Tài liệu Bài toán chứng minh tính vuông góc, song song trong hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Möc löc Mð ¦u 1 Ki¸n thùc c«n b£n 1.1 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 C¡c t½nh ch§t v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 9 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh song song v  vuæng gâc trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1 3 9 Mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 C¡c b i to¡n chùng minh vuæng gâc trong c¡c · thi Håc sinh giäi 35 3 C¡c b i to¡n chùng minh song song trong c¡c · thi Håc sinh giäi 62 K¸t luªn 79 T i li»u tham kh£o 81 ii Líi c£m ìn Tr÷îc ti¶n em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t tîi PGS.TS. Trành Thanh H£i, ng÷íi th¦y vîi láng nhi»t huy¸t ¢ luæn ch¿ b£o tªn t¼nh cho em tø nhúng ng y ¦u ti¶n, çng thíi ÷a ra nhúng líi khuy¶n bê ½ch gióp em ho n thi»n luªn v«n n y. Em công xin gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ, tªp thº c¡n bë khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban l¢nh ¤o v  c¡c çng nghi»p Trung t¥m H÷îng nghi»p v  Gi¡o döc th÷íng xuy¶n t¿nh Qu£ng Ninh, còng c¡c b¤n håc vi¶n lîp cao håc To¡n K11D, ¢ khæng ch¿ trang bà cho em nhúng ki¸n thùc bê ½ch m  cán luæn gióp ï, t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong qu¡ tr¼nh em håc tªp t¤i tr÷íng. Cuèi còng em xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ng÷íi th¥n l  nhúng ng÷íi luæn õng hë, ëng vi¶n em v÷ñt qua nhúng khâ kh«n º em ho n th nh tèt luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, ng y 26 th¡ng 3 n«m 2019 1 Mð ¦u Trong h¼nh håc ph¯ng, c¡c d¤ng b i tªp v· chùng minh t½nh song song hay chùng minh t½nh vuæng gâc luæn l  c¡c b i tªp thó và nh÷ng th÷íng r§t khâ. °c bi»t l  nhúng b i to¡n, · thi d nh cho håc sinh giäi th¼ håc sinh ph£i n­m ÷ñc c¡c ki¸n thùc n¥ng cao, ¥y l  c¡c ành lþ, t½nh ch§t v  c¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh khæng câ trong ch÷ìng tr¼nh ¤i tr  công nh÷ ch÷ìng tr¼nh n¥ng cao ð bªc cì sð. Trong thíi gian vøa qua, ¢ câ nhi·u håc vi¶n cao håc lüa chån c¡c chõ · v· h¼nh håc º triºn khai luªn v«n th¤c s¾ nhúng ch÷a câ håc vi¶n n o nghi¶n cùu mët c¡ch h» thèng v· c¡c b i to¡n chùng minh t½nh song song, vuæng gâc º ph¡t triºn th nh luªn v«n th¤c s¾ chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p. Vîi mong muèn t¼m hiºu c¡c ành lþ, t½nh ch§t công nh÷ ph÷ìng ph¡p chùng minh t½nh song song, t½nh vuæng gâc qua mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giäi º l m t i li»u cho vi»c gi£ng d¤y cõa b£n th¥n v  l m t i li»u tham kh£o cho håc sinh tü håc, tæi chån chõ ·: Ph÷ìng ph¡p chùng minh t½nh song song, t½nh vuæng gâc qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giäi cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh. Luªn v«n tªp trung nghi¶n cùu c¡c v§n · sau: • T¼m hiºu c¡c ành lþ, c¡c t½nh ch§t li¶n quan ¸n i·u ki»n º hai ÷íng th¯ng song song (hay vuæng gâc) vîi nhau công nh÷ c¡c h» qu£ câ ÷ñc tø vi»c hai ÷íng th¯ng song song (hay vuæng gâc). • S÷u t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh song song, t½nh vuæng gâc. • Tr¼nh b y líi gi£i mët sè b i to¡n luy»n håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh song song, t½nh vuæng gâc. Trong â cè g­ng ÷a ra líi gi£i t÷íng minh èi vîi nhúng b i to¡n, · thi m  t i li»u tham kh£o ch¿ câ líi gi£i v­n t­t ho°c ành h÷îng líi gi£i. 2 • èi vîi mët v i b i to¡n, cè g­ng ÷a ra nhi·u líi gi£i º minh håa t½nh linh ho¤t trong vi»c vªn döng c¡c t½nh ch§t, ành lþ v o chùng minh b i to¡n v· t½nh song song, t½nh vuæng gâc. Vîi möc ti¶u nghi¶n cùu nh÷ vªy, bè cöc cõa luªn v«n bao gçm 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà Nëi dung ch÷ìng n y nh¬m h» thèng ho¡ c¡c t½nh ch§t, ành lþ v  ph÷ìng ph¡p chùng minh c¡c b i to¡n v· t½nh vuæng gâc (÷íng th­ng, gâc) v  t½nh song song trong h¼nh håc ph¯ng. C¡c ành lþ v  t½nh ch§t cì b£n nh÷ ành lþ Thales £o, ành lþ Pythagoras, ành lþ Ceva º chùng minh c¡c ÷íng th¯ng æi mët song song ho°c çng quy, ành lþ Menelaus trong tam gi¡c v  tù gi¡c, ành lþ Carnot thu ÷ñc tø c¡c ÷íng th¯ng vuæng gâc n¬m tr¶n c¡c c¤nh cõa tam gi¡c ... çng thíi công ÷a ra mët sè b i tªp ¡p döng c¡c ành lþ tr¶n º chùng minh t½nh vuæng gâc v  song song. Ch÷ìng 2. C¡c b i to¡n chùng minh t½nh vuæng gâc trong c¡c · thi Håc sinh giäi Nëi dung ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët c¡ch t÷íng minh vi»c vªn döng c¡c ành lþ, t½nh ch§t ... º chùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n t½nh vuæng gâc. S÷u t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh vuæng gâc. Ch÷ìng 3. C¡c b i to¡n chùng minh t½nh song song trong c¡c · thi Håc sinh giäi Nëi dung ch÷ìng 3 cõa luªn v«n tr¼nh b y mët c¡ch t÷íng minh vi»c vªn döng c¡c ành lþ, t½nh ch§t . . . º chùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n t½nh song song. S÷u t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh song song. V¼ i·u ki»n thíi gian giîi h¤n n¶n ph¤m vi nghi¶n cùu cõa luªn v«n tªp trung chõ y¸u l  c¡c b i to¡n thuëc H¼nh håc ph¯ng. Th¡i Nguy¶n, ng y 26 th¡ng 3 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n Ngåc Thà H  3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc c«n b£n 1.1 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng 1.1.1 Ki¸n thùc chu©n bà Tr÷îc ti¶n, chóng ta s³ nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£n ¢ ÷ñc · cªp trong c¡c ch÷ìng tr¼nh gi¡o döc phê thæng v· hai ÷íng th¯ng song song, hai ÷íng th¯ng vuæng gâc v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chóng. ành ngh¾a 1.1. Hai ÷íng th¯ng xx0, yy0 c­t nhau v  trong c¡c gâc t¤o th nh câ mët gâc vuæng ÷ñc gåi l  hai ÷íng th¯ng vuæng gâc v  ÷ñc kþ hi»u l  xx0 ⊥ yy0. ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi mët o¤n th¯ng t¤i trung iºm cõa nâ ÷ñc gåi l  ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng §y. ành ngh¾a 1.2. Hai ÷íng th¯ng song song l  hai ÷íng th¯ng khæng câ iºm chung. Hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t th¼ ho°c c­t nhau ho°c song song vîi nhau. 4 Nhªn x²t 1.1. (i) Hai gâc A1 Tø h¼nh v³ d÷îi ¥y chóng ta x¡c ành c¡c c°p gâc sau ¥y v  B3 công nh÷ hai gâc A4 v  B2 ÷ñc gåi l  hai gâc so le trong. (ii) C°p gâc A1 v  B1 ÷ñc gåi l  c¡c c°p gâc çng và. T÷ìng tü ta câ c¡c c°p gâc çng và kh¡c l  A2 v  B2 ; A3 v  B3 ; A4 v  B4 . ành ngh¾a 1.3. N¸u ÷íng th¯ng c c­t hai ÷íng th¯ng a, b v  trong c¡c gâc t¤o th nh câ mët c°p gâc so le trong b¬ng nhau (ho°c mët c°p gâc çng và b¬ng nhau) th¼ a v  b song song vîi nhau. Ti¶n · 1.1 (Ti¶n · Euclide). Qua mët iºm ð ngo i mët ÷íng th¯ng ch¿ câ mët ÷íng th¯ng song song vîi ÷íng th¯ng â. Hai o¤n th¯ng AB v  CD gåi l  t¿ l» vîi hai o¤n th¯ng A0 B 0 v  C 0D0 n¸u câ t¿ l» thùc AB A0 B 0 = 0 0 CD CD ho°c AB CD = . A0 B 0 C 0D0 ành ngh¾a 1.4. Cho ÷íng th¯ng d. Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n méi iºm M thuëc d th nh ch½nh nâ, bi¸n méi iºm M khæng thuëc d th nh M 0 sao cho d l  ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng M M 0 ÷ñc gåi l  ph²p èi xùng qua ÷íng th¯ng d hay ph²p èi xùng tröc d. Ph²p èi xùng tröc th÷íng ÷ñc k½ hi»u l  d. ành ngh¾a 1.5. Cho iºm I . Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n iºm I th nh ch½nh nâ, bi¸n méi iºm M kh¡c I th nh M 0 sao cho I l  trung iºm cõa o¤n th¯ng 5 ÷ñc gåi l  ph²p èi xùng t¥m I . Ph²p èi xùng t¥m th÷íng ÷ñc k½ hi»u l  I MM0 ành ngh¾a 1.6. Cho iºm O v  gâc l÷ñng gi¡c α. Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n O th nh ch½nh nâ, bi¸n méi iºm M kh¡c O th nh iºm M 0 sao cho OM = \ OM 0 v  gâc l÷ñng gi¡c (OM, OM 0 ) = α ÷ñc gåi l  ph²p quay t¥m O gâc α. Ph²p quay t¥m O gâc α th÷íng ÷ñc k½ hi»u l  Q(O,α) . ành ngh¾a 1.7. Cho tr÷îc mët iºm O v −−sè→thüc k−−6=→0. Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n måi iºm M th nh iºm M 0 sao cho OM 0 = kOM ÷ñc gåi l  ph²p và tü t¥m O t¿ sè k v  ÷ñc k½ hi»u l  V(O,k). iºm M 0 ÷ñc gåi l  £nh cõa iºm M, M ÷ñc gåi l  t¤o £nh cõa M 0, O l  t¥m cõa ph²p và tü, k l  t¿ sè và tü. Nhªn x²t 1.2. Ph²p và tü t¿ sè k câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) Bi¸n ba iºm th¯ng h ng th nh ba iºm th¯ng h ng v  b£o to n thù tü giúa c¡c iºm â. (ii) Bi¸n ÷íng th¯ng th nh ÷íng th¯ng song song ho°c tròng vîi nâ, bi¸n tia th nh tia, bi¸n o¤n th¯ng th nh o¤n th¯ng. (iii) Bi¸n tam gi¡c th nh tam gi¡c çng d¤ng vîi nâ, bi¸n gâc th nh gâc b¬ng nâ. 6 ành ngh¾a 1.8. Cho ÷íng trán (O; R) v  iºm M cè ành, OM = d. Mët ÷íng th¯ng thay êi qua M c­t ÷íng trán t¤i hai iºm A v  B . Khi â, M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 . ¤i l÷ñng khæng êi M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 gåi l  ph÷ìng t½ch cõa iºm M èi vîi ÷íng trán (O; R), k½ hi»u PM/(O). K¸t qu£ cõa c¡c ành lþ sau ¥y th÷íng ÷ñc dòng º chùng minh c¡c b i to¡n trong h¼nh håc ph¯ng v· t½nh song song v  vuæng gâc, chóng ta s³ bä qua ph¦n chùng minh. ành lþ 1.1 . Cho tam gi¡c ABC (H» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng) vuæng t¤i A, ÷íng cao AH , ta câ AB 2 = BC.BH, AC 2 = BC.HC, AH 2 = BH.CH, BC.AH = AC.AH, 1 1 1 = + . AH 2 AB 2 AC 2 ành lþ 1.2. Khi M n¬m ngo i ÷íng trán (O) ta v³ ÷ñc ti¸p tuy¸n M T tîi ÷íng trán. Khi â PM/(O) = M A.M B = M T 2. 7 ành ngh¾a 1.9. Tù gi¡c nëi ti¸p ÷íng trán l  tù gi¡c câ bèn ¿nh còng n¬m tr¶n ÷íng trán. ÷íng trán â ÷ñc gåi l  ÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c. Nhªn x²t 1.3. Tù gi¡c nëi ti¸p câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) Tù gi¡c nëi ti¸p câ têng hai gâc èi b¬ng 180◦ . (ii) Tù gi¡c câ hai ¿nh k· còng nh¼n xuèng mët c¤nh cán l¤i d÷îi mët gâc b¬ng nhau th¼ nëi ti¸p. (iii) Tù gi¡c câ 4 ¿nh c¡ch ·u mët iºm cho tr÷îc th¼ nëi ti¸p. (iv) Gâc ngo i t¤i mët ¿nh cõa mët tù gi¡c b¬ng gâc trong èi di»n vîi ¿nh â cõa tù gi¡c §y th¼ nëi ti¸p. ành lþ 1.3. Tù gi¡c ABCD câ hai c¤nh èi AB, CD c­t nhau t¤i M . i·u ki»n c¦n v  õ º tù gi¡c ABCD nëi ti¸p ÷ñc ÷íng trán l  M A.M B = M C.M D. ành lþ 1.4. Tù gi¡c ABCD câ hai ÷íng ch²o AC, BD c­t nhau t¤i N . i·u ki»n c¦n v  N A.N C = N B.N D. õ º tù gi¡c ABCD nëi ti¸p ÷ñc ÷íng trán l  ành lþ 1.5. Cho hai ÷íng th¯ng AB, M T ph¥n bi»t c­t nhau t¤i M (M khæng tròng A, B, T ). Khi â n¸u M A.M B ti¸p tam gi¡c ABT ti¸p xóc vîi M T t¤i T . = MT 2 th¼ ÷íng trán ngo¤i 8 ành ngh¾a 1.10. Cho hai ÷íng trán khæng çng t¥m (O1, R1); (O2, R2). Tªp hñp c¡c iºm M câ ph÷ìng t½ch èi vîi hai ÷íng trán b¬ng nhau l  mët ÷íng th¯ng. ÷íng th¯ng n y gåi l  tröc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán ¢ cho. Nhªn x²t 1.4. Tröc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) Tröc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán vuæng gâc vîi ÷íng nèi t¥m. (ii) N¸u hai ÷íng trán c­t nhau t¤i A v  B th¼ AB ch½nh l  tröc ¯ng ph÷ìng. (iii) N¸u iºm qua M M câ còng ph÷ìng t½ch vîi hai ÷íng trán th¼ ÷íng th¯ng v  vuæng gâc vîi ÷íng nèi t¥m l  tröc ¯ng ph÷ìng. M, N M N l  (iv) N¸u hai iºm ÷íng th¯ng câ còng ph÷ìng t½ch èi vîi hai ÷íng trán th¼ tröc ¯ng ph÷ìng. (v) N¸u ba iºm câ còng ph÷ìng t½ch vîi hai ÷íng trán th¼ chóng th¯ng h ng. (vi) N¸u (O1 ), (O2 ) O1 O2 c­t nhau t¤i l  tröc ¯ng ph÷ìng. A th¼ ÷íng th¯ng qua A vuæng gâc vîi 9 1.1.2 C¡c t½nh ch§t v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng T½nh ch§t 1.1. a0 O Câ mët v  ch¿ mët ÷íng th¯ng gâc vîi ÷íng th¯ng T½nh ch§t 1.2. a i qua iºm v  vuæng cho tr÷îc. c N¸u ÷íng th¯ng c­t hai ÷íng th¯ng a, b v  trong c¡c gâc t¤o th nh câ mët c°p gâc so le trong b¬ng nhau th¼ (i) Hai gâc so le trong cán l¤i b¬ng nhau; (ii) Hai gâc çng và b¬ng nhau. T½nh ch§t 1.3. N¸u mët ÷íng th¯ng c­t hai ÷íng th¯ng song song th¼ (i) Hai gâc so le trong b¬ng nhau; (ii) Hai gâc çng và b¬ng nhau; (iii) Hai gâc trong còng ph½a bò nhau. T½nh ch§t 1.4. Hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t còng vuæng gâc vîi mët ÷íng th¯ng thù ba th¼ chóng song song vîi nhau. T½nh ch§t 1.5. Mët ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi mët trong hai ÷íng th¯ng song song th¼ nâ công vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng kia. T½nh ch§t 1.6. Hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t còng song song vîi mët ÷íng th¯ng thù ba th¼ chóng song song vîi nhau. 1.1.3 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh song song v  vuæng gâc trong h¼nh håc ph¯ng ành lþ 1.6 . N¸u mët ÷íng th¯ng c­t (ành lþ Thales trong tam gi¡c) hai c¤nh cõa mët tam gi¡c v  song song vîi c¤nh cán l¤i th¼ nâ ành ra tr¶n hai c¤nh cán l¤i nhúng o¤n th¯ng t¿ l». Chùng minh. X²t tam gi¡c ABC v  gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 k BC , c­t c¤nh AB v  AC t÷ìng ùng t¤i D v  E. Ta s³ chùng minh AE AD = . DB EC (1.1) 10 DE k BC , n¶n di»n t½ch tam gi¡c DEB Trong 4ABE k´ ÷íng cao EF. Khi â V¼ SADE SBDE b¬ng di»n t½ch tam gi¡c DEC . 1 AD.EF AD = 2 = . 1 BD BD.EF 2 (1.2) SADE AE = . SCDE EC (1.3) T÷ìng tü ta câ Tø (1.2) v  (1.3) suy ra h» thùc (1.1). ành lþ 1.7 . N¸u mët ÷íng th¯ng c­t hai c¤nh cõa (ành lþ Thales £o) mët tam gi¡c v  ành ra tr¶n hai c¤nh §y nhúng o¤n th¯ng t÷ìng ùng t¿ l» th¼ ÷íng th¯ng â song song vîi c¤nh cán l¤i cõa tam gi¡c. Chùng minh. Gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 c­t c¡c c¤nh AB, AC cõa tam gi¡c ABC theo thù tü t¤i D v  E sao cho AB AC = . DB EC Ta chùng minh Qua D DE k BC. k´ ÷íng th¯ng song song vîi c¤nh BC c­t c¤nh AC t¤i iºm E 0. Theo ành lþ Thales thuªn ta câ AD AE 0 AE 0 AE AE 0 AE = 0 ⇒ 0 = ⇔ 0 +1= +1 DB EC EC EC EC EC AE 0 + E 0 C AE + EC AC AC ⇔ = ⇔ = E 0C EC E 0C EC hay E 0 C = EC , ành lþ 1.8 tùc l  E ≡ E 0. Do â DE k BC. . Trong mët tam gi¡c vuæng, b¼nh ph÷ìng (ành lþ Pythagoras) ë d i c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng ë d i hai c¤nh gâc vuæng. 11 Chùng minh. Tr¶n BC l§y hai iºm M, N thäa m¢n BM = BN = AB. Khi â, Do \ \ = 90◦ − 1 ABC, \ N \ \ = 1 ABC, \ BN A = BAN AC = 90◦ − BAN 2 2 1\ \ AM B = ABC. 2 â, 4M CA ∼ 4ACN (g.g) n¶n ta câ MC CA AB + BC AC = ⇒ = . AC CN AC BC − AB Do vªy BC 2 = AB 2 + AC 2 . ành lþ 1.9 . N¸u b¼nh ph÷ìng ë d i mët c¤nh (ành lþ Pythagoras £o) cõa tam gi¡c b¬ng têng b¼nh ph÷ìng ë d i cõa hai c¤nh kia, th¼ gâc n¬m giúa hai c¤nh cõa tam gi¡c â b¬ng gâc vuæng. Chùng minh. Gi£ sû 4ABC khæng ph£i l  tam gi¡c vuæng, tø B k´ ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi AC c­t AC t¤i D. Theo ành lþ Pythagoras ta câ BC 2 = DB 2 + DC 2 . Theo gi£ thi¸t BC 2 = AB 2 + AC 2 . Suy ra AB 2 − DB 2 = DC 2 − AC 2 ⇒ AD2 = AD(DC + AC) Do â AD = DC + AC ành lþ 1.10 (m¥u thu¨n). . Cho tam gi¡c ABC , c¡c iºm D, E, F l¦n (ành lþ Ceva) l÷ñt n¬m tr¶n BC, AC, AB. Chùng minh AD, BE, CF çng quy ho°c æi mët song song khi v  ch¿ khi DB EC F A · · = −1. DC EA F B (1.4) 12 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AD, BE, CF çng quy. Tø A v³ ÷íng th¯ng song song vîi BC c­t BE, CF t¤i I v  H. Theo ành lþ Thales ta câ DB IA EC BC F A AH = ; = ; = . DC HA EA IA F B BC DB EC F A · · = −1. Do â DC EA F B Vîi tr÷íng hñp AD k BE k CF , ¡p döng ành lþ Thales ta công câ k¸t qu£ DB EC F A · · = −1. DC EA F B i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ Gåi H, I G v  F0 l¦n l÷ñt l  DB EC F A · · = −1. DC EA F B giao iºm cõa AD c­t BE , GC (1.5) c­t AB . C¡c iºm nh÷ trong ph¦n chùng minh i·u ki»n c¦n. Suy ra Tø (1.5) v  (1.6) suy ra ành lþ 1.11 DB EC F 0 A · · = −1. DC EA F 0 B F ≡ F 0. (ành lþ Menelaus trong tam gi¡c) (1.6) . Cho tam gi¡c ABC , tr¶n c¡c ÷íng th¯ng chùa c¡c c¤nh BC, CA, AB l§y c¡c iºm P, Q, R t÷ìng ùng sao cho méi iºm khæng tròng vîi ¿nh tam gi¡c. Khi â, ba iºm P, Q, R th¯ng h ng khi v  ch¿ khi RB P C QA · · = 1. RA P B QC (1.7) 13 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû ba iºm k´ ÷íng th¯ng song song vîi Thales ta câ Thay AL BC , c­t ÷íng P, Q, R th¯ng h ng. Qua A, th¯ng (d) t¤i L. Theo ành lþ LA QA CP · QA = ⇔ , PC PC QC (1.8) RB PB RB LA = ⇔ · =1 RA LA RA P B (1.9) ð (1.8) v o (1.9) ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh. i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ RB P C QA · · = 1. RA P B QC Gåi Q0 l  giao iºm cõa PR v  c¤nh AC. Khi â theo i·u ki»n c¦n ta câ RB Q0 A P C · · = 1. RA Q0 C P B Tø (1.7) v  (1.10) ta suy ra ành lþ 1.12 Q0 A QA = . Q0 C QC Vªy (1.10) Q ≡ Q0 . . Cho tù gi¡c ABCD v  (ành lþ Menelaus trong tù gi¡c) mët ÷íng th¯ng (d) c­t AB, BC, CD, DA l¦n l÷ñt ð M, N, P, Q. Khi â ta câ M A N B P C QD · · · = 1. M B N C P D QA (1.11) 14 Chùng minh. Tr¶n ÷íng th¯ng (d) l§y hai iºm I, J CD. sao cho AI k BJ k Theo ành lþ Thales ta câ MA JA N B JB OD PD = , = , = . MB JB N C P C OA IA Do â M A N B P C QD IA JB P C P D · · · = · · · = 1. M B N C P D QA JB P C P D IA ành lþ 1.13 . Tù gi¡c lçi ABCD nëi ti¸p mët ÷íng (ành lþ Ptolemy) trán khi v  ch¿ khi têng cõa t½ch c¡c c°p c¤nh èi di»n b¬ng t½ch hai ÷íng ch²o, ngh¾a l  AB.CD + AD.BC = AC.BD (1.12) \=M \ Chùng minh. L§y M thuëc ÷íng ch²o AC sao cho ABD BC. Khi â, \=M \ \=M \ 4ABD v  4M BC câ ABD BC, ADB CB . 4M BC (g.g). Do â ta câ x²t M°t kh¡c, N¶n 4ABD ∼ AD MC = ⇒ AD · BC = BD · M C. BD BC BA BM \ = DBC \ n¶n 4ABM ∼ 4DBC = v  ABM BD BC AB BD = ⇒ AB · CD = AM · BD AM BC Tø (1.13) v  (1.14) ta ÷ñc AD.BC + AB.CD = BD.M C + AM.BD = AC.BD ⇒ AB.CD + AD.BC = AC.BD. (1.13) suy ra (1.14) 15 ành lþ 1.14 (ành lþ Carnot) . Cho tam gi¡c ABC câ M, N, P theo thù tü n¬m tr¶n c¡c c¤nh BC, CA, AB. V³ c¡c ÷íng th¯ng d1, d2, d3 vuæng gâc vîi BC, CA, AB theo thù tü t¤i M, N, P. Chùng minh r¬ng i·u ki»n c¦n v  õ º M, N, P çng quy l  ta câ h» thùc M B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2 (1.15) Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gåi O l  iºm çng quy cõa d1, d2, d3. p döng ành lþ Pythagoras ta câ M B 2 = OB 2 − OM 2 , N C 2 = OC 2 − ON 2 , P A2 = OA2 − OP 2 ⇒ M B 2 + N C 2 + P A2 = (OB 2 − OM 2 ) + (OC 2 − ON 2 ) + (OA2 − OP 2 ) = (OC 2 − OM 2 ) + (OA2 − ON 2 ) + (OB 2 − 0P 2 ) = M C 2 + N A2 + P B 2 . i·u ki»n õ: Gi£ sû câ h» thùc (1.15). Gåi O l  giao iºm cõa d2, d3. V³ OM 0 ⊥ BC (M 0 ∈ BC). Theo chùng minh ð i·u ki»n c¦n, ta câ M 0 B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2 ⇒ M 0 B 2 = M B 2 ⇒ M B = M 0B ⇒ M ≡ M 0 Vªy d1 , d2 , d3 çng quy t¤i ành lþ 1.15 O. . Cho bèn iºm A, B, C, D ph¥n bi»t trong (ành lþ 4 iºm) m°t ph¯ng. Khi â AB ⊥ CD khi v  ch¿ khi AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2. Chùng minh. Gåi H, K l¦n l÷ñt l  h¼nh chi¸u cõa A, B l¶n ÷íng th¯ng CD. N¸u AB ⊥ CD th¼ H≡K n¶n theo ành lþ Pythagoras ta câ AC 2 − AD2 = HC 2 − HD2 = BC 2 − BD2 . Ng÷ñc l¤i, n¸u AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2 th¼ ta câ a = AC 2 −AD2 = HC 2 −HD2 = HC 2 −(CD ± HC)2 ⇒ HC = ± a + CD2 2CD a + CD2 êi vai trá H cho K ta công câ KC = ± . Do â HC = KC. L¤i 2CD êi vai trá C bði D ta công chùng minh ÷ñc HD = KD. Nh÷ vªy H ≡ K , suy ra AB ⊥ CD. 16 ành lþ 1.16 (Tù gi¡c câ hai ÷íng ch²o vuæng gâc) . Tù gi¡c lçi ABCD câ hai ÷íng ch²o AC ⊥ BD khi v  ch¿ khi AB + CD2 = AD2 + BC 2. Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AC ⊥ BD v  K l  giao iºm cõa AC v  BD. 2 Theo ành lþ Pythagoras ta câ AB 2 + CD2 = KA2 + KB 2 + KC 2 + KD2 = KA2 + KD2 + KB 2 + KC 2 = AD2 + BC 2 . i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ AB 2 + CD2 = AD2 + BC 2 . °t \ α = AKB. Khi â ta biºu di¹n KA2 +KB 2 −2KA.KB. cos α+KC 2 +KD2 −2KC.KD. cos α = AB 2 +CD2 KA2 +KD2 −2KA.KD. cos α+KC 2 +KB 2 −2KC.KB. cos α = AD2 +BC 2 . Vªy suy ra (KA.KB + KC.KD − KA.KD − KA.KC). cos α = 0. π α = v  AC ⊥ BD. 2 ành lþ 1.17 (ành lþ Desargues) . Cho hai tam gi¡c ABC v  A1B1C1. Gåi M l  giao iºm cõa AB v  A1B1, N l  giao iºm cõa AC v  A1C1, P l  giao iºm cõa BC v  B1C1. Khi â ba iºm M, N, P th¯ng h ng khi v  ch¿ khi AA1, BB1, CC1 çng quy. Chùng minh. Chi·u nghàch: Cho AA1, BB1, CC1 çng quy t¤i O, ta chùng minh iºm M, N, P th¯ng N, A1 , C1 ta câ h ng. p döng ành lþ Menelaus cho N A C1 C A 1 O · · = 1. N C C1 O A1 A 4OAC vîi ba (1.16) Chùng minh t÷ìng tü ta câ P C B1 B C1 O M B A1 A B1 O · · = 1, · · = 1. P B B1 O C1 C M A A1 O B1 B (1.17)