Tài liệu Bài toán viết phương trình tiếp tuyến và bài toán tương giao có chứa tham số

VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân PHẦN 1. BÀI TOÁN THAM SỐ (TT). CHƢƠNG III: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Lý thuyết 1. Ý nghĩa hình học ( ) có đồ thị là ( ), một điểm ( ; ) Cho hàm số ( ). Phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) tại có phương trình ( )( ) . 2. Sự tiếp xúc ( ) có đồ thị là ( ), ( ) có đồ thị là Cho hàm số ( ). Đồ thị ( ) ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) có nghiệm. 3. Đặc điểm phƣơng trình tiếp tuyến Nếu ( ) là đường con bậc 3 thì số tiếp tuyến với ( ) bằng số tiếp điểm. Đường thẳng không phải là tiếp tuyến của ( ) II. Bài toán 1. Bài toán về tiếp tuyến tại M cho trƣớc trên ( ) Phương pháp - Gọi ( ; ) ( ) là tọa độ tiếp điểm - Phương trình đường thẳng tiếp tuyến với ( ) tại có ( )( ) phương trinh Ví dụ 1. ( ) Cho Viết phương trình tiếp biết tiếp tuyết vuông góc Giải TXĐ: Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 1 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân ( )( ) Vì tiếp tuyến vuông góc với nên ( ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng Ví dụ 2. Cho ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại sao cho tam giác vuông cân. Giải TXĐ: * ( Gọi ( ; ) ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng ( ) ( ) vuông cân tại O nên ( ) Vì ( | ( + ) ) | ( ) Với ( ) Với Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm . (loại) . HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 2 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 3 Ví dụ 3. Cho ( ) Tìm ( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại sao cho diện tích tam giác bằng Giải TXĐ: * + ( ) Gọi ( ; ) là điểm cần tìm. Tiếp tuyến với (C) tại có dạng ( ) ( ) Cho ( Cho ( ( ( ( ) ) ) ) ) [ ( ) ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 4. Cho ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E với ( ) (có hoành độ khác 0) vuông góc nhau. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm của ( ( ) Để ( ) cắt đường thẳng thì phương trình ( ) ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E có hai nghiệm phân biệt { { ( ) ) ( ) ( ) Gọi 3 giao điểm là ( Tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau cho ta ( ) ( ) ( )( ) Áp dụng định lý Viet ta được √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 4 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 2. Bài toán về tiếp tuyến qua ( ) cho trƣớc. Phương pháp - Đường thẳng không là tiếp tuyến của hàm số. Phương trình đường thắng d qua M tiếp xúc với đồ thị có dạng ( ) - Gọi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) - Thế (2) vào (1), tìm nghiệm. Ví dụ 1. ( ) Cho Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) đi qua ( ) Giải TXĐ: Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên ) là tiếp tuyến của ( ) có phương trình đường thẳng d qua ( dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d và ( ). Khi đó ( ) ( ) { ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( )( ) [ [ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 5 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 2. Cho ( ) Tìm M trên ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến. Giải TXĐ: Gọi ( ) ( ) là điểm cầ tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó ( ) ( ) { ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) [ Vì đƣờng cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên để từ M chỉ có một tiếp tuyến với (C) thì ( ) Nhận xét: Điểm M cần tìm ở đây chính là điểm uốn. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 6 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 3. Cho ( ) Tìm M trên trục hoành sao cho qua M có 3 tiếp tuyến tới ( ) Giải TXĐ: Gọi ( ) là điểm cầ tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó ( ) ( ) { ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( ), ( ) Đồ thì bậc ba có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên, để từ M vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt { ( ) { Ví dụ 4. Cho ( ) Tìm ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến duy nhất. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 7 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Giải TXĐ: ( 8 * + ) Gọi ( ; ) là điểm cần tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó ( ) ( ) ( ) ) {( Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( ) Để từ M có duy nhất một tiếp thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 1. 1. { { 0 ( ) ( ) Với ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy có 4 điểm trên d thỏa yêu cầu bài toán. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 9 Ví dụ 5. Cho ( ) Tìm sao cho qua M vẽ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía trục hoành. Giải TXĐ: * + ( ) Gọi ( ) là điểm cần tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng Gọi Khi đó là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). ( ) ( ) ) {( Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( ) ( ) Để từ M có 2 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. { ( ) { ( ) Gọi . / . / là 2 tiếp điểm. Để A, B nằm về 2 phía trục hoành thì Vì ( ) ( ) ( ) là nghiệm của phương trình (*) nên HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân ( ) { Thế vào (1’) ta được Kết hợp với (**) ta được { HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 10 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân CHƢƠNG IV: SỰ TƢƠNG GIAO I. Lý thuyết 1. Ý nghĩa hình học ( ) có đồ thị là ( ), hàm số ( ) có đồ Cho hàm số thị là ( ). ( ) và ( ) giao nhau tại m điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm sau có m nghiệm phân biệt ( ) ( ). 2. Mối liên hệ giữa số giao điểm của đƣờng cong bậc 3 (C) với trục ox và cực trị của nó. a) (C) giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt b) (C) giao trục hoành tại 2 điểm phân biệt c) (C) giao trục hoành tại 1 điểm phân biệt hoặc (C) không có cực trị. II. Bài toán 1. Các bài toán cơ bản. độ Ví dụ 1. ( ) Cho Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành sao cho Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )( ) 0 Đặt . Để đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt khác 1. { ( ) { ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 11 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Giả thiết ( 12 ) Kết hợp với (*) ta được { Ví dụ 2. Cho ( ) cho và ( ) Tìm m để ( ) và ( √ ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao Giải TXĐ: * + Phương trình hoành độ giao điểm { ( Để ( ) và ( trình ( ) khác -1 { ( Gọi ( Khi đó ) ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương ( ) có hai nghiệm phân biệt ( ) ) ) √ ( ( ( )) √ ) ( √ ( ) ) √ | | | |√ √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 13 Ví dụ 3. Cho ( Tìm m để ( ) và hoành độ bé hơn 2. ) ( ) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2 thì phương trình ( ) ( ) có 2 nghiệm phân biệt thỏa { { ( ) ( ) { { Ví dụ 4. Cho Tìm m để ( ) và hoành độ lớn hơn 1. ( ) ( ) ( ) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ( )( ) 14 ) 0 Để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt và { ( ) ( ) ( ) { Ví dụ 5. ( Cho Tìm m để ( ) và độ lập thành cấp số cộng. ) ( ) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) Đặt . Để ( ) và ( biệt thì phương trình ( ) nghiệm phân biệt thỏa cắt nhau tại 4 điểm phân ) có 2 HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân { ( ) 15 { { ( ) Hoành độ các giao điểm của ( √ √ √ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì | | ( | |) ) với √ lần lượt là Để các hoành độ lập [ ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 16 2. Bài toán ứng dụng cực trị hàm. Ví dụ 1. Cho Tìm m để ( ( ) ( ) ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) Đặt ( ) ( ) ( ) Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ ( ) Gọi ( ), ( ) là cực tiểu và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại cực tiểu nằm về 2 phía trục hoành. Do đó ( )( ) ( ) khi ( ) là nghiệm phương trình Thế vào (1), ta được ( Ví dụ 2. Cho Tìm m để ( điểm phân biệt. nên { ) ( ) ( ) cắt đường thẳng ( ) ) tại đúng 2 Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 17 Đặt ( ) ( ) Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ ( ) Gọi ( ), ( ) là cực tiểu và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt ( ) tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại hoặc cực tiểu nằm trên trục hoành. Do đó ( )( ) ( ) khi là nghiệm phương trình ( ) nên { Thế vào (1), ta được Kết hợp với (*) ta được Ví dụ 3. Cho Tìm m để ( phân biệt. ( ) ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( Với Với ) (vô lý) ta được ta được ( ( ) ) ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân ( ) ( ( ) )( ( ) 18 ) Để ( ) cắt đường thẳng ( ) biệt thì đường thắng cắt đồ thị Do đó tại 3 điểm phân ( ) tại 3 điểm phân biệt. Ví dụ 4. Cho ( ) Tìm trên ( ) hai điểm A, B đối xứng nhau qua ( ) Giải Giả sử A, B là hai điểm cần tìm. Vì A, B đối xứng nhau qua ( ) nên phương trình AB có dạng ( ) ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B nên phương trình hoành độ giao điểm sau có 2 nghiệm phân biệt ( ) ( ) Hệ (1) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt khác 1 { HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân { Gọi ( ) ( √ ( ). √ ( ) ( ( ) ). ) Vì A, B đối xứng nhau qua d nên : ( ( ) ) ( ) √ Kết hợp (*) ta được ( √ √ ) ( √ √ √ ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM 19 VINAMATH.COM Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 20 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt tiệm cận ngang và đứng lần lượt tại sao cho là giao điểm 2 tiệm cận. Bài 2: Cho hàm số ( ) Tìm trên ( ) các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của đồ thị tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Bài 3: Cho hàm số ( ) M là điểm bất kì trên đồ thị. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của đồ thị tại A, B. I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích tam giác IAB nhỏ nhất. Bài 4: Cho hàm số ( ) I là giao điểm 2 tiệm cận. Đường thẳng của đồ thị. Tìm giá trị lớn nhất của ( ) Bài 5: Cho hàm số là tiếp tuyến bất kì ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến ) ( ) cách đều ( Bài 6: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị. Bài 7: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP VINAMATH.COM