fermion, ta còn có cơ hội để xây dựng một lý thuyết trường tương thích về hấp dẫn. Nó cũng là một đảm bảo để lời giải đối với bài toán phân hóa tương tác thành các bậc khác nhau sẽ không bị ảnh hưởng bởi các bổ chính bức xạ. Điều này cũng có nghĩa là, các siêu hạt đồng hành1có thể tồn tại ở trong vùng năng lượng cỡ TeV và do đó không ít cơ hội để chúng ta tìm thấy chúng trong các điều kiện kỹ thuật hiện nay. Các kết quả nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành sẽ cho phép ta xây dựng thử nghiệm những mô hình bán hiện tượng luận cho các quá trình sinh hủy và tán xạ phi đàn tính sâu của các hạt cơ bản. Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu bán hiện tượng luận về stop và sbottom (siêu hạt đồng hành của quark đỉnh, top quark, và quark đáy, bottom quark) trong khuôn khổ của sự mở rộng tối thiểu mô hình tiêu chuẩn, mà ta sẽ gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu. Để tránh dài dòng, ta sẽ ký hiệu Mô hình tiêu chuẩn (Standard Model) bằng SM và Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (Minimal Supersymmetric Standard Model) là MSSM. Các nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành cho ta hai kết quả rất quan trọng sau đây: Một là: trong một quá trình phân rã hoặc sinh hủy, siêu hạt bao giờ cũng có đôi. Hai là: siêu hạt nhẹ nhất, Lightest Supersymmetric Particle, mà sau đây ta sẽ ký hiệu là LSP, sẽ là hạt bền. Nghiên cứu trong những năm gần đây thuộc lĩnh vực hạt cơ bản đã chứng tỏ rằng, thế hệ thứ ba của sfermion, stop sbottom, stau và tauonic sneutrino, tỏ ra có vai trò đặc biệt. Điều này do hai nguyên nhân chính sau đây: Thứ nhất, vì hệ số Yukawa của chúng rất lớn làm cho chúng khác biệt so với đồng bạn ở các thế hệ khác Thứ hai, sfermion của thế hệ thứ ba nói chung lại nhẹ hơn sfermion của hai thế hệ đầu [2]. Vì lẽ đó, có thể là một trong số những hạt của thế hệ này sẽ là siêu hạt tích 1 Tiếng Anh là superpartner. Khi có siêu đối xứng mỗi hạt thông thường như quark, lepton và các hạt chuẩn đều có những hạt có spin nhỏ hơn ½ đồng hành với chúng. Các hạt này được gọi là siêu hạt đồng hành với các hạt thông thường. Để ngắn gọn, siêu hạt đồng hành sẽ được gọi là siêu đồng hành. Nguyễn Đức Vinh 1 Luận văn thạc sĩ khoa học điện nhẹ nhất, và sự lộ diện của nó, ví dụ trong các thí nghiệm đang được tiến hành trên máy gia tốc LHC hiện này và sau này, sẽ là bằng chứng thực nghiệm đầu tiên của siêu đối xứng. Vì những lý do đã trình bày ở trên, việc nghiên cứu lý thuyết các quá trình liên quan đến siêu đồng hành thuộc thế hệ thứ ba như phân rã, tán xạ, … sẽ là một việc làm mang tính chất thời sự. Mục tiêu được đặt ra cho Luận văn này là nghiên cứu quá trình hủy cặp e e trong đó có sự hình thành của siêu đỉnh stop và siêu đáy, sbottom. Chúng ta lựa chọn quá trình trong máy gia tốc lepton (LEP và LEP2) bởi vì dữ liệu thực nghiệm về quá trình này rất phong phú và thường xuyên được phân tích kỹ lưỡng. Vì vậy, mỗi thông tin lý thuyết sẽ được kiểm chứng nhanh nhất. Điều khác biệt so với những nghiên cứu tương tự là một số tham số được coi là phức. Vấn đề này cũng đã được tiến hành đối với một số sản phẩm của phản ứng trong [7,8,9]. Thông thường tham số phức sẽ dẫn đến vi phạm đối xứng CP. Người ta cho rằng, SM đã chứa đựng hầu như tất cả các nguồn dẫn đến vi phạm CP và do đó không cần có thêm những nguồn vi phạm CP khác của MSSM. Vì vậy, những tham số không nằm trong tương tác Yukawa dẫn đến vi phạm CP đều được giả định là thực. Tuy nhiên, đây chỉ là giả thiết. Ta sẽ bàn kỹ vấn đề này trong phần cuối của chương 1 và trong chương 3. Luận văn này có cấu trúc như sau: Chương I sẽ được dùng để nhập môn lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng (SGFT). Đây là vấn đề khó khăn nhất vì tài liệu về SUSY xuất hiện nhiều hơn bất cứ về lĩnh vực nào của vật lý lý thuyết, cho nên, đọc và lĩnh hội chúng là một việc rất nặng nhọc. Chúng tôi chỉ muốn tóm lược những điểm chính yếu và nhất là chỉ nêu lên những gì chúng tôi cần đến ở những phần sau của luận án. Phần cuối của chương, chúng tôi cũng sẽ điểm qua nội dung vật chất của mô hình MSSM và diễn giải vai trò quan trọng của stop và sbottom trong mô hình đó. Bàn đến số tham số độc lập khả dĩ của MSSM. Chương II sẽ được dùng để cụ thể hóa MSSM, trong đó, trường thành phần sẽ không còn là trường nguyên thủy mà là trường vật lý. Như vậy, ta sẽ phải bàn đến vi phạm đối xứng (cả vi phạm mềm lẫn vi phạm tự phát) và thông qua cơ chế Higgs ta sẽ có phổ khối lượng các hạt vật lý. Ta cũng sẽ bàn đến quá trình sinh ra stop và sbottom Nguyễn Đức Vinh 2 Luận văn thạc sĩ khoa học trong các máy va chạm lepton. Chúng tôi sẽ tìm biểu thức giải tích cho thiết diện sinh các siêu hạt đồng hành này trong quá trình hủy cụ thể e  e  . Các ước lượng số có thể phần nào kiểm chứng được tính khả tín của kết quả thu được khi sử dụng kết quả thực nghiệm từ LEP, LEP2, e  e  - Linear Collider hoặc Muon Collider [3]. Chương III sẽ được dành cho quá trình phân rã stop và sbottom khi tính đến bổ chính SUSY–QCD 1–vòng với tham số  trong siêu thế Higgs là phức. Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận. Nguyễn Đức Vinh 3 Luận văn thạc sĩ khoa học CHƯƠNG I MSSM TRONG NGÔN NGỮ TRƯỜNG THÀNH PHẦN 1.1. SM Mô hình tiêu chuẩn (SM) được coi là sự tổng quát hóa mô hình Glashow Weinbenrg - Salam, vốn được xây dựng để mô tả tương tác điện từ - yếu và từ việc hoàn chỉnh mô hình Georgi - Glashow vốn được xây dựng để mô tả tương tác mạnh yếu điện từ. Mô hình tiêu chuẩn đang được coi là lý thuyết chính thống cho tương tác các hạt cơ bản ở thời điểm hiện tại [4]. Mô hình tiêu chuẩn là một lý thuyết bất biến chuẩn với nhóm chuẩn G là tích trực tiếp của ba nhóm đơn SU(3)C, SU(2)L và U(1) vốn được dùng để mô tả tương tác mạnh, yếu, điện từ một cách riêng rẽ: G  SU  3C  SU  2  L  U 1Y 1.1 Nội dung hạt nguyên thủy của SM được tóm tắt như sau: -Tất cả hạt chất trong SM được chia thành ba thế hệ, với các đặc trưng giống nhau, chỉ khác nhau về khối lượng. Thành phần thuận phải, tay đăm (right-handed), và thành phần thuận trái, tay chiêu (left-handed), của chất được coi là các hạt khác nhau vì chúng tương tác yếu khác nhau. Vì tính đăm, chiêu là bất biến tương đối tính khi và chỉ khi khối lượng của hạt chất bằng không, cho nên, ta giả thiết điều này cho khối lượng “trần” và coi khối lượng “vật lý” khác không là do cơ chế Higgs với số hạng vi phạm tự phát dạng Yukawa. a) Để mô tả thế hệ thứ nhất của tương tác yếu, ta cần năm trường lượng tử như sau:  e  u  l     , eR , q    , u R , d R  d L  e L 1.2a trong đó, các nhãn dưới L và R được dùng để chi thành phần thuận trái, thuận phải của spinơ: Nguyễn Đức Vinh 4 Luận văn thạc sĩ khoa học L  15 15 , R   2 2 1.2b Thực nghiệm chứng tỏ rằng, không tồn tại neutrino tay đăm và phản neutrino tay chiêu. Phần tay chiêu của neutrino và electron tạo thành lưỡng tuyến của nhóm tương tác yếu SU  2  L , còn phần tay đăm eR , là đơn tuyến của nhóm đó. Cả phần tay đăm và tay chiêu của quark u, d đều tồn tại, phần tay chiêu của chúng tạo nên lưỡng tuyến q còn phần tay đăm, u R , d R sẽ là các đơn tuyến của nhóm tương tác yếu. Cho hai thế hệ sau, ta chỉ cần thay e     , u  c  t và d  s  b . Các hạt nói trên, còn tham gia tương tác điện với nhóm chuẩn là U 1Y . Siêu tích yếu Y của chúng cũng thỏa mãn hệ thức Gell-Man – Nishijima như với đối xứng isospin của tương tác hạt nhân: 1 Q  I3  Y 2 1.3a trong đó, I 3 là hình chiếu isospin yếu (không nhầm với isospin hạt nhân do Heisenberg đề xuất). Như vậy, l là một lưỡng tuyến, isospin yếu của nó bằng 1 / 2 , hình chiếu isospin yếu của neutrino lên trục thứ ba là 1 / 2 , điện tích của nó bằng không, vậy siêu tích của nó Y  1 , và để đảm bảo bất biến U 1Y , electron tay chiêu cũng có siêu tích yếu bằng 1 . Cho lưỡng tuyến quark tay chiêu q   uL , d L  , ta có: 2 1 1 1 1  I 3  Y   Y  YuL  3 2 2 2 3 1 1 1 1 1 Q    I 3  Y    Y  Td L  3 2 2 2 3 Q 1.3b Với các đơn tuyến isospin yếu của electron và quark tay đăm, eR , uR , d R , siêu tích sẽ bằng hai lần điện tích tương ứng của chúng: YeR  2 , YuR  4 / 3 , YdR  2 / 3 . Do không tham gia tương tác mạnh, các lepton là các đơn tuyến màu, trong khi đó, các quark đều là tam tuyến màu của SU  3 . Như vậy, uR chẳng hạn sẽ có ba thành phần màu: đỏ (Red), xanh (blue) và vàng (yellow). Các chỉ số màu và chỉ số Lorentz (chỉ số spinơ) đều được bỏ qua để các công thức đỡ phức tạp. Nguyễn Đức Vinh 5 Luận văn thạc sĩ khoa học b) Hạt trường sẽ là lượng tử của trường chuẩn. Trường chuẩn sẽ bao gồm: một trường B , tương ứng với nhóm U 1Y , ba trường Yang-Mills Wi , i  1,2,3 , tương ứng với nhóm SU  2  L và tám trường gluon Ga , a  1,2,...,8 , tương ứng với nhóm SU  3 . Tương tác mạnh giữa các hạt quark sẽ được thực hiện thông qua trường gluon Ga có mặt trong đạo hàm hiệp biến:    D quark      ig S a Ga  quark , a  1, 2,...,8 2   1.4 cho dù quark là tay chiêu hoặc tay đăm, còn g S là màu tích. Ma trận a / 2 là vi tử sinh của nhóm SU  3 với a là các ma trận Gell-Mann:  0 1 0  0 i 0  1 0 0 0 0 1 1   1 0 0  , 2   i 0 0  , 3   0 1 0  , 4   0 0 0   0 0 0  0 0 0 0 0 0  1 0 0          0 0 i  0 0 0 0 0 0  1 1 0 0  5   0 0 0  , 6   0 0 1  , 7   0 0 i  , 8  0 1 0  i 0 0  0 1 0 0 i 0  3  0 0 2        1.5 Tương tác yếu và điện từ giữa các hạt sẽ được thực hiện thông qua trường Yang-Mills W i , i  1, 2,3 và trường B có mặt trong đạo hàm hiệp biến của chúng. Khác với tương tác mạnh, các hạt có các “tích” điện yếu khác nhau, cho nên, đạo hàm hiệp biến của chúng cũng khác nhau. Ví dụ, với trường lepton tay chiêu, do vi tử sinh của SU  2   U 1 là  / 2 và Y / 2  1 / 2 , với  là ma trận Pauli, ta có: i  i   D l      g W  g B  l 2 2   1.6a Cho trường lepton tay đăm, do là đơn tuyến SU  2  L và có Y  2 , cho nên: D eR      ig B  eR Còn cho trường quark, ta sẽ có tương tự: Nguyễn Đức Vinh 6 1.6b Luận văn thạc sĩ khoa học i  i 2     D q      g W  g B  q, D u R      ig B  u R , 2 6 3     1   D d R      ig B  d R 3   1.6c Tương tác chuẩn được diễn tả thông qua tensơ cường độ trường. Đối với tương tác mạnh: a F   D , D      Ga   Ga  g s f abcGb Gc  2 1.7 trong đó, f abc là hằng số cấu trúc của nhóm SU  3 . Lagrangian tương tác mạnh của hệ quark sẽ có dạng: 1 1 LSU 3  qi D q  Fa F a 2 4 1.8 trong đó D    D . Tensơ cường độ trường yếu - điện từ ta cũng định nghĩa tương tự bằng hai tensơ: B    B   B   B , B  F  Fi 1.9 i    Wi   Wi  g ijkWjWk  i , i  1,2,3 2 2 Như vậy, Lagrangian cho tương tác điện từ - yếu của tất cả các hạt trong SM sẽ có dạng: LF  1 1 1  qi D q  li D l  uR i D uR  d R i D d R  eR i D eR   B B   Fi F i  4 2 4 1.10 Chú ý rằng, trong các công thức (1.8) và (1.10) ta đã bỏ qua chỉ số thế hệ, chỉ số màu và chỉ số Lorentz. c) Như đã nói ở trên, trong Lagrangean (1.8) và (1.10) không có số hạng khối lượng các hạt bởi vì sự có mặt của chúng sẽ làm vi phạm đối xứng thuận tay (chiral). Khối lượng của hạt sẽ được sinh ra nhờ cơ chế Higgs và để thực tế hóa điều này ta giả sử trong SM còn có một đa tuyến SU  2  L của một trường “vô hướng phức”, không màu, gọi là trường Higgs: Nguyễn Đức Vinh 7 Luận văn thạc sĩ khoa học  h  H  0 h  1.11 trong đó, nhãn “+” và “0” là chỉ điện tích của nó (đừng lầm lẫn với dấu liên hợp Hermite “ † ” mà đôi khi để tiện chế bản, ta cũng dùng dấu  ). Do là phức, một lưỡng tuyến Higgs sẽ có bốn bậc tự do thực. Với cách lựa chọn điện tích như trên và do trường Higgs có isospin yếu bằng 1/2, siêu tích yếu của nó sẽ là Y  1 . Tương tác giữa trường Higgs và trường chuẩn, như thường lệ, sẽ được diễn tả thông qua đạo hàm hiệp biến: i  ig '   D H      g  W  B  H 2 2   1.12 Khi đó, với Lagrangian cho trường Higgs sẽ có dạng: 1 LH  ( D  H )† D H  V  H  2 1.13 Phần đầu chính là “động năng” của trường Higgs (trong đó có cả phần tương tác của nó với trường gauge), phần sau là thế Higgs. Thế năng V  H  được chọn dưới dạng: V (H )  1 2  1  H H   (H  H )2 2 24 1.14 trong đó, các hệ số  2 và  thỏa mãn điều kiện  2  0 và   0 để trường Higgs có chân không suy biến và bền vững. Nếu lựa chọn giá trị trung bình chân không của trường Higgs là: H   1 0 ,     2 / 6 2  1.15 thì thông qua tương tác với trường chuẩn Yang-Mills, ba bậc tự do của nó sẽ bị trường này “nuốt” để tạo nên ba bậc tự do thứ ba của trường chuẩn và nhờ đó trường chuẩn sẽ trở nên có khối lượng: MW  g  MW , M Z  g 2  g '2  2 2 cos W 1.16 trong đó, W   W1  iW 2 , Z là sự pha trộn giữa W 3 và B với  W là góc pha trộn, gọi là góc Weinberg. Nguyễn Đức Vinh 8 Luận văn thạc sĩ khoa học Bậc tự do còn lại của trường Higgs sẽ diễn tả hạt vô hướng thực có khối lượng: M H  2  2  2  1.17 Đó chính là hạt Higgs mà chúng ta cần tìm kiếm. Do GF g2  với GF  1,16639x10-5GeV-2 là hằng số Fermi, được xác định 2 2 8M W bằng thời gian sống của muon, suy ra tham số  sẽ có giá trị cỡ:  2M W  g  2GF  1/2  246 GeV 1.18 Tương tự, có thể thấy g  e / sin  W , trong đó e là điện tích pozitron. Do đó ta có: M W  M Z cos W  /  1/2 2GF  1.19 sin  W Với hằng số cấu trúc tinh tế 1/137 và sin2W0,23, suy ra, khối lượng của boson Yang-Mills truyền tương tác yếu MW78GeV và MZ89GeV. Các hạt này sau đó đã được phát hiện với khối lượng sai khác không đáng kể so với kết quả lý thuyết: M W  80,398  0,023 GeV / c 2 , M z  91,1876  0,0021GeV / c 2 . Khối lượng của hạt Higgs được cho bởi (1.17) trong đó  được cho bằng (1.18). Tuy nhiên, do M H còn phụ thuộc vào , cho nên, hiện chưa có đủ cơ sở để xác định giá trị của nó. Thực nghiệm hiện nay mới chỉ tìm được giá trị giới hạn dưới M H  60 GeV , bởi vì nếu không, quá trình phân rã Z thành phản hạt của nó và hạt Higgs Z  ZH đã có thể nhìn thấy. Với việc vận hành của máy gia tốc LHC, hy vọng sẽ tìm được hạt Higgs. Để sinh khối cho các trường chất, lepton và quark, ta phải đưa vào các số hạng tương tác dạng Yukawa giữa trường Higgs và trường vật chất. Những số hạng này nói chung là tổ hợp tuyến tính giữa trường chất và trường Higgs sao cho chúng là vô hướng Lorentz, vô hướng SU  2  L và siêu tích yếu bằng không. Các số hạng đó có dạng: qHd R , lHeR , qHuR Nguyễn Đức Vinh 9 1.16 Luận văn thạc sĩ khoa học và các liên hợp Hermitian của chúng. Dẫu gạch ngang trên ký hiệu spinơ, ví dụ q , là chỉ liên hợp Dirac của chúng. Ta thấy số hạng thứ ba không thỏa mãn điều kiện siêu tích bằng không, vì tổng siêu tích các thừa số của nó bằng 1. Tuy nhiên, nếu không có số hạng này, cơ chế Higgs không thể sinh khối cho quark u và không thể khử được dị thường dòng trục. Vì vậy, thay cho việc phải đưa thêm vào một lưỡng tuyến Higgs mới, ta xét: *     0*  H  i 2 H *  0 1  h 0    h   1 0  h   h    1.17 Lưỡng tuyến H có siêu tích bằng 1 và có thể dùng để thay cho H . Như vậy:   y d qHd  y e lHe  h.c LYukawa  y u qHu R R R 1.18 trong đó, y u , y d , y e là các hệ số Yukawa và chúng được xác định bằng thực nghiệm. Số lượng của hệ số Yukawa không phải là 3, mà tối đa có thể là 81, bởi vì nó còn có chỉ số thế hệ, chỉ số màu và các hệ số này không nhất thiết phải bằng nhau. Tóm lại, Lagrangian của SM có dạng sau đây: 1 L  qi D q   qi D q  li D l  uRi D uR  d Ri D d R  eRi D eR  2 1   1 1  ( D H ) Dm H   2 H  H   ( H  H ) 2 2 2 24 1 1 i i 1 a a   B B  F F  F F 4 4 4   y d qHd  y e lHe  h.c  y u qHu R R 1.19 R Mô hình tiêu chuẩn với Lagrangian (1.19) là lý thuyết tái chuẩn hóa được và giải thích được hầu hết các kết quả thực nghiệm đã có đến nay, dự đoán được nhiều sự kiện mà sau đó đã được kiểm chứng. Điển hình là tiên đoán được sự tồn tại dòng trung hòa và quark duyên. Tương tác Yukawa, rất cần để tạo khối lượng cho các fermion, thế nhưng, chúng không được suy ra từ một loại đối xứng nào đó, kiểu như đối xứng chuẩn. Nếu có, nhóm đối xứng sẽ cố định được dạng của Lagrangian tương tác và hệ số Yukawa độc lập sẽ giảm đi rất nhiều. Lagrangian Yukawa phải được chéo hóa bằng các ma trận unitary khác nhau cho trường tay đăm và tay chiêu một cách riêng rẽ. Từ các ma trận này ta thu được ma trận pha trộn kiểu CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa). Khi sử dụng ma trận để xây dựng dòng trung hòa, ta thấy không có sự pha trộn nào giữa Nguyễn Đức Vinh 10 Luận văn thạc sĩ khoa học lepton và quark. Sự tự khử những số hạng làm thay đổi hương trong dòng trung hòa đã được Glashow, Iliopoulos và Maiani giải thích là nhờ một cơ chế, sau này được gọi là GIM. Cơ chế GIM đòi hỏi tồn tại một hương quark mới, đó là quark duyên mà sau đó nó đã được tìm thấy. Đó chính là toàn bộ nội dung hạt và trường của SM cổ điển. Nếu lượng tử hóa SM, ta sẽ được tất cả các hạt chất và trường. Tuy có rất nhiều ưu điểm, nhưng Mô hình tiêu chuẩn cũng có rất nhiều nhược điểm cần phải khắc phục. Thứ nhất, mô hình có quá nhiều tham số tùy ý, cần được xác định bằng thực nghiệm. Do đó SM chỉ là mô hình, khó có thể trở thành lý thuyết của thế giới vật chất. Thứ hai, mô hình không giải thích được tại sao nhóm chuẩn là tích trực tiếp của SU  3C  SU  2  L  U 1Y nhưng chỉ có tương tác yếu là vi phạm chẵn lẻ. Nó không giải thích được sự lượng tử hóa điện tích. Thứ ba, nó không giải thích được tại sao dù có ba thế hệ chất nhưng trong thế giới quen thuộc lại chỉ thế hệ thứ nhất có mặt. Nó không cho phép xác định khối lượng quark và lepton (mà phải dùng giá trị thực nghiệm của các đại lượng khác để xác định chúng và qua chúng để xác định hệ số tương tác Yukawa). Thứ tư, nó chưa có cơ chế để xác định khối lượng hạt Higgs. Sự tồn tại của trường Higgs kéo theo rất nhiều sơ đồ có bổ chính phân kỳ khối lượng của Higgs, ví dụ bổ chính QCD một vòng. Nếu tính đến các bổ chính này, điều kiện  2  0 có thể sẽ bị vi phạm. Thứ năm, nó không giải thích được vấn đề vi phạm CP của tương tác mạnh. Cuối cùng, nó không giải quyết được bài toán phân hóa tương tác thành các cấp khác nhau (hierarchy problem). Nghĩa là nó không giải thích được tại sao tương tác thống nhất, thống trị thế giới vật chất ở thời điểm ban đầu sau Big Bang, lại bị phân hóa thành bốn loại tương tác có các cấp khác nhau ở mức năng lượng hiện nay (cỡ GeV ). Để giải quyết các vấn đề trên đã có rất nhiều phương pháp khác nhau được đưa ra nhằm mở rộng mô hình tiêu chuẩn. Nguyễn Đức Vinh 11 Luận văn thạc sĩ khoa học 1.2. Siêu đối xứng, SUSY Một trong những ý tưởng tự nhiên giúp giải quyết những khó khăn kể trên của mô hình tiêu chuẩn là mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, thu được từ việc định xứ (local) hóa nhóm đối xứng trong. Việc thay đổi nhóm chuẩn (1.1) của SM bằng những nhóm đơn khả dĩ như SU  5  , SO 10  ,... là một xu hướng nổi bật vào những năm 70 của thế kỷ trước. Chúng được gọi là lý thuyết thống nhất lớn, Grand Unified Theory (GUT). Một xu hướng khác là tìm cách mở rộng nhóm đối xứng ngoài, tức là đối xứng không thời gian, sao cho liên kết của nó với đối xứng trong là không tầm thường, tức là không đơn giản là tích trực tiếp giữa hai loại đối xứng đó. Đối xứng ngoài là những phép biến đổi không thời gian, không làm thay đổi các phương trình động lực của hệ vật lý. Trong vật lý cổ điển, đó là nhóm quay một góc bất kỳ quanh một trục đi qua gốc tọa độ. Trong vật lý tương đối tính, đó là nhóm Lorentz của không gian Minkowski, đó là nhóm Poincaré khi ngoài nhóm Lorentz có thêm vào phép tịnh tiến và đối với hệ hạt không khối lượng, đó là nhóm bảo giác, khi ngoài nhóm Poincaré có tính thêm phép co giãn (dilatation) và phép nghịch đảo (inversion) không gian. Đối xứng trong là những phép biến đổi tác động trực tiếp lên hàm trường (trong cơ học lượng tử là hàm sóng) không làm thay đổi quy luật của hệ vật lý. Ví dụ nhóm phép biến đổi pha toàn xứ Abelian U 1 , liên quan đến bảo toàn điện tích, siêu tích, siêu tích yếu, nhóm toàn xứ non-Abelian SU  2  , liên quan đến bảo toàn isospin, isospin yếu hay phép biến đổi toàn xứ non-Abel SU  3 liên quan đến bảo toàn màu tích. Các nhóm trong đóng vai trò quan trọng trong vật lý đều là nhóm tựa đơn vị (unitary). Nếu khả năng liên kết giữa đối xứng trong và ngoài tồn tại, phép biến đổi trong sẽ cảm sinh một phép biến đổi ngoài, và nhóm đối xứng ngoài sẽ được mở rộng hơn, ngoài những nhóm đã được liệt kê. Đối xứng này là dấu hiệu tồn tại của một số hạt cơ bản mới, gọi là hạt siêu đồng hành, giống như bất biến chuẩn là dấu hiệu tồn tại của boson chuẩn. Sự có mặt của của những hạt mới sẽ cho ta các hệ quả vật lý mới. Tuy nhiên, hướng này ban đầu đã gặp phải một trở ngại lớn, đó là định lý no-go của Coleman và Mandula. Theo định lý này, đối xứng trong và đối xứng ngoài chỉ có Nguyễn Đức Vinh 12 Luận văn thạc sĩ khoa học thể là tích trực tiếp với nhau, vì nếu không, sự hạn chế do việc kết hợp không tầm thường của chúng gây ra sẽ làm nhiều đại lượng vật lý có phổ cố định, trong khi thực tế, chúng lại có phổ với giá trị tùy ý. Sau đó đã phát hiện ra rằng, trong khi chứng minh định lý no-go, ta chỉ xét đến những nhóm đối xứng ngoài mà vi tử sinh là các đại lượng “boson” (vô hướng, vectơ, tensơ). Ví dụ, với nhóm Poincaré, vi tử sinh sẽ là xung lượng (vectơ) và mômen góc  Tensơ). Với nhóm trong SU  2  của isospin yếu, vi tử sinh là  / 2 , giao hoán tử của chúng với vi tử sinh của nhóm Poincaré sẽ luôn bằng không. Điều đó nghĩa là vi tử sinh của đối xứng trong luôn là vô hướng Lorentz. Tuy nhiên, nếu bên cạnh các vi tử sinh boson, mà ta sẽ gọi là “chẵn”, còn có vi tử sinh fermion (spinơ), mà sau đây ta sẽ gọi là “lẻ”, thì những hạn chế do định lý nogo gây ra sẽ không còn nữa [5]. Vi tử sinh lẻ sẽ thỏa mãn điều kiện phản giao hoán, trong khi cho các vi tử sinh chẵn là giao hoán. Nhóm đối xứng có chứa cả vi tử sinh chẵn, lẻ với phép toán giữa các vi tử sinh gồm cả giao hoán tử lẫn phản giao hoán tử, được gọi là siêu nhóm. Đại số với cả hai loại phép toán nói trên, gọi là đại số Lie phân cấp, hay siêu đại số Lie. Vì lý do đó, đối xứng cho bởi siêu nhóm và siêu đại số, sẽ được gọi là siêu đối xứng, supersymmetry, mà sau đây ta sẽ ký hiệu là SUSY [6]. Như vậy, SUSY không phải là thứ đối xứng siêu thực, không tự nhiên, nó chỉ là loại đối xứng có sự kết hợp không tầm thường giữa đối xứng ngoài và đối xứng trong. Nó là một phép đối xứng ngoài. Nếu ký hiệu vi tử sinh lẻ là Q (không nhầm với toán tử điện tích định nghĩa trong (1.3)), do là spinơ, nó sẽ thỏa mãn điều kiện: Q boson  fermion , Q fermion  boson 1.20 Vì lẽ đó, SUSY còn được gọi là đối xứng giữa boson và fermion. Ta sẽ thấy, trường boson có thứ nguyên là 1 và trường fermion có thứ nguyên 3 / 2 , cho nên, sẽ là hợp lý khi thứ nguyên của Q là 1 / 2 . Siêu đối xứng dẫn đến rất nhiều hệ quả [7]. Một là, trong một “siêu đa tuyến” sẽ có cả trường boson lẫn trường fermion và số lượng của chúng (số bậc tự do) phải bằng nhau. Ví dụ, trước ta có đa tuyến gồm một lepton, bây giờ ta phải thay nó bằng một siêu đa tuyến có cả lepton lẫn hạt có spin không, gọi là lepton vô hướng, scalar lepton, hay ngắn gọn, là slepton. Nếu đa tuyến Nguyễn Đức Vinh 13 Luận văn thạc sĩ khoa học lepton được mô tả bằng một spinơ Dirac phức, tức là có 8 bậc tự do fermion, thì trong siêu đa tuyến lepton phải tồn tại 8 slepton vô hướng thực hoặc 4 slepton vô hướng phức. Slepton được gọi là hạt siêu đồng hành của lepton. Tương tự, quark sẽ có siêu đồng hành là quark vô hướng hay squark. Các hạt truyền tương tác, hạt gauge, sẽ có siêu đồng hành là gaugino: photon có photino, gluon có gluino, W có wino, Z có zino. Nói ngắn gọn, siêu đồng hành của hạt chất thì thêm tiền tố “s”, siêu đồng hành của hạt trường thì thay hậu tố “on” (nếu có) bằng “ino”. Hai là, không có hạt đã biết nào là siêu đồng hành của một hạt đã biết khác. Như vậy, đến nay chúng ta chưa biết đến bất kỳ một hạt siêu đồng hành nào. Số lượng hạt cơ bản trong SM sẽ được nhân đôi trong một lý thuyết SUSY tương ứng. Có nhiều cách thức xây dựng lý thuyết trong đó có SUSY. Trong luận văn này, ta chỉ xét đến một cấu trúc đơn giản nhất, gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu, Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM. Trong mô hình này, ta chỉ có một vi tử sinh lẻ, đó là spinơ Majorana Q , hay spinơ hai thành phần Q và liên hợp Hermite Q của nó. Nó thường được gọi là N  1  siêu đối xứng, ký hiệu là N  1  SUSY [1, 2, 3], mà ta sẽ gọi đơn giản là siêu đối xứng. Để thuận tiện cho việc diễn tả phép biến đổi siêu đối xứng, ta dùng khái niệm siêu không gian và siêu trường [8]-[9]. Spinơ, nếu không nói ngược lại, sẽ được hiểu là spinơ Weyl hai thành phần. Khi đó, Q không phải là liên hợp Dirac của Q mà là đối ngẫu của Q * . Khi sử dụng spinơ Dirac bốn thành phần, Q là spinơ Majorana. Điều kiện này nhằm giảm đi một nửa số bậc tự do quark, và do đó cũng hạn chế số hạt siêu đồng hành cần thiết phải đưa thêm vào trong lý thuyết. Siêu không gian được hiểu là một đa tạp, trong đó, ngoài tọa độ “boson” x  giao hoán nhau, ta còn có tọa độ “fermion”  ,  thỏa mãn điều kiện phản giao hoán:  ,     ,    ,   0 1.21 Các tọa độ fermion này còn được gọi là các biến Grassmann (biến lũy linh). Do vi tử sinh là spinơ, tham số biến đổi tương ứng cũng là spinơ. Tọa độ  và tham số biến đổi  có thứ nguyên là 1 / 2 bởi vì: Q  Q Nguyễn Đức Vinh 1.22 14 Luận văn thạc sĩ khoa học là toán tử không có thứ nguyên. Q và Q được coi là vi tử sinh của phép tịnh tiến tọa độ lẻ. Tuy nhiên, phép tịnh tiến này cũng cảm sinh một phép tịnh tiến tọa độ boson.   Nếu ký hiệu    1,   ,    1,   , ta có:      ,      , x  x  a  x        1.23 Trong luận văn này, ta xét nhóm đối xứng ngoài là nhóm Poincaré (khi xét đến lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, ta phải xét đến nhóm bảo giác). Vi tử sinh của nó được biểu diễn trong không gian siêu trường bằng xung lượng và mômen góc P , J  . Khi đó, giao hoán tử giữa các vi tử sinh chẵn với chẵn và chẵn với lẻ sẽ được cho bằng giao hoán tử:   1 1   P , P   0,  P , Q    P , Q   0,  J  , Q      Q ,  J  , Q        Q    2 2  J  , J    i  g  J  g  J  g J   g J   ,  J  , P   i  g  P  g P     1.2 4 1 1         ,              4 4 . Còn hệ thức giữa các vi tử sinh lẻ sẽ được cho bằng phản giao hoán tử: Q , Q   Q , Q   0, Q , Q   2   P          1.25 (chữ cái giữa bảng, , ,  ,... là chỉ số Lorentz không - thời gian, lấy giá trị từ 0 đến 3, các chữ cái đầu bảng, không chấm  ,  ,... , hoặc có chấm  ,  , là chỉ số spinơ, chúng lấy hai giá trị 1,2). Chỉ số không chấm cho spinơ Weyl loại I, có chấm cho spinơ loại II. Các hệ thức (1.24) là tính chất của nhóm Poincaré. (1.25) là hệ quả của đồng nhất thức Jacobi cho ba vi tử chẵn lẻ lẻ. Chúng cũng có thể đoán nhận được, vì phản giao hoán tử của hai vi tử sinh lẻ phải là một vectơ và đó cũng là cách lựa chọn duy nhất. Phép biến đổi siêu đối xứng vi phân sẽ được viết là:   U  1  i  Q   Q       P  1.26a Còn phép biến đổi siêu đối xứng hữu hạn sẽ được viết dưới dạng:  U  exp i  Q   Q        P  Với siêu không gian, đại số siêu đối xứng (1.25) sẽ được biểu diễn bởi: Nguyễn Đức Vinh 15 1.26b Luận văn thạc sĩ khoa học Q        i   i      , Q        (chú ý i   P ). Siêu trường là hàm phức xác định trong siêu không gian. Hàm này có thể là vô hướng, spinơ,… và có thứ nguyên tùy vào mục tiêu mà siêu trường đó được sử dụng. Một siêu trường vô hướng   x, ,  , khai triển Taylor của nó theo tọa độ fermion chỉ có thể có hữu hạn số hạng:   x, ,     x     x     x    M  x    N  x      A    x     x    D  x  1.27 trong đó        1 2   2 1 . Mỗi số hạng là một hàm trường thông thường chỉ phụ thuộc vào không thời gian. Như vậy, một siêu trường sẽ là tập hợp của nhiều trường thông thường. Tập hợp này còn gọi là một siêu đa tuyến. Siêu trường vô hướng  trong (1.27) diễn tả một siêu đa tuyến bao gồm 4 trường vô hướng F , M , N , D , một trường vectơ A và bốn trường spinơ  ,  ,  , . Nói chung, một siêu đa tuyến thường chứa nhiều trường thành phần. Số lượng đó đôi khi nhiều hơn mức cần thiết đối với một mục tiêu cụ thể. Đạo hàm theo biến fermion không hiệp biến với phép biến đổi siêu đối xứng. Điều này có thể thấy rõ, vì vi tử sinh Q, Q có chứa tọa độ fermion. Ta sẽ thay chúng bằng đạo hàm hiệp biến. Xét phép biến đổi vi phân tác động lên một siêu trường vô hướng:       x           ,   ,           1  i                  1.28a Từ đó suy ra, đạo hàm hiệp biến có dạng: D        i    , D     i         1.28b Có thể kiểm tra trực tiến rằng, đạo hàm hiệp biến phản giao hoán với các vi tử sinh fermion. Nhờ các đạo hàm này, ta có thể hạn chế số thành phần của siêu trường bằng những yêu cầu nào đó, xác định bằng đạo hàm hiệp biến. Khi đó, điều kiện mà ta áp đặt sẽ bất biến đối với phép biến đổi siêu đối xứng. Nguyễn Đức Vinh 16 Luận văn thạc sĩ khoa học a) Siêu trường thuận tay (chiral superfield) Do spinơ Dirac là một cặp spinơ Weyl tay chiêu và tay đăm, cho nên, nếu siêu trường chỉ “phụ thuộc” vào một trong hai biến  và  , nó sẽ được gọi là siêu trường thuận tay (chiral). Theo định nghĩa, siêu trường không “phụ thuộc” vào một biến Grassmann nào đó, nếu đạo hàm hiệp biến theo biến tương ứng là bằng không. Như vậy, ta có điều kiện: D   0 cho siêu trường tay chiêu và 1.29 D   0 cho siêu trường tay đăm Do định nghĩa bằng đạo hàm hiệp biến, tính thuận tay sẽ bất biến đối với phép biến đổi siêu đối xứng. Nhận xét rằng, D  x   i    D y   0 , cho nên, siêu trường thuận tay chỉ phụ thuộc vào x dưới dạng tổ hợp y  x  i . Từ (1.27) suy ra, một siêu trường thuận tay có dạng khai triển Taylor như sau:   x,     y   2  y    F     x   i     x   2  x       i    x      F  x  2 1.30a i      x    F *  x  2 1.30b      x,    * y   2 y    F * y     *  x   i    *  x   2  x   Như vậy, đa tuyến của một siêu trường thuận tay chỉ chứa một trường spinơ  , trường vô hướng  và một trường vô hướng phụ trợ F (có 4 bậc tự do fermion và bốn bậc tự do boson). b) Siêu trường vectơ Một siêu trường vô hướng được gọi là vectơ, nếu nó thỏa mãn điều kiện Hermitian, nghĩa là: V V  1.31 Nó được gọi là vectơ bởi vì trong khai triển Taylor của nó Nguyễn Đức Vinh 17