Tài liệu Bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu

§å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------ε i φ m (x) 5 ∑ [ P ( x) − y ] 2 2 2 ( x ) 2 ( x) 2 ( x) σ 5 2 ( xi ) 2 1 n ∑y i =1 i x r i n ∑y i =1 m   1 1 n 2 m σn = [ y, y ] − ∑ a j y, R j  = ∑ yi − ∑ a j y, R j  n n  i =1 j =0 j =0   [ ] 2 i n ] ∑y x [ n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i r i ∑ yi xir + α r(1) ∑ yi xir −1 + ... + α r( r −1) ∑ yi xi + α r(r ) ∑ yi n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ yi xir + ∑α r(1) yi xir −1 + ... + ∑α r( r −1) yi xi + ∑α r( r ) yi [ y, Rr ] = ∑ yi Rr ( xi ) = ∑ yi { xir + α r(1) xir −1 + ... + α r( r −1) xi + α r( r ) } n n i =1 i =1 n ∑[ Rm ( xi )] 2 i =1 n ∑ [ R ( x )] 1 2 i i =1 n n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ xi [ Rr ( xi )]2 = ∑ xi2r +1 + α r(1) ∑ xi2r + ... + α r( r ) ∑ xir +1 + α r(1) ∑ xir Rr ( xi ) n ∑x 2 r +1 i +α (1) r i =1 n ∑x 2r i + ... + α ( r −1) r i =1 n ∑x r +2 i +α (r ) r i =1 n ∑x r +1 i i =1 n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ xi2r +1 + ∑ α r(1) xi2r + ... + ∑ α r( r −1) xir +2 + ∑ α r( r ) xir +1 n ∑x i =1 2 r +1 i + α r(1) xi2 r + ... + α r( r −1) xir + 2 + α r( r ) xir +1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------n n i =1 i =1 { ∑ xir +1 Rr ( xi ) = ∑ xir +1 xir + α r(1) xir −1 + ... + α r(r −1) xi + α r(r ) n ∑ψ r −1 i =1 } ( xi ) Rr ( xi ) = [ψ r −1 , Rr ] = 0 n n n i =1 i =1 i =1 ∑ xir +1 R r ( xi ) + α r(1) ∑ xir Rr ( x) + ∑ψ r −1 ( xi ) Rr ( xi ) n ∑x i =1 r +1 i n i =1 n ∑ x [R i i =1 i i =1 n ∑x i =1 r i n r { ( xi )] = ∑ xi 2 n ∑x R n R r ( xi ) + ∑ α x Rr ( x) + ∑ψ r −1 ( xi ) Rr ( xi ) (1) r i =1 r i r +1 i =1 r n r −1 } + α r(1) xi + ψ r −1 ( xi ) Rr ( xi ) ( x i ) R r ( x i ) = ∑ x Rr r i i =1 [ψ , R ] ( x ) r −1 r i n ∑x i =1 r i Rr ( xi ) + [ψ r −1 , Rr ] n Rr ( xi ) + ∑ψ r −1 ( xi ) Rr ( xi ) i =1 n n i =1 i =1 { } ∑ xi .Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) = ∑ x i + ψ r-1 (x i ) Rr ( xi ) n ∑x i =1 2r i +α (1) r n ∑x i =1 2 r −1 i + ... + α r ( r −1) r n ∑x i =1 r +1 i +α (r ) r n n ∑ x ∑ [ R ( x )] i =1 r i n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 r ∑ xi2r + α r(1) ∑ xir xir −1 + ... + α r( r −1) ∑ xir xi + α r( r ) ∑ xir n ∑x i =1 2r i n + ∑α i =1 (1) r r i x x r −1 i n + ... + ∑ α i =1 ( r −1) r n x xi + ∑ α r( r ) xir r i i =1 i 2 = §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------n ∑x i =1 n ∑ [ R ( x )] r n ∑x i =1 2 i + ... + α xi + α ( r −1) r (r ) r ] [ ] [ Rr ( xi ) + α (1) r n ∑x r −1 i Rr ( xi ) + ... + α ( r −1) r i =1 n Rr ( xi ) + ∑ α r i i =1 Rr ( x i ) (1) r xi r −1 i =1 s [ψ s , Rr ] = ∑ k =0 r ∑x i n Rr ( xi ) + ... + ∑ α ∑ [ R ( x )] = ∑ R ( x ) { x i n ] Rr ( x i ) + α i (r ) r i =1 n 2 r i =1 r i i =1 r i } ∑x n = ∑ xir Rr ( xi ) + α r(1) .0 + ... + α r( r −1) . 0 + α r( r ) .0 [ n i =1 x r −1 i Rr ( xi ) + α r(1) x r −1 , Rr + ... + α r( r −1) x 1 , Rr + α r( r ) x 0 , Rr n i =1 (1) r n i =1 ∑x r i r i n ∑x r i i =1 n i =1 { Rr ( x i ) = ∑ x x + α r i i =1 r ( r −1) r [ k a k . 0 = 0 ( s < r ) ∑ a k x , Rr k =0 ∑ R (x ) r i i =1 n xi Rr ( xi ) + ∑ α r( r ) Rr ( xi ) i =1 + α r(1) x r −1 + ... + α r( r −1) x + α r( r ) s n ] ∑ a ∑ x  s n k =0 k i =1 [ k i }  Rr ( x i )   ] n n a0( k ) ak( k−1) k  s k x , Rr = ∑ xik Rr ( x) = ∑ a k xi  Rr ( xi ) [ψ s , Rr ] = ∑ψ s ( xi ) Rr ( xi ) ∑ i =1 i =1 i =1  k = 0  n [ R0 , Rr ] a0( k ) [ R k −1 , Rr ] ak( k−1) [ Rk , Rr ] + n n n i =1 i =1 i =1 ∑ Rk ( xi ) Rr ( xi ) + ak( k−1) ∑ Rk −1 ( xi ) Rr ( xi ) + ... + a0( k ) ∑ R0 ( xi ) Rr ( xi ) n n n i =1 i =1 i =1 ∑ Rk ( xi ) Rr ( xi ) + ∑ ak( k−1) Rk −1 ( xi ) Rr ( xi ) + ... + ∑ a0( k ) R0 ( xi ) Rr ( xi ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------- ∑ {R n i =1 [x k k } ( xi ) + a k( k−1) Rk −1 ( xi ) + ... + a1( k ) R1 ( xi ) + a 0( k ) R0 ( xi ) Rr ( xi ) ] n , Rr = ∑ xik Rr ( x) = i =1 x = R1 ( x) + a 0(1) R0 ( x)  2 ( 2) ( 2) x = R2 ( x) + a1 R1 ( x) + a 0 R0 ( x)  ......................................................  k (k ) (k ) (k ) x = Rk ( x ) + a k −1 Rk −1 ( x ) + ... + a1 R1 ( x) + a 0 R0 ( x) .................................................................................  r (r) (r ) (r )  x = Rr ( x ) + a r −1 Rr −1 ( x) + ... + a1 R1 ( x ) + a 0 R0 ( x) α r(r ) α r( 2 ) α r(1)  R0 ( x) = 1  R ( x) = x + α 1  1 2  R2 ( x) = x + α 2(1) x + α 2( 2 )  . . ...........................................................  R ( x) = x k + α (1) x k −1 + ... + α ( k −1) x + α ( k ) k k k  k .............................................................  R ( x) = x r + α (1) x r −1 + ... + α ( r −1) x + α ( r )  r r r r n n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ xi [ Rr ( xi )] 2 = ∑ xi2r +1 + α r(1) ∑ xi2r + ... + α r( r ) ∑ xir +1 + α r(1) ∑ xir Rr ( xi ) n ∑x R i =1 i n r −1 ( xi ) Rr ( xi ) = ∑ xir Rr ( xi ) i =1 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ xi2 r + α r(1) ∑ xi2 r −1 + ... + α r( r −1) ∑ xir +1 + α r( r ) ∑ xir n ∑ [ R ( x )] r i =1 n = ∑ x Rr ( xi ) 2 i i =1 r i γ r +1 β r +1 n β r +1 = − ∑ x [ R ( x )] i i =1 n r ∑ [ R ( x )] r i =1 n n i =1 i =1 2 i 2 i ∑ xi [ Rr ( xi )] 2 + β r +1 ∑ [ Rr ( xi )] = 0 n [ Rr , Rr +1 ] = ∑ xi [ Rr ( xi )] 2 2 i =1 n + β r +1 ∑ [ Rr ( xi )] 2 n n i =1 i =1 i =1 n n n i =1 i =1 i =1 ∑ R ( x )R r i =1 i =1 n n i r −1 ( xi ) = [ Rr , Rr −1 ] = 0 ∑ xi [ Rr ( xi )] 2 + β r +1 ∑ [ Rr ( xi )] 2 + γ r +1 ∑ Rr ( xi ) Rr −1 ( xi ) ∑ xi Rr ( xi ) Rr ( xi ) + ∑ β r +1 Rr ( xi ) Rr ( xi ) + ∑ γ r +1 Rr ( xi ) Rr −1 ( xi ) n [ Rr , Rr +1 ] = ∑ Rr ( xi ){ ( xi + β r +1 ) Rr ( xi ) + γ r +1 Rr −1 ( xi )} = i =1 n n [ Rr , Rr +1 ] = ∑ Rr ( xi ) Rr +1 ( xi ) = 0 i =1 γ r +1 = − ∑x R i =1 i ∑x R i =1 i n r −1 ( xi ) Rr ( xi ) n ∑[R i =1 n r −1 r −1 ( xi )] 2 ( xi ) Rr ( xi ) + γ r +1 ∑ [ Rr −1 ( xi )] = 0 2 i =1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------n n i =1 i =1 [ Rr −1 , Rr +1 ] = ∑ xi Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) + γ r +1 ∑ [ Rr −1 ( xi )] 2 n ∑R i =1 r −1 ( xi ) Rr ( xi ) = [ Rr −1 , Rr ] = 0 n n n i =1 i =1 i =1 ∑ xi Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) + β r +1 ∑ Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) + γ r +1 ∑ [ Rr −1 ( xi )]2 n n n i =1 i =1 i =1 ∑ xi Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) + ∑ β r +1 Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) + ∑ γ r +1 Rr −1 ( xi ) Rr −1 ( xi ) n [ Rr −1 , Rr +1 ] = ∑ Rr −1 ( xi ){ ( xi + β r +1 ) Rr ( xi ) + γ r +1 Rr −1 ( xi )} = i =1 n [ Rr −1 , Rr +1 ] = ∑ Rr −1 ( xi ) Rr +1 ( xi ) = 0 i =1 n  2 x i [ Rr ( xi )] ∑   β r +1 = − i =1n  [ Rr ( x i ) ] 2 ∑  i =1  n  xi Rr −1 ( xi ) Rr ( xi ) ∑  i =1 n γ r +1 = − 2  [ Rr −1 ( xi )] ∑  i =1 ≥ (5 −11) (5 −12) α n n n 1 n α 1 = − ∑ xi [ R1 , R0 ] = ∑ R1 ( xi ).1 = ∑ ( xi + α 1 ) = ∑ xi + nα 1 = 0 n i =1 i =1 i =1 i =1 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------σn = m m  n  1 [ y, y ] − ∑ a j y, R j  = 1 ∑ y i2 − ∑ a j y, R j  n n  i =1 j =0 j =0   [ ] [ n   [ Rr , Rs ] = ∑ Rr ( xi ) Rs ( xi ) = 0 (r ≠ s ) i =1  n [ Rr , Rs ] = ∑ Rr2 ( xi ) ≠ 0 (r = 0,1, ..., m)  i =1 ] i −11 −11 −11 −10 −10 −10 −9 −9 −8 −7 −9 −9 −9 −9 −8 −8 −8 −8 −7 −7 −6 −6 −6 −6 −6 −6 −6 −6 −6 −6 −9 −9 −9 −9 −8 −8 −8 −8 −7 −7 −7 −7 −7 −7 −7 −7 −6 −6 −6 −6 α1 −10 α5 α4 α3 α2 −10 −9 −9 −9 −8 −8 −7 −7 −5 −8 −8 −8 −8 −8 −7 −7 −7 −6 −5 −8 −8 −8 −8 −8 −8 −8 −8 −8 −7 −8 −8 −8 −8 −8 −8 −7 −7 −6 −6 −7 −7 −7 −7 −7 −7 −6 −6 −6 −6 α 5 α 4 α 3 α 2 α1 ∑ ∑ n α 5 ∑ u i2 y i − α 4 ∑ y i α 2 ∑ u i y i i =1 α 3 ∑ y i − α 4 ∑ u i2 y i α 2 ∑ u i y i α 1 ∑ y i 2 1 0 m αi αi  u i4 1 1 ∑ ;α 3 =  α 1 = ;α 2 = n n∑ u i4 − ∑ u i2 ∑ ui2   n ∑ u i2 α = ;α 5 = 4 2  n∑ u i4 − ∑ u i2 n∑ u i4 − ∑ u i2  ( )  y i ∑ u i4 − ∑ u i2 y i ∑ u i2 ∑ b0 = 2 n∑ u i4 − ( ∑ u i2 )    ∑ u i yi b1 =  u i2 ∑   n∑ u i2 y i − ∑ y i ∑ u i2  b2 = 4 2 2 n u − ( u )  ∑ ∑ i i  ( ) 2 ; ( ) 2 ;......  n.b0 + b2 ∑ u i2 = ∑ y i  b1 ∑ u i2 = ∑ u i y i  2 4 2 b  0 ∑ u i + b2 ∑ u i = ∑ u i y i ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------- 1  b0 = n ∑ y i  ∑ ui yi b1 =  ∑ ui2 n n ∑u = ∑u i i =1 3 i  b0 n = ∑ y i  2 b1 ∑ u = ∑ u i y i n n i =1 i =1 ∑ u1 = ∑ ui3 = .... = 0 2k 2 1 = .... = 0 i =1 n n n n  2 m b n + b u + b u + .... + b u = yi ∑ 0 1∑ i 2∑ i m∑ i  i =1 i =1 i =1 i =1  n n n n n  b0 ∑ u i + b1 ∑ u i2 + b2 ∑ u i3 + .... + bm ∑ u im +1 = ∑ u i y i  i =1 i =1 i =1 i =1 i =1  ...................................................................................... n n n n  n m m +1 m+ 2 2m b0 ∑ u i + b1 ∑ u i + b2 ∑ u i + ... + bm ∑ u i = ∑ u im y i  i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n ∑ xi y i σn = 1 n [ yi − Pm ( xi )] 2 = ∑ n i =1 i =1 i =1 ∑ yi n ∑ xi2 yi i =1 ∑ xi2m i =1 n ∑ xi2 i =1 n ∑x i =1 i n  1 n 2 m j y − a ∑ i ∑ j ∑ y i x i  n  i =1 j =0 i =1  i n ∑x i =1 m i yi §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------n n n n  2 m a n + a x + a x + .... + a x = yi ∑ 0 1∑ i 2∑ i m∑ i  i =1 i =1 i =1 i =1  n n n n n 2 3 m + 1  a x + a x + a x + ... + a x = xi y i ∑ 0∑ i 1∑ i 2∑ i m∑ i  i =1 i =1 i =1 i =1 i =1  ....................................................................................... n n n n  n m m +1 m+2 2m a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi + ... + a m ∑ xi = ∑ xim y i  i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n m [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) = ∑ xir + s [ y, ϕ r ] = ∑ yiϕ r ( xi ) = ∑ yi xir ϕ m ( x) = x i =1 ϕ1 ( x) = x ϕ 0 ( x) = 1 {ϕ i (x)} i =1 i =1 m [ y, ϕ ] [ y , ϕ ] ∑ 2 ϕj σn = m 1  [ y, y ] − ∑ [ y, ϕ i2] n j =0 ϕi  [ϕ i , ϕ i ] ai = [ y, ϕ i ] ϕ 2    2 j j j =0 i −1 2 ϕj ≥0 2 m m i =0 i =0 ∑ ai [ y, ϕ i ] = ∑ m (r ) r ( x ) = ∑ α s ϕ s ( x) [ y, ϕ i ] 2 2 ϕi ai = [ y, ϕ i ] = [ y, ϕ i ] [ϕ i , ϕ i ] ϕ i 2 ϕ r = 1 ϕ r (x) s =0 ϕr 2 n = [ϕ r , ϕ r ] = ∑ ϕ r2 ( xi ) ϕr   [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) = 0.( r ≠ s ) i =1  n [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r2 ( xi ) ≠ 0.(r = 0,1,...., m)  i =1 i =1 σn = n m [ m  1 a j y, ϕ j [ y, y ] − ∑ a j y, ϕ j  = [ y, y ] − ∑ j = 0 n j =0  [ ] ] ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------n m m   m   2 [ y i − φ m ( xi )] =  y − ∑ a j ϕ j , y  ∑ ai [ y, ϕ i ] − ∑ a j [ϕ i , ϕ j ] = 0 ∑ i =1 j =0 j =0   i =0   m m m m    m   a [ y , ϕ ] − a ϕ , ϕ y − a ϕ , a ϕ = a y − a jϕ j ,ϕ j  = ∑ ∑ i i j i j   ∑ ∑ ∑ j j ∑ j j j i =0 j =0 j =0 j =0 j =0    i =0   [ m ] m m m m m j =0 j =0 j =0 j =0 j =0 = [ y − ∑ a j ϕ j , y ] − [ y − ∑ a jϕ j , ∑ a jϕ j ] y − ∑ a j ϕ j , y − ∑ a j ϕ j ] m   = ∑  yi − ∑ a jϕ j ( xi ) i =1  j =0  n ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),...., ϕ m ( x) 2 φ (x) 1 n [ y i − φ m ( x )] 2 m ∑ n i =1 n ∑ [ yi − φm ( xi )] 2 σ m = i =1 m φ m ( x) = ∑ aiϕ i ( x ) ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),...., ϕ m ( x) ϕ 0 , ϕ1 ,.....ϕ m i =0 [ϕ 0 , ϕ 0 ][ϕ 0 , ϕ1 ]......[ϕ 0 , ϕ m ] ϕ 0 , ϕ1 ,....., ϕ m ) [ϕ i , ϕ j ] φ m (x) ϕ r ( xi ) ϕ r ∂F ∂F ∂F ∂a m ∂a1 ∂a 0 [ϕ1 , ϕ 0 ][ϕ1 , ϕ1 ]......[ϕ1 , ϕ m ] ............................................ [ϕ m , ϕ 0 ][ϕ m , ϕ1 ].....[ϕ m , ϕ m ] n ∑[ y i =1 i − ϕ 0 ( xi )a 0 − ϕ1 ( xi )a1 − .... − ϕ m ( xi )a m ] 2 m ∑ a ϕ ( x) i i =0 σ n ϕ (x) ϕ (x) σ n α σ n α 2ω ≥ 1 n 2 [ y − ϕ ( x )] ∑ i i n i =1 b ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] a 2 dx ε 2 (b − a ) ε ε σ σ n ω α b ∫ a φ m (x) ≥ ϕ (x) i k bi ∑ ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] 2 dx ≥ i =1 ai 1 σ2ϕ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx b − a 2 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán ϕ (x ) ϕ (x ) σ σ φ (x ) ε φ (x ) ϕ (x ) ε ϕ ( x n n m i m i i i i 1 n 2 [ f ( x ) − ϕ ( x )] ∑ i i n i =1 dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm Lêi nãi ®Çu To¸n häc lµ mét m«n khoa häc chiÕm vÞ trÝ quan träng kh«ng thÓ thiÕu trong cuéc sèng con nguêi. Cïng víi sù ph¸t triÓn néi t¹i cña to¸n häc vµ c¸c ngµnh khoa häc kh¸c, to¸n häc chia thµnh to¸n lý thuyÕt vµ to¸n øng dông. Gi¶i tÝch sè hay cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p sè lµ m«n khoa häc thuéc lÜnh vùc to¸n øng dông nghiªn cøu c¸ch gi¶i gÇn ®óng c¸c ph¬ng tr×nh, c¸c bµi to¸n xÊp xØ hµm sè vµ c¸c bµi to¸n tèi u. ViÖc gi¶i mét bµi to¸n xÊp xØ hµm sè nh»m môc ®Ých thay mét hµm sè díi d¹ng phøc t¹p nh d¹ng biÓu thøc hoÆc mét hµm sè díi d¹ng b¶ng b»ng nh÷ng hµm sè ®¬n gi¶n h¬n. Trong lý thuyÕt xÊp xØ hµm ngêi ta thêng nghiªn cøu c¸c bµi to¸n néi suy, bµi to¸n xÊp xØ ®Òu vµ bµi to¸n xÊp xØ trung b×nh ph¬ng. Trong ®å ¸n nµy em ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n dïng ph¬ng ph¸p xÊp xØ trung b×nh ph¬ng hay cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng tèi thiÓu ®Ó xÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm. §Ó hoµn thµnh ®å ¸n nµy em xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong khoa To¸n tin øng dông- Trêng ®¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi ®· quan t©m gióp ®ì em vµ t¹o mäi ®iÒu kiÖn cho em trong suèt qu¸ tr×nh lµm ®å ¸n. §Æc biÖt ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------em xin ch©n thµnh göi lêi c¶m ¬n ®Õn PGS-TS Lª Träng Vinh, ngêi ®· trùc tiÕp tËn t×nh híng dÉn, chØ b¶o vÒ kinh nghiÖm vµ tµi liÖu trong suèt qu¸ tr×nh em lµm ®å ¸n tèt nghiÖp. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Hµ Néi, th¸ng 5 n¨m 2008 Bïi V¨n B»ng Ch¬ng I PH¦¥NG PH¸P B×NH PH¦¥NG TèI THIÓU LËP C¤NG THøC Tõ THùC NGHIÖM 1.1 Giíi thiÖu chung 1.1.1 §Æt vÊn ®Ò Cã rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó lËp nh÷ng ®a thøc tõ thùc nghiÖm mµ ta ®· biÕt ®Õn nh phÐp néi suy ®Ó lËp ®a thøc cÊp n: ϕ ( x ) (®¹i sè hoÆc lîng gi¸c) xÊp xØ hµm sè y = f ( x ) mµ ta ®· biÕt c¸c gi¸ trÞ cña hµm nµy lµ y = yi t¹i c¸c ®iÓm x = xi . Ph¬ng ph¸p néi suy nãi trªn khi sö dông trong thùc tiÔn th× cã nh÷ng ®iÒu cÇn c©n nh¾c lµ: + Trong c¸c ®a thøc néi suy ϕ ( x ) ta ®ßi hái) = yi . Tuy nhiªn sù ®ßi hái nµy kh«ng cã ý nghÜa nhiÒu trong thùc tÕ. Bëi v× c¸c sè yi lµ gi¸ trÞ cña hµm y = f ( x ) t¹i c¸c ®iÓm x = xi , trong thùc tÕ chóng ta cho díi d¹ng b¶ng vµ th- êng thu ®îc tõ nh÷ng kÕt qu¶ ®o ®¹c hoÆc tÝnh to¸n trong thùc hµnh. Nh÷ng sè y nµy nãi chung chØ xÊp xØ víi c¸c gi¸ trÞ ®óng f ( xi ) cña hµm y = f ( x ) t¹i x = xi . Sai sè m¾c ph¶i ε i = yi − f ( xi ) nãi chung kh¸c kh«ng. NÕu buéc §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------ϕ ( xi ) = yi th× thùc chÊt ®· ®em vµo bµi to¸n c¸c sai sè cña c¸c sè liÖu ban ®Çu nãi trªn (chø kh«ng ph¶i lµ lµm cho gi¸ trÞ cña hµm néi suy vµ hµm f ( x ) trïng nhau t¹i c¸c ®iÓm x = xi ). + §Ó cho ®a thøc néi suy biÓu diÔn xÊp xØ hµm f ( x ) mét c¸ch s¸t thùc ®¬ng nhiªn cÇn t¨ng sè mèc néi suy xi (nghÜa lµ lµm gi¶m sai sè cña c«ng thøc néi suy). Nhng ®iÒu nµy l¹i kÐo theo cÊp cña ®a thøc néi suy t¨ng lªn do ®ã nh÷ng ®a thøc néi suy thu ®îc kh¸ cång kÒnh g©y khã kh¨n cho viÖc thiÕt lËp còng nh dùa vµo ®ã ®Ó tÝnh gi¸ trÞ gÇn ®óng hoÆc kh¶o s¸t hµm f ( x ) . 1.1.2 Bµi to¸n ®Æt ra ChÝnh v× nh÷ng lý trªn nªn ph¬ng ph¸p t×m hµm xÊp xØ cã thÓ sÏ s¸t thùc h¬n th«ng qua hai bµi to¸n: Bµi to¸n 1(t×m hµm xÊp xØ) Gi¶ sö ®· biÕt gi¸ trÞ yi (i = 1,2,..., n) cña hµm y = f ( x) t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng x = xi . T×m hµm φm ( x) xÊp xØ víi hµm f(x) trong ®ã m φm ( x) = ∑ aiϕi ( x). i=0 (1 - 1) víi lµ nh÷ng hµm ®· biÕt, ai lµ nh÷ng hÖ sè h»ng sè. Trong khi gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy cÇn chän hµm sao cho qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®¬n gi¶n ®ång thêi nhng sai sè cã tÝnh chÊt ngÉu nhiªn (xuÊt hiÖn khi thu ®îc c¸c sè liÖu yi ) cÇn ph¶i ®îc chØnh lý trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n. Trong bµi to¸n t×m hµm xÊp xØ trªn viÖc chän d¹ng cña hµm xÊp xØ lµ tïy thuéc ý nghÜa thùc tiÔn cña hµm f ( x ) . Bµi to¸n 2 (t×m c¸c tham sè cña mét hµm cã d¹ng ®· biÕt) ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------Gi¶ sö ®· biÕt d¹ng tæng qu¸t cña hµm Y = f ( x, a0 , a1,..., am ) (1 - 2) trong ®ã: ai (i = 1,2,..., m) lµ nh÷ng h»ng sè. Gi¶ sö qua thùc nghiÖm ta thu ®îc n gi¸ trÞ cña hµm y = yi (i = 1,2,..., m) øng víi c¸c gi¸ trÞ x = xi cña ®èi. VÊn ®Ò lµ tõ nh÷ng sè liÖu thùc nghiÖm thu ®îc cÇn x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a0 , a1 ,..., am ®Ó t×m ®îc d¹ng cô thÓ cña biÓu thøc (1 – 2): y = f ( x) vÒ sù phô thuéc hµm sè gi÷a y vµ x . 1.2 Sai sè trung b×nh ph¬ng vµ ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng tèi thiÓu t×m xÊp xØ tèt nhÊt víi mét hµm 1.2.1 Sai sè trung b×nh ph¬ng Nh÷ng hµm trong thùc nghiÖm thu ®îc thêng m¾c ph¶i nh÷ng sai sè cã tÝnh chÊt ngÉu nhiªn. Nh÷ng sai sè nµy xuÊt hiÖn do sù t¸c ®éng cña nh÷ng yÕu tè ngÉu nhiªn vµo kÕt qu¶ thùc nghiÖm ®Ó thu ®îc c¸c gi¸ trÞ cña hµm. ChÝnh v× lý do trªn, ®Ó ®¸nh gi¸ sù sai kh¸c gi÷a hai hµm trong thùc nghiÖm ta cÇn ®a ra kh¸i niÖm vÒ sai sè (hoÆc ®é lÖch) sao cho mét mÆt nã chÊp nhËn ®îc trong thùc tÕ, mét mÆt l¹i san b»ng nh÷ng sai sè ngÉu nhiªn (nghÜa lµ g¹t bá ®îc nh÷ng yÕu tè ngÉu nhiªn t¸c ®éng vµo kÕt qu¶ cña thùc nghiÖm). Cô thÓ nÕu hai hµm thùc chÊt kh¸ gÇn nhau th× sai sè chóng ta ®a ra ph¶i kh¸ bÐ trªn miÒn ®ang xÐt. Kh¸i niÖm vÒ sai sè nãi trªn cã nghÜa lµ kh«ng chó ý tíi nh÷ng kÕt qu¶ cã tÝnh chÊt c¸ biÖt mµ xÐt trªn mét miÒn nªn ®îc gäi lµ sai sè trung b×nh ph¬ng. 1.2.2 §Þnh nghÜa §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------Theo ®Þnh nghÜa ta sÏ gäi lµ sai sè (hoÆc ®é lÖch) trung b×nh ph¬ng cña hai hµm f ( x) vµ ϕ ( x ) trªn tËp X = ( x1 , x2 ,..., xn ) nÕu =. (2 - 1) 1.2.3 ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph¬ng §Ó t×m hiÓu ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph¬ng ta gi¶ thiÕt f ( x) , (x) lµ nh÷ng hµm liªn tôc trªn ®o¹n [ a, b ] vµ X = ( x1 , x2 ,..., xn ) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu trªn [ a, b ] a = x1 < x2 < ... < xn = b Theo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh ta cã lim σn =σ n →∞ (2 - 2) Trong ®ã = . (2 - 3) Gi¶ sö f ( x ) − ϕ ( x ) cã trªn [ a, b ] mét sè h÷u h¹n cùc trÞ vµ lµ mét sè d¬ng nµo ®ã cho tríc. Khi ®ã trªn [ a, b ] sÏ cã k ®o¹n riªng biÖt [ ai , bi ] (i = 1,2,..., k ) sao cho f ( x ) − ϕ ( x ) ≥ α (víi x ∈ [ ai , bi ] , (i = 1,2,..., k ) ). Gäi lµ tæng c¸c ®é dµi cña k ®o¹n nãi trªn. Víi n ®ñ lín vµ ®ñ bÐ, tõ (2 – 2) ta suy ra < ( bÐ tïy ý). Tõ(2 - 3) suy ra > . Do ®ã 2 ε  ω < (b − a )  ÷ α  . ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------NghÜa lµ tæng ®é dµi ω cña c¸c ®o¹n [ ai , bi ] sÏ bÐ tïy ý. Tãm l¹i: Víi ®ñ bÐ (n kh¸ lín) th× trªn ®o¹n [ a, b ] (trõ t¹i nh÷ng ®iÓm cña nh÷ng ®o¹n [ ai , bi ] mµ cã tæng ®é dµi ω bÐ tïy ý), ta cã f ( x) − ϕ ( x) < α . Trong ®ã lµ mét sè d¬ng tïy ý cho tríc. Tõ nhËn xÐt trªn ta rót ra nh÷ng ý nghÜa thùc tiÔn cña sai sè trung b×nh ph¬ng nh sau: NÕu sai sè trung b×nh ph¬ng cña hai hµm f(x) vµ trªn tËp hîp n ®iÓm [ a, b ] ⊂ X (n ®ñ lín) mµ kh¸ bÐ th× víi tuyÖt ®¹i ®a sè gi¸ trÞ cña x trªn [a, b] cho sai sè tuyÖt ®èi gi÷a f(x) vµ kh¸ bÐ. 1.2.4 XÊp xØ hµm theo nghÜa trung b×nh ph¬ng Tõ ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph¬ng nãi trªn ta nhËn thÊy nÕu c¸c gi¸ trÞ yi (i = 1,2,..., n) cña hµm f ( x) t¹i c¸c ®iÓm xi vµ nÕu sai sè trung b×nh ph¬ng = kh¸ bÐ th× hµm sÏ xÊp xØ kh¸ tèt víi hµm f ( x) . C¸ch xÊp xØ mét hµm sè lÊy sai sè trung b×nh ph¬ng lµm tiªu chuÈn ®¸nh gi¸ nh trªn gäi lµ xÊp xØ hµm theo nghÜa trung b×nh ph¬ng. Râ rµng: NÕu hµm f ( x) thu ®îc b»ng thùc nghiÖm (nghÜa lµ yi ≈ f ( xi ) ) th× c¸ch xÊp xØ nãi trªn ®· san b»ng nh÷ng sai l¹c t¹i tõng ®iÓm (n¶y sinh do nh÷ng sai sè ngÉu nhiªn cña thùc nghiÖm). §ã lµ lý do gi¶i thÝch lý do v× sao ph¬ng ph¸p xÊp xØ theo nghÜa trung b×nh ph¬ng ®îc sö dông réng r·i trong thùc tiÔn. Ta xÐt trêng hîp ϕ ( x ) lµ phô thuéc c¸c tham sè a0 , a1 ,..., am §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------ϕ ( x) = ( x; a0 , a 1 ,..., am ) . (2 - 4) Trong sè nh÷ng hµm ϕ ( x) cã d¹ng (2 - 4) ta sÏ gäi hµm ϕ ( x) = ( x; a 0 , a1 ,..., a m ) (2 - 5) lµ xÊp xØ tèt nhÊt theo nghÜa trung b×nh ph¬ng víi hµm f ( x) nÕu sai sè trung b×nh ph¬ng ϕ ( x) víi f ( x) lµ bÐ nhÊt. Cô thÓ lµ σ n (a 0 , a1 ,..., a m ) = min σ n ( a0 , a1,..., am ) . Trong ®ã 1 n 2 σ n (a0 , a1 ,..., am ) = [ yi − ϕ ( x; a0 , a1,..., am ) ] ∑ n i =1 . (2 - 6) Tõ (2 - 6) ta nhËn thÊy (2 - 5) t¬ng ®¬ng víi ®¼ng thøc n ∑ [ y − ϕ ( x; a , a ,..., a )] i =1 i 0 1 m 2 n = min ∑ [ yi − ϕ ( x; a0 , a1,..., am ) ] i =1 2 . (2 - 7) Tõ ®ã viÖc t×m hµm xÊp xØ tèt nhÊt (trong sè nh÷ng hµm d¹ng (2 - 4) víi hµm n f ( x) ) sÏ ®a vÒ t×m cùc tiÓu cña tæng b×nh ph¬ng ∑ε i =1 2 i trong ®ã ε i = yi − ϕ ( x; a0 , a1 ,..., am ) . Bëi vËy ph¬ng ph¸p t×m xÊp xØ tèt nhÊt theo nghÜa trung b×nh cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng tèi thiÓu ®Ó xÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------- Ch¬ng II C¸c ph¬ng ph¸p xÊp xØ 2.1 XÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm b»ng ®a thøc suy réng 2.1.1 §Þnh nghÜa Gi¶ sö cho hÖ hµm: ϕ 0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕ m ( x),... Ta sÏ gäi hµm φm ( x ) lµ ®a thøc suy réng cÊp m nÕu φm ( x ) cã d¹ng m φm ( x) = ∑ aiϕi ( x) i =0 . (3 - 1) trong ®ã a0 , a1 ,..., am lµ c¸c hÖ sè h»ng sè. HÖ hµm {ϕ i ( x )} ®· cho gäi lµ hÖ c¬ b¶n. 2.1.2 Néi dung Theo phÇn trªn vÒ t×m hµm xÊp xØ gi¶ sö ®· biÕt n gi¸ trÞ thùc nghiÖm yi (i = 1,2,..., n) cña hµm y = f ( x) t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng xi . Khi ®ã viÖc t×m §å ¸n tèt nghiÖp -------------------------------------------------------------------------------------------mét ®a thøc suy réng cã d¹ng (3 - 1) mµ xÊp xØ víi hµm f ( x) nãi trªn { x1, x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b] sÏ chuyÓn vÒ viÖc t×m m+1 hÖ sè ai trong (3 - 1). §Ó qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®îc ®¬n gi¶n ta xÐt ®a thøc suy réng φm ( x) víi cÊp m kh«ng lín l¾m. Tuy nhiªn ta vÉn ph¶i chän n ®ñ lín do ®ã cã thÓ gi¶ thiÕt n m + 1. Kh¸c víi bµi to¸n néi suy ë ®©y ta kh«ng cÇn x¸c ®Þnh m + 1 gi¸ trÞ ai tõ n ph¬ng tr×nh: yi = φm ( xi ) (i = 1,2,..., n) (v× sè ph¬ng tr×nh thêng nhiÒu h¬n sè Èn). Ta sÏ ¸p dông ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng tèi thiÓu ®Ó t×m ®a thøc suy réng m φ m ( x) = ∑ ai ϕ i ( x) i =0 xÊp xØ tèt nhÊt víi hµm f ( x) trªn [ a, b ] . Trong (2 – 7) ta coi ϕ ( x; a0 , a1 ,..., am ) = = . Tõ ®ã ta suy ra ( a , a ,..., a ) 0 1 m F (a0 , a1,..., am ) = . lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm m + 1 biÕn (3 - 2) Do ®ã ( a0 , a1,..., am ) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh = 0; = 0; …; = 0. HoÆc d¹ng t¬ng ®¬ng víi nã ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp ------------------------------------------------------------------------------------------- 2 n y − ϕ ( x )a − ϕ ( x )a − ... − ϕ ( x )a −ϕ ( x ) = 0 [ i 0 i 0 1 i 1 m i m ][ 0 i ]  ∑ i =1  n  2∑ [ yi − ϕ 0 ( xi )a0 − ϕ1 ( xi )a1 − ... − ϕ m ( xi )am ] [ −ϕ1 ( xi )] = 0  i =1  ...............................................................................  n 2∑ [ y − ϕ ( x )a − ϕ ( x )a − ... − ϕ ( x )a ] [ −ϕ ( x )] = 0 0 i 0 1 i 1 m i m m i  i =1 i (3 - 3) Gäi lµ vÐc t¬ n chiÒu víi thµnh phÇn thø i lµ . Gäi y lµ vÐc t¬ n chiÒu víi thµnh phÇn thø i lµ yi . Theo ®Þnh nghÜa tÝch v« híng c¸c vÐc t¬ ta cã m [ y,ϕr ] = ∑ yiϕr ( xi ) i =1 n ; [ ϕ r ,ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) i =1 (3 - 4) Do ®ã (3 - 3) ®îc chuyÓn vÒ d¹ng  [ ϕ0 ,ϕ 0 ] a0 + [ ϕ 0 ,ϕ1 ] a1 + ... + [ ϕ0 ,ϕm ] = [ y,ϕ 0 ]   [ ϕ1 ,ϕ 0 ] a0 + [ ϕ1 ,ϕ1 ] a1 + ... + [ ϕ1 ,ϕ m ] = [ y,ϕ1 ]   .................................................................... [ ϕm ,ϕ 0 ] a0 + [ ϕ m ,ϕ1 ] a1 + ... + [ ϕ m ,ϕm ] = [ y,ϕ m ] (3 - 5) Ta nhËn thÊy (3 - 5) lµ hÖ (m + 1) ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh dïng ®Ó x¸c ®Þnh m + 1 hÖ sè: a 0 , a1 ,..., a m trong ®a thøc xÊp xØ . Ma trËn cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (3 - 5) cã c¸c phÇn tö lµ , do ®ã lµ mét ma trËn ®èi xøng (dùa vµo tÝnh chÊt giao ho¸n cña tÝch v« híng). Ta sÏ gäi hÖ ph¬ng tr×nh (3 - 5) lµ hÖ ph¬ng tr×nh chuÈn. §Þnh thøc cña hÖ ph¬ng tr×nh chuÈn cã d¹ng G( = (3 - 6) Ta gäi ®Þnh thøc G = (ϕ 0 ,ϕ1 ,...,ϕ m ) lµ ®Þnh thøc Gram cña hÖ vÐc t¬ trªn tËp ®iÓm X = { x1 , x2 ,..., xn } .