Tài liệu Bat dang thuc

A - më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Ngµy nay sù ph¸t triÓn cña tÊt c¶ c¸c nghµnh khoa häc c¬ b¶n còng nh øng dông vµo tÊt c¶ c¸c nghµnh c«ng nghiÖp then chèt nh : dÇu khÝ , viÔn th«ng , hµng kh«ng , ®Òu kh«ng thÓ thiÕu to¸n häc. Sù ra ®êi vµ ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña c«ng nghÖ th«ng tin ®· dÉn ®Õn sù bïng næ c¸c øng dông cña to¸n häc, ®a l¹i hiÖu qu¶ to lín cho ®êi sèng x· héi . To¸n häc cã vÞ trÝ ®Æc biÖt trong viÖc n©ng cao vµ ph¸t triÓn d©n trÝ . To¸n häc kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh ( ngêi häc to¸n) nh÷ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n cÇn thiÕt mµ cßn lµ ®iÒu kiÖn chñ yÕu rÌn luyÖn kh¼ n¨ng t duy l«gic , mét ph¬ng ph¸p luËn khoa häc. Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi tËp to¸n ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i chän läc , hÖ thèng bµi tËp , sö dông ®óng ph¬ng ph¸p d¹y häc ®Ó gãp phÇn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t duy cña häc sinh . §ång thêi qua viÖc häc to¸n häc sinh cÇn ®îc båi dìng , rÌn luyÖn vÒ phÈm chÊt ®¹o ®øc, c¸c thao t¸c t duy ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp to¸n trong ®ã cã c¸c bµi tËp vÒ bÊt ®¼ng thøc còng lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n hay gióp häc sinh ph¸t huy cao ®é tÝnh t duy , trÝ tuÖ cho häc sinh. Tuy nhiªn gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc lµ bµi to¸n khã v× ph¹m vi kiÕn tøc réng ®Æc biÖt lµ víi häc sinh THCS . Lµ gi¸o viªn d¹y ë THCS t«i thÊy thùc tr¹ng khi d¹y to¸n bÊt ®¼ng thøc ®ã lµ: - Gi¸o viªn khi d¹y vÒ bÊt ®¼ng thøc chØ ch÷a bµi tËp lµ xong , Ýt khai th¸c , ph©n tÝch ®Ò tµi më réng bµi to¸n míi dÉn ®Õn khi häc sinh gÆp bµi to¸n kh¸c mét chót lµ kh«ng gi¶i ®îc. - Häc sinh thêng ng¹i häc to¸n bÊt ®¼ng thøc v× kiÕn thøc kh«ng liÒn m¹ch, ph¬ng ph¸p gi¶i h¹n chÕ , c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc thêng khã , ph¶i ¸p dông c¸c kiÕn thøc khã nh: quy n¹p to¸n häc, ph¶n chøng nªn häc sinh hay ng¹i vµ häc sinh cha vËn dông ®îc to¸n bÊt ®¼ng thøc vµo ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n khã nh : cùc trÞ , hµm sè ... 1 V× vËy: ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy cho häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc lµ cÇn thiÕt. Trong nh÷ng n¨m gi¶ng d¹y thùc tÕ ë trêng phæ th«ng t«i ®· tÝch luü ®îc mét sè kiÕn thøc vÒ to¸n bÊt ®¼ng thøc xin ®îc tr×nh bµy díi gãc ®é nhá. 2) Môc ®Ých nghiªn cøu. a. §èi víi gi¸o viªn : - N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n phôc vô cho qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y - Lµm quen víi c«ng t¸c nghiªn cøu khoa häc n©ng cao kiÕn thøc b.§èi víi häc sinh: - Gióp häc sinh häc tËp m«n to¸n nãi chung vµ viÖc gi¶i bµi tËp vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc nãi riªng.Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn thøc míi nh»m n©ng cao n¨ng lùc häc m«n to¸n gióp c¸c em tiÕp thu bµi mét c¸ch chñ ®éng, s¸ng t¹o vµ lµm c«ng cô gi¶i quyÕt mét sè bµi tËp cã liªn quan ®Õn bÊt ®¼ng thøc. - G©y ®îc høng thó cho häc sinh khi lµm bµi tËp trong SGK, s¸ch tham kh¶o, gióp häc sinh tù gi¶i ®îc mét sè bµi tËp. - Gi¶i ®¸p nh÷ng th¾c m¾c , söa ch÷a nh÷ng sai lÇm hay gÆp khi gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc trong qu¸ tr×nh d¹y häc. - Gióp häc sinh n¾m v÷ng mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ®ã ®Ó gi¶i bµi tËp . - Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc gióp häc sinh thÊy râ môc ®Ých cña viÖc häc to¸n vµ häc tèt h¬n to¸n bÊt ®¨ng thøc 3) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu lý thuyÕt th«ng qua SGK , tµi liÖu tham kh¶o cña häc sinh t¹i trêng. - Nghiªn cøu qua viÖc rót kinh nghiÖm , häc hái ®ång nghiÖp . - Sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch tæng hîp. 4) NhiÖm vô cña ®Ò tµi. 2 Trong ®Ò tµi nµy ®a ra mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh THCS. Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc , ¸p dông ®Ó lµm bµi tËp . Rót ra mét sè nhËn xÐt vµ chó ý khi lµm tõng ph¬ng ph¸p . Chän läc , hÖ thèng mét sè d¹ng bµi tËp hay gÆp cho phï hîp víi tõng ph¬ng ph¸p gi¶i , c¸ch ®æi biÕn. VËn dông gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc vµo gi¶i to¸n cc trÞ, gi¶i mét sè ph¬ng tr×nh d¹ng ®Æc biÖt . 5)Ph¹m vi ®Ò tµi Ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy cña häc sinh th«ng qua gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc ®èi víi häc sinh líp 8 vµ líp 9. 6) §èi tîng nghiªn cøu vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh §Ò tµi ¸p dông cho häc sinh líp 8, líp 9 vµ trong c¸c giê luyÖn tËp , «n tËp cuèi k× , cuèi n¨m, k× thi häc sinh giái vµ thi tuyÓn vµo THPT . Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh : häc sinh cã kiÕn thøc c¬ b¶n , ®a ra ph¬ng ph¸p gi¶i , bµi tËp ¸p dông, sai lÇm hay gÆp , bµi tËp t gi¶i ( Häc sinh vÒ nhµ tù lµm ) 7) Dô kiÕn kÕt qu¶ cña ®Ò tµi Khi cha thùc hiÖn ®Ò tµi nµy : häc sinh chØ gi¶i ®îc nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n , hay m¾c sai lÇm ,hay gÆp khã kh¨n , ng¹i lµm bµi tËp vÒ bÊt ®¼ng thøc. NÕu thùc hiÖn ®îc ®Ò tµi nµy th× häc sinh cã høng thó khi gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc , lµm bµi tËp tèt h¬n, tù gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi tËp bÊt ®¼ng thøc cã d¹ng t¬ng tù , h¹n chÕ ®îc rÊt nhiÒu sai lÇm khi gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc. B – NéI DUNG 3 PhÇn I : ¸p dông gi¶i to¸n bÊt ®¼ng thøc trong ®¹i sè ë trêng thcs I/ Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc 1. §Þnh nghÜa : Cho 2 sè a vµ b ta nãi : a lín h¬n b, kÝ hiÖu : a>b  a- b>0 a nhá h¬n b, kÝ hiÖu : ab  bb, b>c  a>c 2.3.TÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña phÕp céng : céng cung mét sè vµo hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc: a>b  a+c>b+c. 2.4.Céng tõng vÕ hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ®îc bÊt ®¼ng thøc míi cïng chiÒu víi bÊt ®¼ng thøc ®· cho: a>b, c > d  a+c > b+d * Chó ý : Kh«ng ®îc trõ tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu. 2.5.Trõ tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc ngîc chiÒu ®îc bÊt ®¼ng thøc míi cïng chiÒu víi bÊt ®¼ng thøc bÞ trõ. NÕu a > b , c > d th× a-c > b-d 2.6. TÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña phÐp nh©n : a) Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè d¬ng . a > b , c>0  a.c > b.c b) Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè ©m a >b , c<0  a.c b ≥0 , c>d≥ 0 th× ac>bd 2.8. N©ng lªn luü thõa bËc nguyªn d¬ng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc a>b>o  an >bn. 4 a>b  an >bn víi n= 2k ( k  Z) 2.9. So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò nguyªn d¬ng Víi m > n > 0 : - NÕu a >1 th× am > an. - NÕu a=1 th× am = an. - NÕu 0 b >0 hoÆc a< b<0 th× : 1 1  a b hoÆc 1 1  a b *Chó ý : Ngoµi c¸c bÊt ®¼ng thøc chÆt ( a>b) ta cßn gÆp c¸c bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt (a≥ b) tøc lµ a>b hoÆc a=b Trong c¸c tÝnh chÊt nªu trªn nhiÒu tÝnh chÊt dÊu “ >” ( hoÆc dÊu “<” ) cã thÓ thay bëi dÊu “≥” ( hoÆc dÊu “ ≤ “ ) 3.C¸c bÊt ®¼ng thøc cÇn nhí 3.1 a2 ≥ 0; - a2≤ 0 §¼ng thøc x¶y ra khi a=0 3.2 │a│ ≥ 0 §¼ng thøc x¶y ra khi a=0 3.3 - │a│ ≤ a ≤ │a│ §¼ng thøc x¶y ra khi a=0 3.4 │a+b│≤ │a│+│b│ §¼ng thøc x¶y ra khi ab≥ 0 3.5 │a-b│≥ │a│-│b│ §¼ng thøc x¶y ra khi a≥ b≥ 0 hoÆc a≤ b≤ 0 *Chó ý : Mét sè bÊt ®¼ng thøc chøng minh ®¬n gi¶n hay ®îc ¸p dông :  a+b ≥2 ab víi mäi a,b ≥ 0 . §¼ng thøc x¶y ra khi a=b (BÊt ®¼ng thøc C« si cho hai sè kh«ng ©m)  a2 + b2 ≥ 2ab víi mäi a,b . §¼ng thøc x¶y ra khi a=b 5  (a+b) ≥ 4ab hay 2  a  b  2 ab 2 víi mäi a,b . §¼ng thøc x¶y ra khi a=b  1/a + 1/b ≥ 4/a+b víi mäi a,b>0 . §¼ng thøc x¶y ra khi a=b  a/b+ b/a ≥2 víi ab>0 . §¼ng thøc x¶y ra khi a=b  (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) víi mäi a,b ,x,y. §¼ng thøc x¶y ra khi a/b=x/y. II- Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc trong ®¹i sè 1. Ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa 1.1. C¬ së to¸n häc: A ≥B  A-B ≥ 0 §Ó chøng minh A ≥B ta chøng minh A-B ≥ 0 T¬ng tù ®Ó chøng minh A ≤ B ta chøng minh A-B ≤ 0. 1.2. VÝ dô minh ho¹ VÝ dô 1: Chøng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 víi mäi x,y Gi¶i: XÐt hiÖu 2(x2+y2) – (x+y)2 = 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2 = (x-y)2 VËy 2(x2+y2) 0 x, y ( x  y ) 2 x, y .DÊu “=” x¶y ra khi x=y . DÊu “=” x¶y ra khi x=y VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: NÕu a b th× a3 b 3 Gi¶i: XÐt hiÖu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2) 0 Thõa sè (a-b) 0 do gi¶ thiÕt a b Thõa sè (a2+ab+b2) = a2+2a b  b 2 4 = (a+ b )2+ 3b 2 4 6 2 2  3b 2 4 Do (a+ b )2 0 ; 2 3b 2 0 4 nªn a2+ab+b2 0 VËy a3- b3 0 suy ra a3  b3 VÝ dô 3: Chøng minh 3x2+y2 + z2 +1  2x(y +z+1) Gi¶i: XÐt hiÖu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1) = 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2 = (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1) = (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 V× (x-y)2 0 x, y V× (x-z)2 0 x, z V× (x-1)2 0 x,1 Nªn: (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 0, x, y , z Hay 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1) 0, x, y , z VËy 3x2+y2 + z2 +1  2x(y +z+1) , x, y , z Bµi tËp tù gi¶i: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 1) a3  b3  a  b    2  2  3 víi a>0 ,b>0 2) x3 + 4x + 1 > 3 x2 víi x ≥ 3 3) c2 + d2 +cd ≥ 3ab víi a+b = c+d 2)Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng 2.1 C¬ së to¸n häc §Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc A  B ta biÕn ®æi t¬ng ®¬ng( dùa vµo c¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc ) : A  B  …  C D Cuèi cïng ®¹t ®îc bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc hiÓn nhiªn C D 7 V× c¸c phÐp biÕn ®æi ®Òu lµ t¬ng ®¬ng nªn A  B §Ó dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ta ®Òu chó ý c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: (A B)2 = A2 2AB+B2 (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC 2.2 VÝ dô minh ho¹ VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:  a,b,c ta lu«n cã: a2+b2+c2  ab+bc+ca Gi¶i: Ta cã: a2+b2+c2  ab+bc+ca (1)  2a2+2b2+2c2  2ab+2bc+2ac  2a2+2b2+2c2- 2ab-2bc-2ac 0  (a2-2ab+b2) + (b2-2bc+c2) + (c2-2ac+a2) 0  (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 0 (2) V× a-b)2 0 a, b ; (b-c)2 0 b, c (c-a)2 0 a, c ; Nªn (2) ®óng do ®ã (1) ®óng  a,b,c DÊu “=” x¶y ra  a  b  c VÝ dô 2: Chøng minh r»ng Gi¶i: b c a    0 0 0 a4+b4  a3b+ab3 a4+b4  a3b+ab3  ( a4 – a3b)+(b4-ab3) 0  a3(a-b) – b3(a-b) 0  (a-b)(a3-b3) 0  (a-b)2(a2+ab+b2) 0   a b c  b 2 3b 2   (a  2 )  4   (a-b)2  8  0 a, b BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng do ®ã a4+b4  a3b+ab3 VÝ dô 3: Chøng minh a3  b3  a  b    2  2  a3  b3  a  b    2  2  Gi¶i:  a 2  ab  b 2  a, b 3  3 víi a>0 ,b>0 a b 2 (a 2 – ab + b2) ≥ a  b  a  b 2 . 2 4  a  b  2 (v× a>0, b>0 suy ra a+b>0) 4  4a 2  4ab  4b 2 a 2  2ab  b 2  3a 2  6ab  3b 2 0    3 a 2  2ab  b 2 0 2  3 a  b  0 BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng suy ra a3  b3  a  b    2  2  3 2.3 Chó ý : - SÏ m¾c sai lÇm nÕu trong lêi gi¶ trªn thay c¸c dÊu “  ”b»ng c¸c dÊu “  ” ThËt vËy ,nÕu (1)  (2) mµ bÊt ®¼ng thøc (2) ®óng th× cha thÓ kÕt luËn ®îc bÊt ®¼ng thøc (1) cã ®óng hay kh«ng -Khi sö dông phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ,häc sinh thêng bá qua c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cã ®iÒu kiÖn dÉn ®Õn kh«ng chÆt chÏ .V× vËy cÇn lu ý c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cã ®iÒu kiÖn ,ch¼ng h¹n nh ë vÝ dô 3 2.4. Bµi tËp tù gi¶i :Chøng minh r»ng 1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 a(b + c + d + e) víi mäi a,b,c,d,e 2, a2  2 a 2 1 2a  R 9 3) x x 1 2x  1 3) Ph¬ng ph¸p dïng c¸c tÝnh chất cña bất đẳng thức 3.1. Cơ sở to¸n học - Xuất ph¸t từ c¸c bất đẳng thức đã biết vận dụng c¸c tÝnh chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh - Thường là ¸p dụng c¸c tÝnh chất cơ bản của bất đẳng thức (đã ®Òu ë phÇn trªn) 3.2. VÝ dô minh hoạ 1 VÝ dô 1: Cho a+b >1 chứng minh a4 + b4 > 8 Gi¶i Ta cã a+b>1>0 (1) B×nh phương hai vế của (1) ta được : ( a+b)2 >1  a2 +2ab+ b2>1 (2) Mặt khác (a-b)2≥0  a2 – 2ab +b2 ≥0 (3) cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2+b2) >1  ( a2+b2)> 1 2 bình phương hai vế của (4) ta được : 1 a4+2a2b2+b4 > 4 (5) Mặt khác : (a2-b2)≥0  a4 – 2a2b2 +b4 ≥0 cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 10 (6) 1 2(a4 +b4) > 4 1 hay a4 +b4 > 8 (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a2b(a-b) +b2c(b-c) + c2a(c-a) ≥ 0 Giải Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng tương đương sau: a3b + b3c + c3a ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 (1) do vai trò bình đẳng giữa a,b,c nên không giảm tính tổng quát có thể giả sử rằng a≥b≥0 Xét hai dãy sau: bc, ac, ab và a2 + bc, b2 + ac, c2 + ab Ta có 0< bc≤ac≤ab còn a2 + bc≥ b2 +ac ≥ c2 +ab >0 ( thật vậy : a2 + bc ≥b2 + ac  a2 – b2 +bc - ac≥0  (a + b )(a- b) - c( a – b)≥ 0  (a – b)(a + b –c ) ≥ 0 (*) do a ≥b và a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên (*)đúng ) ¸p dụng tính chất của bất đẳng thức với hai dãy ngược chiều , ta có : bc(a2 + bc)+ ac(b2 +ac)+ab(c2 +ab) ≤ bc(b2 +ac)+ac(c2 + ab) + ab( a2 + bc)  b2c2 + a2c2 + a2b2 ≤ a3b +b3c + c3a Vậy (1) đúng và đó là điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c ( tam giác đã cho là tam giác đều ) 11 Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 ≤ 2 thì a + b ≤ 2 Giải : Ta có : ( a – b )2 ≥ 0  a2 + b2 ≥ 2ab Từ giả thiết a2 + b2 ≤ 2 Suy ra -a2 – b2 ≥ -2 (1) (2) cộng từng vế của (1) và (2) ta được: 0 ≥ 2ab – 2 hay 2ab ≤ 2 (3) Kết hợp (3) với giả thiết a2 + b2 ≤ 2 suy ra : (a + b)2 ≤ 4 hay │a + b│ ≤ 2 Nhưng │a + b│≥ a + b . Do đó a + b ≤ 2 (đpcm) 3.3 . Chú ý: * Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau : 1) a > b; c > d  a – c > b – d 2) Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm hay không : a>b;c>d  ac > bd 3) Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có âm hay không : a > b  a2 > b2 4) Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng: a b c > d  ad > bc 12 5) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có cùng dấu hay không : a > b  1 1  a b * Khi làm tròn một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội từng nhóm . Ta xÐt ví dụ sau : Chứng minh r»ng mọi số tự nhiên n≥ 2 thì : 1 1 1 1    ......  n 2 3 4 2 1 1+ 0; b>0 ) a 2  b 2  c 2  d 2 4 abcd a4  b4  1 8 với a+b =1 13 4/ 1 1 1 n 1  2  .....  2  2 n 2 3 n 4) Phương pháp quy nạp toán học Cơ së to¸n häc 4.1.1 Néi dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học . Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n nếu : . Mệnh đề đúng với n=1 . Từ giả thiết đúng với n=k (k  N ) Suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k+1 Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước: Bước 1 : chứng minh mệnh đề T (1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng với n=1) Bước 2 : giả sử mệnh đề T (k) đúng . Ta phải chứng minh mệnh đề T (k+1) cũng đúng Bước 3 : Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n 4.2 Một số ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1 : với x > -1 thì (1 + x )n ≥ 1 + n trong đó n là số nguyên dương bất kì Giải + Với n=1 ta có bất đẳng thức đúng 1+x ≥ 1 + x + Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k tức là : 14 (1  x ) k 1  kx Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 , tức là phải chứng minh (1  x) k 1 1  ( k  1) x Thật vậy , theo giả thiết : 1+x >0 Ta có : ( 1+k)k (1+x) ≥ (1+kx) (1+x)  (1  x) k 1 1  (k  1) x  kx 2 Mà kx2 ≥ 0 nên 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+ (k+1)x Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi x=0 Ví dụ 2: Cho a; b là những số không âm; n là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng: n an  bn  a b    2  2  (1) Giải a b a b  2 2 *Với n=1 thì (1) trở thành (hiển nhiên đúng với mọi a;b không âm) *Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có: k ak  bk  a b    2  2  (2) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với n= k+1, nghĩa là phải chứng minh:  a b    2  k 1  a k 1  b k 1 2 Từ (2) và do a;b không âm nên suy ra: 15 (3)  a b    2  k 1  ak  bk  2   a  b      2  (4) Ta sẽ chứng minh rằng:  ak  bk  2    a  b  a k 1  b k 1    2  2  (5) thật vậy(5)     a k  b k  a  b   a k 1  b k 1  a k 1 b k 1  k  k  a b  ab 0    a  b  a  b k 0 2 k    a  b a k1   a k  2 b  ...  ab k  2  b k  1 0 Do a ,b không âm nên bất đẳng thức cuối đúng , vậy (5) đúng. Từ (4) và(5) theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (3) đúng . Vậy (1) đúng vơi mọi n là số tự nhiên khác 0 . Dấu “=” xảy ra khi :  Nếu n=1 thì dấu đẳng thức có với mọi a, b không âm  Nếu n > 1 thì dấu đẳng thức có khi a = b 4.3 Chú ý : Nếu cả hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học . Khi sử dụng phương pháp này phải hiểu kỹ các bước chứng minh , các phép biến đổi tương đương , tinh chất của bất đẳng thức 4.4 Bài tập tự giải: chứng minh rằng : 1/ với mọi n > 2 ta có 2n > 2n+1 2/ với mọi n > 9 ta có 2n > n4 16 5)Phương pháp sử dụng giả thiết hoặc 1 bất đẳng thức đã biết 5.1 Cơ së to¸n häc Trong nhiếu bài toán để việc chứng minh bất đẳng thức được gọn ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh , nhất là các bất đẳng thức : Côsi , BunhiaCôpxki … 5.2 Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta luôn có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Giải Ta bắt đầu biến đổi từ một bất đẳng thức đã biết : ( a – b)2 ≥ 0  a2 + b2 ≥ 2ab (1) Tương tự : b2 + c2 ≥ 2bc (2) c2 + a2  2ac (3) Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1) , (2), (3) ta có : 2a2 + 2b2 + 2c2  2ab + 2bc + 2ca Chia hai vế của bất đẳng thức này cho 2 ta có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (đpcm) Ví dụ 2 : cho a, b thoả mãn 3a – 4b = 7.Chứng minh rằng: 3a2 +4b2 ≥ 7 Gi¶i Có 3a – 4b = 3. 3 a – 2.2.b = 7. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Côpxki cho bốn số được : 17 3; 3.a; 2;2b ta 72 = (3a – 4b)2 = ( 3. 3.a - 2.2.b)2 ≤ (3 + 4).(3a2 + 4b2)  7 ≤ 3a2 + 4b2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 3 3  2b   2 a = 1; b = -1. 5.3 Chú ý : Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý : sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có được bất đẳng thức cần áp dụng . Nếu kh«ng sẽ dẫn đến sai lầm , thiếu sót. Ví dụ : cho a ; b 0 . Chứng minh rằng : a2 b2 a b  2  3   + 2 b a b a 4 ≥ 0 (1) Có một số học sinh giải như sau : Ta có (1)  a2 b2   a b  9  1    2  2  2   3      0  a   b a  4 4  b a b a b      2 .   1 0 b a b a  Vì a b    2  b a (2) luôn đúng với Vậy (1) luôn đúng với a; b 0 2  a b 3 1      0  b a 2 4 (2) a; b o (đpcm) Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức a b    2 b a với điều kiện a; b không đúng Lời giải đúng Cách 1 : Đặt x = dấu  x 2 Khi đó ; hoặc a b a b a b     x     2 b a b a b a   vì a b x  2 a2 b2  x 2  2 b2 a2 Bất đẳng thức (1)  x 2  3x  2 0 18 và b a cùng XÐt bất phương trình : t2 – 3t + 2≥ 0  (t  2)(t  1) 0  t≥2 hoặc t ≤ 1 Từ x≥ 2hoặc x ≤ -2  x nằm trong miền nghiệm của bât phương trình đã xét Vậy x thoả mãn t2 – 3t + 2 tức là x2-3x+2 Mà (1) 0 đúng  x 2  3 x  2 0  (1) đúng a2 Vậy ta có : b 2 b2 a b  3    4 0 2 a b a  Cách 2: (1)  a 4  b 4  4a 2 b 2  3a 3 b  3ab 3 0 a 2b 2  a4 + b4 – 2a2b2+6a2b2- 3a3b – 3ab3 ≥0 ( vì a2b2> 0 )   a2  b2  2 2    3ab a 2  2ab  b 2 0 2 2   a  b   a  b   3ab a  b  0 2  b 3b 2  2    a  b   a     0 2 4    (2) (2) luôn đúng . Vậy (1) đúng 5.4 Bài tập tự giải 1/ Chứng minh r»ng nếu các số dương a ; b ; c có tổng a + b +c =1 thì : 1 1 1   9 a b c 2/cho x ; y  R, x; y 0 và x2 + y2 =1. chứng minh rằng : 3/ cho a 1; b 1 . chứng minh rằng : a 6) Phương pháp phản chứng 19 1 b  1  b a  1 ab 2  x 3  y 3 1 6.1 Cơ sở toán học : Gọi mệnh đề cần chứng minh là mệnh đề “A  B”. Phép toán mệnh đề cho ta A  B  A  B  A  B  AB Như vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau : 1/Dùng mệnh đề phản đảo : B  A 2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết 3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau 4/Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng 5/ Phủ định luận để rồi suy ra kết luận của A B  B 6.2 Ví dụ : Ví dụ 1; cho a2 + b2 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2 Giải Giả sử a + b >2 Vì hai vế đều dương nên bình phương hai vế ta được : (a + b)2 > 4  a2 + 2ab + b2 >4 (1) Mặt khác ta có ; 2ab < a2 + b2  a2 + 2ab + b2 ≤ 2(a2 + b2) Mà a2 + b2 ≤ 2 (gt)  2(a2 + b2)≤ 4 . Do đó a2 + 2ab + b2<4 Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1) Vậy a + b ≤ 2 20 (2)