Tài liệu Biểu diễn của Sl2C và Sl3C

Khóa Luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HỢP BIỂU DIỄN CỦA Sl2C VÀ Sl3C KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ Người hướng dẫn khoa học TH.S. NGUYỄN HUY HƯNG HÀ NỘI – 2009 Nguyễn Thị Hợp 1 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HỢP BIỂU DIỄN CỦA Sl2C VÀ Sl3C KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ HÀ NỘI – 2009 Nguyễn Thị Hợp 2 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập tại khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy, cô giáo em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô và bạn bè trong khoa. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy, cô và các bạn trong khoa. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng, người đã hướng dẫn tận tình để giúp em hoàn thành khoá luận này. Hà Nội, tháng 5 năm 2009. Sinh viên Nguyễn Thị Hợp. Nguyễn Thị Hợp 3 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( có nêu trong mục tài liệu tham khảo ). Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 5 năm 2009. Sinh viên Nguyễn Thị Hợp. Nguyễn Thị Hợp 4 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Mục lục Trang Lời cảm ơn.......................................................................................1 Lời cam đoan...................................................................................2 Mục lục............................................................................................3 Mở đầu ............................................................................................4 Chương 1 . Những kiến thức chuẩn bị 1.1. Nhóm........................................................................................6 1.2. Vành và trường .........................................................................7 1.3. Môđun......................................................................................9 1.4. Đại số Lie.................................................................................11 Chương 2. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn 2.1. Định nghĩa và ví dụ..................................................................13 2.2 . Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun ....................................14 2.3. Hai biểu diễn tương đương........................................................15 2.4. Bổ đề Schur................................................................................18 2.5 . Đặc trưng của biểu diễn............................................................23 2.6 . Biểu diễn bất khả quy ..............................................................26 Chương 3. Biểu diễn của Sl 2  và Sl 3  3.1. Biểu diễn bất khả quy của Sl 2  ..................................................35 3.2. Biểu diễn của Sl 3  ......................................................................38 Kết luận.............................................................................................50 Tài liệu tham khảo.............................................................................51 Nguyễn Thị Hợp 5 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Mở đầu 1.Lý do chọn đề tài. Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô dạy toán và nhiều người khác nhau quan tâm đến toán học nói chung và môn Đại số nói riêng ngày càng gia tăng nhằm nâng cao hiểu biết của mình. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề tài: “ Biểu diễn của Sl 2  và Sl 3  ”. 2.Mục đích nghiên cứu. Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về đại số học, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về nhóm hữu hạn thông qua biểu diễn của nó và biểu diễn của Sl 2  và Sl 3  . 3.Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc trưng của biểu diễn nhóm hữu hạn và biểu diễn của Sl 2  , Sl 3  . 4.Phương pháp nghiên cứu. Đề tài này hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. 5.Cấu trúc khoá luận. Nguyễn Thị Hợp 6 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 3 chương: + Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị. + Chương 2: Lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn. + Chương 3: Biểu diễn của Sl 2  và Sl 3  . Trong suốt quá trình nghiên cứu được thầy Nguyễn Huy Hưng chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần nữa cho em gửi lời cảm sâu sắc tới thầy. Em rất mong thầy, cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2009. Sinh viên Nguyễn Thị Hợp. Nguyễn Thị Hợp 7 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị 1.1. Nhóm 1.1.1. Định nghĩa nhóm Một nhóm là một cặp ( G ,  ), trong đó G là một tập không rỗng và  là một luật hợp thành trên G thoả mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Luật hợp thành là kết hợp, tức là: ( x  y )  z  x  ( y  z ) , x, y, z  G (G2) Có một phần tử e  G được gọi là phần tử trung lập, có tính chất: x  e  e  x  x , x  G (G3) Với x  G có một phần tử x  G được gọi là nghịch đảo của x sao cho: x  x  x  x  e 1.1.2. Nhóm abel Định nghĩa: Nhóm ( G ,  ) được gọi là nhóm giao hoán ( hay abel ) nếu x  y  y  x , x, y  G . 1.1.3. Nhóm con Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng S  G được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với đối với luật hợp thành trong G ( tức là xy  S với x, y  S ) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G ( tức là x 1  S với x  S ) 1.1.4. Nhóm con chuẩn tắc Nguyễn Thị Hợp 8 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Nhóm con S của nhóm G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu nó bất biến đối với mọi tự đẳng cấu trong của G , tức là: Ca (S )  S , a  G . Ký hiệu: S  G . 1.1.5. Lớp liên hợp của nhóm Định nghĩa: Cho G là một nhóm. Trên G ta xác định quan hệ R như sau: x, y  G , xRy nếu a  G sao cho y = axa1 . Ta dễ dàng chứng minh được quan hệ R là một quan hệ tương đương trong G . Khi đó tập: C (a)  x  G \ xRa gọi là lớp liên hợp của G xác định bởi a . 1.1.6. Nhóm hữu hạn Định nghĩa: Nhóm chỉ có một số hữu hạn phần tử được gọi là nhóm hữu hạn. 1.1.7. Đồng cấu nhóm a, Định nghĩa: Giả sử G và G  là nhóm. Một ánh xạ  : G  G được gọi là đồng cấu nhóm nếu  ( x  y )   ( x)   ( y) với x, y  G. b, Tính chất: Giả sử  : G  G là một đồng cấu nhóm. Khi đó: i,  (eG )  eG ; với eG , eG lần lượt là phần tử đơn vị của G và G  . ii,  ( x 1 )   ( x) , x  G . 1 iii, Nếu  là một đơn ánh thì  được gọi là một đơn cấu nhóm. iv, Nếu  là một toàn ánh thì  được gọi là một toàn cấu nhóm. v, Nếu  là một song ánh thì  được gọi là một đẳng cấu nhóm. 1.2. Vành và trường 1.2.1. Vành Nguyễn Thị Hợp 9 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Ta gọi là một vành mỗi tập hợp R   cùng với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng:  : R  R  R ( x, y )  x  y : R  R  R và phép nhân: ( x, y )  x  y thoả mãn 3 điều kiện sau đây: (R1) R là một nhóm abel đối với phép cộng. (R2) Phép nhân có tính chất kết hợp. (R3) Phép nhân phân phối về 2 phía đối với phép cộng: ( x  y ) z  xz  yz ; z ( x  y )  zx  zy , x, y, z  R . Vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán. Vành R gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 thuộc R sao cho: 1 x  x 1, x  R . 1.2.2. Vành nhóm Định nghĩa: Gọi K[G] là tập hợp tuyến tính hình thức k s sG s của các phần tử của G với các hệ số ks trong K . Khi đó, K[G] lập thành một vành, gọi là vành nhóm của G (với hệ số trong K ), đối với hai phép toán sau đây:  k s   l s   (k  l ) s , ( k s)(l t )   k l (st ) . s s s s t s t s Đơn vị của K[G] là phần tử 1  1 e . Có thể coi G  K[G] bằng cách đặt tương ứng s  1  s,( s  G ) . Rõ ràng K[G] là một vành giao hoán nếu và chỉ nếu G là một nhóm abel. 1.2.3. Miền nguyên a, Ước của không Nguyễn Thị Hợp 10 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Cho R là vành giao hoán, a  R, a  0 , a gọi là ước của không nếu b  R, b  0 sao cho a  b  0 . b, Miền nguyên Định nghĩa: Một vành giao hoán R có đơn vị, có ít nhất 2 phần tử và không có ước của không. 1.2.4. Trường Định nghĩa: Ta gọi trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều có một nghịch đảo. 1.3. Môđun 1.3.1. Định nghĩa môđun Giả sử R là một vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên R là một nhóm abel M cùng với phép cộng và ánh xạ : R  M  M ( a, x)  ax ánh xạ này gọi là phép nhân vô hướng trong R , thoả mãn các điều kiện sau: (M1) a( x  y )  ax  ay , (M2) (a  (a  b) x  ax  bx , (M3) (ab) x  a(bx) , (M4) 1 x  x , với a, b  R, x, y  M . Tương tự, một môđun phải trên R là một nhóm abel M cùng với phép M RM cộng và ánh xạ: ( x, a)  xa thoả mãn các điều kiện giống như (M1),(M2),(M3),(M4) nêu trên, trong đó vô hướng được viết bên phải và điều kiện sau: ( M 3 ) x(ab)  ( xa)b , x  M ; a, b  R Nguyễn Thị Hợp 11 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Môđun trái trên R còn được gọi là R – môđun trái. Môđun phải trên R còn được gọi là R – môđun phải. Ta chỉ xét R – môđun trái gọi là R – môđun. 1.3.2. Môđun con Định nghĩa: Giả sử M là một R – môđun. Tập con N  M được gọi là một R - môđun con nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và N khép kín đối với phép nhân vô hướng, tức là: rx  N , r  R, x  N . 1.3.3. Đồng cấu môđun Định nghĩa: Cho M và M  là các R – môđun. ánh xạ  : M  M  gọi là một đồng cấu môđun (hay ánh xạ tuyến tính ) nếu thoả mãn : x, y  M ; a  R :  ( x  y)   ( x)   ( y ) ,  (ax)  a ( x) . 1.3.4. Tổng trực tiếp và tích tenxơ. a, Tổng trực tiếp Định nghĩa: Giả sử M i là R – môđun, i  I . Gọi M iI i là tập hợp các dãy ( xi )iI có giá trị hữu hạn, tức là xi = 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn chỉ số i . Khi đó trên M iI i ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau: () :  xi iI   yi iI   xi  yi iI ( ) : a  xi iI   axi iI , xi , yi  M i , a  R . Khi đó dễ dàng ta có: M iI i là một R – môđun và được gọi là tổng trực tiếp của họ môđun ( M i )iI . b, Tích tenxơ Nguyễn Thị Hợp 12 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Tích tenxơ của hai R – môđun M và là một cặp ( , T ) , trong đó T là một R – môđun và  : M  N  T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất sau: Với mọi cặp  ,U  trong đó U là một R – môđun và  : M  N  U là một ánh xạ song tuyến tính, tồn tại duy nhất một R - đồng cấu sao cho   h   , tức là h làm giao hoán biểu đồ :  M  N  T  h U 1.4. Đại số Lie 1.4.1. Đại số Định nghĩa: R là một vành giao hoán có đơn vị 1R  0R . Một R -đại số, hay đại số trên R là một tập X được trang bị các phép toán:  Phép cộng: XX X ( x, y )  x  y  Phép nhân vô hướng: R X  X (a, x)  ax  Phép nhân: XX X ( x, y )  xy sao cho: (i) X là một R - môđun, (ii) X là vành, (iii) a( xy )  (ax) y  x(ay ) , a  R, x, y  X . 1.4.2. Đại số con Nguyễn Thị Hợp 13 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Giả sử X là một đại số trên R . Một tập con không rỗng A  X được gọi là một đại số con của X nếu A khép kín đối với phép cộng trong X ( tức là x  y  A với mọi x, y  A ), khép kín đối với phép nhân vô hướng trong X ( tức là ax  A với mọi a  R, x  A ) và khép kín đối với phép nhân trong X ( tức là xy  A với mọi x, y  A ). 1.4.3. Định nghĩa đại số Lie Định nghĩa: ( Đại số Lie là đại số trên một trường). Đó là một không gian véctơ g trên trường K cùng với một phép toán hai ngôi:  , : g  g  g gọi là tích Lie thoả mãn các tiên đề sau:  Song tuyến tính: [ax  by, z ]  a[ x, z ]  b[ y, z ] [ z, ax  by ]  a[ z, x]  b[ z , y ] với a, b  K ; x, y, z  g .  Đan dấu trên g : [ x, x]  0, x  g [ x, y]  [ y, x], x, y  g .  Đồng nhất thức Jacôbi: [ x,[ y, z ]]  [ y,[ z, x]]  [ z,[ x, y]]  0, x, y, z  g . Như vậy một đại số kết hợp A với phép nhân  xây dựng nên một đại số Lie L( A) . Tích Lie với hai phần tử của đại số Lie L( A) được định nghĩa là hoán tử trong A : [a, b]  a  b  b  a . Nguyễn Thị Hợp 14 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Chương 2. lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn 2.1. Định nghĩa và ví dụ Giả sử G là một nhóm hữu hạn, K là một trường, V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên K. 2.1.1. Định nghĩa : Một biểu diễn ( tuyến tính ) của G trong V là một đồng cấu nhóm  : G  GL ( V ) từ G vào nhóm GL ( V ) các tự đẳng cấu tuyến tính của V . Kí hiệu  ( s) bởi  s với s  G ta có:   st , st e  idV ,  s  ( s ) 1 , 1 với s, t  G ; e là đơn vị của nhóm G . V được gọi là một không gian biểu diễn của G (hay đơn giản, một G – không gian ). Số chiều của V trên K được gọi là cấp của biểu diễn. Nếu K =  ,  hoặc  thì ta nói  là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng của G ). Biểu diễn  : G  GL (V ) được gọi là trung thành nếu nó là một đơn cấu nhóm;  được gọi là tầm thường nếu s  idV với s  G . 2.1.2. Ví dụ Nguyễn Thị Hợp 15 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp 1, Mỗi biểu diễn cấp 1 của G là một đồng cấu:  : G  GL(V )  K *  K \ 0 Đặt g= G ta có : s g  e, s  G . Do đó ,  sg  1 trong K  Vậy  s là một căn bậc g của đơn vị 1 trong K  , s  G . 2, Nhóm đối xứng G = S n tác động tuyến tính trên không gian véctơ K n bằng cách hoán vị các phần tử của cơ sở chính tắc e1 , e2 ,..., en  của K n . Hay mỗi phép thế   Sn được xem như một đẳng cấu tuyến tính  : K n  K n xác định bởi  (e1 )  e 1 (1) .................  (en )  e 1 (n) Như thế , ta thu được một đơn cấu nhóm: Sn  GL( K n )  GL(n, K )   được gọi là biểu diễn tự nhiên của S n trong K n . 2.2. Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun. Mệnh đề 2.2. Giả sử V là một K – không gian véctơ. Khi đó, V là một không gian biểu diễn của G nếu và chỉ nếu V là một K G  – môđun. Chứng minh: + Giả sử có một biểu diễn tuyến tính  : G  GL (V ). Khi đó, dễ kiểm tra được công thức sau trang bị cho V một cấu trúc K G  – môđun: ( ks s)(v)   kss (v), v V Nguyễn Thị Hợp 16 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp + Ngược lại: Giả sử V là một K G  – môđun. Xét ánh xạ  : G  GL ( V ) được định nghĩa như sau: s (v) = s v , s  G , v  V . Trong K G  – môđun V ta có: s 1 ( sv)  ( s 1s)v = e v = v . Hay là s s  idV . Do đó, s  GL ( V ). 1 Hơn nữa ta có: st (v)  st (v)  s(tv)  st (v) Vậy  là một biểu diễn tuyến tính của G .  2.3. Hai biểu diễn tương đương 2.3.1. Định nghĩa Cho hai biểu diễn  : G  GL ( V ) và  : G  GL ( W ). Một đồng cấu từ  vào  là một ánh xạ K – tuyến tính f: V  W sao cho f s   s f , s  G. Sử dụng cấu trúc K G  - môđun của V và W , đẳng thức trên tương đương với điều kiện sau: f ( s v ) = s f ( v ) , s  G , v V . Như vậy, mỗi đồng cấu từ  vào  là một đồng cấu K G  – môđun từ V vào W . Hai biểu diễn  và  được gọi là tương đương ( hay đẳng cấu hoặc đồng dạng ) nếu các K G  – môđun V và W là đẳng cấu. 2.3.2. Biểu diễn con. a, Định nghĩa: Không gian véctơ con W  V được gọi là một G – không gian con hay một không gian con ổn định dưới tác động của  nếu s ( x) W , s  G, x W . Khi đó hạn chế  sW của  s trên W xác định một biểu diễn  w : G  GL ( W ) được gọi là một biểu diễn con của  . Nguyễn Thị Hợp 17 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Nhận xét:  w là một biểu diễn con của  nếu và chỉ nếu W là K G  – môđun con của V . b, Ví dụ : Xét biểu diễn cấp 1 của nhóm hữu hạn G  : G  GL (  ) s (r )  id (r )  r, r   , s  G Đây là biểu diễn tầm thường của G . Khi đó   : G  GL (  ) là một biểu diễn con của G . Thật vậy ta có : s (q)  id (q)  q, q   , s  G . Điều đó chứng tỏ  là một G – không gian con. 2.3.3. Biểu diễn bất khả quy a, Định nghĩa: Biểu diễn  : G  GL (V ) được gọi là bất khả quy nếu V không có G – không gian nào khác V và 0. Nói cách khác:  là một biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu V là một K[G] – môđun đơn. b, Ví dụ: Xét biểu diễn  : G  GL (  ) ( với  là không gian véctơ trên K chỉ có một phần tử 0 ) Dễ dàng thấy được, đây là một biểu diễn bất khả quy của G vì nếu V   thì V =. 2.3.4. Tổng trực tiếp và tích tenxơ của các biểu diễn. a, Định nghĩa: Cho hai biểu diễn  : G  GL ( V ) và  : G  GL ( W ) của nhóm G . Khi đó, tổng trực tiếp:   : G  GL(V  W ) và tích tenxơ :   : G  GL(V  W ) được định nghĩa như sau: (  )s (v, w)  (s (v), s ( w)) (  )s (v  w)  s (v)  s ( w) , với s  G , v  V , w W . Nguyễn Thị Hợp 18 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Khi đó,   và   được gọi là tổng trực tiếp và tích tenxơ của các biểu diễn. b, Ví dụ: Cho hai biểu diễn của nhóm hữu hạn G .  : G  GL(  ) và  : G  GL(  ) s (r )  id (r )  r, r   , s  G  s (q)  id  (q)  q, q   , s  G Khi đó :   : G  GL(   ) (  )s (r, q)  (s (r), s (q))  ( r, q)   : G  GL(   ) (  )s (r  q)  s (r )  s (q)  r  q . 2.3.5. Mối quan hệ giữa các biểu diễn tuyến tính và các biểu diễn bất khả quy. Định lý 2.3. Nếu đặc số của trường K không chia hết cấp của nhóm G thì K G  là một vành nửa đơn, tức mọi biểu diễn tuyến tính của G trong K – không gian véctơ đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy. Chứng minh: Giả sử  : G  GL (U ) là một biểu diễn của G ; V là một K[G] – môđun con của U . Ta sẽ chứng minh rằng có một K[G] – môđun con W của U sao cho U  V W  . Chú ý: W  chưa phải là một K[G] – môđun con của U . Gọi p : U  V là phép chiếu tương ứng với phân tích trên. Khi đó ta đặt : p( x ) = 1 .t . p.t1 ( x) G tG Do G không chia hết cho char K nên khi đó q, r  K sao cho: Nguyễn Thị Hợp 19 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp G = char K .q + r (r  0). Suy ra : 1  K . Khi đó , u U , s  G ta có: G 1  1 .t . p.t1 ( s1 (u ))  = .s .t . p.t1 (s1 (u)) G tG  G tG  s . p.s1 (u )  s  = 1 1 .  st . p. st1 (u ) = .v . p.v1 (u) G tG G = p( u ). Điều đó chứng tỏ, s . p  p.s , s  G . Do đó, p là một K[G] - đồng cấu và W = ker p là một K[G] – môđun con của U . Mặt khác, do V bất biến đối với  và p( v ) = v , v V nên P( v ) = 1 1 1 .t . p.t1 (v) = .t . p(v) = .t (v) = v , v V . G tG G tG G tG Khi đó, p là một nghịch đảo trái của phép nhúng các K[G] – môđun j: V  U Do đó theo tiểu chuẩn chẻ ra của dãy khớp, ta có : U = imj  ker p = V  W Tương tự, coi V và W đóng vai trò như U và do các biểu diễn đều có cấp hữu hạn nên ta quy nạp theo số chiều của U ta được điều phải chứng minh.  2.4. Bổ đề Schur Từ đây trở đi chúng ta luôn giả thiết K =  , tức là chỉ xét các biểu diễn phức. Giả sử V là K – không gian véctơ có dim V = n . Khi đó với mỗi biểu diễn tuyến tính a: V  V có ma trận A = ( Aij ) trong cơ sở ( ei )in1 của V thì số phức: Nguyễn Thị Hợp 20 Lớp K31 E-Toán