Tài liệu Bài toán quan hệ biên phân và ứng dụng

  • Số trang: 46 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 106 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo - GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lời cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè cùng học..., đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Lê Danh Tuyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Lê Danh Tuyên MỤC LỤC Mở đầu ............................................................................................................. 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị ........................................................... 4 1.1 Nón – các khái niệm và tính chất liên quan ........................................ 4 1.2 Ánh xạ đa trị ........................................................................................ 6 1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị .............................................. 8 1.4 Tính lồi và tính tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị ............................ 11 1.5 Ánh xạ tựa đơn điệu .......................................................................... 12 1.6 Một số định lý bổ trợ......................................................................... 13 Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân....................................................... 15 2.1 Bài toán quan hệ biến phân ............................................................... 15 2.2 Ví dụ về bài toán quan hệ biến phân ................................................. 16 2.3 Các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân.......... 17 2.4 Định lý điểm bất động và sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân .................................................................................... 28 Chương 3. Một số bài toán liên quan .......................................................... 34 3.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai ................................................................ 34 3.1.1 Phát biểu bài toán ................................................................... 34 3.1.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối ưu loại hai ......... 35 3.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân................................................ 37 3.2.1 Phát biểu bài toán ................................................................... 37 3.2.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân ............................................................................... 37 3.3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát ........................................................ 40 3.3.1 Phát biểu bài toán ................................................................... 40 3.3.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát........................................................................................ 40 Kết luận .......................................................................................................... 42 Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 43 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các bài toán cở bản trong lý thuyết tối ưu là bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân, và các dạng bài toán này liên quan tới ánh xạ đa trị. Bài toán: Tìm x  D ,  F x  min F  x  x  D trong đó D là tập con của không gian định chuẩn X (được gọi là miền chấp nhận được), F : D  R là hàm mục tiêu. Đóng vai trò trung tâm của lý thuyết tối ưu và có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế. Cụ thể, cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô, D  X là một tập con khác rỗng. Cho C là một nón trong Y , A  Y . Tập các điểm hữu hiệu của A đối với nón C , kí hiệu là  Min  A / C  , với   I , P, Pr, W tương ứng là các loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực sự và điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trong Chương 1 của luận văn). Cho F : D  Y  Bài toán đặt ra: Tìm x  D sao cho F x  Min  F  D  / C . Là mở rộng của bài toán trên cho hàm véctơ F được gọi là bài toán tối ưu véctơ  tương ứng với D, F , C. Các bài toán tối ưu trên liên quan tới các bài toán điểm cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân và bài toán cân bằng đa trị. Và các bài toán này có thể đưa được về bài toán quan hệ biến phân mà ngày nay các nhà toán học 2 trên thế giới đang quan tâm nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Bài toán đó được phát biểu như sau: Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S1 : A A, S2 : A B, T : A  B Y, là các ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử R  a, b, y   A  B  Y là một quan hệ ba ngôi giữa a  A, b  B, y Y . Nếu ba phần tử này có quan hệ R ta nói rằng R  a, b, y  xảy ra. Xét bài toán sau, được kí hiệu là (VR). Tìm a  A sao cho:  1) a là điểm bất động của S1 , tức là a  S1 a .       2) R a, b, y xảy ra với mọi b  S2 a , y T a, b . Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ R thường được xác định bởi các đẳng thức và bất đẳng thức của các hàm thực, hoặc bởi những bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán quan hệ biến phân và ứng dụng của nó nên tôi chọn đề tài “Bài toán quan hệ biến phân và ứng dụng” để làm luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết các kết quả về bài toán quan hệ biến phân trong bài báo “An abstract problem in variational analysis” của tác giả D. T. Luc [7]. Đó là định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân và các kết quả mới cho các bài toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân, phát biểu bài toán quan hệ biến phân, chứng minh một cách chi tiết các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài 3 toán quan hệ biến phân, đồng thời đưa ra một số ứng dụng và ví dụ về các bài toán liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán quan hệ biến phân, định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, mối liên hệ giữa bài toán quan hệ biến phân và các bài toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân và bài toán cân bằng tổng quát. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu qua các bài báo đã được đăng và sách đã in. - Sử dụng các phương pháp trong giải tích như phương pháp điểm bất động, nguyên lý KKM… - Tìm những ví dụ minh họa và một số ứng dụng trong các bài toán thực tế. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn trình bày một cách tổng quan về bài toán quan hệ biến phân, các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân. Sử dụng các định lý này cho việc chứng minh các định lý về sự tồn tại nghiệm của các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu. 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này ta nêu lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị để giúp cho việc trình bày các vấn đề của các chương tiếp theo được hệ thống. 1.1 Nón – các khái niệm và tính chất liên quan Ta đã biết trong trường số thực , hai số bất kì đều có thể so sánh được với nhau thông qua một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian tuyến tính, ta không có tính chất như vậy. Tuy nhiên bằng cách sử dụng khái niệm nón trong không gian tuyến tính, người ta vẫn có thể đưa ra một thứ tự từng phần để so sánh hai phần tử với nhau. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính, C là một tập con của Y . Ta nói C là nón có đỉnh tại điểm gốc của Y nếu tc  C với mọi c  C, t  0 . Trong luận văn này, chúng ta chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại điểm gốc và khi nói đến nón ta hiểu là nón có đỉnh tại điểm gốc. Nón C được gọi là nón lồi (đóng) nếu C là tập lồi (đóng). Kí hiệu cl C, int C , conv C  tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của C . Kí hiệu l  C   C   C  là phần trong tuyến tính của C . Khi đó, nếu C là nón lồi thì l  C  là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C . Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón C trong không gian tôpô tuyến tính Y như sau: Với x, y  Y , x  y nếu x  y  C . Để đơn giản ta C viết x y nếu không có sự nhầm lẫn. Với x  y  C \ l  C  và x y nếu x  y  int C . x, y Y , x > y nếu 5 Ví dụ 1.1.1 i) Xét Y    x   x1 , x2 , C n  và được gọi  n   x   x1 , x2 , nón , n . Với  , xn  xi  0, i  1, là  , xn  xi  , i  1, , n thì C là nón lồi, đóng trong Y Orthant dương trong n . Với  C  x   x1 , x2 , , xn  x1  0 thì C là nón lồi nhưng không đóng trong Y . Tập C  x1 > 0  x1  0, x2 > 0   x1  x2   xn1  0, xn > 0 cũng là một nón trong Y và được gọi là nón từ điển. ii) Xét Y  Tập C   x , 1  x , 1 , xn , , xn ,  coù höõu haïn caùc phaàn töû x i  khaùc 0 .  coù phaàn töû khaùc 0 cuoái cuøng laø khoâng aâm là nón trong Y và được gọi là nón trải khắp. Tiếp theo ta xét một số khái niệm về các loại điểm hữu hiệu. Đây là các khái niệm nền tảng của tối ưu véctơ. Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón C . Xét A là một tập con của Y , A  , Y . Cho a  A . i) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C nếu a  a với mọi a  A . Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C là IMin  A, C  . Ta có a  IMin  A, C  khi và chỉ khi A  a  C . ii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C nếu a  b , với b nào đó, thì b  a . Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C là Min  A, C  . Ta có a  Min  A, C  khi và chỉ khi    A a C  a . 6 iii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C ( int C   và C  Y ) nếu a là điểm hữu hiệu đối với nón C0  A \ 0 . Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là WMin  A, C  . Ta có a WMin  A, C  khi   và chỉ khi A  a  int C   . iv) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu tồn tại hình nón lồi K khác Y sao cho C \ l  C   int K và a  Min  A, K  . Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C là PrMin  A, C  . Ta có a  PrMin  A, C  khi và chỉ khi A   a  K   a . Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu: IMin  A, C   PrMin  A, C   Min  A, C   WMin  A, C  . 1.2 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y là hai tập bất kì. Cho F : X Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y , tức là một ánh xạ đơn trị từ tập X vào một tập 2Y gồm toàn bộ các tập con của Y . Như vậy, với mỗi x  X , F  x  là một tập con của Y và F  x  được gọi là ảnh của x qua F . Ta nói F có giá trị khác rỗng nếu F  x    với mọi x  X . Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) dom F và đồ thị Graph F của ánh xạ đa trị F : X Y được định nghĩa như sau: dom F  x  X : F  x   ; Graph F   x, y   X  Y : x  dom F , y  F  x  . 7 Giả sử X , Y là các không gian véctơ tôpô. Bao lồi, bao đóng của ánh xạ F lần lượt được kí hiệu là Conv F , Cl F và được định nghĩa bởi: Conv F   y Y :  x, y   co  Graph F  , x  X  ,   Cl F  y Y :  x, y   Graph F , x  X , trong đó co  Graph F  , Graph F lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứa Graph F và bao đóng của tập Graph F . Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F 1 : Y X được xác định bởi: F 1  y   x  X : y  F  x  , với y  Y . Giả sử X , Y là các không gian véctơ tôpô và F : X Y là một ánh xạ đa trị. Ta nhắc lại một số định nghĩa sau: i) F được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu Graph F là tập đóng (mở) trong không gian tôpô tích X  Y . ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F  x  là tập đóng với mọi x X . iii) Nếu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi nếu F  x  là tập lồi, với mọi x  X . iv) F được gọi là ánh xạ compắc nếu F  x  là tập compắc trong Y với mọi x  X . Cho X , Y là các không gian véctơ tôpô, F : X có các tính chất sau: Y là ánh xạ đa trị. Ta 8 i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng. ii) F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy x  x, y  F  x  và y  y thì ta có y  F  x  . 1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương. F : X Y là một ánh xạ đa trị. Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa sau được đưa ra bởi Berge: 1) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x0  X nếu với mọi tập mở V  Y thỏa mãn F  x0   V thì tồn tại một lân cận mở U  X của x0 sao cho F U   V . F được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi x  X . 2) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0  X nếu với mọi tập mở V  Y thỏa mãn F  x0   V   thì tồn tại một lân cận mở U  X của x0 sao cho F  u   V   , với mọi u U . F được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x  X . 3) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x  X nếu F vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới tại x . Nếu F liên tục tại mọi điểm x  X thì ta nói F liên tục trên X . Khi xét ánh xạ đơn trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới là trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết. Ví dụ sau chỉ ra sự khác nhau giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. 9 là hai ánh xạ đa trị được xác định như sau: Ví dụ 1.3.1 Xét F , G :    1,1 Fx     0 neáu x  0, neáu x  0.   0 Gx      1,1 neáu x  0, neáu x  0. Dễ thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại x  0 nhưng không là nửa liên tục dưới tại x  0 . Ánh xạ G là nửa liên tục dưới tại x  0 nhưng không là nửa liên tục trên tại x  0 . Ta có các tính chất sau: i) Cho F : X Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy x  x, y  F  x  , y  y thì y  F  x  . Ngược lại, nếu F  x  là tập đóng và mọi dãy x  x, y  F  x  kéo theo y  y  F  x  thì F là nửa liên tục trên tại x . ii) Cho F : X Y , F  x  là compắc và F  x    . Khi đó F là nửa liên tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi dãy x  x, y  F  x  đều tồn tại y  F  x  để y  y . Định nghĩa 1.3.1 Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D là tập con của X , D   . Giả sử C là một nón trong Y và F : X Y là một ánh xạ đa trị. Ta có các định nghĩa sau: i) F là C - liên tục trên (tương ứng, C - liên tục dưới) tại x0  X nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: 10 F  x   F  x0   V  C (tương ứng, F  x0   F  x   V  C ) với mọi x U  dom F . ii) F là C - liên tục tại x0 nếu F đồng thời là C - liên tục trên và là C - liên tục dưới tại x0 . iii) F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục trên D  X nếu F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục tại mọi xD . Chú ý: i) Nếu ánh xạ F là đơn trị khi hạn chế trên D  X thì tính C - liên tục trên và C - liên tục dưới của F là trùng nhau, và ta nói F là C - liên tục, tức là: F là C - liên tục tại x0  D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: F  x   F  x0   V  C (hoặc, F  x0   F  x   V  C ), x U  dom F . ii) Nếu Y  , C     x  : x  0 thì một ánh xạ đa trị F là C - liên tục tại x0  D khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x0 , một ánh xạ đơn trị F là  C  - liên tục tại x0  D khi và chỉ khi F là nửa liên tục trên tại x0 (ở đây C  Cho F : D   x  : x  0 ). Y là một ánh xạ đa trị và C  Y là một nón lồi, đóng. Khi đó: 1) Nếu F là C - liên tục trên tại x0  dom F và F  x0   C là tập đóng, thì với mọi dãy x  x0 , y  F  x   C , y  y0 ta có y0  F  x0   C . Ngược lại, nếu F là compắc và với mọi dãy 11 x  x0 , y  F  x   C , y  y0 ta có y0  F  x0   C thì F là C - liên tục trên tại x0 . 2) Nếu F  x0  là compắc và là C - liên tục dưới tại x0  dom F , thì với mọi dãy x  x0 , y0  F  x0   C đều tồn tại dãy  y  , y  F  x  và có dãy   con y , sao cho y  y0  c  C . Ngược lại, nếu F  x0  là tập compắc và   mọi dãy x  x0 và y0  F  x0   C đều tôn tại dãy  y  , y  F  x  và một   sao cho y dãy con y    y0  c  C thì F là C - liên tục dưới tại x0 . 1.4 Tính lồi và tính tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4.1 Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô, D là tập con lồi của X . Giả sử C là một nón lồi trong Y , F : X Y là một ánh xạ đa trị. a) F là C - lồi trên (tương ứng C - lồi dưới) nếu  F  x   1    F  y   F  x  1    y   C (tương ứng, F  x  1    y    F  x   1    F  y   C ), với mọi x, y  dom F và   0,1 . b) F được gọi là C - tựa lồi trên trong D nếu với mọi t  0,1 , hoặc F  x1   F  tx1  1  t  x2   C , hoặc F  x2   F  tx1  1  t  x2   C luôn đúng với mọi x1 , x2  D . 12 c) F là C - tựa lồi dưới trong D nếu với mọi t  0,1 thì hoặc F  tx1  1  t  x2   F  x1   C , hoặc F  tx1  1  t  x2   F  x2   C luôn đúng với mọi x1 , x2  D . Chú ý: i) Nếu F : D  Y là một ánh xạ đơn trị thì tính C - lồi trên và C - lồi dưới là trùng nhau và gọi là C - lồi. Nói riêng, với Y  , C   thì ta có khái niệm hàm lồi theo nghĩa thông thường. ii) Nếu F : D  Y là một ánh xạ đơn trị thì khái niệm C - tựa lồi trên và C - tựa lồi dưới là trùng nhau và được gọi là C - tựa lồi. Tức là F là C - tựa lồi trong D nếu với x1 , x2  D, t 0,1 mọi F  x1   F tx1  1  t  x2   C ta có F  x1   F  tx1  1  t  x2  ) (hay C hoặc hoặc F  x2   F  tx1  1  t  x2   C (hay F  x2  C F  tx1  1  t  x2  ) luôn đúng. Trong trường hợp Y  , C  F  x1   F  tx1  1  t  x2  hoặc  thì ta có F là C - tựa lồi tức là F  x2   F  tx1  1  t  x2  với mọi x1 , x2  D, t 0,1 . Dẫn đến F  tx1  1  t  x2   Max F  x1  , F  x2  , Do đó F là hàm tựa lồi theo nghĩa thông thường. 1.5 Ánh xạ tựa đơn điệu Định nghĩa 1.5.1 i) Cho X là một không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D  X là một tập con. Hàm số g : D  D  g  x, y   g  y, x   0 với mọi x, y  D . được gọi là đơn điệu nếu 13 ii) Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D  X là một tập con, C là một nón trong Y . Ta nói ánh xạ G : D  D  Y là đơn điệu đối với nón C nếu G  x, y   G  y, x  C với mọi x, y  D . Tiếp theo, ta xét các khái niệm ánh xạ tựa đơn điệu, các khái niệm này bao hàm các khái niệm ánh xạ đơn điệu ở trên: Định nghĩa 1.5.2 i) Cho X là không gian tuyến tính lồi địa phương, D  X là một tập con. Hàm số g : D  D  được gọi là tựa đơn điệu nếu với x, y  D, g  x, y   0 ta suy ra g  y, x   0 . ii) Cho X , Y , Z là các không gian tôpô tuyến tính, D  X , K  Y là các tập con khác rỗng, C  Z là một nón. Cho ánh xạ đa trị T : D  D K và ánh xạ đơn trị F : K  D  D  Z . Ta nói T được gọi là F - tựa đơn điệu trong K đối với nón C nếu với x1 , i 1, 2, , xn  D và x  co x1 , , xn  đều tồn tại , n sao cho y T  xi , x  , F  y, xi , x   F  y, x, x   C (hay với mọi y T  xi , x  , F  y, xi , x  C F  y, x, x  ). 1.6 Một số định lý bổ trợ Mục này ta nhắc lại một số định lý như định lý KKM – Fan, định lý về giao hữu hạn của một tập compắc, các định lý về điểm bất động, … Các định lý này sẽ được sử dụng trong các chứng minh ở các chương sau. Định nghĩa 1.6.1 Cho X là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị G: A X a , a , 1 2 X được gọi là ánh xạ KKM trên A nếu với mọi tập con hữu hạn , ak   A , và với mọi phần tử a trong bao lồi của a1 , a2 , có thể tìm được chỉ số i sao cho a  G  ai  . , ak  ta 14 Định lý 1.6.1 (Định lý KKM – Fan). [3] Giả sử X là không gian véctơ tôpô, A  X là tập lồi khác rỗng và G : A đóng. Nếu A là compắc thì ta có A là ánh xạ KKM với tập giá trị G  x   . xA Định lý 1.6.2 (Tính chất giao hữu hạn của tập compắc). Cho một họ các tập compắc Ci : i  I  . Nếu với mọi tập hữu hạn các phần tử của họ có điểm chung thì giao của họ cũng có điểm chung, tức là iI Ci   , và ta gọi họ C : i  I  là có tính chất giao hữu hạn. i Định lý 1.6.3 (Định lý điểm bất động của Kakutani – Fan). [3] [6] Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A là tập lồi, compắc, khác rỗng trong X . Ánh xạ F : A A là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, F có giá trị  lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn tại x  A sao cho x  F x (tức là x là điểm bất động của F ). Định lý 1.6.4 (Định lý điểm bất động của Fan – Browder). [2] Cho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A  X là tập compắc, lồi, khác rỗng. Cho G : A A là ánh xạ đa trị với A  aA  sao cho a  coG a . int G 1  a  . Khi đó tồn tại a  A 15 Chương 2 Bài toán quan hệ biến phân Trong chương này trình bày về bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR) (Variational relation) được GS. Đinh Thế Lục nghiên cứu trong tài liệu [7]. Bài toán này cho ta một cách tiếp cận thống nhất để nghiên cứu các mô hình khác nhau của lý thuyết tối ưu đa trị, lý thuyết cân bằng và bao hàm thức biến phân. Một trong các kết quả quan trọng của chương 2 là định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (định lý 2.3.2). Định lý này được sử dụng chứng minh một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong lý thuyết tối ưu. 2.1 Bài toán quan hệ biến phân Trong suốt mục này, ta luôn xét A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S1 : A S2 : A B, T : A  B A, Y là các ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử R  a, b, y   A  B  Y là một quan hệ ba ngôi giữa a  A, b  B, y Y . Nếu ba phần tử này có quan hệ R ta nói rằng R  a, b, y  xảy ra. Xét bài toán sau, được kí hiệu là (VR). Tìm a  A sao cho:  1) a là điểm bất động của S1 , tức là a  S1 a .       2) R a, b, y xảy ra với mọi b  S2 a , y T a, b . 16 Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ R thường được xác định bởi các đẳng thức và bất đẳng thức của các hàm thực, hoặc bởi những bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị. Tiếp theo ta xét một số ví dụ về những bài toán cơ bản của bài toán quan hệ biến phân: 2.2 Ví dụ về bài toán quan hệ biến phân Ví dụ 2.2.1 (Bài toán tối ưu). Giả sử X , ,  là các tập khác rỗng. Cho f : X  R và hai họ hàm thực g  x,   ,   và h  x,   ,   . Giả sử S1  a   X , S2  a   x  X : g  x,    0,   A  B Y  X , và h  x,    0,   , trong đó ,  là hai tập khác rỗng, T  a, b   b với  mọi a, b  X . Bài toán đặt ra là tìm x  X sao cho f  y   f x  0 với mọi y X . Ta định nghĩa một quan hệ R như sau: R  a, b, y  xảy ra nếu và chỉ nếu f  y   f  a   0 . Khi đó bài toán tối ưu là trường hợp riêng của bài toán (VR) với quan hệ R được định nghĩa như trên. Ví dụ 2.2.2 (Bài toán cân bằng). Giả sử X là một tập khác rỗng, :X X  . Giả sử A  B Y  X , S1  a   X , S2  a   X và T  a, b   b với mọi a, b  X . Bài toán đặt ra là tìm x  X sao cho   x, y   0 , với mọi y  X . 17 Quan hệ biến phân R được định nghĩa như sau: R  a, b, y  xảy ra nếu và chỉ nếu   a, y   0 . Khi đó bài toán cân bằng là trương hợp riêng của bài toán (VR) với quan hệ R được định nghĩa như trên. Ví dụ 2.2.3 (Bài toán bao hàm thức biến phân). Cho A, B, Y  , S1 : A S2 : A B, T : A  B A, B là các ánh xạ đa trị có tập giá trị khác rỗng. Xét F , G là các ánh xạ đa trị trên A  B  Y lấy giá trị trong không gian Z . Bài  toán bao hàm thức biến phân là: Tìm x  X sao cho x  S1 x       và với  b  S2 x , y  T x, b ta có F x, b, y  G x, b, y . Quan hệ R được định nghĩa là: R  a, b, y  xảy ra nếu và chỉ nếu F  a, b, y   G  a, b, y  . Nhận xét thấy bài toán bao hàm thức biến phân cũng chính là trường hợp riêng của bài toán (VR) khi ta định nghĩa quan hệ R như trên. 2.3 Các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (VR), ta định nghĩa ánh xạ đa trị P : B A như sau: P  b    A \ S21  b   a  A : a  S1  a  , R  a, b, y  xảy ra y  T  a, b  . Trước hết ta chứng minh một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (VR) dựa trên sự tương giao khác rỗng giữa tập ảnh của
- Xem thêm -