Tài liệu Bài toán tham số - cực trị​

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Cho hàm số : y = x 4 − 2mx 2 + 1 đồ thị (C m ); m là tham số . Định m để đồ thị hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều . y = x 4 − 2mx 2 + 1; D = ¡ x = 0 y ' = 4x 3 − 4mx = 4x (x 2 − m ); y ' = 0 ⇔ 4x (x 2 − m ) = 0 ⇔  2 x = m (*) Để (C m ) có 3 cực trị khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m > 0 Với m > 0 thì đồ thị (C m ) có 3 cực trị A(− m ; −m 2 + 1); B(0;1);C ( m ; −m 2 + 1) Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên ∆ABC đều AB = AC ⇔ AB 2 = AC 2 ⇔ m 4 + m = 4m ⇔ m (m 3 − 3) = 0 ⇒ m = 3 3 thỏa điều kiện m > 0 Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 4x + m đồ thị (C m ); m là tham số . Định m để đồ thị hàm số có 3 cực trị . y = x 4 − mx 2 + 4x + m ⇒ y ' = 4x 3 − 2mx + 4 = f (x ) Cách 1 : Để hàm số có 3 cực trị khi phương trình f (x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi đó f (x ) có cực đại cực tiểu và f (xCD ).f (xCT ) < 0 m 6 f (x ) có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi f '(x ) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 f (x ) = 4x 3 − 2mx + 4 ⇒ f '(x ) = 12x 2 − 2m; f '(x ) = 0 ⇔ x 2 = m m 16m 3 ).f ( = 16 − < 0 ⇔ m 3 > 54 ⇔ m > 3 3 2 thỏa điều kiện m > 0 . 6 6 9.3 Cách 2 : Phương trình f (x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình 2x 3 + 2 = mx có 3 nghiệm f (xCD ).f (xCT ) = f (− phân biệt ; nghĩa là m = 2x 3 + 2 2 = 2x 2 + = g(x ) có 3 giao điểm x x 2 có tập xác định D = ¡ \ {0} x lim g(x ) = +∞; lim g(x ) = +∞; lim− g(x ) = −∞; lim+ g(x ) = +∞ g(x ) = 2x 2 + x →−∞ g '(x ) = 4x − x →+∞ x →0 x →0 2 4x − 2 1 = ; g '(x ) = 0 ⇔ x = 2 2 3 x x 2 3 Dựa vào bảng biến thiên , f (x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi m > 3 3 2 x 2 + (3m + 2)x + 2m − 1 . Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm x −1 cực trị tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2?. Cho hàm số : y =