Tài liệu Bài toán về min max loga có lời giai chi tiết

CH 10: BÀI TOÁN MIN MAX LOGARIT 1. Công th c lôgarit Gi s và các s > 0 ta có các công th . M r ng . . H qu Công th . : Gi s a, b ta có và và . . 2. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = f(x) trên D( f(x) i nh và liên t c trên D) - c 1: Tính , tìm t t c các nghi m c a m nh. - c 2: ng h p 1: . Tính các giá tr . V i . ng h p 2: L p b ng bi n thiên suy ra min, max. Chú ý: Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s N u hàm s ng bi n v i N u hàm s ngh ch bi n v i 3. Các b a) B . . . ng th c quen thu c ng th c AM GM cho hai s th M r ng b b) B n ng th c AM . GM cho ba s th c d ng th c Bunhiacopxki: ab cd 2 a 2 c 2 b2 d 2 . . làm cho c) B ng th c Bunhiacopxki d ng phân th c Ví d 1: Cho ,v i . và . Khi bi u th c P t giá tr nh nh t thì giá tr c a m b ng A. . B. . C. . D. . L i gi i: Ta có: t vì . D u b ng x y ra khi và ch khi . L i có . Ch n B. Ví d 2: Cho x, y là s th th c . a mãn . Tìm giá tr nh nh t c a bi u A. . B. Pmin 2 2 3. C. Pmin 3 2 2. D. . L i gi i: . Ta có Mà suy ra . u th c Xét hàm s . trên kho ng , có . . D a vào b ng bi n thiên, suy ra . V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là Nh n xét. Vì hàm s ng bi n trên kho ng . Ch n B. nên . Ví d 3: Cho các s th x, y th a mãn . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A. . B. . . C. . D. . L i gi i: T gi thi t, ta có . Ta có Áp d ng b t ng th c AM , gi thi t c Và xét bi u th c Xét hàm s . v i trên , có suy ra Nh n xét. Bài toán có s d ng b là hàm s . ng bi n trên . Ch n C ng th c Bunhiacopxki d ng phân th c . Ví d 4: Cho x, y là s th bi u th c A. a mãn . Tìm giá tr nh nh t c a . . B. Pmin 4. C. . D. . L i gi i: u ki n: . T gi thi t, ta có Ta có th b 5: . .Ch n C. thi THPT Qu c gia 2017] Xét các s . Tìm giá tr nh nh t A. . i m V y giá tr nh nh t c a P là Ví d c . B. . c a C. L i gi i: th x, y th u ki n . . D. Pmin 2 11 3 . 3 Ta có Xét hàm s Suy ra trên kho ng là hàm s , có ng bi n trên kho ng Mà . u th c Xét hàm s trên kho ng , có . . Tính V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là và . . Ch n D. Ví d 6: Cho hai s th c x, y th a mãn nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c A. . B. và . G i M, m l . Tính . . C. . D. L i gi i: Vì suy ra là hàm s t là giá tr l n ng bi n trên t nh. Xét bi u th c P, ta có . Áp d . . V y t ng . Ch n C. Ví d 7: thi Th nghi m 2017 giá tr nh nh t A. B Xét các s th c a, b th c a bi u th c . u ki n . B. . C. . D. L i gi i: . Ta có u th c t Xét hàm s Tính . v i . Tìm suy ra . , có . và lim f t t 0 . D a vào b ng bi n thiên, suy ra giá tr nh nh t c a hàm s là 15. . V y giá tr nh nh t c n tìm là . Ch n D. Ví d 8: Cho các s th c a, b th a mãn Tìm giá tr nh nh t A. . . c a bi u th c B. . . C. . D. . L i gi i: Xét bi u th c P, ta có . t Xét hàm s . v i D a vào b ng bi n thiên, ta th y r ng Ví d 9: Cho hai s th c , có t giá tr nh nh t b ng . Bi t r ng bi u th c . . Ch n A. t giá tr l n nh t là M khi có s th c m sao cho . A. . Tính . B. . C. . D. . L i gi i: Xét bi u th c T, ta có t . v i Xét hàm s . trên kho ng , có và Tính . . D a vào b ng bi n thiên, suy ra giá tr l n nh t c a hàm s V y và . . Ch n D. Ví d 10: Cho a, b là các s th nh t b ng M khi là . Tính t r ng bi u th c . t giá tr nh A. . B. . C. . D. . L i gi i: Xét bi u th c P, ta có t Xét hàm s Tính D . v i f t trên kho ng và ,k . , có . suy ra giá tr nh nh t c a hàm s y ra khi và ch khi tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c . . V y Ví d 11: Cho a, b là hai s th b ng . Ch n C. a mãn và . Tính t ng . G i M, m l . t là giá A. . B. . C. . D. . L i gi i: T gi thi t, ta có . . t Xét hàm s v i . v i , ta có . . Suy ra . Ch n A. Ví d 12: Cho các s th c a, b th th c . Tìm giá tr l n nh t . . A. u ki n B. . C. . D. Pmax 0. L i gi i: t và suy ra . mà . . D y ra . Ch n C. c a bi u Ví d 13: Cho hai s th c a, b th a mãn nh nh t. Tính A. và bi u th c t giá tr . . B. . C. . D. . L i gi i: . Ta có Áp d ng b ng th c AM GM ta có . Do . Suy ra ,v i Do Xét trên kho ng Suy ra có . .V y . . D y ra . Ch n A. Ví d 14: Cho hai s th c a, b th u ki n . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c . A. . B. . C. . D. . L i gi i: Ta có . Và ,v i V y Do . ,v i . Xét trên , có . . Suy ra .D y ra khi Ví d 15: Cho hai s th c a, b th a mãn . Bi t r ng bi u th c tr nh nh t b ng m khi có s th c n sao cho A. A. T . B. . Ch n B. . . Tính C. B. T t giá . . D. C. T D. T L i gi i: Ta có . V y ,v i Do Xét . trên , có . . Suy ra .D V y . . Ch n B. Ví d 16: G i a, b, c là ba s th i th Tìm giá tr nh nh t c a A. y ra . u ki n . . B. . C. . D. . L i gi i: Ta có . M t khác . . Ch n B. Ví d 17: Cho hai s th c a, b th Tìm giá tr nh nh t A. . u ki n . c a bi u th c B. . . C. . D. . L i gi i: Ta có t . , vì và suy ra . . Xét hàm s trên kho ng , có . . Tính và suy ra V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là Ví d 18: Cho x, y là hai s th c Tìm giá tr nh nh t A. . . Ch n C. th a mãn c a bi u th c B. . . . . C. . D. . L i gi i: t thi t . , có Xét hàm s Suy ra là hàm s ngh ch bi n trên . mà . . Xét hàm s trên kho ng , có .