1
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Trêng ®¹i häc vinh
tr¬ng ®øc thanh
bao ®Çy ®ñ cña vµnh vµ m«®un
chuyªn ngµnh: ®¹i sè & lý thuyÕt sè
m· sè: 60.46.05
luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Người hướng dẫn khoa học:
ts. nguyÔn thÞ hång loan
Vinh - 2009
Môc lôc
Trang
Më ®Çu……………………………………………………………………………… ...
1
Ch¬ng I. KiÕn thøc chuÈn bÞ……………………………………………… .
4
1.1. I®ªan nguyªn tè, i®ªan cùc ®¹i………………………………...
4
1.2. C¸c phÐp to¸n trªn c¸c i®ªan…………………………………..
4
1.3. Kh«ng gian t«p«……………………………………………….
5
2
1.4. Giíi h¹n ngîc…………………………………………………
1.5. Vµnh ®Þa ph¬ng……………………………………………….
7
9
1.6. C¨n Jacobson…………………………………………………..
10
1.7. M«®un h÷u h¹n sinh…………………………………………...
10
1.8. M«®un
Noether………………………………………………...
10
1.9. M«®un
ph¼ng…………………………………………………..
11
Ch¬ng II. Bao ®Çy ®ñ cña Vµnh vµ m«®un………………………… ..
13
2.1. §Þnh nghÜa……………………………………………………..
13
2.2 Bao ®Çy ®ñ I adic……………………………………………..
14
2.3 Mét sè tÝnh
chÊt………………………………………………...
16
KÕt luËn …………………………………………………………………………… .
28
Tµi liÖu tham kh¶o…………………………………………………………… ...
29
Më ®Çu
Bao ®Çy ®ñ cña vµnh vµ m«®un ®· ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi
nh Krull, Zariski, I.S. Cohen… quan t©m vµ nghiªn cøu.
Cho A lµ mét vµnh, M lµ mét A - m«®un, lµ mét tËp ®Þnh híng. Gi¶
sö M lµ mét hä c¸c m«®un con cña M ®îc chØ sè ho¸ bëi sao cho
nÕu th× M M . Ta lÊy M nh lµ mét hÖ c¸c l©n cËn cña 0 . Khi
®ã M trë thµnh mét nhãm t«p« ®èi víi phÐp céng. Trong t«p« nµy, víi x M
3
th× hÖ c¸c l©n cËn cña x lµ x M . Trong M , phÐp céng, phÐp trõ vµ
phÐp nh©n víi v« híng x a ax víi a A lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi M A
th× mçi M lµ mét i®ªan nªn phÐp nh©n: (a M )(b M ) ab M lµ ¸nh
x¹ liªn tôc. T«p« nµy ®îc gäi lµ t«p« tuyÕn tÝnh trªn M vµ nã lµ t«p« t¸ch
(tøc lµ Hausdorff) khi vµ chØ khi
I
M 0 . Víi ta cã mét ¸nh x¹ tuyÕn
tÝnh tù nhiªn : M M M M . Do ®ã cã thÓ x©y dùng mét hÖ ngîc
su
u
M M ; c¸c A - m«®un. Khi ®ã giíi h¹n ngîc limuM M
®îc gäi lµ bao
®Çy ®ñ cña M vµ ký hiÖu lµ M .
ˆ
ˆ
Cho : M M lµ ¸nh x¹ A - tuyÕn tÝnh tù nhiªn. Khi ®ã lµ ¸nh x¹ liªn
ˆ
tôc vµ ( M ) trï mËt trong M . Víi mçi phÐp chiÕu p : M M M , ®Æt
ˆ
*
ˆ
ker pr M . DÔ thÊy r»ng t«p« cña M trïng víi t«p« tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi
ˆ
*
hä M . V× p lµ toµn ¸nh nªn M
*
M
M
ˆ
M vµ bao ®Çy ®ñ cña M l¹i
ˆ
trïng víi M . NÕu : M M lµ mét ®¼ng cÊu th× ta nãi m«®un M lµ ®Çy ®ñ
ˆ
(theo t«p« ®· cho). Khi M A th× M
,
M
trë thµnh mét hÖ ngîc c¸c
*
ˆ
ˆ
vµnh, M A lµ mét vµnh vµ : A A lµ mét ®ång cÊu vµnh. M A
ˆ ˆ
kh«ng ph¶i lµ mét A - m«®un con nhng l¹i lµ mét i®ªan cña A .
ˆ
Trong sè nh÷ng t«p« tuyÕn tÝnh th× nh÷ng t«p« ®îc x¸c ®Þnh bëi c¸c i®ªan
lµ ®Æc biÖt quan träng. Cho I lµ mét i®ªan cña A vµ M lµ mét A - m«®un,
t«p« trªn M x¸c ®Þnh bëi I n M n 1,2... ®îc gäi lµ t«p« I - adic. Víi t«p« nµy
4
th× A vµ M cña A vµ M t¬ng øng ®îc gäi lµ bao ®Çy ®ñ I - adic cña A vµ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
M . DÔ thÊy r»ng M lµ mét A - m«®un.
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ dùa vµo c¸c tµi liÖu tham kh¶o ®Ó t×m hiÓu, tæng
ˆ
ˆ
hîp vµ tõ ®ã tr×nh bµy mét c¸ch cã hÖ thèng vÒ bao ®Çy ®ñ A vµ M cña vµnh
A vµ m«®un M .
Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o, néi dung cña luËn v¨n
®îc chia thµnh 2 ch¬ng. §Ó dÔ theo dâi néi dung chÝnh cña luËn v¨n, ch¬ng
®Çu tiªn chóng t«i tr×nh bµy (kh«ng chøng minh) c¸c kiÕn thøc c¬ së vÒ §¹i sè
giao ho¸n vµ T«p« liªn quan ®Õn c¸c kÕt qu¶ vµ chøng minh ë ch ¬ng sau.
Trong Ch¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch¬ng
nµy chóng t«i sÏ tr×nh bµy vÒ kh¸i niÖm vµ chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña
ˆ
ˆ
bao ®Çy ®ñ A vµ M cña vµnh A vµ m«®un M .
LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc Vinh nhê sù híng dÉn,
gióp ®ì, chØ b¶o tËn t×nh cña TS. NguyÔn ThÞ Hång Loan. Nh©n dÞp nµy t«i xin
bµy tá lßng c¶m ¬n ch©n thµnh vµ sù biÕt ¬n s©u s¾c tíi c«, ngêi ®· tËn t×nh
gióp ®ì chóng t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu. Chóng t«i còng xin
göi lêi c¶m ¬n tíi c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Bé m«n §¹i sè vµ lý thuyÕt sè
®· gi¶ng d¹y vµ chØ b¶o nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ®Ò tµi nghiªn cøu. Chóng
t«i xin c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc, Ban gi¸m
hiÖu Trêng §¹i häc Vinh, trêng THPT 1-5 NghÜa §µn, c¸c ®ång nghiÖp, b¹n
bÌ vµ c¸c b¹n häc viªn líp Cao häc 15 chuyªn ngµnh §¹i sè vµ lý thuyÕt sè ®·
gióp ®ì vµ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho chóng t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ
hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
Vinh, ngµy 05 th¸ng 12 n¨m 2009.
T¸c gi¶: Tr¬ng §øc Thanh
5
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ së cña §¹i sè
giao ho¸n vµ t«p« liªn quan ®Õn c¸c chøng minh cña ch¬ng tiÕp theo. Sau ®©y
ta lu«n xÐt lµ vµnh là giao ho¸n, cã ®¬n vÞ, Noether.
1.1 I®ªan nguyªn tè, i®ªan cùc ®¹i
§Þnh nghÜa. Cho I lµ mét i®ªan cña vµnh A . Khi ®ã
(i) I ®îc gäi lµ i®ªan nguyªn tè nÕu I A vµ víi mäi x, y A mµ xy I th×
x I hoÆc y I .
(ii) I ®îc gäi lµ i®ªan cùc ®¹i nÕu I A vµ kh«ng tån t¹i i®ªan J A sao
cho J thùc sù chøa I .
1.2 C¸c phÐp to¸n trªn c¸c i®ªan
1.2.1 Tæng c¸c i®ªan. (i) Cho I , J lµ c¸c i®ªan cña vµnh A . Khi ®ã
I J a b | a I ,b J
lµ i®ªan cña vµnh A vµ ®îc gäi lµ tæng cña hai i®ªan I vµ J ;
6
(ii) Cho I j
j S
j S
lµ mét hä tuú ý c¸c i®ªan cña vµnh A . Khi ®ã
I j { a j | a j I j , a j 0 hÇu hÕt chØ trõ mét sè h÷u h¹n a 0}
j
j S
lµ i®ªan cña vµnh A vµ ®îc gäi lµ tæng cña hä c¸c i®ªan I j
j S
.
1.2.2 §Þnh nghÜa. Cho I , J lµ c¸c i®ªan cña vµnh A . NÕu I J A th× ta nãi
I , J nguyªn tè cïng nhau.
1.2.3 TÝch cña c¸c i®ªan. Cho I , J lµ c¸c i®ªan cña vµnh A . Khi ®ã kÝ hiÖu
IJ lµ i®ªan sinh bëi tÊt c¶ c¸c phÇn tö d¹ng ab , trong ®ã a I , b J . Tøc lµ
n
IJ aibi | ai I , bi J , n � .
i 1
I®ªan IJ ®îc gäi lµ tÝch cña i®ªan I vµ J .
§Æc biÖt, cho I lµ i®ªan cña A vµ n � th×
m
I ai1 ai2 ...ain | ai j I , m � .
i 1
n
1.2.4 §Þnh lý. NÕu I1 , I 2 ,..., I n lµ c¸c i®ªan ®«i mét nguyªn tè cïng nhau th×
A I1...I n A I1 ... A I n .
1.3 Kh«ng gian t«p«
1.3.1 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« lµ mét cÆp ( X , ) , trong ®ã X lµ mét tËp
hîp, lµ mét hä c¸c tËp con cña X tho¶ m·n:
(i) , X ;
(ii) U ,V U V ;
(iii) U t , t T
UU .
t T
t
1.3.2 §Þnh nghÜa. Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«. ¸nh x¹ f : X Y ®îc gäi lµ liªn tôc t¹i x0 X , nÕu víi mäi l©n cËn V cña f ( x0 ) Y , tån t¹i l©n
cËn U cña x0 sao cho f (U ) V .
NÕu f liªn tôc t¹i mäi phÇn tö x X , th× f ®îc gäi lµ liªn tôc trªn X .
7
1.3.3 §Þnh lý. Gi¶ sö f : X Y vµ g : Y Z lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc gi÷a c¸c
kh«ng gian t«p«. Khi ®ã ¸nh x¹ hîp thµnh
h g of : X Z
còng liªn tôc.
1.3.4 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«, A, B X , A , B lµ c¸c bao
®ãng cña A, B trong X . A, B gäi lµ t¸ch ®îc nÕu A B A B .
1.3.5 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« ( X , ) ®îc gäi lµ T1 - kh«ng gian, nÕu víi hai
phÇn tö kh¸c nhau x, y X , tån t¹i tËp më U chøa x nhng kh«ng chøa y .
1.3.6 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ T2 - kh«ng gian hoÆc kh«ng
gian Hausdorff, nÕu víi mçi cÆp x, y X , x y , th× tån t¹i c¸c l©n cËn U
cña x , V cña y sao cho: U V .
1.3.7 §Þnh lý. NÕu X lµ T2 - kh«ng gian th× X lµ T1 - kh«ng gian.
1.3.8 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ T3 - kh«ng gian hoÆc kh«ng
gian chÝnh quy, nÕu X lµ T1 - kh«ng gian vµ víi mäi phÇn tö x X , mäi tËp
F ®ãng, sao cho x F , tån t¹i c¸c tËp më U ,V sao cho mäi phÇn tö
x U , F V vµ U V .
1.3.9 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ T4 - kh«ng gian hoÆc kh«ng
gian chuÈn t¾c, nÕu X lµ T1 - kh«ng gian vµ víi hai tËp ®ãng rêi nhau bÊt kú
A, B lu«n tån t¹i c¸c tËp më U ,V sao cho U A , V B , U V .
1.3.10 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö ( X , ) lµ kh«ng gian t«p«, M lµ mét tËp con cña
X . §Æt: M V M U : U .
Khi ®ã M lµ mét t«p« trªn M . CÆp ( X , M ) ®îc gäi lµ kh«ng gian con cña
( X , ) ; M ®îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi .
1.3.11 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trong kh«ng gian t«p«
X . Gäi X lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng, i : X X lµ ¸nh x¹ th¬ng, tøc lµ
%
¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi i ( x) x , trong ®ã x lµ líp t¬ng ®¬ng chøa x . T«p« x¸c
%
8
®Þnh bëi ¸nh x¹ i ®îc gäi lµ t«p« th¬ng. §ã lµ t«p« m¹nh nhÊt trªn X sao
cho i liªn tôc.
TËp X víi t«p« th¬ng ®îc gäi lµ kh«ng gian th¬ng.
1.3.12 MÖnh ®Ò. Gi¶ sö f : X
Y lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian th¬ng X vµo
kh«ng gian t«p« Y . Khi ®ã, f liªn tôc khi vµ chØ khi f oi : X Y liªn tôc.
1.3.13 T«p« tuyÕn tÝnh. Cho A là một vành, và cho F là một tập c¸c i®ªan
của A sao cho bất kỳ 2 i®ªan I1 , I 2 F th× tồn tại I 3 F1
được chứa trong I1 I 2
. Khi đã chóng ta cã thể định nghĩa một t«p« trªn A bởi lấy x I | I F như
một hệ cơ bản của l©n cận điểm x với mỗi x A . Chóng ta thấy một c¸ch trực
tiếp rằng trong t«p« này với phÐp cộng và phÐp nh©n c¸c ¸nh x¹ liªn tục. Nãi
c¸ch kh¸c A là một vành t«p«.
T«p« trªn một vành x©y dùng theo c¸ch này được gọi là t«p« tuyÕn tÝnh.
Cho M là một A - m«®un, ta định nghĩa một t«p« tuyÕn tÝnh trªn M theo
phương ph¸p nµy b»ng c¸ch thay c¸c i®ªan bởi c¸c m«®un con.
1.4 Giíi h¹n ngîc
Mét tËp s¾p thø tù I ®îc gäi lµ mét tËp ®Þnh híng nÕu víi mäi i, j I ®Òu tån
t¹i k I ®Ó i k vµ j k .
1.4.1 §Þnh nghÜa. Cho I lµ mét tËp ®Þnh híng. Gi¶ sö M i i I lµ mét hä c¸c A m«®un vµ víi mçi cÆp i j cã ®ång cÊu A - m«®un ji : M j M i . Khi ®ã hä
M
i
i I
cïng víi hä ( ji )i j ®îc gäi lµ mét hÖ ngîc nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶
m·n:
(i) ii lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn M , víi mäi i I ;
(ii) ki ji kj tøc biÓu ®å sau giao ho¸n
kj
Mk
Mj
9
kj
ji
Mi
víi mäi i j k . Ta kÝ hiÖu hÖ ngîc nµy lµ ( M i , ji ) .
1.4.2 §Þnh nghÜa. Giíi h¹n ngîc (hay giíi h¹n néi x¹) cña mét hÖ ngîc c¸c A m«®un ( M i , ji ) lµ mét A - m«®un M cïng víi hä c¸c A - ®ång cÊu ( f i )i I ,
trong ®ã f i : M M i sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n:
(i) ji f j fi , tøc biÓu ®å sau giao ho¸n
fj
Mj
M
ji
fi
Mi
víi mäi i j ;
(ii) NÕu M ' lµ mét A - m«®un M cïng víi hä c¸c A - ®ång cÊu ( g i )i I , trong ®ã
g i : M ' M i tho¶ m·n ji g j g i , tøc biÓu ®å sau giao ho¸n
gj
Mj
M
ji
gi
Mi
víi mäi i j , th× tån t¹i duy nhÊt mét A - ®ång cÊu : M ' M sao cho
f i gi víi mäi i I .
1.4.3 §Þnh lý. Giíi h¹n cña mét hÖ ngîc c¸c A - m«®un ( M i , ji ) lu«n tån t¹i vµ
duy nhÊt sai kh¸c mét ®¼ng cÊu. Ngêi ta kÝ hiÖu giíi h¹n ngîc nµy lµ limM i .
suu
u
10
1.4.4 NhËn xÐt. Trong trêng hîp tËp ®Þnh híng lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, th× hä
M
n
n 0
cïng hä ®ång cÊu ( n : M n M n 1 ) n 1 lµ mét hÖ ngîc, vµ viÕt gän lµ
( M n , n ) . Còng cÇn lu ý r»ng ji : M j M i víi j i ®îc hiÓu lµ
ji i 1... j 1 j .
Nh vËy thùc chÊt ( n ) chØ lµ hÖ sinh cña hä c¸c ®ång cÊu ( ji ) . Khi ®ã
limM n ( xi ) | i 1 ( xi 1 ) xi , i 0 .
suu
u
1.4.5 VÝ dô. Gi¶ sö R A X 1 , X 2 ,..., X d lµ mét vµnh ®a thøc d biÕn trªn vµnh
giao ho¸n A vµ I X 1 , X 2 ,..., X d lµ i®ªan cña R . Khi ®ã hÖ R I n
cïng
n 0
hä toµn cÊu tù nhiªn n : R I n R I n1
n1
lËp thµnh mét hÖ ngîc. Cã thÓ kiÓm
tra ®îc r»ng lim R I n A X 1 , X 2 ,..., X d
suu
u
lµ vµnh c¸c chuçi luü thõa h×nh thøc trªn A cña c¸c biÕn X 1 , X 2 ,..., X d .
1.4.6 §Þnh lý. Giíi h¹n ngîc lµ hµm tö khíp tr¸i trªn ph¹m trï c¸c A - m«®un,
nghÜa lµ, nÕu
0
M t Nt Pt
lµ d·y khíp c¸c hÖ ngîc c¸c A - m«®un th×
0 limM t limNt limPt
suu
u
suu
u
suu
u
lµ d·y khíp.
1.5 Vµnh ®Þa ph¬ng
1.5.1 §Þnh nghÜa. (i) Vµnh A ®îc gäi lµ vµnh ®Þa ph¬ng nÕu nã chØ cã duy nhÊt
mét i®ªan cùc ®¹i M . Khi ®ã vµnh th¬ng A M lµ mét trêng vµ ®îc gäi lµ trêng
thÆng d cña vµnh A .
(ii) Vµnh A ®îc gäi lµ vµnh nöa ®Þa ph¬ng nÕu nã cã h÷ h¹n i®ªan cùc ®¹i.
1.5.2 MÖnh ®Ò. (i) Gi¶ sö M lµ i®ªan cùc ®¹i cña vµnh A sao cho víi mäi
x A \ M ®Òu kh¶ nghÞch. Khi ®ã A lµ vµnh ®Þa ph¬ng víi i®ªan cùc ®¹i duy
nhÊt M .
11
(ii) Cho M lµ i®ªan cùc ®¹i cña vµnh A . Khi ®ã nÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp
1 M 1 a | a M ®Òu kh¶ nghÞch trong vµnh A th× A lµ vµnh ®Þa ph¬ng
víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt lµ M .
1.6 C¨n Jacobson cña vµnh
1.6.1 §Þnh nghÜa. Cho A lµ vµnh. Ta gäi c¨n Jacobson cña vµnh A lµ giao
cña tÊt c¶ c¸c i®ªan cùc ®¹i cña vµnh A vµ kÝ hiÖu lµ rad ( A) hoÆc J ( A) .
Chó ý. Khi A lµ vµnh ®Þa ph¬ng víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt lµ M th×
rad ( A) M .
1.6.2 MÖnh ®Ò. x rad ( A) khi vµ chi khi 1 xy lµ kh¶ nghÞch trong vµnh A
víi mäi x A .
1.7 M«®un h÷u h¹n sinh
1.7.1 §Þnh nghÜa. Cho M lµ mét A - m«®un. Mét tËp xi i I , xi M ®îc gäi
lµ mét hÖ sinh cña M nÕu x M th× x ai xi , J I , J , ai A .
i J
§Æc biÖt, khi I th× ta nãi M lµ A - m«®un h÷u h¹n sinh.
Chó ý. M lµ A - m«®un, I lµ mét i®ªan cña A . KÝ hiÖu
IM
a x | a I , x M , n � .
n
i 1
i
i
i
i
Khi ®ã IM lµ m«®un con cña M .
1.7.2 Bæ ®Ò Nakayama. Cho M là mét A - m«®un h÷u h¹n sinh vµ I lµ mét
i®ªan cña A sao cho I rad ( A) . Khi ®ã nÕu IM M th× M 0 .
1.8 M«®un Noether
1.8.1 §Þnh nghÜa. Cho M lµ A - m«®un. Khi ®ã:
(i) M ®îc gäi lµ m«®un Noether nÕu mäi d·y t¨ng c¸c m«®un con cña M :
M 0 M 1 M 2 ...
®Òu dõng, tøc lµ tån t¹i sè tù nhiªn k sao cho M k M n víi mäi k n .
(ii) Vµnh A gäi lµ vµnh Noether nÕu A lµ A - m«®un Noether.
12
Chó ý. M lµ Noether khi vµ chØ khi mäi tËp kh¸c rçng c¸c m«®un con cña M
lu«n cã phÇn tö cùc ®¹i theo quan hÖ bao hµm.
1.8.2 HÖ qu¶. Cho d·y khíp ng¾n c¸c A - m«®un
f
g
0 M ' M M '' 0 .
Khi ®ã M lµ A - m«®un Noether khi vµ chØ khi M ' vµ M '' lµ c¸c A - m«®un
Noether.
1.8.3 MÖnh ®Ò: (i) M«®un con vµ m«®un th¬ng cña m«®un Noether lµ m«®un
Noether.
(ii) ¶nh ®ång cÊu cña m«®un Noether lµ m«®un Noether.
1.8.4 HÖ qu¶. Cho M 1 , M 2 ,..., M n lµ c¸c A -m«®un. Khi ®ã M 1 , M 2 ,..., M n lµ
n
c¸c A - m«®un Noether khi vµ chØ khi M i lµ A - m«®un Noether.
i 1
1.8.5 MÖnh ®Ò. Cho M lµ A - m«®un víi A lµ vµnh Noether. Khi ®ã M lµ
A - m«®un Noether khi vµ chØ khi M lµ A - m«®un h÷u h¹n sinh.
1.8.6 §Þnh lý c¬ së cña Hilbert. NÕu A lµ vµnh Noether th× vµnh ®a thøc n
biÕn A x1 ,..., xn còng lµ vµnh Noether.
§Þnh lý sau ®©y ®îc gäi lµ §Þnh lý I. S. Cohen.
1.8.7 §Þnh lý. Cho A lµ vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. Khi ®ã A lµ vµnh Noether
khi vµ chØ khi mäi i®ªan nguyªn tè cña vµnh A ®Òu h÷u h¹n sinh.
1.9 M«®un ph¼ng
1.9.1 §Þnh nghÜa. (i) Cho M lµ mét A - m«®un, M ®îc gäi lµ m«®un ph¼ng
nÕu hµm tö M R : A mod A mod lµ hµm tö khíp.
(ii) Cho f : A S lµ ®ång cÊu vµnh. Khi ®ã f ®îc gäi lµ ®ång cÊu ph¼ng
nÕu S lµ A - m«®un ph¼ng.
1.9.2 MÖnh ®Ò. Cho f : A S lµ mét ®ång cÊu ph¼ng. Khi ®ã nÕu N lµ mét
S - m«®un ph¼ng th× N lµ mét A - m«®un ph¼ng.
1.9.3 MÖnh ®Ò. Cho f : A S lµ mét ®ång cÊu ph¼ng. Gi¶ sö M lµ mét A m«®un ph¼ng. Khi ®ã M S M R S lµ mét S - m«®un ph¼ng.
13
1.9.4 §Þnh lý. Cho A lµ mét vµnh, M lµ mét A - m«®un th× M lµ mét
m«®un ph¼ng trªn A khi vµ chØ khi mäi i®ªan h÷u h¹n sinh I cña A , ¸nh x¹
chÝnh t¾c I Į A M
A
A
M lµ ®¬n cÊu vµ I M IM .
1.9.5 §Þnh nghÜa. Mét A - m«®un ®uîc gäi lµ hoµn toµn ph¼ng nÕu M lµ
mét A - m«®un ph¼ng vµ víi mäi A - m«®un N mµ M
1.9.6 §Þnh lý. C¸c ph¸t biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng
(i) M lµ mét A - m«®un hoµn toµn ph¼ng;
A
N 0 th× N 0 .
f
(ii) Mäi d·y c¸c A - m«®un: 0 N ' N g N '' 0 (C);
lµ khíp khi vµ chØ khi C A M lµ khíp;
(iii) M lµ mét A - m«®un ph¼ng vµ M M M víi mäi i®ªan cùc ®¹i M cña A .
NhËn xÐt. NÕu ( A, M ) lµ mét vµnh ®Þa ph¬ng vµ M lµ mét A - m«®un h÷u h¹n sinh
kh¸c kh«ng th× ®iÒu kiÖn M M M lµ hiÓn nhiªn ®óng nhê vµo Bæ ®Ò Nakayama. Do
®ã M lµ A - m«®un ph¼ng khi vµ chØ khi M lµ A - m«®un hoµn toµn ph¼ng.
1.9.7 HÖ qu¶. Cho A vµ S lµ hai vµnh ®Þa ph¬ng, : A S lµ mét ®ång cÊu ®Þa
ph¬ng, M lµ mét A - m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã M lµ mét A -m«®un ph¼ng khi
vµ chØ khi M lµ mét A - m«®un hoµn toµn ph¼ng.
1.9.8 §Þnh lý. Cho f : A B lµ mét ®ång cÊu vµnh sao cho B lµ A - m«®un hoµn
toµn ph¼ng:
(i) Víi bÊt kú A - m«®un M , ¸nh x¹ M M A B x¸c ®Þnh bëi m a m 1 lµ
®¬n cÊu, ®Æc biÖt f : A B lµ ®¬n cÊu.
(ii) NÕu I lµ mét i®ªan cña A th× IB A I .
Ch¬ng 2
Bao ®Çy ®ñ cña vµnh vµ m«®un
Trong ch¬ng nµy chóng t«i sÏ tr×nh bµy ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt vÒ bao
®Çy ®ñ cña vµnh vµ m«®un. Trong suèt ch¬ng nµy chóng t«i còng lu«n gi¶
thiÕt vµnh lµ giao ho¸n, cã ®¬n vÞ, Noether.
14
2.1 §Þnh nghÜa
Cho A lµ mét vµnh, M lµ mét A - m«®un, lµ mét tËp ®Þnh híng. Gi¶
sö M lµ mét hä c¸c m«®un con cña M ®îc chØ sè ho¸ bëi sao cho
nÕu th× M M . Ta lÊy M nh lµ mét hÖ c¸c l©n cËn cña 0 . Khi
®ã M trë thµnh mét nhãm t«p« ®èi víi phÐp céng. Trong t«p« nµy, víi x M
th× hÖ c¸c l©n cËn cña x lµ x M . Trong M , phÐp céng, phÐp trõ vµ
phÐp nh©n víi v« híng x a ax víi a A lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi M A
th× mçi M lµ mét i®ªan nªn phÐp nh©n: (a M )(b M ) ab M lµ ¸nh
x¹ liªn tôc. T«p« nµy ®îc gäi lµ t«p« tuyÕn tÝnh trªn M vµ nã lµ t«p« t¸ch
(tøc lµ Hausdorff) khi vµ chØ khi
I
M 0 . Mçi M M lµ mét tËp më, mçi
líp x M còng lµ mét tËp më vµ phÇn bï M \ M cña M lµ hîp cña c¸c
líp nªn còng l¹i lµ tËp më. Do ®ã M lµ mét tËp më vµ còng lµ mét tËp con
®ãng, m«®un th¬ng M M lµ rêi r¹c trong t«p« th¬ng.
M
I
M ®îc gäi lµ m«®un t¸ch liªn kÕt ®îc víi M . H¬n n÷a, víi
ta cã mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tù nhiªn : M M M M . Do ®ã cã thÓ x©y
dùng mét hÖ ngîc
M M ;
c¸c A - m«®un. Khi ®ã giíi h¹n ngîc
lim M
ˆ
suu M ®îc gäi lµ bao ®Çy ®ñ cña M vµ ký hiÖu lµ M . Chóng ta xÐt mçi
u
M
M lµ t«p« rêi r¹c, tÝch trùc tiÕp
gian t«p« con trong
M
M
ˆ
M víi t«p« tÝch vµ M lµ kh«ng
ˆ
M . Cho : M M lµ ¸nh x¹ A - tuyÕn tÝnh tù
15
nhiªn. Khi ®ã lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ ( M ) trï mËt trong M . Víi mçi phÐp
ˆ
*
ˆ
chiÕu p : M M M , ®Æt ker pr M . DÔ thÊy r»ng t«p« cña M trïng víi
ˆ
t«p« tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi hä
ˆ
M
*
M
M
M
*
. V× p lµ toµn ¸nh nªn
ˆ
ˆ
ˆ
M vµ bao ®Çy ®ñ cña M l¹i trïng víi M . NÕu : M M lµ
mét ®¼ng cÊu th× ta nãi m«®un M lµ ®Çy ®ñ.
NÕu M 't t lµ mét hä c¸c m«®un con kh¸c cña M ®îc chØ sè ho¸ bëi tËp
®Þnh híng th× M 't t vµ M x¸c ®Þnh cïng mét t«p« trªn M khi vµ
chØ khi víi mçi M cã mét t sao cho M 't M vµ víi mçi M 't cã mét
sao cho M M 't . Khi ®ã dÔ thÊy cã mét ®¼ng cÊu c¸c m«®un t«p«
lim M
ˆ
suu M lim M M ' , Do ®ã M chØ phô thuéc vµo t«p« cña M .
u
suu
u
t
Khi M A th× M
trë thµnh mét hÖ ngîc c¸c vµnh, M A lµ
,
ˆ ˆ
M
*
ˆ
ˆ
mét vµnh vµ : A A lµ mét ®ång cÊu vµnh. M A kh«ng ph¶i lµ mét A -
m«®un con nhng l¹i lµ mét i®ªan cña A .
ˆ
2.2 Bao ®Çy ®ñ I - adic
Trong sè nh÷ng t«p« tuyÕn tÝnh th× nh÷ng t«p« ®îc x¸c ®Þnh bëi c¸c i®ªan
lµ ®Æc biÖt quan träng.
Cho A lµ mét vµnh, I lµ mét i®ªan cña A . Ta xÐt A nh mét vµnh t«p« víi
c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan I t , t 0,1,2,... Chó ý r»ng c¬ së l©n
cËn cña mét phÇn tö tuú ý r A gåm c¸c líp ghÐp r I t víi t 0,1,2... Khi
®ã vµnh ®Çy ®ñ cña A theo t«p« nµy ®îc gäi lµ bao ®Çy ®ñ I - adic cña A ký
hiÖu bëi A . Theo NhËn xÐt 1.4.4, trong trêng hîp nµy A cã thÓ ®îc ®Þnh
ˆ
ˆ
nghÜa b»ng c¸ch th«ng thêng theo ng«n ng÷ cña d·y Cauchy nh sau: Mét d·y
16
Cauchy trong A lµ mét d·y rn c¸c phÇn tö cña A sao cho víi mäi t 0 , tån
t¹i sè tù nhiªn n0 ®Ó rn rm I t víi mäi n, m n0 .
D·y rn ®îc gäi lµ héi tô vÒ d·y kh«ng nÕu víi mäi t 0 tån t¹i sè tù nhiªn
n0 ®Ó rn 0 rn I t víi mäi n n0 .
Hai d·y Cauchy rn vµ sn ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng, ký hiÖu rn : sn nÕu
d·y (rn sn ) héi tô vÒ d·y kh«ng. Khi ®ã quan hÖ : trªn tËp c¸c d·y Cauchy
lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng. Ta ký hiÖu A lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y
ˆ
Cauchy.
Chó ý r»ng nÕu rn vµ sn lµ c¸c d·y Cauchy th× c¸c d·y (rn sn ) , (rn sn ) còng
lµ c¸c d·y Cauchy vµ líp t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y (rn sn ) , (rn sn ) lµ kh«ng phô
thuéc vµo viÖc chän c¸c ®¹i diÖn cña c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y Cauchy rn
vµ
sn ,
tøc lµ nÕu (rn ) : (rn ') vµ ( sn ) : ( sn ') th× (rn sn ) : ( rn ' sn ') vµ
ˆ
(rn sn ) : (rn ' sn ') . V× thÕ A ®îc trang bÞ hai phÐp to¸n 2 ng«i vµ . ; cïng víi
ˆ
hai phÐp to¸n nµy, A lËp thµnh mét vµnh. Mçi phÇn tö r A cã thÓ ®ång nhÊt
víi líp t¬ng ®¬ng cña d·y Cauchy mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ r .
V× thÕ ta cã mét ®¬n cÊu tù nhiªn gi÷a c¸c vµnh
ˆ
A A
r (r )
,
trong ®ã (r ) lµ d·y mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã ®Òu lµ r .
Cho I lµ mét i®ªan cña A vµ M lµ mét A - m«®un, t«p« trªn M x¸c ®Þnh
bëi I n M n 1,2... ®îc gäi lµ t«p« I - adic. Víi t«p« nµy M ®îc gäi lµ bao ®Çy
ˆ
®ñ I - adic cña M . DÔ thÊy r»ng M lµ mét A - m«®un: víi mçi
ˆ
ˆ
17
ˆ
ˆ
a1 , a2 ,... A víi an A / I n vµ x1 , x2 ... M víi xn M / I n M (víi
mäi n ), ta cã
ˆ
a a1 x1 , a2 x2 ,... M .
Ta gäi M lµ bao ®Çy ®ñ I - adic cña M nÕu mäi d·y ( xn ) c¸c phÇn tö cña M
ˆ
tho¶ m·n xi xi 1 I i M víi mäi i , th× tån t¹i duy nhÊt x M sao cho
x xi I i M víi mäi i . Mét d·y ( xn ) ®îc gäi lµ d·y Cauchy trong M khi vµ
chØ khi víi mäi sè nguyªn d¬ng r tån t¹i sè tù nhiªn n0 sao cho
xn1 xn I r M víi n n0 . Khi ®ã phÇn tö cña bao ®Çy ®ñ I - adic cña M lµ
mét d·y Cauchy cã giíi h¹n duy nhÊt.
2.3 Mét sè tÝnh chÊt
2.3.1 §Þnh lý. Cho A lµ mét vµnh, M lµ mét A - m«®un víi t«p« tuyÕn tÝnh
vµ N lµ mét m«®un con cña M . Ta cã N lµ kh«ng gian t«p« con vµ M N lµ
kh«ng gian t«p« th¬ng. Khi ®ã:
ˆ
ˆ
ˆ
(i) 0 N M � N lµ mét d·y khíp vµ N lµ bao ®ãng cña ( N )
M
ˆ
trong M , trong ®ã : M M lµ ¸nh x¹ tù nhiªn.
ˆ
(ii) NÕu t«p« cña M lµ x¸c ®Þnh bëi mét d·y gi¶m c¸c m«®un con
M 1 M 2 ... th×
M
�
ˆ
ˆ
0 N M � N 0 lµ khíp, nãi c¸ch kh¸c
M
ˆ ˆ
N M N .
Chøng minh. (i) Gi¶ sö M lµ mét A - m«®un t«p« tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi hä
c¸c m«®un con M . Cho N lµ m«®un con cña M th× bao ®ãng N cña
N trong M ®îc x¸c ®Þnh bëi
N I (N M ) .
ThËt vËy, x N
( x M ) N ,
x N M , .
18
Ký hiÖu M ' lµ ¶nh cña M trong m«®un th¬ng M N . T«p« th¬ng cña
M N lµ t«p« tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi M ' . ThËt vËy, cho G M lµ
nghÞch ¶nh cña G ' M N th× G ' lµ tËp më trong t«p« th¬ng M N khi vµ
chØ khi G më trong M , nghÜa lµ, víi mçi x G th× tån t¹i mét m«®un M
sao cho x M G . §iÒu ®ã còng cã nghÜa lµ víi mçi x ' G , tån t¹i M '
sao cho x ' M ' G ' . Do ®ã ®iÒu kiÖn M N lµ rêi r¹c cã nghÜa lµ
I
M ' 0 tøc lµ
I (N M
) N , hay nãi c¸ch kh¸c, N ®ãng trong M .
H¬n n÷a, kh«ng gian t«p« con cña N lµ t«p« tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi
N
M . §Æt M N M ' . Khi ®ã
M M M ' M ' M (N M ) 0
0 N (N Ǯ M )
lµ d·y khíp. V× hµm tö giíi h¹n ngîc lµ khíp tr¸i nªn lÊy giíi h¹n ngîc d·y
khíp trªn ta ®îc d·y sau lµ khíp
ˆ
ˆ
0 N M � N .
M
ˆ
ˆ
ˆ
Ta xem N lµ m«®un con cña M b»ng c¸ch víi M th× N
ˆ
*
nÕu mçi cã thÓ ®îc biÓu diÔn bëi phÇn tö cña N , nghÜa lµ, ( N ) M
ˆ
víi mçi . Do ®ã N lµ bao ®ãng cña ( N ) trong M .
ˆ
ˆ
(ii) Nãi chung th× ®ång cÊu M � N kh«ng toµn ¸nh nhng nã lµ toµn ¸nh
M
nÕu 1,2,... . ThËt vËy, khi ®ã
M
�
N lim M
suu
u
N Mn
cho bëi ' '1 , '2 ,... � N víi 'r M ( N M n ) .
M
Cho x1 M lµ mét nghÞch ¶nh cña '1 vµ y2 M lµ mét nghÞch ¶nh cña '2 .
Khi ®ã y2 x1 N M 1 , nªn ta cã thÓ viÕt
19
y2 x1 t m1 víi t N vµ m1 M .
§Æt x2 y2 t th× x2 lµ nghÞch ¶nh cña '2 tho¶ m·n x2 x1 M 1 .
T¬ng tù ta cã thÓ chän nghÞch ¶nh xn M cña 'n víi mäi n 1,2,... , ta cã
xn1 xn M n . §Æt n M M n lµ ¶nh cña xn th× 1 , 2 ,... lµ phÇn tö cña
W
ˆ
lim M M n M .
suu
u
Gi¶ sö M vµ N lµ hai A - m«®un víi t«p« tuyÕn tÝnh vµ cho f : M N lµ
¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. NÕu t«p« cña M vµ N ®îc cho bëi {M } vµ
{N } th×
víi mçi , tån t¹i sao cho M f 1 ( N ) . Gäi
*
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
: M N N lµ ¸nh x¹ hîp thµnh cña M M M N N , trong ®ã M
*
*
ˆ
ˆ
M M lµ ¸nh x¹ tù nhiªn vµ ¸nh x¹ M M N N ®îc c¶m sinh bëi f .
Ta thÊy r»ng kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän trong M f 1 ( N ) . Tõ
®ã víi ' ta kÝ hiÖu ' : N N N N ' lµ ¸nh x¹ tù nhiªn. DÔ dµng thÊy
ˆ ˆ
ˆ
®îc ' o ' . Do ®ã cã ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc f : M N x¸c ®Þnh
bëi ( ) vµ biÓu ®å sau ®©y giao ho¸n (víi c¸c cét lµ c¸c ¸nh x¹ tù nhiªn)
f
M N
ˆ
f
ˆ
ˆ
M N
ˆ
H¬n n÷a f ®îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi s¬ ®å trªn vµ tÝnh liªn tôc. T¬ng tù,
nÕu A vµ B lµ c¸c vµnh víi c¸c t«p« tuyÕn tÝnh vµ f : A B lµ mét ®ång cÊu
ˆ ˆ
ˆ
vµnh liªn tôc th× f c¶m sinh mét ®ång cÊu vµnh f : A B .
2.3.2 §Þnh lý. Cho A lµ mét vµnh, I lµ mét i®ªan, M lµ mét A - m«®un.
(i) NÕu A lµ mét vµnh ®Çy ®ñ I - adic th× I rad ( A) .
20
(ii) NÕu M lµ m«®un ®Çy ®ñ I - adic vµ a I th× phÐp nh©n bëi 1 a lµ mét
tù ®¼ng cÊu cña M .
Chøng minh. (i) Víi a I th× 1 a a 2 a 3 ... héi tô trong A vµ lµ mét
nghÞch ®¶o cña 1 a , do ®ã 1 a lµ mét phÇn tö kh¶ nghÞch cña A . Suy ra
I rad ( A) .
(ii) Do M còng lµ mét A -m«®un vµ 1 a lµ mét phÇn tö kh¶ nghÞch trong A
ˆ
ˆ
nªn ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.
W
§Þnh lý sau ®©y ®îc gäi lµ Bæ ®Ò Hensel.
2.3.3 §Þnh lý. Cho ( A , M , k ) lµ mét vµnh ®Þa ph¬ng vµ gi¶ sö A lµ vµnh
®Çy ®ñ M - adic. Cho F ( X ) A X lµ mét ®a thøc víi hÖ tö cao nhÊt b»ng
1 vµ F k X lµ ®a thøc nhËn ®îc tõ F b»ng c¸ch thu gän hÖ tö cña F theo
m«®un M . NÕu g , h k X lµ c¸c ®a thøc víi hÖ tö cao nhÊt b»ng 1 sao
cho ( g , h) 1 vµ F gh th× tån t¹i c¸c ®a thøc G , H víi hÖ tö trong A vµ
hÖ tö cao nhÊt b»ng 1 sao cho F GH , G g vµ H h .
Chøng minh. Gi¶ sö G1 , H1 A X sao cho g G1 , h H1 th× F G1 H1 mod
M X . Gi¶ sö theo quy n¹p r»ng c¸c ®a thøc víi hÖ tö cao nhÊt b»ng 1 Gn ,
H n ®îc x©y dùng sao cho F Gn H n mod M n X vµ Gn g , H n h th× ta cã
thÓ viÕt
F Gn H n iU i ( X ) , víi i M n vµ deg U i deg F .
Tõ ( g , h) 1 ta cã thÓ t×m ®îc vi , wi k X sao cho U i gvi hwi . Thay thÕ
vi bëi phÇn d cña h vµ t¬ng tù víi wi ta cã thÓ gi¶ sö deg vi deg h th×
deg hwi deg(U i gvi ) deg F , do deg wi deg g .
Chän Vi , Wi A X sao cho Vi vi , deg Vi deg vi , Wi wi , deg Wi deg wi
vµ ®Æt Gn1 Gn iWi , H n1 H n iVi ta cã
- Xem thêm -
.DOC 
30 
123 
137 
