Tài liệu Bài toán dirichlet cho phương trình monge-ampère elliptic

  • Số trang: 45 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 64 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THANH HUYỀN BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THANH HUYỀN BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS.HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic . 1.1.2 Một số tính chất của phương trình Monge-Ampère elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phương pháp liên tục đối với bài toán Dirichlet . . . . . . 1.2.1 Đặt bài toán Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Không gian Hölder C k,α (Ω). . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Nội dung của phương pháp liên tục. . . . . . . . . 1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài toán Dirichlet trong không gian  C2 Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω. . . . . . . . . . . . 1.3.2 Bước 2. Đánh giá |∇u| 2 trong Ω. . . . . . . . . . . 1.3.3 Bước 3. Đánh giá D u trên ∂Ω. . . . . . . . . . . 1.3.4 Bước 4. Đánh giá D2 u trong Ω . . . . . . . . . . . . 4 4 4 . . . . . 5 7 7 8 9 . . . . . 10 11 11 12 18 2 Đánh giá đạo hàm cấp hai của nghiệm bài toán Dirichlet trong không gian Hölder 2.1 Đánh giá chuẩn Hölder đối với nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính và đạo hàm cấp một của nó. . . . . . . . 2.1.1 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Đánh giá chuẩn Hölder đối với nghiệm . . . . . . . . 2.1.3 Đánh giá chuẩn Hölder trên biên đối với đạo hàm cấp một theo pháp tuyến của nghiệm . . . . . . . . 2.2 Đánh giá đạo hàm cấp hai bên trong miền . . . . . . . . . . 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai trên toàn miền . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 20 20 21 21 23 27 31 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 Mở đầu Luận văn nghiên cứu tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Monge-Ampèra elliptic trong miền Ω bị chặn và lồi chặt của Rn . Đây là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hoàn toàn, do đó việc nghiên cứu nó là phức tạp hơn so với các phương trình elliptic tuyến tính hoặc á tuyến tính. Để tiếp cận bài toán trên, người ta dùng phương pháp liên tục, trong đó đưa vào bài toán tham số t ∈ [0, 1] sao cho khi t = 0 thì bài toán luôn có nghiệm và trường hợp khi t = 1 được tương ứng với bài toán của chúng ta. Phương pháp này đòi hỏi phải tiến hành đánh giá tiên nghiệm trong  C 2,α Ω̄ đối với nghiệm của bài toán. Do đó, toàn bộ phần còn lại của Luận văn là dành cho việc trình bày đánh giá này. Luận văn gồm hai chương. Trong chương I mô tả phương trình MongeAmpere elliptic, phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình này và tiến  hành đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn C 2 Ω̄ đối với nghiệm bài toán trong bốn bước. Phần đầu của chương II trình bày các đánh giá tiên nghiệm đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Sau đó áp dụng các kết quả này để đánh giá theo chuẩn C α đối với các đạo hàm cấp hai ở bên trong miền Ω và ở trên biên ∂Ω. Các kết quả này cùng với các đánh giá nhận được trong  chương I sẽ kết thúc việc đánh giá theo chuẩn C 2,α Ω̄ đối với nghiệm. Từ đó, dựa vào phương pháp liên tục, suy ra sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère elliptic. Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic Trong chương này, chúng ta trình bày phương pháp liên tục để nghiên cứu về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình MongeAmpère. Phương pháp này đòi hỏi phải đánh giá được nghiệm của bài  toán này trong không gian C 2,α Ω̄ . Trong Mục 1.3 chúng ta sẽ đưa ra các đánh giá cho nghiệm và đạo hàm đến cấp hai của nó theo chuẩn trong  không gian C Ω . 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn. Phương trình Monge-Ampère có dạng det (uij ) = f (x) , x ∈ Ω, (1.1) trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), f (x) là hàm số cho trước Ω, u = u (x) là ẩn hàm, uij (x) = uxi xj (x) là đạo hàm cấp hai của ẩn hàm. Phương trình (1.1) được gọi là phương trình Monge-Ampère elliptic nếu f (x) > 0, ẩn hàm u(x) là hàm lồi và ma trận [uij (x)] là xác định dương tại mọi điểm x ∈ Ω. Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.1.2 Một số tính chất của phương trình Monge-Ampère elliptic Toán tử Monge-Ampère M được xác định bởi M (u) = det (uij ), đối với u ∈ C 2 (Ω). Rõ ràng, M (u) ≥ 0 nếu u(x) là lồi, và M (u) > 0 nếu u là lồi ngặt. Đối với hàm u lồi ngặt, ta sẽ đưa vào toán tử  F D2 u ≡ log det (uij ). Định lý 1.1. Ta có các công thức sau Fij ≡ Fij,kl ≡ ∂F ∂uij ∂2F ∂uij ∂ukl = uij , = −uik ujl ,  trong đó uij là ma trận nghịch đảo của ma trận Hessian (uij ) .   Chứng minh. Chúng ta kí hiệu A = Aij là ma trận các phần bù đại số của ma trận H = [uij ], tức là A = (det H) H −1 . Với i = 1, . . . . . . n, chúng ta khai triển định thức theo hàng thứ i det D2 u = Ail .uil + ......... + Ain uin . Sau đó dễ dàng thấy ∂F ∂uij = 1 ij det D2 u .A = uij . Tiếp theo, cố định i, j = 1, ..., n, chúng ta có theo định nghĩa  1, nếu i = j uik .ujk = δji = . 0, nếu i 6= j Lấy đạo hàm đẳng thức trên đối với upq , chúng ta có  uik upq .ujk + uik (ujk )upq = 0. Nhân hai vế với ujl và lấy tổng theo j , chúng ta có   uil upq = uik upq .ujk .ujl = −uik .ujl .(ujk )upq = −uiq upl , hoặc 5 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ∂uij ∂ukl = −uil .ukj . Vì thế chúng ta có được ∂2F ∂uij ∂ukl = ∂uij ∂ukl = −uil .ukj . Ở trên và dưới đây, nếu trong biểu thức có các chỉ số lặp thì ta quy định là lấy tổng theo chỉ số lặp đó. Định lý 1.2. Hàm F là hàm lõm của các đối số của nó, đó là các ma trận xác định dương D2 u = (uij ). Điều này có nghĩa là ∂2F ∂uij ∂ukl mij mkl ≤ 0, đối với mọi ma trận xác định dương M = (mij ) .  Chứng minh. Chúng ta chéo hóa ma trận (uij ). Sau đó uij trở thành ma  trận đường chéo diag λ1 , ....., λn với λi > 0, i = 1, ..., n. Do đó, chúng ta có ∂2F ∂uij ∂ukl .mij .mkl = −uil .ukj .mij .mkl = −λi .λj .m2ij ≤ 0. Trước khi nghiên cứu về phương trình Monge-Ampère, chúng ta nêu ra một kết quả đơn giản đối với ma trận dương, mà sẽ cần thiết sau này. Nếu H = (uij ) là ma trận dương, khi đó ta có |uij | ≤ 12 (uii + ujj ). Điều này có thể dễ dàng nhìn thấy như sau: khi H dương, bất kỳ ma trận đường chéo chính 2 × 2 nào đều xác định dương. Điều này suy ra u2ij ≤ uii .ujj . Bất đẳng thức Cauchy sẽ cho ta kết quả bên trên. Bây giờ chúng ta quay trở lại phương trình Monge-Ampège det (uij ) = f . Chúng ta viết lại nó như sau 6 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/  F D2 u = log det (uij ) = log f , cho u lồi ngặt Giả sử ∂ là một đạo hàm theo hướng tùy ý trong Rn . Áp toán tử ∂ vào hai vế của phương trình trên, chúng ta có được uij ∂uij = ∂ log f . Điều này dẫn đến toán tử vi phân L ≡ uij ∂ ij , trong đó ∂ij u = ∂uij . Khi u là lồi ngặt, L là elliptic. Chúng ta nhận được L (∂u) = ∂ log f . Lấy đạo hàm một lần nữa. Chúng ta có  L ∂ 2 u − uil ukj ∂uij ∂ukl = ∂ 2 log f , hoặc  L ∂ 2 u = uil ukj ∂uij ∂ukl + ∂ 2 log f . Số hạng đầu tiên bên phải là dương, khi u là lồi ngặt. Khi đó chúng ta có  L ∂ 2 u ≥ ∂ 2 log f . 1.2 Phương pháp liên tục đối với bài toán Dirichlet 1.2.1 Đặt bài toán Dirichlet. Chúng ta xét bài toán Dirichlet sau det uij = f (x) trong Ω, (1.2) u = ϕ trên ∂Ω,  ở đây f ∈ C ∞ Ω , f > 0, trong Ω và ϕ ∈ C ∞ (∂Ω) là các hàm số được cho trước. 7 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.2 C0 Không gian Hölder C k,α (Ω).  Ω̄ là không gian các hàm liên tục trên Ω̄ với chuẩn kukC 0 (Ω̄) = max |u (x)|. Ω̄   Người ta thường viết C 0 Ω̄ = C Ω̄ . Định nghĩa     C k Ω̄ = u (x) ∈ C Ω̄ ; Dβ u ∈ C Ω̄ , ∀ |β| ≤ k , P Dβ u với chuẩn kukC k (Ω̄) = . C (Ω̄) |β|≤k Ở đây ta dùng các kí hiệu sau β = {β1 , β2 , ..., βn } , βj ∈ N, |β| = β1 + β2 + ... + βn , D = (D1 , D2 , ..., Dn ) , Dj = ∂ ∂xj , Dβ = D1β1 D2β2 ...Dnβn . Cho 0 ≤ α ≤ 1, định nghĩa [u]α,Ω = sup x,y∈Ω̄ |u(x)−u(y)| . α |x−y| x6=y Khi đó C α o  n  Ω̄ = u ∈ C Ω̄ ; [u]α,Ω < +∞ , với chuẩn kukC α (Ω̄) = kukC 0 (Ω̄) + [u]α,Ω . Với k là một số tự nhiên, ta định nghĩa o  n  k,α k α C Ω̄ = u ∈ C Ω̄ ; [D u]α,Ω < +∞, ∀ |α| = k , với chuẩn P kukk+α,Ω = kukC k,α (Ω̄) = kukC k (Ω̄) + |α|=k [Dα u]α,Ω ,   các không gian C k Ω̄ và C k,α Ω̄ là không gian Banach. 8 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.3 Nội dung của phương pháp liên tục.  Giả sử Ω là miền lồi ngặt bị chặn trong Rn . Giả sử u0 ∈ C ∞ Ω là một hàm số lồi ngặt với u0 = ϕ trên ∂Ω. Chúng ta có thể dễ dàng tìm được một hàm u0 như vậy sao cho  f 0 ≡ det u0ij ≥ f trong Ω.  Với mỗi t ∈ [0, 1], chúng ta tìm một nghiệm lồi ngặt ut ∈ C 2+α Ω của bài toán Dirichlet sau  det utij = t.f + (1 − t)f 0 trong Ω, ut = ϕ trên ∂Ω. (1.3) Chúng ta xét tập hợp   I = t ∈ [0, 1] : (1.3) có nghiệm lồi ngặt ut ∈ C 2+α Ω . Rõ ràng 0 ∈ I , vì (1.2) có một nghiệm u0 . Bây giờ chứng minh I là mở. Chúng ta viết lại phương trình trong (1.3) như sau G (u, t) ≡ det (uij ) − tf − (1 − t) f 0 = 0. Chúng ta nhận thấy đạo hàm Frèchet của G tại u được xác định như sau Gu v = det (uij ) uij ∂ij v . Do u một hàm lồi ngặt, Gu là một toán tử tuyến tính elliptic đều với các hệ số C α . Theo lý thuyết cổ điển Schauder, Gu là một toán tử khả nghịch với mọi điều kiện biên ϕ cố định. Giả sử t0 ∈ I , G (ut0 , t0 ) = 0 đối với một  hàm số lồi ngặt ut0 ∈ C 2+α Ω . Theo Định lý hàm ẩn, khi t gần t0 thì  có duy nhất một ut ∈ C 2+α Ω gần ut0 trong chuẩn của C 2+α , thỏa mãn G (ut , t) = 0. Rõ ràng ut là một hàm lồi ngặt khi t gần t0 . Do đó I là mở. Nếu chúng ta thiết lập được đánh giá tiên nghiệm kut k2+α,Ω ≤ K độc lập đối với t, thì khi đó I cũng là đóng theo Định lý Arzela–Ascoli. Do đó I là toàn bộ đoạn [0, 1] . Hàm u1 là nghiệm mà chúng ta mong muốn của (1.2). Do đó, phần còn lại của Luận văn là thiết lập đánh giá tiên nghiệm sau kuk2+α,Ω ≤ K, 9 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.4) cho các nghiệm của (1.2), các hằng số K chỉ phụ thuộc vào Ω, các chuẩn |f |3 của f , max f −1 và |ϕ|4 . Chúng ta đánh giá nghiệm theo chuẩn C 2+α trong hai bước. Trong Bước  1 ở Mục 1.3 chúng ta ước lượng theo chuẩn trong C 2 Ω̄ kuk2,Ω ≤ K2 . Trong Bước 2 mà được thực hiện trong Chương II sẽ đưa ra đánh giá chuẩn  C α Ω̄ của D2 u  2  D u α,Ω ≤ K2,α . Tính duy nhất của nghiệm bài toán Dirichlet được suy ra từ Nguyên tắc so sánh sau đây.  Định lý 1.3. ([1]) Giả sử Ω ∈ Rn là một miền bị chặn và u, v ∈ C 2 Ω là các hàm lồi và thỏa mãn det (uij ) ≥ det (vij ) trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω. Khi đó u ≤ v trong Ω. 1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài toán Dirichlet trong  không gian C 2 Ω Mục đích chính của mục này là trình bày định lý sau đây về đánh giá  đối với nghiệm bài toán Dirichlet trong chuẩn của C 2 Ω . Định lý 1.4. Giả sử rằng Ω ⊂ Rn là miền lồi ngặt bị chặn trong Rn với biên trơn ∂Ω và u, f, ϕ là hàm trơn trong Ω sao cho u là lồi ngặt và f là dương trong Ω. Giả sử u thỏa mãn det uij = f (x) trong Ω, (1.5) u = ϕ trên ∂Ω. Khi đó ta có kuk2,Ω ≤ K , 10 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ trong đó K là hằng số dương chỉ phụ thuộc Ω, các chuẩn |f |3 của f , max f −1 và |ϕ|4 . Ở đây |u|k là chuẩn của u trong C k (Ω).  Chứng minh. Giả sử u0 ∈ C ∞ Ω là hàm lồi ngặt mà bằng ϕ trên ∂Ω và thỏa mãn  f 0 = det u0ij ≥ f trong Ω. Chúng ta chia làm 4 bước sau Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω. Bước 2. Đánh giá |∇u| trong Ω. Bước 3. Đánh giá D2 u trên ∂Ω. Bước 4. Đánh giá D2 u trong Ω. Bây giờ chúng ta thực hiện từng bước. 1.3.1 Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω. Do u là lồi, chúng ta có u ≤ max ϕ. ∂Ω Hơn nữa theo Định lí 1.2 u0 ≤ u.  Ở đây chúng ta sử dụng det u0ij ≥ f . Do đó chúng ta có |u| ≤ K0 . 1.3.2 (1.6) (1.7) Bước 2. Đánh giá |∇u| trong Ω. Do u là lồi , |Du| đạt cực đại của nó trên biên. Do các đạo hàm theo các hướng tiếp tuyến là đã biết, ta chỉ cần đánh giá đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ω. Nhận thấy hàm lồi u là điều hòa dưới. Từ (1.5) và theo Nguyên lý cực đại, ta có u0 ≤ u ≤ h trong Ω, trong đó h là hàm điều hòa trong Ω mà bằng ϕ trên ∂Ω. Do đó hv ≤ uv ≤ u0v trên ∂Ω. 11 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.8) Do đó, chúng ta có được |Du| ≤ K1 trên ∂Ω và do đó trong Ω. Các hằng số K1 phụ thuộc vào u0 1 . 1.3.3 (1.9) Bước 3. Đánh giá D2 u trên ∂Ω. Chúng ta đánh giá đạo hàm cấp hai của u trên biên với sự trợ giúp của hàm chắn phù hợp. Nhớ lại toán tử tuyến tính được đưa vào ở cuối Mục 1.1 L = uij ∂ij . Nếu chúng ta lấy logarit của hai vế của phương trình (1.4) và lấy vi phân đối với xk , chúng ta có Luk = uij uijk = (log f )k . (1.10) Chú ý L (xl uk ) = uij ∂ij (xl uk ) = uij ∂i (δjl uk + xl ujk ) = uij (δjl uik + δil ujk + xl uijk ) = uil uik + ulj ujk + xl uij uijk = 2δkl + xl (log f )k . Do đó chúng ta có được L (xl uk − xk ul ) = (xl ∂k − xk ∂l ) log f. (1.11) Điều này đơn giản là phản ánh thực tế rằng toán tử (xl ∂k − xk ∂l ) là đạo hàm theo góc (trên |x| = constant) và biểu thức det (uij ) là bất biến đối với phép quay. Ta xét điểm bất kỳ trên biên mà không mất tính tổng quát, chúng ta có thể lấy nó làm gốc tọa độ và trục xn là pháp tuyến trong. Khi đó, gần gốc tọa độ, ∂Ω được biểu diễn qua   1 , , 3 xn = ρ (x ) = Bαβ xα xβ + O |x | , (1.12) 2 trong đó x, = (x1 , ..., xn−1 ) và [Bαβ ] là ma trận xác định dương. Trong các tổng trên chữ Hy Lạp α, β . . . được lấy từ 1 đến n – 1. Trên ∂Ω, chúng ta có 12 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ u − ϕ = 0, hoặc (u − ϕ) (x, , ρ (x, )) = 0 với x0 nhỏ. Nhớ lại ϕ là xác định cả trong Ω. Vì vậy có được bằng cách đạo hàm đối với xα và sau đó xβ (∂α + ρα ∂n ) (u − v) = 0 trên ∂Ω, và (∂β + ρβ ∂n ) (∂α + ρα ∂n ) (u − v) = 0 trên ∂Ω. Chú ý ∂α ρ (0) = 0 và ∂αβ ρ (0) = Bαβ . Do đó tại 0 chúng ta có được ∂αβ (u − v) (0) + Bαβ ∂n (u − v) (0) = 0. Từ |Du| ≤ K1 trên ∂Ω, chúng ta có được |∂αβ u (0)| ≤ C với α, β = 1, ....., n − 1. Bây giờ chúng ta thiết lập đánh giá sau X uαβ (0) ξα ξβ ≥ C0 > 0, (1.13) (1.14) α,β 0. (1.15) u (0) = 0, uα = 0 với α = 1, ..., n − 1. (1.16) Chúng ta giả sử Để chứng minh (1.14) chúng ta xây dựng hàm chắn và chỉ ra cận dưới của (1.7). Nhớ lại chúng ta có (1.11) trong ∂Ω. Cho ũ = u − λxn với λ được chọn sao cho ∂2 , , ∂xn1 ũ (x , ρ (x )) = 0 tại 0, 13 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ tức là u11 (0) + ũ (0) ρ11 (0) = 0. (1.17) fij = f . Chúng ta khẳng định rằng Chú ý ũ vẫn thỏa mãn det u   X X ũ |∂Ω ≤ a1j x1 xj + C  x2β + x2n  . 1 0 cho bất kỳ x ∈ ∂Ω khác gốc tọa độ. Chúng ta có thể chọn C đủ lớn để được thỏa mãn (1.17). Bây giờ chúng ta xem xét một hàm chặn P 1 h = −εxn + δ|x|2 + 2B (a1j x1 + Bxj )2 1 0. Bây giờ, ta xét một hàm chặn có dạng ω = −a|x|2 + bxn , với a, b là hằng số dương thích hợp như một hàm số chặn. Đầu tiên chúng ta có P Lω = −2a uii , và do đó với a lớn |L (T (u − ϕ))| + Lω ≤ −2a P uii + C (1 + P uii ) ≤ −a P uii + C . Theo bất đẳng thức Cauchy, chúng ta nhận được 1 −1 1 P ii ij n u ≥ det u =f n. n Lựa chọn a lớn hơn nữa, chúng ta có được |L (T (u − ϕ))| + Lω ≤ 0 trong Ω. Từ (1.19), chúng ta có |T (u − ϕ)| ≤ ω trên ∂Ω ⇔ (C − a) |x|2 ≤ bxn . Từ Ω là lồi ngặt, chúng ta có thể lựa chọn b đủ lớn sao cho |T (u − ϕ)| ≤ ω trên ∂Ω. Từ Nguyên lý cực đại, chúng ta có được |T (u − ϕ)| ≤ ω trên Ω. Bằng cách lấy x, = 0 rồi chia cho xn và sau đó cho xn → 0, chúng ta nhận được |∂n T (u − ϕ)| ≤ b tại 0, hoặc P Bαβ ∂β (u − ϕ) (0) ≤ b. ∂αn (u − ϕ) (0) − β 0. 1.3.4 Bước 4. Đánh giá D2 u trong Ω Chúng ta đánh giá đạo hàm cấp hai trong Ω. Chúng ta có phương trình  F D2 u ≡ log det (uij ) = log f. (1.21) Với 1 ≤ r ≤ n cố định, lấy đạo hàm hai lần theo xr đối với hai vế của (1.21) ta có Lurr ≥ (log f )rr ≥ −nC , với hằng số C chỉ phụ thuộc vào f . Từ Lu = n, chúng ta nhận được L (urr + Cu) ≥ 0, và do đó (urr + Cu) đạt giá trị cực đại trên biên. Vì thế, chúng ta kết luận urr ≤ K trong Ω. Vì (uij ) là xác định dương, chúng ta có uii > 0 và 18 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/
- Xem thêm -