Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết
CH
10: BÀI TOÁN MIN MAX LOGARIT
1. Công th c lôgarit
Gi s
và các s
> 0 ta có các công th
.
M r ng
.
. H qu
Công th
.
: Gi s a, b
ta có
và
và
.
.
2. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = f(x) trên D( f(x)
i
nh và liên t c trên D)
-
c 1: Tính
, tìm t t c các nghi m
c a
m
nh.
-
c 2:
ng h p 1:
. Tính các giá tr
.
V i
.
ng h p 2:
L p b ng bi n thiên suy ra min, max.
Chú ý: Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
N u hàm s
ng bi n v i
N u hàm s
ngh ch bi n v i
3. Các b
a) B
.
.
.
ng th c quen thu c
ng th c AM GM cho hai s th
M r ng b
b) B
n
ng th c AM
.
GM cho ba s th c d
ng th c Bunhiacopxki: ab cd
2
a 2 c 2 b2 d 2 .
.
làm cho
c) B
ng th c Bunhiacopxki d ng phân th c
Ví d 1: Cho
,v i
.
và
. Khi bi u th c P
t giá tr nh nh t thì
giá tr c a m b ng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Ta có:
t
vì
.
D u b ng x y ra khi và ch khi
.
L i có
. Ch n B.
Ví d 2: Cho x, y là s th
th c
.
a mãn
. Tìm giá tr nh nh t
c a bi u
A.
.
B. Pmin
2 2 3.
C. Pmin
3 2 2.
D.
.
L i gi i:
.
Ta có
Mà
suy ra
.
u th c
Xét hàm s
.
trên kho ng
, có
.
.
D a vào b ng bi n thiên, suy ra
.
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là
Nh n xét. Vì hàm s
ng bi n trên kho ng
. Ch n B.
nên
.
Ví d 3: Cho các s th
x, y th a mãn
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
A.
.
B.
.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
T gi thi t, ta có
.
Ta có
Áp d ng b
t
ng th c AM
, gi thi t
c
Và xét bi u th c
Xét hàm s
.
v i
trên
, có
suy ra
Nh n xét. Bài toán có s d ng b
là hàm s
.
ng bi n trên
. Ch n C
ng th c Bunhiacopxki d ng phân th c
.
Ví d 4: Cho x, y là s th
bi u th c
A.
a mãn
. Tìm giá tr nh nh t
c a
.
.
B. Pmin
4.
C.
.
D.
.
L i gi i:
u ki n:
. T gi thi t, ta có
Ta có
th
b
5:
.
.Ch n C.
thi THPT Qu c gia 2017] Xét các s
. Tìm giá tr nh nh t
A.
.
i m
V y giá tr nh nh t c a P là
Ví d
c
.
B.
.
c a
C.
L i gi i:
th
x, y th
u ki n
.
.
D. Pmin
2 11 3
.
3
Ta có
Xét hàm s
Suy ra
trên kho ng
là hàm s
, có
ng bi n trên kho ng
Mà
.
u th c
Xét hàm s
trên kho ng
, có
.
.
Tính
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là
và
.
. Ch n D.
Ví d 6: Cho hai s th c x, y th a mãn
nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c
A.
.
B.
và
. G i M, m l
. Tính
.
.
C.
.
D.
L i gi i:
Vì
suy ra
là hàm s
t là giá tr l n
ng bi n trên t
nh.
Xét bi u th c P, ta có
.
Áp d
.
.
V y t ng
. Ch n C.
Ví d 7:
thi Th nghi m 2017
giá tr nh nh t
A.
B
Xét các s th c a, b th
c a bi u th c
.
u ki n
.
B.
.
C.
.
D.
L i gi i:
.
Ta có
u th c
t
Xét hàm s
Tính
.
v i
. Tìm
suy ra
.
, có
.
và lim f t
t
0
.
D a vào b ng bi n thiên, suy ra giá tr nh nh t c a hàm s
là 15.
.
V y giá tr nh nh t c n tìm là
. Ch n D.
Ví d 8: Cho các s th c a, b th a mãn
Tìm giá tr nh nh t
A.
.
.
c a bi u th c
B.
.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Xét bi u th c P, ta có
.
t
Xét hàm s
.
v i
D a vào b ng bi n thiên, ta th y r ng
Ví d 9: Cho hai s th c
, có
t giá tr nh nh t b ng
. Bi t r ng bi u th c
.
. Ch n A.
t giá tr l n nh t là M khi
có s th c m sao cho
.
A.
. Tính
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Xét bi u th c T, ta có
t
.
v i
Xét hàm s
.
trên kho ng
, có
và
Tính
.
.
D a vào b ng bi n thiên, suy ra giá tr l n nh t c a hàm s
V y
và
.
. Ch n D.
Ví d 10: Cho a, b là các s th
nh t b ng M khi
là
. Tính
t r ng bi u th c
.
t giá tr nh
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Xét bi u th c P, ta có
t
Xét hàm s
Tính
D
.
v i
f t trên kho ng
và
,k
.
, có
.
suy ra giá tr nh nh t c a hàm s
y ra khi và ch khi
tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
.
.
V y
Ví d 11: Cho a, b là hai s th
b ng
. Ch n C.
a mãn
và
. Tính t ng
. G i M, m l
.
t là giá
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
T gi thi t, ta có
.
.
t
Xét hàm s
v i
.
v i
, ta có
.
.
Suy ra
. Ch n A.
Ví d 12: Cho các s th c a, b th
th c
. Tìm giá tr l n nh t
.
.
A.
u ki n
B.
.
C.
.
D. Pmax
0.
L i gi i:
t
và
suy ra
.
mà
.
.
D
y ra
. Ch n C.
c a bi u
Ví d 13: Cho hai s th c a, b th a mãn
nh nh t. Tính
A.
và bi u th c
t giá tr
.
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
.
Ta có
Áp d ng b
ng th c AM GM ta có
.
Do
.
Suy ra
,v i
Do
Xét trên kho ng
Suy ra
có
.
.V y
.
.
D
y ra
. Ch n A.
Ví d 14: Cho hai s th c a, b th
u ki n
. Tìm giá tr nh nh t
c a bi u th c
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Ta có
.
Và
,v i
V y
Do
.
,v i
. Xét
trên
, có
.
.
Suy ra
.D
y ra khi
Ví d 15: Cho hai s th c a, b th a mãn
. Bi t r ng bi u th c
tr nh nh t b ng m khi có s th c n sao cho
A.
A. T
.
B.
. Ch n B.
.
. Tính
C.
B. T
t giá
.
.
D.
C. T
D. T
L i gi i:
Ta có
.
V y
,v i
Do
Xét
.
trên
, có
.
.
Suy ra
.D
V y
.
. Ch n B.
Ví d 16: G i a, b, c là ba s th
i th
Tìm giá tr nh nh t c a
A.
y ra
.
u ki n
.
.
B.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Ta có
.
M t khác
.
. Ch n B.
Ví d 17: Cho hai s th c a, b th
Tìm giá tr nh nh t
A.
.
u ki n
.
c a bi u th c
B.
.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
Ta có
t
.
, vì
và
suy ra
.
.
Xét hàm s
trên kho ng
, có
.
.
Tính
và
suy ra
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là
Ví d 18: Cho x, y là hai s th c
Tìm giá tr nh nh t
A.
.
. Ch n C.
th a mãn
c a bi u th c
B.
.
.
.
.
C.
.
D.
.
L i gi i:
t
thi t
.
, có
Xét hàm s
Suy ra
là hàm s ngh ch bi n trên
.
mà
.
.
Xét hàm s
trên kho ng
, có
.
- Xem thêm -