Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Trung học phổ thông Lớp 10 Bất đẳng thức bất phương trình...

Tài liệu Bất đẳng thức bất phương trình

.PDF
43
269
52
hosomat
Tải xuống 52
/ 43 trang
Tải xuống 52

Mô tả:

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b b  a-b > 0 (ba<0) a  b  a-b  0 (ba≤0) 2. Định nghĩa 2: Các mệnh đề "a > b"; "a  b"; "a < b" ; "a  b" được gọi là các bất đẳng thức. + a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức; + a>b và c>d (hoặc ab và cb" và "c>d". Nếu "a>b  c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b" "a>b  c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b" 3. Các tính chất a, b, c, d  R ta có : 1) a > b  a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số) a > b+ c  ac > b (chuyển vế) ac  bc neáu c  0 3) a > b   (nhân hai vế cùng 1 số) ac  bc neáu c  0 a  b 4)  ac bd c  d a  b  0  ac  bd 5)  c  d  0 6) Với n nguyên dương: a > b  a2n+1 > b2n+1 a > b>0  a2n > b2n 7) Nếu b>0 thì a>b  a  b ; a>b  3 a  3 b a  b ac 8)  (bắc cầu) b  c 1 1  a  b neáu ab  0 9) a > b    1  1 neáu ab  0  a b 10) a > b > 0  an > bn ( n  N  ) 11) a > b > 0  n a  n b ( n  N  ) Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều 1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Một số hằng đảng thức: (ab)2= a2  2ab +b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (ab)3= a3  3a2b+3ab2  b3 a2 b2 = (ab)(a+b) a3b3= (ab)(a2 +ab +b2) a3b3= (a+b)(a2 ab +b2) Ví dụ: Chứng minh rằng a) Nếu a,b  0 thì a+b  2 ab b) Chứng minh a2+b2-ab  0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra. Giải a) Cách 1: ta có a+b  2 ab  a+b- 2 ab  0  ( a  b )2  0 đúng với mọi a,b  0. Dấu '=' xảy ra khi a = b Cách 2: ta đã biết ( a  b )2  0 a, b  0  a+b- 2 ab  0  a+b  2 ab  đpcm. b 2 3b 2 1 2 3 2 2 2 2  0 a, b  R b) Ta có: a +b -ab = a  b  b  ab = (a- ) + 4 2 4 4 b  a 0  2 dấu '=' xảy ra    2  3b  0   4 4. Bất đẳng thức Côsi a/ Định lý: Nếu a  0, b  0 thì a  0  đpcm  b  0 ab  ab hay a+b  2 ab 2 Dấu '=' xảy ra  a=b b/ Các hệ quả: b.1. Nế a  0,b  0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max  a = b b.2. Nếu a  0,b  0 có a.b = const thì a + b là min  a = b 2 b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an  0 thì: a1  a 2  ...  a n n  a1 .a 2. a3 ...a n n 1  2, a > 0 a * Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. c. Ví dụ: a b Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng   2 b a Giải a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,  0 ,ta có: b a a b a b a b   2 .  2    2 => đpcm. b a b a b a Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì (a+b)(ab+1)  4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b  2 ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + 1  2 ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm 5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối  x neáu x  0 Định nghĩa: |x| =  ; - x neáu x  0 a, b  R ta có a  b  a  b , dấu '=' xảy ra  a.b  0 b.4. a  a  b  a  b , dấu '=' xảy ra khi a.b  0 a  b  a  b  a.b  0 a  b  a  b  a.b  0 Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z |  | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z|  |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 ) Chứng minh: Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2) 2 2  a b +c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd  0  (ad-bc)2  0 đúng a, b, c, d  R => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng 3  2  x y  2 Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2  (12+12)(x2+y2)  (x+y)2  2   2  x  y  2 => đpcm. 4 Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2  5 Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 2 xyz  x 2  y2 z 2 HD: Đưa về hằng đẳng thức 1  a  1  a  1 , a  1 2/ Chứng minh rằng: a Giải 2 2  1   a 1  a 1     a 1  a 1 a  a 1 1 1   (a  1)  (a  1)  2 a 2  1  2 a 2  1  2a  . Vì 2a   0 nên a a a 1   2 1 1   4(a  1)   2a    2  0 ñuù ng a a  1  a  1  a  1 , a  1 đpcm Vậy a 1 1 3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=  với 00, >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được: x 1 x 2 y= 1 1 1 1 1 + 2 . 2 x 1 x x 1 x x(1  x) x  (1  x) 1 1  x(1  x)   2 x  (1  x) x(1  x) 2 1 1 1 1 1 1 2 . 2 2 4 vậy y= + x 1 x x 1 x x  (1  x) x(1  x) 2 1 1 1 1 1    y= +  4. Dấu "=" xảy ra   x 1  x  x  x 1 x 2 x  (0;1)  mà 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1 1 + bằng 4 khi x = 2 x 1 x BÀI TẬP 1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: a) x 4  y4  x3 y  xy3 Giải 4 3 4 3 3 (a )  x  x y  y  y x  0  x ( x  y )  y3 ( y  x )  0  x 3 ( x  y )  y3 ( x  y )  0  ( x  y )( x 3  y3 )  0 2  y  3y2   ( x  y ) ( x  xy  y )  0  ( x  y )  x      0 ñúng 2 4   Vậy x 4  y4  x3 y  xy3  đpcm 2 2 2 2 b) x 2  4y2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z Giải (b)  x  2 x  1  4y  2.2 y.3  9  3 z 2  2. 3.z. 3  3  1  0 2 2  ( x  1) 2  (2 y  3) 2  ( 3.z  3) 2  1  0 ñuù ng Vậy x 2  4y2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z  đpcm a b   a b c)* b a Giải  a  b b 3 (c )  a a b b b a  a  ( a  b )(a  a b  b)  3 b a  a b b a( a  b)  ( a  b )(a  a b  b)  b a ( a  b )  0  ( a  b )(a  a b  b  b a )  0  ( a  b )(a  2 a b  b)  0  ( a  b )( a  b ) 2  0  đpcm 1 1 4 d)   a b ab Giải Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a  b  2 ab (1) 1 1 1 1 1 , :  2 (2) a b a b ab 1 1 1 1 4 Lấy (1) nhân (2) ta được: (a  b)(  )  4    . đpcm a b a b ab abcd 4  abcd (bđt Cô-si cho 4 số) e)* 4 Giải Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 5 a  b  2 ab  4   a  b  c  d  2( ab  cd )  2.2 ab cd  4 abcd c  d  2 cd  abcd 4   abcd 4 1 1 1 1 16 f)     a b c d abcd Giải Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được: a  b  c  d  4 4 abcd (1) 1 1 1 1 Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương , , , ta được; a b c d 1 1 1 1 1     44 (2) a b c d abcd 1 1 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a  b  c  d )(    )  16 a b c d 1 1 1 1 16 Vậy     a b c d abcd 1 g) a 2b   2a b Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b h) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a. i)  a b  2  2 2(a  b) ab Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho (a  b) và 2 ab 1 1 1 9 j)    a b c abc Giải Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được: a  b  c  3 3 abcd (1) 1 1 1 Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương , , ta được; a b c 1 1 1 1    33 (2) a b c abc 1 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a  b  c)(   )  9 a b c 1 1 1 9 Vậy    a b c abc 2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau x4 2 a) Với x>3. Chứng minh x3 HD: x  4  2 x  3 Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3 6 x2 y2   1 . Chứng minh |x.y|≤3 4 9 x2 y2 HD: Áp dụng bđt Cô-si cho , 4 9 c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c  16abc HD: b+c  2 bc  (b+c)2  4bc b) Với (1) (2) a+(b+c)  2 a(b  c)  1 4a(b+c) lấy (1)x(2) ta được đpcm d) Cho a, b, c, d  0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1 a b c e) Cho a,b,c >0. CMR : (1  )(1  )(1  )  8 b c a a b c HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1, b c a f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)  16abcd. HD: b g) Cho a,b,c > 0. CMR : ca   2 ab c HD: 1 1 1 h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(   )  9 a b c HD: 1 1 k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(  )  4 a b HD: a  bc 4  ab l) Cho a,b,c > 0. CMR : 2c 2 a  bc 4 a  2 ab  2  bc 2  2 ab HD: 2 c c 1 1 1 m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : (1  )(1  )(1  )  64 a b c HD: a n) Cho a > 1 . CMR : a  1  2 HD: bình phươn 2 vế 1 1 1 1 1 1   o) Cho a,b,c >0 . CMR :    a b c ab bc ac 3/ Chứng minh bất đẳng thức 1 1  b a b) a 2  b2  c 2  ab  bc  ca, a,b,c  . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì c) a 2  b2  ab  0, a, b  . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2  3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c  . 7 e) a2b+ab2  a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ? 4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với  3  x  5 . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau 1 3 a) f(x)= x  vôùi x  0 b) f(x)= x  với x > 1 x 1 x 4 9  với 0 0 , aR 2. a2 + b2  2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR 3. a2 + b2 + 4  ab + 2(a +b) , a, bR 4. a2+ b2 + c2 + d2 + e2  a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR a2 1 a2 b2  , a  R . Suy ra 4   1 , a, bR 5. a4  1 2 a  1 b4  1 2 2 2  abc  a b c 6.  , a, b, cR   3 3   7. a3 + b3  ab(a+b) , a, b  0 8. a3b + ab3  a4 + b4 , a, bR 9. a4 + 16  2a3 + 8a , aR 10. (a  b)(c  d )  ac  bd , a, b, c, d > 0 a b   a  b , a, b > 0 11. b a 2 12. a 2  ab  b 2  3 a  b , a, bR 2 1  a  1  a  1 , a  1 a a 2 b2 c2    a  b  c , a, b, c > 0 14. b c a 4 15. a + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR 13.  x5 ( x3  1)  x( x  1)  1  0 neáu x  1 16. x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT   8 2 3  x  x (1  x )  (1  x) neáu x < 1 II.CMR 1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: a a ac a a ac   i. Nếu  1 thì ii. Nếu  1 thì b b bc b b bc a b c   2 b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 1  ab bc ca 2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b. abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0 1 3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2  2 1 4. Cho x + y + z = 1. CMR: x 2  y 2  z 2  3 5. CMR: a. x  2  x  5  7 , xR b. x  1  y  2  x  y  3  6 , x, yR III.CMR abcd 4  abcd . (a, b , c, d  0) 1. 4 9 abc 3  abc . (a, b , c  0) 3 1 1 1 9    3. (a, b , c > 0) a b c abc a b c 1 1 1      4. (a, b , c > 0) bc ca ab a b c ab bc ca    abc 5. (a, b , c > 0) c a b 1 1 6. x 2  y 2    2( x  y ) (x , y > 0) x y 7. (a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0)  a  b  c  8. 1  1  1    8 (a, b , c > 0)  b  c  a  9. (a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0) 10. (1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = 1 và a, b, c  0  1  1  11. 1   1    9 với x+y =1 và x , y > 0. y  x  12. (a + 2) (b + 8)  36 với ab = 4 và a, b > 0 13. a b  1  b a  1  ab a, b  1 2. 14. 4a  1  4b  1  4c  1  5 với a + b + c = 1 và a, b, c  - 1 4 IV.CMR: 1. (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào? 2. 2 x  3 y  13 với x2 + y2 = 1 3. 3x  2 y  2 với 9x2 + 4y2 = 1 4. 2 x  3 y  35 với 2x2 + 3y2 = 7 1 biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào? 8 9 6. 4 x 2  3 y 2  biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào? 7 V.Tìm GTLN của hàm số sau: 1. y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  7 (maxy = 36 khi x = 1) 3 10 2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với  x  2 3 1 x4 3. y = với x  4 (maxy = khi x = 8) 8 2x 5. 4 x 2  9 y 2  4. y = x + 8  x 2 VI.Tìm GTNN của hàm số sau: x5 8  1. y = với x > -5 2 x5 9 2. y = x  với x > 2 x2 (maxy = 4 khi x =  2) (miny = 4 khi x = -1) (miny = 8 khi x = 5) 10 9 với x  0 x2 x4  1 4. y = với x  0 x2 (4  x)(1  x) 5. y = với x > 0 x 6. y = x  2  x  4 3. y = x 2  (miny = 6 khi x =  3 ) (miny = 2 khi x = 1) (miny = 9 khi x = 2) (miny = 2 khi 2 < x < 4) VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1 11 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d > 0 a a+c a) nếu a < b thì b < b + c a a+c b) nếu a > b thì b > b + c a b c c) 1 < a + b + b + c + c + a < 2 a+b b+c c+d d+a d) 2 < a + b + c + b + c + d + c + d + a + d + a + b < 3 a c a a+c c 2/ Cho b < d và b,d > 0, Chứng minh rằng b < b + d < d 3/ Chứng minh rằng  a , b ,c a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 2 2 2 e) 2abc  a + b c f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 2 2 2 2 i) 4ab(a – b)  (a – b ) j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0 a b k) + ≥ a+ b l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b) b a a2 1 a + b 2 a2 + b2 m) 1 + a4  2 n) ( 2 )  2 2 2 2 2 a +b +c a+b+c 2 a o) ≥( ) p) 4 + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc 3 3 q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac 3 t) a2 + ab + b2 ≥ 4 (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4/ Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab| x y a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì 1 + x ≥ 1 + y |a – b| |a| |b| b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có 1 + |a – b| ≤ 1 + |a| + 1 + |b| 5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b 6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + 1 > 0 7/ Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1 1 1 1 1 1 8/ Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b(a + c ) + b (a + c)  (a + c )(a + c) c+a c+b 9/ Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng 2 2 ≥ c +a c2 + b2 a3 + b3 + c3 – 3abc 10/ Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng : ≥0 a+b+c 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng : 12 1 1 1 1 + +  3 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 1 1 2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1 + a2 + 1 + b2 ≥ 1 + ab 1 1 1 3 b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : 1 + a3 + 1 + b3 + 1 + c3 ≥ 1 + abc c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng : 1 1 2 x+ y ≥ 1+4 1+4 1 + 2x+y 14/  a,b,c,d chứng minh rằng a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 a b c d b) 1 < a + b + c + a + b + d + b + c + d + a + c + d < 2 15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng : a b c a c b a) b+c+a–c–b–a <1 3 b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 *e) (a + b + c)2  9bc với a  b  c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc 16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng : a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a  b  c Chứng minh rằng : (a + b + c)2  9bc aA + bB + cC  19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : a + b + c ≥3 20*/ Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4 1 1 1 1 21/ Chứng minh rằng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) < 1  n  N 1 2 3 n–1 22/ Chứng minh rằng : 2! + 3! + 4! + …+ n! < 1  n  N n ≥ 2 23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng : 1 3  a + b + c  abc 24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a) a2 + b2 + c2 ≥ 3 b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng : a b 1 a) b + a ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + b ≥ 2a b > 0 13 2a2 + 1 ≥1 4a2 + 1 e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b c) g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 1 1 4 i) a + b ≥ a + b j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 a6 + b9 k) ≥ 3a2b3 – 16 4 a2 b2 c2 a c b m) b2 + c2 + a2 ≥ c + b + a d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab a2 1 h) a4 + 1  2 1 1 1 2 2 2 j) a + b + c ≥ a + b + b + c + c + a a2 + 2 h) ≥2 a2 + 1 a2 + 6 l) 2 ≥4 a +2 1 2  2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2a2 + a + 1 ≥ 16   3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng: 1 a) a2b + b ≥ 2a 1 1 1 1 b) a + b + c ≤ 2 ( a2b + b2c + c2a + a + b + c ) 2 a +b 4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < 1 1 < ab < 2 a+b 5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1  ab 6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng : c a) ab + b ≥ 2 ac (b  0) b) a + b + c ≥ ab + bc + ca c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac 1 f) a2 + b2 + c2 ≥ 3 (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc )3 7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có: 1 1 cosx + sinx + tgx + cotgx + sinx + cosx > 6 8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc 9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc bc ac ab b) a + b + c ≥ a + b + c a b a c c b c)(b + a )( c + a )(b + c ) ≥ 8 14 a b c d) (1 + b )(1+ c )(1+ a ) ≥ 8 1 1 1 e) (a + b + c)(a + b + c ) ≥ 9 1 1 1 9 f) (a + b + c)(a + b + b + c + c + a ) ≥ 2 a+b b+c c+a c + a + b ≥6 a b c 3 h) b+ c + c + a + a + b ≥ 2 i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac a+b+c+6 k) ≥ a + b+1 + c+2 2 10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng : 1 1 a) (ab + cd)(ac + bd ) ≥ 4 b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) 1 1 8 c) ab + cd ≥ (a + b)(c + d) d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 6 4 abcd 1 1 1 9 f) a + b + c ≥ a + b + c 1 1 1 1 16 g) a + b + c + d ≥ a + b + c + d a6 + b9 h) ≥ 3a2b3 – 16 4 1 1 1 a c b i) (abc + 1)( a + b + c )(c + b + a ) ≥ a + b + c + 6 a b 11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + b )n + (1 + a )n ≥ 2n+1 n  N 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng : 1 1 a) ab  4 b)a2 + b2 ≥ 2 1 1 b) c)a4 + b4 ≥ 8 d)a3 + b3 ≥ 4 a2 + b2 13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : a – b ≥ 2 2 1 (a + b)(1 – ab) 1 14/*. Chứng minh rằng – 2  (1 + a2)(1 + b2)  2 b+c 4 15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : bc ≥ b + c b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc 1 1 16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + a )(1+ b ) ≥ 9 g) 15 17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 a) (1 + a )(1+ b )(1+ c ) ≥ 64 8 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc  729 1 1 1 1 18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 1 + a + 1 + b + 1 + c + 1 + d ≥ 3 1 Chứng minh rằng abcd  81 19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc c) (p – a)(p – b)(p – c)  8 1 1 1 1 1 1 d) p – a + p – b + p – c ≥ 2( a + b + c ) e) p < p – a + p – b + p – c < 3p 20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3 23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng a1 a2 an a) a + a + … + a ≥ n 2 3 1 1 1 1 b) (a1 + a2 + … + an)(a + a + …+ a ) ≥ n2 1 2 n c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1 24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh rằng : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2) 1 25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + b(a – b) ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu = 26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng : 3 5 a) 2 a + 3 b ≥ 5 ab b) 55 a  1212 b  1717 ab a6 + b9 c) 4 ≥ 3a2b3 – 16 27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn 28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng : a + b + c ≥ m n  k a m b n c k  m n  k a n b k c m  m n  k a k b m c n 29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng : n a1.a2....an + n b1.b2....bn  n (a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn) 4 (a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3) 1 ≤ 4 a+b+c+d  a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3 31/*.  n  N chứng minh rằng : 30/ Chứng minh rằng : 16 n ( n 1) 2 n ( n 1)  2n  1  2 b) 1.2 .3 .4 …n <    3  1 1 32/*.Cho m,n  N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + m ) m > ( 1 + n )n 33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 (1 + x )(1+ x )…(1+ x ) ≥ (n + 1)n 1 2 n 34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 35/*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai: a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng : 2 a 2 b 2 c 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2  2+ 2+ 2 a +b b +c c +a a b c 81 37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z)  8 (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng : a + b a) log2a + log2b  2 log2 2    log a log b log c 9 b c a   b) 2a + b + b + c + c + a  ≥ a + b + c   39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng : a b c 3 a) b + c + c + a + a + b ≥ 2 a2 b2 c2 a+b+c b) b + c + c + a + a + b ≥ 2 a+b b+c c+a c) c + a + b ≥ 6 a3 b3 c3 d) b + c + a ≥ ab + bc + ca e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc bc ac ab f) a + b + c ≥ a + b + c a2 b2 c2 a+b+c ab bc ca g) b + c + c + a + a + b ≥ ≥ + + 2 a+b b+c c+a 40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc 1 1 2 a+b c+b 41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : a + c = b . Chứng minh rằng : 2a – b + 2c – b ≥ 4 42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 a) a + b + c ≥ 9 b) a2 + 2bc + b2 + 2ac + c2 + 2ab ≥ 9 43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 + k )3 1 1 1 1  2  a) 1 22 . 33. 44…..nn <    n 1 . 2 3 4 n 17 a2 b2 c2 a b c 44/ Cho ba số a ,b ,c  0. Chứng minh rằng : b2 + c2 + a2 ≥ b + c + a 45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng : a–b b–c c–a 1 a) ha + hb + hc ≥ 9r b) a + b + b + c + c + a < 8 Dùng tam thức bậc hai 1/  x , y  R Chứng minh rằng : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0 a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0 c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0 d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y) 2 2 x y  x y f) 3y2 + x2 – 8y + x + 10 ≥ 0     2 g) (xy + yz + zx) ≥ 3xyz(x + y + z) 2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) 3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4 1 5 2 5*/ Cho – 1  x  2 và – 6 < y < 3 ,chứng minh rằng : x2 + 3xy + 1 > 0 a2 6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + 3 a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x a2 b) Chứng minh rằng: 3 + b2 + c2 > ab + bc + ca 7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y . Chứng minh rằng x3 – 3x  y3 – 3y + 4 .Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số : 4 a) y = x2 + x2 1 b) y = x + 2 + x + 2 với x > – 2 1 c) y = x + x – 1 với x > 1 x 1 d) y = 3 + x + 2 với x > – 2 x2 + x + 1 e) y = với x > 0 x 4 9 f) y = x + 1 – x với x  (0;1) 8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: y = x(2 – x) 0 x  2 3 5 y = (2x – 3)(5 – 2x) 2  x  2 2 y = (3x – 2)(1 – x) 3  x  1 18 1 4  x  2 3 3 4 y = 4x – x với x  [0;4] 11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất 12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4 A= abc 13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x y = (2x – 1)(4 – 3x) 19 §2 Bất phương trình bậc nhất I. Khái niệm bất phương trình một ẩn 1. Định nghĩa Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg. Đặt Df  Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn. Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x  5x+3 2. Tập hợp nghiệm Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0  D : f ( x0 )  g ( x0 ) 3. Điều kiện của bất phương trình Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3  x  x  1  x 2 là 3x0 và x+10 4. Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn. Ví dụ: mx+2>5 (tham số m) 5. Hệ bất phương trình một ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó. 3  x  0 Ví dụ: Giải hệ  x  1  0 III. Bất phương trình tương đương 1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Định lý 2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x) + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x) 2.3. Định lí 3 (bình phương): Nếu f(x)  0, g(x) 0 thì f(x) > g(x)  f2(x) > g2(x) * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình. + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương. + Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu. + Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế. * Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7  x > 4 => tập nghiệm là T=(4;  ) b) 2x-10  3x-2  -x  8  x  8 => T=(  ;8] 20
- Xem thêm -
ads ads ads

Tài liệu liên quan

thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
thumb
ads ads ads

Tài liệu vừa đăng

Tài liệu xem nhiều nhất