Tài liệu Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2014 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1 4 1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ các bài toán trong thực tế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2: Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển 2.1 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình 4 7 9 . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số tính chất quan trọng của hệ tuyến tính . . . . . . . . . 10 2.3 Phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Thuật toán chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương 28 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Phương pháp rút gọn cân bằng bảo toàn tính dương của hệ . . 29 3.3 Phương pháp chặt bảo toàn tính dương . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 So sánh giữa các phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành Luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ TEXvà hoàn thành Luận văn. Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến thức giúp em giải đáp được những điều chưa hiểu và băn khoăn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy lớp k16 đợt 2 (2012-2014), truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện Luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên Trần Thị Hải Yến Lời cam đoan Tên em là: Trần Thị Hải Yến, học viên cao học khóa 2012 – 2014 lớp Toán Giải tích K16 - đợt 2 – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương”, là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng em. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học viên Trần Thị Hải Yến iii BẢNG KÝ HIỆU • R: tập hợp các số thực • C: tập hợp các số phức • (A, B, C, D): hệ tuyến tính ban đầu • (Ab, Bb, Cb, Db ): biểu diễn cân bằng của hệ ban đầu • (Ar , Br , Cr , Dr ): hệ đã được rút gọn • <(λ): phần thực của giá trị riêng λ. • G(s): hàm truyền của hệ tuyến tính • OB : ma trận điều khiển • CO:ma trận quan sát • Ā: ma trận đối xứng của ma trận A • AT : ma trận chuyển vị của ma trận A • A−1: ma trận nghịch đảo của ma trận A • σi : các giá trị Hankel • P, Q: ma trận Gramian • P : ma trận điều khiển được • Q: ma trận quan sát được • Σ: ma trận đường chéo 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lớp các hệ dương xuất hiện trong các mô hình liên quan đến sinh thái học, hóa học, kinh tế học,... Ở đây, tính dương được thể hiện là các biến đầu vào và đầu ra của mô hình luôn dương. Chẳng hạn, trong mô hình sinh thái học, các biến đầu vào, đầu ra thể hiện số lượng của các loài trong hệ sinh thái, và theo tự nhiên thì phải luôn dương. Dưới sự phát triển của máy tính và các công cụ tính toán, các mô hình toán học trở nên ngày càng lớn, với số biến lên tới hàng triệu, chục triệu, trăm triệu, thậm chí đến hàng tỷ. Việc xử lý những mô hình đó cho các mục đích điều khiển hoặc tính toán trên thời gian thực, đôi khi trở nên rất tốn kém. Bài toán rút gọn mô hình ra đời nhằm mục đích giảm đi chi phí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết quả chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Cho một mô hình toán học phức tạp với số biến rất lớn, tìm một mô hình toán học đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tôi chỉ khảo sát bài toán rút gọn đối với hệ có tính dương, được phát biểu như sau: Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: Cho một hệ tuyến tính ban đầu có tính dương và có số biến rất lớn, tìm một hệ tuyến tính đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu. Ngoài ra, hệ rút gọn đó vẫn phải bảo toàn được tính dương giống như hệ ban đầu. 2 Bài toán rút gọn mô hình được bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ 80 của thế kỷ trước. Trong suốt thập kỷ 80 và đầu thập kỷ 90, bài toán đã thu được những kết quả quan trọng về mặt lý thuyết. Sau khi tạm ngưng một thời gian, đến những năm gần đây, bài toán rút gọn mô hình đã được quan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu và công cụ tính toán mới. Tuy nhiên, bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương cũng mới chỉ được khảo sát trong những năm gần đây và hiện đang mang tính thời sự cao như các bài báo [1], [2], [5]. Vì vậy chúng tôi chọn việc khảo sát bài toán này làm chủ đề chính của Luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các công cụ như đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận, giải tích số, ngôn ngữ lập trình Matlab,... 6. Đóng góp mới Chạy ví dụ số cho các phương pháp rút gọn mô hình cho một số bài toán trong thực tế. 3 Nội dung Luận văn tốt nghiệp được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Nội dung trong Chương 1, Chương 2 và Chương 3 của Luận văn được phân bổ như sau: Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương Chương 2: Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương 4 Chương 1 Giới thiệu hệ tuyến tính dương 1.1 Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ các bài toán trong thực tế. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian được cho bởi phương trình như sau:  . x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0, (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t), trong đó biến trạng thái x(t) là vectơ n chiều, tương tự biến đầu vào u(t) là vectơ m chiều, biến đầu ra y(t) là vectơ p chiều được cho tương ứng như sau:       x (t) u (t) y (t)  1   1   1   x (t)   u (t)  y (t)  2   2   2  x(t) =  .  , u(t) =  .  , y(t) =  .  .  ..   ..   ..        xn(t) um (t) yp (t) Ta có  .  x (t)  .1   x (t)  .  2  x(t) =  .  .  ..    . xn(t) 5 Với thời gian ban đầu cố định là t0 , biến trạng thái ban đầu sẽ là x(t0 ) = x0 . Ta sử dụng kí hiệu M = [mij ] để biểu diễn ma trận có phần tử hàng thứ i, cột thứ j là mij . Khi đó các ma trận hệ số trong (1.1) được xác định như sau: A = [aij ], B = [bij ], C = [cij ], D = [dij ] với kích thước tương ứng là n × n, n × m, p × n, p × m. . xi(t) = ai1 (t)x1(t) + ai2(t)x2(t) + ... + ain (t)xn(t) +bi1(t)u1(t) + bi2(t)u2(t) + ... + bim(t)um(t) với i = 1, ..., n yj (t) = cj1 (t)x1(t) + cj2 (t)x2(t) + ... + cjn (t)xn(t) +dj1(t)u1(t) + dj2 (t)u2(t) + ... + djm (t)um(t) với j = 1, ..., p. Trong ví dụ sau chúng tôi sẽ biểu diễn một hệ thống vật lý về dạng (1.1) Xét một mạch điện song song mô tả bởi hình ??. Ta chọn đầu vào là cường độ dòng điện từ nguồn độc lập u(t) = i(t) và đầu ra là điện áp tại tụ điện y(t) = v(t). Để thuận tiện ta gắn các biến trạng thái với các thành phần lưu trữ năng lượng trong mạch, trong trường hợp này là tụ điện và cuộn cảm. Cụ thể, điện áp tụ điện và cường độ dòng điện dẫn không chỉ đặc trưng cho năng lượng được lưu trữ trong các thành phần của mạch, mà còn rất thuận tiện cho phép lấy đạo hàm của các phương trình vi phân cần thiết. Trong ví dụ này, do là mạch điện song song điện áp tụ trùng với điện áp trên mỗi phần tử mạch. Điều này dẫn đến sự lựa chọn của các biến trạng thái, x1 (t) = iL (t), 6 x2(t) = v(t). Với các biến trạng thái này, mối quan hệ điện áp và cường độ dòng điện của cuộn cảm được cho bởi: . x2(t) = L x1(t) Áp dụng định luật dòng điện Kirchhoff áp dụng cho nút trên của mạch ta được 1 . x2(t) + x1(t) + C x2(t) = u(t). R Các mối quan hệ này có thể được biểu diễn qua đạo hàm theo thời gian của các biến trạng thái như sau: . x1(t) = 1 x2(t), L 1 1 1 . x2(t) = − x1(t) − x2(t) + u(t). C RC C Cặp phương trình vi phân bậc nhất này, cùng với việc chọn biến đầu ra y(t) = x2(t) cho ta mô tả trong không gian trạng thái của mạch điện: Ví dụ 1.1.1. Phương trình trạng thái # " ". #" # " # 1 x1(t) 0 x1 (t) 0 L = + u(t) . 1 1 x2(t) − C1 − RC x2 (t) C Phương trình đầu ra: h y(t) = 0 1 " # i x (t) 1 x2 (t) + [0]u(t) trong đó các ma trận hệ số A, B, C và D tương ứng là # " # " 1 h i 0 0 L B= 1 C= 0 1 A= 1 − C1 − RC C D=0 7 Lưu ý rằng D = 0 do không có liên hệ trực tiếp giữa cường độ dòng nguồn và điện áp tụ điện. 1.2 Hệ tuyến tính dương Định nghĩa 1.2.1. (Hệ tuyến tính dương) Một hệ tuyến tính (A, B , C , D) được gọi là dương nếu đầu vào và trạng thái ban đầu không âm thì đầu ra và các biến trạng thái là không âm. Cho hệ tuyến tính liên tục sau đây:  . x(t) = Ax(t) + Bu(t), G: y(t) = Cx(t) + Du(t) Ta sẽ khảo sát sơ qua về tính dương của hệ. Trước tiên, C ≥ 0 (tức là ma trận C có các phần tử là không âm). Lý do là vì nếu x(0) = ei , u(0) = 0 và có ít nhất một cij < 0, nó sẽ dẫn đến một đầu ra âm và do đó C ≥ 0 là điều kiện cần để hệ dương. Thực hiện tương tự với D ta cũng thấy D ≥ 0. Với điều kiện đặt lên ma trận A để hệ là dương, chúng ta bắt đầu với một số định nghĩa quan trọng là định nghĩa ma trận Metzler. Định nghĩa 1.2.2. (Ma trận Metzler) Ma trận A được gọi là Metzler, nếu A là ổn định (tức là <(λ) ≤ 0, ∀λ ∈ σ(A)) và các phần tử không nằm trên đường chéo chính của ma trận A là không âm. Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn cần và đủ để một hệ tuyên tính liên tục là dương. Định lý 1.2.3. (Tiêu chuẩn cần và đủ để hệ là dương) Nếu ma trận A là ma trận Metzler và B, C, D ≥ 0 thì hệ tuyến tính (A, B, C, D) là dương. 8 Chứng minh. Xem tài liệu [6]. Ví dụ 1.2.4. (Hệ tuyến tính dương) Xét hệ (A, b, c) với     1 −2 0 0 1     0   1 −2 0 0     T A :=   , b := c :=   . 0  0 1 −2 0      1 0 0 1 −2 Hệ này được cho bởi hàm 2s2 + 7s + 7 2s2 + 7s + 7 G(s) = = (s + 1)(s2 + 4s + 5) s3 + 5s2 + 9s + 5 trong đó có cực tại −1 và −2 ± i. So sánh hệ số của ma trận Metzler à 3 × 3 với s3 + 5s2 + 9s + 5 như sau: −ã11 − ã22 − ã33 = 5 và ã11ã22 + ã11 ã33 + ã22ã33 ≥ 9 nên (−4 − ã22 − ã33)(ã22 + ã33 ) ≥ 9 hay tương đương với (ã22 + ã33 + 2)2 ≤ −5. (vô lý) Vậy, hệ ban đầu dương. 9 Chương 2 Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển Một loạt các vấn đề thực tế như thiết kế các hệ điều khiển với số chiều lớn, hệ điều khiển cho các vi mạch . . . dẫn tới các mô hình toán phức tạp so với năng lực tính toán của hệ thống. Yêu cầu được đặt ra là xác định các hệ rút gọn đủ tốt để thay thế hệ ban đầu. Quá trình này được gọi là giảm bậc mô hình. Ý tưởng của giảm bậc mô hình là xây dựng một hệ với số chiều nhỏ từ hệ gốc ban đầu, đảm bảo giữ và xấp xỉ các thuộc tính quan trọng của hệ gốc. Có rất nhiều phương pháp giảm bậc mô hình khác nhau đã được phát triển, phù hợp với các yêu cầu khác nhau. Trong số đó, phương pháp rút gọn cân bằng là phương pháp được biết đến nhiều do tính đơn giản và hiệu quả áp dụng với một lớp lớn các bài toán thực tế. Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản nhất về bài toán rút gọn mô hình và phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển. 10 2.1 Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình Cho hệ tuyến tính (A, B, C, D) biểu diễn bởi  ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0, y(t) = Cx(t) + Du(t), (2.1) với x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , y(t) ∈ Rp , A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×m . Bài toán rút gọn mô hình là bài toán xây dựng hệ tuyến tính rút gọn:  ż(t) = Az(t) b b + Bu(t), y(t) = Cz(t) b b + Du(t), (2.2) b ∈ Rr×r , B b ∈ Rr×m , C b ∈ trong đó z(t) ∈ Rr , u(t) ∈ Rm , y(t) ∈ Rp , A b ∈ Rp×m, r  n. Rp×r , D Hệ rút gọn (2.2) cần thỏa mãn các điều kiện sau: • Bảo toàn các tính chất quan trọng của gốc. • Sai số so với hệ gốc nhỏ. Trong nội dung của luận văn, sai số của hệ rút gọn và hệ gốc được xác định thông qua giá trị ||G(s) − Gr (s)||H∞ , với G(s), Gr (s) tương ứng là hàm truyền của hệ gốc và hệ rút gọn; các tính chất của hệ thống gồm tính điều khiển được, quan sát được và tính ổn định. 2.2 Một số tính chất quan trọng của hệ tuyến tính Định nghĩa 2.2.1. Cho hệ tuyến tính (1.1). Hàm truyền là đại lượng đặc trưng được xác định bởi công thức sau: G(s) = C(sI − A)−1B + D. (2.3) 11 Chuẩn H∞ của hàm truyền G(s) được xác định bởi công thức sau: ||G(s)||∞ = sup{λmax [G(jω)]} (2.4) ω∈R Định nghĩa 2.2.2. Một ma trận được gọi là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của nó có phần thực nhỏ hơn 0. Hệ tuyến tính được gọi là ổn định nếu ma trận A ổn định. Tính ổn định của một hệ đảm bảo cho vectơ trạng thái x(t) tiến dần tới trạng thái cân bằng xe khi t → ∞. Định nghĩa 2.2.3. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởi tạo x(t0 ) = x0 và trạng thái kết thúc x1 , t1 > 0 đều tồn tại đầu vào u(.) thỏa mãn x(t1 ) = x1 . có hạng bằng n. Trong tính toán, hệ điều khiển được nếu ma trận điều khiển OB = [B AB A2 B . . . An−1B], có hạng bằng n. Định nghĩa 2.2.4. Hệ (1.1) được gọi là quan sát được (observable) nếu với bất kỳ t1 > 0, trạng thái khởi tạo x(t0 ) = x0 có thể được xác định từ đầu vào u(t) và đầu ra y(t) trong đoạn [0, t1]. Trong tính toán, hệ điều khiển được nếu ma trận quan sát:   C    CA      2 C O =  CA  ,  .   ..    n−1 CA có hạng bằng n. Chúng ta lưu ý rằng với cùng một hệ (1.1) luôn tồn tại các bộ ma trận tham số (A, B, C, D) khác nhau thông qua các phép biến đổi 12 không suy biến x = T ξ . Mỗi bộ ma trận tham số (A, B, C, D) được gọi là một biểu diễn của hệ. Một biểu diễn đảm bảo cả tính điều khiển được và quan sát được được gọi là biểu diễn tối thiểu. Trong luận văn chúng ta giả thiết hệ (1.1) là ổn định và có biểu diễn tối thiểu. 2.3 Phương pháp chặt cân bằng Định nghĩa 2.3.1. Cho hệ (1.1)với biểu diễn (A, B, C, D), ma trận Gramian điều khiển và ma trận Gramian quan sát được định nghĩa tương ứng bởi các công thức P = Z ∞ T eAt BB T eA t dt (2.5) 0 Q= Z ∞ T eA t C T CeAtdt (2.6) 0 Theo (Gajic và Queri, 1995) các ma trận P, Q có thể được xác định thông qua các phương trình Lyapunov tương ứng AP + P AT = −BB T (2.7) AT Q + QA = −C T C (2.8) Các phương trình Lyapunov (2.7) và (2.8) cho phép kiểm tra tính điều khiển được, quan sát được của một hệ. Các phương trình Lyapunov cũng đặc biệt quan trọng trong việc xét tính ổn định của hệ. Định lý 2.3.2. Nếu P là nghiệm của phương trình AP + P AT = −H, thì 1. <(λi (A)) ≤ 0 nếu P > 0 và H ≥ 0 2. <(λi (A)) < 0 nếu P > 0 và H > 0 (2.9) 13 trong đó <(λi (A)) là phần thực của giá trị riêng thứ i của ma trận A. Chứng minh. Cho v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận AT , tức là AT v = λv . Theo giả thiết ta có v̄ T (AP + P AT )v = 2(λ̄ + λ)v̄ T P v = −v̄ T Hv ≤ 0 và từ P > 0 ta suy ra λ̄ + λ = 2<(λ) ≤ 0. Nhận xét: Nghiệm của phương trình Lyapunov (2.9) là duy nhất khi và chỉ khi λi (A) + λ̄j (A) 6= 0, ∀i, j . Do đó, nghiệm này có thể tìm được bằng cách giải một hệ phương trình tuyến tính thay vì phải tính các tích phân. Ý tưởng của phương pháp rút gọn cân bằng là xác định một biểu diễn của hệ (1.1) sao cho hai ma trận P, Q trùng nhau và có dạng đường chéo. Phép biểu diễn này thể hiện sự cân bằng giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ. Với một biểu diễn (A, B, C, D), ta luôn tìm được một ma trận không suy biến T mà đưa các ma trận Gramian điều khiển, ma trận Gramian quan sát về dạng đường chéo và bằng nhau. Nội dung này được cho trong định lý 2.3.3. Định lý 2.3.3. (Biến đổi cân bằng ma trận - Balancing Transformation Matrix) Cho P và Q là hai ma trận xác định thực dương. Khi đó luôn tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho Pb := T −1 P T −T = diag(Σ, Σp, 0, 0), Qb := T T QT = diag(Σ, 0, Σq , 0), với các ma trận đường chéo Σ, Σp, Σq > 0. Chứng minh. Khai triển giá trị kỳ dị SVD ma trận P thành P = U ΣP U T . và đặt 1 L := U ΣP2 . 14 Khai triển SVD ma trận LT QL thành LT QL = V Σ2V T và ta đặt 1 T := V LΣ− 2 . Khi đó ta có 1 1 T −1 P T −1 = Σ 2 V T L−1LLT L−T V Σ 2 = Σ và 1 1 T T QT = Σ− 2 V T LT QLV Σ 2 = Σ Cho P và Q là các ma trận Gramian của hệ tuyến tính (A, B, C, D) và T ma trận cho trong định lý 2.3.2. Bằng phép đổi biến x = T z , ta có biểu diễn không gian trạng thái mới của hệ (Ab, Bb, Cb, Db) := (T −1AT, T −1B, CT, D), (2.10) với Pb và Qb như định nghĩa trong định lý 2.3.2. Vì vậy, các thông tin của hệ được nêu trong Σ = diag(σ1Ik1 , ..., σN IkN ), σ1 > σ2 > ... > σN > 0, ki > 0, i = 1...N (2.11) và σ1 , ..., σN gọi là giá trị kỳ dị Hankel của (Ab, Bb, Cb, Db ). Khi đó, (Ab, Bb, Cb, Db) được gọi là biểu diễn cân bằng của hệ (1.1). Các trạng thái tương ứng với giá trị kỳ dị Hankel nhỏ mang năng lượng điều khiển lớn và gây ra những sai số nhỏ nhất khi rút gọn. Phương pháp chặt cân bằng là loại bỏ những trạng thái ứng giá trị kỳ dị Hankel nhỏ. Tính chất của hệ rút gọn thể hiện thông qua định lý 2.3.4. 15 Định lý 2.3.4. Giả sử (Ab , Bb, Cb, Db) là biểu diễn cân bằng của một hệ ổn định với hàm truyền G(s), ma trận Gramian Σ = diag(Σ1 , Σ2 ), Σ1 = diag(σ1Ik1 , ..., σrIkr ), Σ2 = diag(σr+1Ikr+1 , ..., σN IkN ) với các giá trị kỳ dị Hankel σ1 > ... > σr > σr+1 > ... > σN > 0. Phân hoạch các ma trận Ab , Bb và Cb tương ứng với Σ1 . Khi đó, hệ rút gọn (Ar , Br , Cr , Dr ) := (A1, B1, C1, D) với hàm truyền Gr (s) có tính cân bằng, điều khiển được, quan sát được và ổn định. Hơn nữa, ta có đánh giá sai số trên chuẩn H∞ k G(s) − Gr (s) k∞ ≤ 2 N X σi . i=r+1 Chứng minh. Phân hoạch hệ thành ! ! . ! ξ1 A11 A12 ξ1 . = + ξ2 A21 A22 ξ2  ξ  1 y = C1 C2 ξ2 ! B1 B2 ! u, + Du, và các phương trình Lyapunov sau A11Σ1 + Σ1AT11 = −B1 B1T , (2.12) AT11Σ1 + Σ1A11 = −C1T C1, (2.13) A21Σ1 + Σ2AT12 = −B2 B1T , (2.14) AT12Σ1 + Σ2A21 = −C2T C1. (2.15) Vì B1 B1T ≥ 0 theo bổ đề 2.3.2 thì A11 là ma trận ổn định. Gọi V là ma trận với các cột tạo bởi từ các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng iω của A11 ,