Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo - GS.
TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng
dẫn tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học
chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lời cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè cùng học..., đã động viên và
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Lê Danh Tuyên
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Số liệu và các kết
quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề
tài khác
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Lê Danh Tuyên
MỤC LỤC
Mở đầu ............................................................................................................. 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị ........................................................... 4
1.1 Nón – các khái niệm và tính chất liên quan ........................................ 4
1.2 Ánh xạ đa trị ........................................................................................ 6
1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị .............................................. 8
1.4 Tính lồi và tính tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị ............................ 11
1.5 Ánh xạ tựa đơn điệu .......................................................................... 12
1.6 Một số định lý bổ trợ......................................................................... 13
Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân....................................................... 15
2.1 Bài toán quan hệ biến phân ............................................................... 15
2.2 Ví dụ về bài toán quan hệ biến phân ................................................. 16
2.3 Các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân.......... 17
2.4 Định lý điểm bất động và sự tồn tại nghiệm của bài toán quan
hệ biến phân .................................................................................... 28
Chương 3. Một số bài toán liên quan .......................................................... 34
3.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai ................................................................ 34
3.1.1 Phát biểu bài toán ................................................................... 34
3.1.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối ưu loại hai ......... 35
3.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân................................................ 37
3.2.1 Phát biểu bài toán ................................................................... 37
3.2.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa
biến phân ............................................................................... 37
3.3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát ........................................................ 40
3.3.1 Phát biểu bài toán ................................................................... 40
3.3.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng
quát........................................................................................ 40
Kết luận .......................................................................................................... 42
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 43
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các bài toán cở bản trong lý thuyết tối ưu là bài toán tối ưu, bài toán cân
bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân, và
các dạng bài toán này liên quan tới ánh xạ đa trị. Bài toán: Tìm x D ,
F x min F x x D
trong đó D là tập con của không gian định chuẩn X (được gọi là miền chấp
nhận được), F : D R là hàm mục tiêu. Đóng vai trò trung tâm của lý thuyết
tối ưu và có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế.
Cụ thể, cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô, D X là một tập con
khác rỗng. Cho C là một nón trong Y , A Y . Tập các điểm hữu hiệu của A
đối với nón C , kí hiệu là Min A / C , với I , P, Pr, W tương ứng là các
loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực sự và
điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trong Chương 1 của
luận văn).
Cho F : D Y
Bài toán đặt ra: Tìm x D sao cho F x Min F D / C .
Là mở rộng của bài toán trên cho hàm véctơ F được gọi là bài toán tối
ưu véctơ tương ứng với D, F , C.
Các bài toán tối ưu trên liên quan tới các bài toán điểm cân bằng, bài
toán bao hàm thức biến phân và bài toán cân bằng đa trị. Và các bài toán này
có thể đưa được về bài toán quan hệ biến phân mà ngày nay các nhà toán học
2
trên thế giới đang quan tâm nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của
toán học.
Bài toán đó được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S1 : A
A, S2 : A
B, T : A B
Y,
là các ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử R a, b, y A B Y là một
quan hệ ba ngôi giữa a A, b B, y Y . Nếu ba phần tử này có quan hệ R ta
nói rằng R a, b, y xảy ra. Xét bài toán sau, được kí hiệu là (VR).
Tìm a A sao cho:
1) a là điểm bất động của S1 , tức là a S1 a .
2) R a, b, y xảy ra với mọi b S2 a , y T a, b .
Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh
xạ đa trị S1 , S2 , T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ
R thường được xác định bởi các đẳng thức và bất đẳng thức của các hàm
thực, hoặc bởi những bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán quan hệ biến phân và ứng
dụng của nó nên tôi chọn đề tài “Bài toán quan hệ biến phân và ứng dụng”
để làm luận văn cao học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết các kết quả về bài toán
quan hệ biến phân trong bài báo “An abstract problem in variational
analysis” của tác giả D. T. Luc [7]. Đó là định lý tồn tại nghiệm của bài toán
quan hệ biến phân và các kết quả mới cho các bài toán liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân, phát biểu bài toán quan hệ biến
phân, chứng minh một cách chi tiết các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài
3
toán quan hệ biến phân, đồng thời đưa ra một số ứng dụng và ví dụ về các bài
toán liên quan.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán quan hệ biến phân, định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán
quan hệ biến phân, mối liên hệ giữa bài toán quan hệ biến phân và các bài
toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân và bài toán cân bằng tổng
quát.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu qua các bài báo đã được đăng và sách đã in.
- Sử dụng các phương pháp trong giải tích như phương pháp điểm bất
động, nguyên lý KKM…
- Tìm những ví dụ minh họa và một số ứng dụng trong các bài toán thực
tế.
6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn trình bày một cách tổng quan về bài toán quan hệ biến phân,
các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân. Sử dụng các
định lý này cho việc chứng minh các định lý về sự tồn tại nghiệm của các bài
toán khác trong lý thuyết tối ưu.
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này ta nêu lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của
nón và ánh xạ đa trị để giúp cho việc trình bày các vấn đề của các chương tiếp
theo được hệ thống.
1.1 Nón – các khái niệm và tính chất liên quan
Ta đã biết trong trường số thực
, hai số bất kì đều có thể so sánh được
với nhau thông qua một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian tuyến
tính, ta không có tính chất như vậy. Tuy nhiên bằng cách sử dụng khái niệm
nón trong không gian tuyến tính, người ta vẫn có thể đưa ra một thứ tự từng
phần để so sánh hai phần tử với nhau. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính, C là một tập con của Y .
Ta nói C là nón có đỉnh tại điểm gốc của Y nếu tc C với mọi c C, t 0 .
Trong luận văn này, chúng ta chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại điểm gốc
và khi nói đến nón ta hiểu là nón có đỉnh tại điểm gốc.
Nón C được gọi là nón lồi (đóng) nếu C là tập lồi (đóng). Kí hiệu
cl C, int C , conv C tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của C . Kí
hiệu l C C C là phần trong tuyến tính của C . Khi đó, nếu C là nón
lồi thì l C là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C .
Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón C trong không gian
tôpô tuyến tính Y như sau: Với x, y Y , x y nếu x y C . Để đơn giản ta
C
viết
x y
nếu không có sự nhầm lẫn. Với
x y C \ l C và x
y nếu x y int C .
x, y Y , x > y
nếu
5
Ví dụ 1.1.1 i) Xét Y
x x1 , x2 ,
C
n
và
được
gọi
n
x x1 , x2 ,
nón
, n . Với
, xn xi 0, i 1,
là
, xn xi , i 1,
, n thì C là nón lồi, đóng trong Y
Orthant
dương
trong
n
.
Với
C x x1 , x2 ,
, xn x1 0 thì C là nón lồi nhưng không đóng trong Y .
Tập C x1 > 0 x1 0, x2 > 0
x1 x2
xn1 0, xn > 0 cũng
là một nón trong Y và được gọi là nón từ điển.
ii) Xét Y
Tập C
x ,
1
x ,
1
, xn ,
, xn ,
coù höõu haïn caùc phaàn töû x
i
khaùc 0 .
coù phaàn töû khaùc 0 cuoái cuøng laø khoâng aâm
là
nón trong Y và được gọi là nón trải khắp.
Tiếp theo ta xét một số khái niệm về các loại điểm hữu hiệu. Đây là các
khái niệm nền tảng của tối ưu véctơ.
Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi
nón C . Xét A là một tập con của Y , A , Y . Cho a A .
i) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C nếu
a a với mọi a A . Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối
với nón C là IMin A, C . Ta có a IMin A, C khi và chỉ khi A a C .
ii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C nếu
a b , với b nào đó, thì b a . Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của
A đối với nón C là Min A, C . Ta có a Min A, C khi và chỉ khi
A a C a .
6
iii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C (
int C và C Y ) nếu a là điểm hữu hiệu đối với nón C0 A \ 0 . Kí hiệu
tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là WMin A, C . Ta có a WMin A, C khi
và chỉ khi A a int C .
iv) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu
tồn tại hình nón lồi K khác Y sao cho C \ l C int K và a Min A, K .
Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C là
PrMin A, C . Ta có a PrMin A, C khi và chỉ khi A a K a .
Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu:
IMin A, C PrMin A, C Min A, C WMin A, C .
1.2 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y là hai tập bất kì. Cho F : X
Y là ánh xạ đa trị
từ X vào Y , tức là một ánh xạ đơn trị từ tập X vào một tập 2Y gồm toàn bộ
các tập con của Y . Như vậy, với mỗi x X , F x là một tập con của Y và
F x được gọi là ảnh của x qua F . Ta nói F có giá trị khác rỗng nếu
F x với mọi x X .
Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) dom F và đồ thị Graph F của ánh xạ
đa trị F : X
Y được định nghĩa như sau:
dom F x X : F x ;
Graph F x, y X Y : x dom F , y F x .
7
Giả sử X , Y là các không gian véctơ tôpô. Bao lồi, bao đóng của ánh xạ F
lần lượt được kí hiệu là Conv F , Cl F và được định nghĩa bởi:
Conv F y Y : x, y co Graph F , x X ,
Cl F y Y : x, y Graph F , x X ,
trong đó co Graph F , Graph F lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứa Graph F
và bao đóng của tập Graph F .
Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F 1 : Y
X được xác định bởi:
F 1 y x X : y F x , với y Y .
Giả sử X , Y là các không gian véctơ tôpô và F : X
Y là một ánh xạ
đa trị. Ta nhắc lại một số định nghĩa sau:
i) F được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu Graph F là tập đóng (mở) trong
không gian tôpô tích X Y .
ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F x là tập đóng với mọi
x X .
iii) Nếu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọi là ánh xạ có giá
trị lồi nếu F x là tập lồi, với mọi x X .
iv) F được gọi là ánh xạ compắc nếu F x là tập compắc trong Y với
mọi x X .
Cho X , Y là các không gian véctơ tôpô, F : X
có các tính chất sau:
Y là ánh xạ đa trị. Ta
8
i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng.
ii) F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy x x, y F x và
y y thì ta có y F x .
1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương. F : X
Y là một ánh
xạ đa trị. Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa sau được đưa ra bởi Berge:
1) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x0 X nếu với mọi tập mở
V Y thỏa mãn F x0 V thì tồn tại một lân cận mở U X của x0 sao
cho F U V . F được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) trên X nếu
nó là nửa liên tục trên tại mọi x X .
2) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 X nếu với mọi tập
mở V Y thỏa mãn F x0 V thì tồn tại một lân cận mở U X của
x0 sao cho F u V , với mọi u U . F được gọi là nửa liên tục dưới
(viết tắt là l.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x X .
3) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x X nếu F vừa là nửa liên tục
trên vừa là nửa liên tục dưới tại x . Nếu F liên tục tại mọi điểm x X thì ta
nói F liên tục trên X .
Khi xét ánh xạ đơn trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục
dưới là trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết. Ví dụ sau chỉ ra sự
khác nhau giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh
xạ đa trị.
9
là hai ánh xạ đa trị được xác định như sau:
Ví dụ 1.3.1 Xét F , G :
1,1
Fx
0
neáu x 0,
neáu x 0.
0
Gx
1,1
neáu x 0,
neáu x 0.
Dễ thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại x 0 nhưng không là nửa liên
tục dưới tại x 0 . Ánh xạ G là nửa liên tục dưới tại x 0 nhưng không là
nửa liên tục trên tại x 0 .
Ta có các tính chất sau:
i) Cho F : X
Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy
x x, y F x , y y thì y F x . Ngược lại, nếu F x là tập đóng
và mọi dãy x x, y F x kéo theo y y F x thì F là nửa liên tục
trên tại x .
ii) Cho F : X
Y , F x là compắc và F x . Khi đó F là nửa liên
tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi dãy x x, y F x đều tồn tại
y F x để y y .
Định nghĩa 1.3.1 Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D
là tập con của X , D . Giả sử C là một nón trong Y và F : X
Y là một
ánh xạ đa trị. Ta có các định nghĩa sau:
i) F là C - liên tục trên (tương ứng, C - liên tục dưới) tại x0 X nếu
với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho:
10
F x F x0 V C (tương ứng, F x0 F x V C )
với mọi x U dom F .
ii) F là C - liên tục tại x0 nếu F đồng thời là C - liên tục trên và là C
- liên tục dưới tại x0 .
iii) F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục trên
D X nếu F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục tại mọi
xD .
Chú ý: i) Nếu ánh xạ F là đơn trị khi hạn chế trên D X thì tính C - liên
tục trên và C - liên tục dưới của F là trùng nhau, và ta nói F là C - liên tục,
tức là: F là C - liên tục tại x0 D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn
tại lân cận U của x0 trong X sao cho:
F x F x0 V C (hoặc, F x0 F x V C ), x U dom F .
ii) Nếu Y , C
x : x 0 thì một ánh xạ đa trị F là C -
liên tục tại x0 D khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x0 , một
ánh xạ đơn trị F là C - liên tục tại x0 D khi và chỉ khi F là nửa liên tục
trên tại x0 (ở đây C
Cho F : D
x : x 0 ).
Y là một ánh xạ đa trị và C Y là một nón lồi, đóng. Khi
đó:
1) Nếu F là C - liên tục trên tại x0 dom F và F x0 C là tập đóng,
thì với mọi dãy x x0 , y F x C , y y0 ta có y0 F x0 C .
Ngược
lại,
nếu
F
là
compắc
và
với
mọi
dãy
11
x x0 , y F x C , y y0 ta có y0 F x0 C thì F là C - liên tục
trên tại x0 .
2) Nếu F x0 là compắc và là C - liên tục dưới tại x0 dom F , thì với
mọi dãy x x0 , y0 F x0 C đều tồn tại dãy y , y F x và có dãy
con y , sao cho y y0 c C . Ngược lại, nếu F x0 là tập compắc và
mọi dãy x x0 và y0 F x0 C đều tôn tại dãy y , y F x và một
sao cho y
dãy con y
y0 c C thì F là C - liên tục dưới tại x0 .
1.4 Tính lồi và tính tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.4.1 Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô, D là tập con lồi
của X . Giả sử C là một nón lồi trong Y , F : X
Y là một ánh xạ đa trị.
a) F là C - lồi trên (tương ứng C - lồi dưới) nếu
F x 1 F y F x 1 y C
(tương ứng, F x 1 y F x 1 F y C ),
với mọi x, y dom F và 0,1 .
b) F được gọi là C - tựa lồi trên trong D nếu với mọi t 0,1 ,
hoặc F x1 F tx1 1 t x2 C ,
hoặc F x2 F tx1 1 t x2 C
luôn đúng với mọi x1 , x2 D .
12
c) F là C - tựa lồi dưới trong D nếu với mọi t 0,1 thì
hoặc F tx1 1 t x2 F x1 C ,
hoặc F tx1 1 t x2 F x2 C
luôn đúng với mọi x1 , x2 D .
Chú ý:
i) Nếu F : D Y là một ánh xạ đơn trị thì tính C - lồi trên và C -
lồi dưới là trùng nhau và gọi là C - lồi. Nói riêng, với Y , C
thì ta có
khái niệm hàm lồi theo nghĩa thông thường.
ii) Nếu F : D Y là một ánh xạ đơn trị thì khái niệm C - tựa lồi trên và
C - tựa lồi dưới là trùng nhau và được gọi là C - tựa lồi. Tức là F là C - tựa
lồi
trong
D
nếu
với
x1 , x2 D, t 0,1
mọi
F x1 F tx1 1 t x2 C
ta
có
F x1 F tx1 1 t x2 )
(hay
C
hoặc
hoặc
F x2 F tx1 1 t x2 C (hay F x2 C F tx1 1 t x2 ) luôn đúng.
Trong trường hợp Y , C
F x1 F tx1 1 t x2
hoặc
thì ta có F là C - tựa lồi tức là
F x2 F tx1 1 t x2
với
mọi
x1 , x2 D, t 0,1 . Dẫn đến F tx1 1 t x2 Max F x1 , F x2 , Do đó
F là hàm tựa lồi theo nghĩa thông thường.
1.5 Ánh xạ tựa đơn điệu
Định nghĩa 1.5.1
i) Cho X là một không gian véctơ tôpô lồi địa phương,
D X là một tập con. Hàm số g : D D
g x, y g y, x 0 với mọi x, y D .
được gọi là đơn điệu nếu
13
ii) Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff,
D X là một tập con, C là một nón trong Y . Ta nói ánh xạ G : D D Y
là đơn điệu đối với nón C nếu G x, y G y, x C với mọi x, y D .
Tiếp theo, ta xét các khái niệm ánh xạ tựa đơn điệu, các khái niệm này
bao hàm các khái niệm ánh xạ đơn điệu ở trên:
Định nghĩa 1.5.2
i) Cho X là không gian tuyến tính lồi địa phương,
D X là một tập con. Hàm số g : D D
được gọi là tựa đơn điệu nếu
với x, y D, g x, y 0 ta suy ra g y, x 0 .
ii) Cho X , Y , Z là các không gian tôpô tuyến tính, D X , K Y là các
tập con khác rỗng, C Z là một nón. Cho ánh xạ đa trị T : D D
K và
ánh xạ đơn trị F : K D D Z . Ta nói T được gọi là F - tựa đơn điệu
trong K đối với nón C nếu với x1 ,
i 1, 2,
, xn D và x co x1 ,
, xn đều tồn tại
, n sao cho y T xi , x , F y, xi , x F y, x, x C (hay với
mọi y T xi , x , F y, xi , x C F y, x, x ).
1.6 Một số định lý bổ trợ
Mục này ta nhắc lại một số định lý như định lý KKM – Fan, định lý về giao
hữu hạn của một tập compắc, các định lý về điểm bất động, … Các định lý
này sẽ được sử dụng trong các chứng minh ở các chương sau.
Định nghĩa 1.6.1 Cho X là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị
G: A X
a , a ,
1
2
X được gọi là ánh xạ KKM trên A nếu với mọi tập con hữu hạn
, ak A , và với mọi phần tử a trong bao lồi của a1 , a2 ,
có thể tìm được chỉ số i sao cho a G ai .
, ak ta
14
Định lý 1.6.1 (Định lý KKM – Fan). [3] Giả sử X là không gian véctơ tôpô,
A X là tập lồi khác rỗng và G : A
đóng. Nếu A là compắc thì ta có
A là ánh xạ KKM với tập giá trị
G x .
xA
Định lý 1.6.2 (Tính chất giao hữu hạn của tập compắc). Cho một họ các tập
compắc Ci : i I . Nếu với mọi tập hữu hạn các phần tử của họ có điểm
chung thì giao của họ cũng có điểm chung, tức là
iI
Ci , và ta gọi họ
C : i I là có tính chất giao hữu hạn.
i
Định lý 1.6.3 (Định lý điểm bất động của Kakutani – Fan). [3] [6] Cho X là
không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A là tập lồi, compắc, khác rỗng
trong X . Ánh xạ F : A
A là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, F có giá trị
lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn tại x A sao cho x F x (tức là x là điểm
bất động của F ).
Định lý 1.6.4 (Định lý điểm bất động của Fan – Browder). [2] Cho X là
không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A X là tập compắc, lồi, khác rỗng.
Cho G : A
A là ánh xạ đa trị với A
aA
sao cho a coG a .
int G 1 a . Khi đó tồn tại a A
15
Chương 2
Bài toán quan hệ biến phân
Trong chương này trình bày về bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR)
(Variational relation) được GS. Đinh Thế Lục nghiên cứu trong tài liệu [7].
Bài toán này cho ta một cách tiếp cận thống nhất để nghiên cứu các mô hình
khác nhau của lý thuyết tối ưu đa trị, lý thuyết cân bằng và bao hàm thức biến
phân. Một trong các kết quả quan trọng của chương 2 là định lý về sự tồn tại
nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (định lý 2.3.2). Định lý này được sử
dụng chứng minh một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán
trong lý thuyết tối ưu.
2.1 Bài toán quan hệ biến phân
Trong suốt mục này, ta luôn xét A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S1 : A
S2 : A
B, T : A B
A,
Y là các ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử
R a, b, y A B Y là một quan hệ ba ngôi giữa a A, b B, y Y . Nếu
ba phần tử này có quan hệ R ta nói rằng R a, b, y xảy ra. Xét bài toán sau,
được kí hiệu là (VR).
Tìm a A sao cho:
1) a là điểm bất động của S1 , tức là a S1 a .
2) R a, b, y xảy ra với mọi b S2 a , y T a, b .
16
Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh
xạ đa trị S1 , S2 , T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ
R thường được xác định bởi các đẳng thức và bất đẳng thức của các hàm
thực, hoặc bởi những bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị.
Tiếp theo ta xét một số ví dụ về những bài toán cơ bản của bài toán quan
hệ biến phân:
2.2 Ví dụ về bài toán quan hệ biến phân
Ví dụ 2.2.1 (Bài toán tối ưu). Giả sử X , , là các tập khác rỗng. Cho
f : X R và hai họ hàm thực g x, , và h x, , . Giả sử
S1 a X , S2 a x X : g x, 0,
A B Y X ,
và
h x, 0, , trong đó , là hai tập khác rỗng, T a, b b với
mọi a, b X . Bài toán đặt ra là tìm x X sao cho f y f x 0 với mọi
y X .
Ta định nghĩa một quan hệ R như sau:
R a, b, y xảy ra nếu và chỉ nếu f y f a 0 .
Khi đó bài toán tối ưu là trường hợp riêng của bài toán (VR) với quan hệ R
được định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.2.2 (Bài toán cân bằng). Giả sử X là một tập khác rỗng,
:X X .
Giả
sử
A B Y X ,
S1 a X , S2 a X
và
T a, b b với mọi a, b X . Bài toán đặt ra là tìm x X sao cho
x, y 0 , với mọi y X .
17
Quan hệ biến phân R được định nghĩa như sau:
R a, b, y xảy ra nếu và chỉ nếu a, y 0 .
Khi đó bài toán cân bằng là trương hợp riêng của bài toán (VR) với quan hệ
R được định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.2.3 (Bài toán bao hàm thức biến phân). Cho A, B, Y , S1 : A
S2 : A
B, T : A B
A,
B là các ánh xạ đa trị có tập giá trị khác rỗng. Xét
F , G là các ánh xạ đa trị trên A B Y lấy giá trị trong không gian Z . Bài
toán bao hàm thức biến phân là: Tìm x X sao cho x S1 x
và với
b S2 x , y T x, b ta có F x, b, y G x, b, y .
Quan hệ R được định nghĩa là:
R a, b, y xảy ra nếu và chỉ nếu F a, b, y G a, b, y .
Nhận xét thấy bài toán bao hàm thức biến phân cũng chính là trường hợp
riêng của bài toán (VR) khi ta định nghĩa quan hệ R như trên.
2.3 Các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (VR), ta định
nghĩa ánh xạ đa trị P : B
A như sau:
P b A \ S21 b a A : a S1 a , R a, b, y xảy ra y T a, b .
Trước hết ta chứng minh một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán
quan hệ biến phân (VR) dựa trên sự tương giao khác rỗng giữa tập ảnh của
- Xem thêm -