Tài liệu Bé ba câu hỏi phân loại để thì thpt quốc gia

TuyÓn tËp Bé ba c©u ph©n lo¹i Trong c¸c ®Ò thi thö THPT Quèc Gia 2015 M¤N TO¸N * PT, HPT, BPT * PP tọa độ trong MP * BĐT, Tìm GTLN, GTNN π DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015 Diễn đàn toán học VMF Ngày 6 tháng 8 năm 2015 Kí hiệu dùng trong sách BĐT BPT CMR ĐH GDĐT GTLN GTNN PT THPT THTT TP. HCM VMF VP VT VTCP VTPT Trang 4 : : : : : : : : : : : : : : : : Bất đẳng thức Bất phương trình Chứng minh rằng Đại học Giáo dục và đào tạo Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Phương trình Trung học phổ thông Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Thành phố Hồ Chí Minh Vietnam Mathematics Forum Vế phải Vế trái Vectơ chỉ phương Vectơ pháp tuyến http://diendantoanhoc.net LỜI NÓI ĐẦU Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán để xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại. Bộ ba câu này thường rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng, Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN. Nhằm mục đích cung cấp thêm cho các bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016 một tài liệu tham khảo hữu ích, các thành viên của Diễn đàn toán học VMF đã cùng nhau biên soạn tài liệu này. Tài liệu bố cục gồm ba phần chính. Phần đầu, chúng tôi tóm tắt một vài lý thuyết cơ bản tương ứng với 3 chủ đề đã nói ở trên để bạn đọc có thể tra cứu dễ dàng khi cần thiết. Phần hai, cũng là nội dung chính của tài liệu, chúng tôi tổng hợp lại bộ ba câu phân loại trong các đề thi thử năm học 2014 - 2015. Phần hướng dẫn, đáp số chúng tôi chủ yếu dựa trên đáp án của đơn vị ra đề, tuy nhiên trong một số bài toán chúng tôi có đưa ra cách tiếp cận khác hoặc chỉ hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động hơn trong quá trình đọc tài liệu. Chúng tôi nhấn mạnh rằng, cách làm trong tài liệu này chưa hẳn là tốt nhất, bạn đọc cũng không nên quá coi trọng các lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên. Nhóm biên soạn tài liệu này gồm có • Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP. HCM (Katyusha); • Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99); • Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng); • Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13); • Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois); • Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp); • Bạn Trần Trung Kiên - TP. HCM (Ispectorgadget). Mặc dù chúng tôi đã cùng nhau biên soạn tài liệu này với tất cả sự tận tâm, tinh thần vì cộng đồng vô tư. Nhưng sự tỉ mỉ và cố gắng của chúng tôi chắc chắn chưa thể kiểm soát được hết các sai sót. Vì vậy sự nhiệt tâm từ phía bạn đọc cũng sẽ giúp tài liệu hoàn thiện hơn. Mọi trao đổi hãy chia sẻ với chúng tôi tại Diễn đàn toán học VMF (http://diendantoanhoc.net). Sau cùng, chúng tôi hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến sẽ dành cho chúng tôi sự tôn trọng tối thiểu bằng cách ghi rõ nguồn tài liệu khi chia sẻ. Không dùng tài liệu này để trục lợi cá nhân. Chúng tôi xin cảm ơn! Nhóm biên tập http://diendantoanhoc.net Trang 5 Mục lục I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 14 1 Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: 1.2.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng . . . . . . . . 1.3 Góc và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Phương trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số kĩ thuật cơ bản 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Dựa vào hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Điểm thuộc đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng . . . . . . . . . . . . 2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn . . . . . . . . . 14 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 17 17 18 19 19 20 21 21 23 23 3 Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Một số hướng khai thác giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 1 29 29 29 29 30 30 30 2 Trục căn thức 1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Đưa về “hệ tạm” . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biến đổi về phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Trang 6 http://diendantoanhoc.net 3 Phương pháp đặt ẩn phụ 3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất p bậc 2 đối với 2 biến 3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x) + bB p(x) = c A (x) .B (x) . . . . . 3.2.2 Phương trình dạng: αu + βv = mu 2 + nv 2 . . . . . . . . . . 3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 35 36 37 38 . . . . 39 39 41 41 42 5 Phương pháp lượng giác hóa 5.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . 5.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 7 Phương pháp hàm số 48 III. MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 4 Phương pháp đưa về hệ phương trình 4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường . 4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II . 4.2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.2 BĐT ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kĩ thuật tách ghép . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản . . . . . . . . . . 2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số . 2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 2.6 BĐT thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 53 55 58 60 62 65 IV. BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 68 1 Đề minh hoạ THPT 2015 68 2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 3 THTT số 453 tháng 04 năm 2015 68 4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai) 69 5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 69 http://diendantoanhoc.net Trang 7 6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69 7 THPT chuyên Hà Tĩnh 69 8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 70 9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 70 10 THPT chuyên Hưng Yên 70 11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) 71 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 71 13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 71 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 71 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2 72 16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 72 17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 72 18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 73 19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 73 20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 73 21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 74 22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 74 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 75 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 75 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 75 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 76 27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 76 28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 76 29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 77 30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM) 77 31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 77 32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 78 Trang 8 http://diendantoanhoc.net 33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78 34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 78 35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 79 36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 1 79 37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa) 79 38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 80 39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa) 80 40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP. HCM) 80 41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 81 42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 81 43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) 81 44 Đề 44 82 45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1) 82 46 Sở GDĐT Vĩnh Long 82 47 Sở GDĐT TP. Hồ Chí Minh 83 48 Sở GDĐT Thanh hóa 83 49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 83 50 Sở GDĐT Quảng Nam 84 51 Sở GDĐT Lào Cai 84 52 Sở GDĐT Lâm Đồng 84 53 Sở GDĐT Bình Dương 85 54 THPT Nguyễn Văn Trỗi 85 55 THPT Chuyên ĐH Vinh 85 56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 86 57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2 86 58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 86 59 THPT Lam Kinh 87 http://diendantoanhoc.net Trang 9 60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 87 61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 87 62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 88 63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 88 64 THPT Quảng Hà 88 65 THPT Thống nhất 89 66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 89 67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 89 68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3 90 69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 90 70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 90 71 Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 91 72 Chuyên ĐH Vinh lần 3 91 73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 91 V. HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI 92 1 Đề minh họa THPT Quốc gia 2015 92 2 Sở GDĐT Phú Yên 93 3 THTT Số 453 95 4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai) 96 5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 98 6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 99 7 THPT Chuyên Hà Tĩnh 101 8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 102 9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 104 10 THPT Chuyên Hưng Yên 105 11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM) 107 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 108 Trang 10 http://diendantoanhoc.net 13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 110 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 111 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2 112 16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 113 17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 116 18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 119 19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 120 20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 123 21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 126 22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 127 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 129 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 131 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 133 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 135 27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 137 28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 140 29 THPT Chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 142 30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM) 144 31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 146 32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 148 33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 151 34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 153 35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 155 36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) 158 37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa) 160 38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 162 39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa) 164 http://diendantoanhoc.net Trang 11 40 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM) 166 41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 167 42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 169 43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) 171 44 Đề 44 173 45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 1 174 46 Sở GDĐT Vĩnh Long 176 47 Sở GDĐT TP. Hồ Chí Minh 177 48 Sở GDĐT Thanh Hóa 178 49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 180 50 Sở GDĐT Quảng Nam 181 51 Sở GDĐT Lào Cai 183 52 Sở GDĐT Lâm Đồng 185 53 Sở GDĐT Bình Dương 186 54 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh) 187 55 THPT Chuyên ĐH Vinh 189 56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 192 57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2 193 58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 196 59 THPT Lam Kinh (Thanh Hóa) 198 60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 199 61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 202 62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 203 63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 205 64 THPT Quảng Hà (Quảng Ninh) 207 65 THPT Thống nhất (Bình Phước) 210 66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 212 Trang 12 http://diendantoanhoc.net 67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 215 68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3 216 69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 218 70 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 221 71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 222 72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3 225 73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 227 http://diendantoanhoc.net Trang 13 I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1 Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho các điểm: A x A ; y A , B x B ; y B ,C xC ; yC . ¢ −→ ¡ • Tọa độ vectơ: AB = x B − x A ; y B − y A • Tọa độ trung điểm J củaµđoạn thẳng AB , ¶trọng µtâm G của tam giác ABC ¶lần lượt là: x A + x B + xC y A + y B + y C x A + xB y A + y B ; ; G ; J 2 2 3 3 1.2 1.2.1 Phương trình đường thẳng Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: → − − − • Vectơ → u (→ u 6= 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d . → − − − • Vectơ → n (→ n 6= 0 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng d . − • Đường thẳng ax + b y + c = 0 có một vectơ pháp tuyến là → n = (a; b). • Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến). • Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia. − − − − • Nếu → u ,→ n lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì → u .→ n = 0. − − Do đó, nếu → u = (a; b) thì → n = (b; −a). − • Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ chỉ phương. Nếu → n là một vectơ → − pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của đường thẳng d thì k n (k 6= 0) cũng là một vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của d . 1.2.2 Phương trình đường thẳng • Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + b y + c = 0 (a 2 + b 2 > 0) (1) − Đường thẳng đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và nhận → n = (a; b) là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0 (2) Đặc biệt: đường thẳng đi qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn: x y + =1 a b Trang 14 (3) http://diendantoanhoc.net − * Đường thẳng đi qua M (x 0 ; y 0 ) và nhận vectơ → n = (p; q) làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số là: ( x = x 0 + pt y = y0 + q t (4) Có phương trình chính tắc là: x − x0 y − y 0 = p q (5) (p, q 6= 0) ¡ ¢ ¡ ¢ Đặc biệt: đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A x A ; y A , B x B ; y B có phương trình dạng: x − xA y − yA = xB − x A y B − y A (6) • Đường thẳng đi qua M (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k thì có phương trình đường thẳng với hệ số góc dạng: y = k(x − x 0 ) + y 0 (7) Chú ý: – Không phải đường thẳng nào cũng có hệ số góc. Các đường thẳng dạng x = a không có hệ số góc. Do vậy, khi giải các bài toán dùng hệ số góc, ta phải xét cả trường hợp đặc biệt này. − – Nếu → n = (a; b), (b 6= 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì hệ số góc của nó là a k =− . b 1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng Cho A x A ; y A , B x B ; y B và đường thẳng ∆ : ax + b y + c = 0. Khi đó: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ • Nếu ax A + b y A + c ax B + b y B + c < 0 thì A, B ở về hai phía khác nhau đối với ∆. ¡ ¢¡ ¢ • Nếu ax A + b y A + c ax B + b y B + c > 0 thì A, B ở cùng một phía đối với ∆ 1.3 Góc và khoảng cách − − • Góc giữa hai vectơ → v ,→ w được tính dựa theo công thức: → − − u .→ w − − cos(→ u ,→ w) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯→ − ¯ ¯→ −¯ ¯ v ¯ . ¯w ¯ − − • Giả sử → n 1, → n 2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của các đường thẳng d 1 và d 2 . Khi đó: ¯ ¯ ¯→ − → − ¯ ¯ n 1. n 2¯ à ¯ ¯ ¯ cos (d 1 , d 2 ) = ¯¯ → − ¯ ¯→ − ¯ ¯ n 1¯ . ¯ n 2¯ − • Độ dài vectơ → u = (a; b) là: http://diendantoanhoc.net ¯ ¯ p ¯→ −¯ ¯ u ¯ = a2 + b2 (8) (9) (10) Trang 15 • Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; y A ), B (x B ; y B ) là: q ¡ ¢2 ¡ ¢2 AB = xB − x A + y B − y A (11) • Diện tích tam giác ABC là: 1 S= 2 r ¡ AB.AC ¢2 ³−→ −→´2 − AB . AC (12) • Khoảng cách từ điểm M (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng d : ax +b y +c = 0 được tính bằng công thức: ¯ ¯ ¯ax 0 + b y 0 + c ¯ d (M ;d ) = (13) p a2 + b2 1.4 Phương trình đường tròn • Đường tròn tâm I (a; b), bán kính R có dạng: (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 (14) • Phương trình: x 2 + y 2 + 2ax + 2b y + c = 0, (a 2 + b 2 − c > 0) cũng là phương trình đường tròn với tâm I (−a; −b) và bán kính R = (15) p a2 + b2 − c . • Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (x 0 ; y 0 ) (16) (x 0 − a)(x − x 0 ) + (y 0 − b)(y − y 0 ) = 0 ¡ ¢ • Vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn C tâm I , bán kính R . ¡ ¢ – Nếu d(I ;∆) > R thì ∆ và C không cắt nhau. ¡ ¢ – Nếu d(I ;∆) = R thì ∆ và C tiếp xúc tại I 0 là hình chiếu của I lên d . ¡ ¢ – Nếu d (I ;∆) < R thì ∆ và C cắt nhau tại hai điểm M , N . Khi đó trung điểm H của M N là hình chiếu của I lên M N và q M N = 2 R 2 − d (I2 ,∆) (17) 1.5 Phương trình Elip • Elip là tập hợp các điểm M di động thỏa mãn M F 1 + M F 2 = 2a với F 1 , F 2 cố định, F 1 F 2 = 2c , a > c > 0 là các số cho trước. • F 1 (−c; 0),F 2 (c; 0) được gọi là tiêu điểm, F 1 F 2 = 2c được gọi là tiêu cự. M F 1 , M F 2 là các bán kính qua tiêu. • Các điểm A 1 (−a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0; −b), B 2 (0; b) được gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng A 1 A 2 = 2a được gọi là trục lớn, B 1 B 2 = 2b được gọi là trục nhỏ. • Phương trình chính tắc của Elip có hai tiêu điểm F 1 (−c; 0), F 2 (c; 0) là: x2 y 2 + =1 a2 b2 (18) Trong đó a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 . Trang 16 http://diendantoanhoc.net • Tâm sai e = c . a • Cho elip (E ) có phương trình chính tắc (18). Hình chữ nhật PQRS với P (−a; b), Q(a; b), R(a; −b), S(−a; −b) được gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip. • Nếu M ∈ (E ) và M , F 1 , F 2 không thẳng hàng thì đường thẳng phân giác ngoài của góc Fà 1 M F2 chính là tiếp tuyến của (E ) tại M . 2 Một số kĩ thuật cơ bản 2.1 2.1.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm Dựa vào hệ điểm Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện nào đó với hệ các điểm A 1 , A 2 , ..., A n . Đối với bài toán này, ta đặt M (x; y) và khai thác giả thiết. Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2), trực tâm H (−1; 3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác. Lời giải −−→ −→  −2(x − 1) = −2 −2(y − 2) = 1 −−→ −→ Giả sử I (x; y). Ta có: G H = (−2; 1); G I = (x − 1; y − 2). Vì G H= −2G I nên:  x = 2 ⇐⇒ 3  y = 2 µ ¶ 3 Vậy I 2; . 2 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường Giao của hai đường thẳng Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d 1 : ax + b y + c = 0, d 2 : mx + n y + p = 0 (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:  ax + b y + c = 0 mx + n y + p = 0 (19) Giao của đường thẳng và đường tròn  x = x + mt 0 Cho đường thẳng d :  y = y 0 + nt và đường tròn (C ) : (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 . Tọa độ giao điểm (nếu có) của d và (C ) là nghiệm của hệ phương trình:    x = x 0 + mt y = y 0 + nt   (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 http://diendantoanhoc.net (20) Trang 17 Giao của đường thẳng và Elip  x = x + mt ¡ ¢ x2 y 2 0 Cho đường thẳng d : và elip E : 2 + 2 = 1.  y = y 0 + nt a b ¡ ¢ Tọa độ giao điểm của d và E (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:    x = x 0 + mt   y = y 0 + nt   x2 y 2    2 + 2 =1 a b (21) Giao của hai đường tròn Tọa độ giao điểm ¡ ¢của hai đường tròn: C 1 : x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0; ¡ ¢ 2 C 2 : x + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0 (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2 + y 2 + 2a x + 2b y + c = 0 1 1 1 x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0 (22) Ví dụ 2 ¡ ¢ Cho hai đường tròn: C 1 : (x −1)2 +(y −2)2 = 25; µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ 7 2 1 2 25 : C2 x− + y+ = . Tìm tọa độ giao 2 2 2 điểm (nếu có) của chúng. Lời giải Tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đường tròn là nghiệm của hệ phươngtrình:  x 2 + y 2 − 2x − 4y − 20 = 0 x 2 + y 2 − 7x + y = 0 ⇐⇒  x − y = 4 x 2 + y 2 − 7x + y = 0   x−y =4   ⇐⇒ x =6      x =1 Vậy hai đường tròn cắt nhau tại A(6; 2), B (1; −3). 2.1.3 Điểm thuộc đường  x = x + mt 0 Để tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d :  y = y 0 + nt thỏa mãn điều kiện nào đó. Ta lấy điểm M (x 0 + mt ; y 0 + nt ) và áp dụng giả thiết, ta thu được phương trình ẩn t . Như thế, ta gọi là tham số hóa tọa độ điểm M . Ví dụ 3 p Cho điểm A(2; −1). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0 sao cho AM = 2 Lời giải Trang 18 http://diendantoanhoc.net Giả sử M (m; 2m − 4). Ta có: AM = p (m − 2)2 + (2m − 3)2 . Khi đó: m=1 p 11 2 ⇐⇒ 5m 2 − 16m + 11 = 0 ⇐⇒  m= 5 µ ¶ 11 2 Vậy các điểm cần tìm là M1 (1; −2), M2 ; . 5 5 AM = 2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng C ∆ d M Để tìm tọa độ hình chiếu H của M lên đường thẳng d ta có 2 cách: • Cách 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d . Điểm H chính là giao điểm của d và ∆. • Cách 2: Tham số hóa tọa độ của H ∈ d và dựa vào điều kiện M H ⊥ d . H Ví dụ 4 Cho điểm M (−1; −1) và đường thẳng d : x − y + 2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d . Lời giải Cách 1 Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình dạng: 1.(x + 1) + 1.(y + 1) = 0 ⇐⇒ x + y + 2 = 0 Do H = d ∩ ∆ nên tọa độ của H là nghiệmcủa hệ phương trình: x − y + 2 = 0 x + y + 2 = 0 Giải hệ ta được H (−2; 0). Cách 2 −−→ − Đường thẳng d có vectơ chỉ phương → u = (1; 1). Giả sử H (h; h + 2) ∈ d . Ta có: M H = (h + 1; h + 3). −−→ → M H .− u = 0 ⇐⇒ 1.(h + 1) + 1.(h + 3) = 0 ⇐⇒ h = −2 Vậy H (−2; 0). 2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng Để tìm tọa độ điểm đối xứng M 0 của M qua đường thẳng d ta có 2 cách: • Cách 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên d . Do H là trung điểm M M 0 nên áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm, ta tìm được M • Cách 2: Giả sử M 0 (x; y) và H là trung điểm của H ∈ d M M 0 . Khi đó ta có: −−−→0 →  M M .− u =0 http://diendantoanhoc.net ∆ d M H M0 Trang 19 Ví dụ 5 Tìm tọa độ điểm M 0 là đối xứng của điểm M (1; 1) qua đường thẳng d : x + y + 2 = 0. Lời giải Cách 1 − Đường thẳng d có vectơ chỉ phương → u = (1; −1). −−→ Hình chiếu của M lên đường thẳng d là H (h; −h − 2) ∈ d . Ta có: M H = (h − 1; −h − 3). Do đó: −−→ → M H .− u = 0 ⇐⇒ 1.(h − 1) − 1.(−h − 3) = 0 ⇐⇒ h = −1 Vậy H (−1; −1). Do H là trung điểm của M M 0 nên:  x = 2x H − x M = −3  y M 0 = 2y H − y M = −3 M0 . Vậy M 0 (−3; −3). Cách 2 − Đường thẳng d có vectơ chỉ phương → u = (1; −1) µ . ¶ −−−→ − x +1 y +1 ; ∈ d và M M 0 .→ u = 0. Ta có hệ: Giả sử M (x; y). Khi đó trung điểm M M là H 2 2    x +1 + y +1 +2 = 0 x = −3 ⇐⇒ 2 2   y = −3 1.(x − 1) − 1.(y − 1) = 0 0 0 Vậy M 0 (−3; −3). 2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng cho trước ∆1 p N M p Để viết phương trình ¡ đường ¢ thẳng ∆ đi qua điểm M và cách điểm N x N ; y N một khoảng bằng p ta thường giả sử vectơ pháp tuyến của đường thẳng là → − n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) và áp dụng công thức tính khoảng cách - công thức (13). ∆2 Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 3) và cách điểm B (−2; 1) một khoảng bằng 3. Lời giải − Giả sử → n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Phương trình đường thẳng có dạng: a(x − 1) + b(y − 3) = 0 ⇐⇒ ax + b y − a − 3b = 0 Khi đó: Trang 20  b=0 | − 2a + b − a − 3b| 12 d (B ;∆) = 3 ⇐⇒ = 3 ⇐⇒ 5a 2 − 12ab = 0 ⇐⇒  p b= a a2 + b2 5 http://diendantoanhoc.net