Tài liệu Bài toán Cauchy cho phương trình Hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Hà Tiến Ngoạn; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập vừa qua. Và cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tập thể lớp K16 Toán Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận và bạn bè đã giúp đỡ, động viên rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hưng Lời cam đoan Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hưng Mục lục MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Khái niệm sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Công thức biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Đa thức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Toán tử hyperbolic chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1. Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3. Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Bài toán Cauchy chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . 22 22 2.3.2. Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là hàm bất kỳ . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3. Nhân của toán tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Việc biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích phân trên mặt nghiệm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển . . . . . . . . . . . . . 34 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với hệ số hằng đã được các nhà toán học thiết lập công thức biểu diễn nghiệm trong trường hợp số chiều không gian n là 1, 2, 3 bởi các công thức D’Alembert, Poisson và Kirchoff tương ứng. Kết quả này đầu tiên được mở rộng cho trường hợp n là số chẵn, sau đó bằng phương pháp hạ bậc kết quả đã được thiết lập cho trường hợp số chiều n bất kỳ. Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. Với mong muốn được nghiên cứu về vấn đề này tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng". Bố cục của luận văn gồm 2 chương Chương 1. Trình bày khái niệm sóng phẳng và một số tính chất. Phát biểu và chứng minh công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóng phẳng. Ngoài ra luận văn nghiên cứu các tính chất của mặt đặc trưng đối với đa thức hyperbolic. Chương 2. Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát và bài toán Cauchy chính tắc. Luận văn chỉ ra có thể đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc. Trình bày lời giải của bài toán Cauchy chính tắc 2 với dữ kiện là sóng phẳng. Biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích phân trên mặt nghiệm đặc trưng, và áp dụng các kết quả thu được cho phương trình truyền sóng cổ điển. Luận văn được trình bày trên cơ sở chương 2 của cuốn sách: "Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin". 2. Mục đích nghiên cứu Đưa ra công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm tường minh cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. Chương 1 SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 1.1. Một số ký hiệu • Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) |xi ∈ R , i = 1, n}. • Các chữ cái x, y, z, X, Y, Z, ξ, η, ζ sẽ được thay thế cho các vectơ (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ), . . . , (ζ1 , . . . , ζn ) trong không gian n chiều, trong đó n ≥ 2. Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến vô hướng. • Tích vô hướng của vectơ y và x được kí hiệu là y.x = n P yi xi . i=1 1 • Độ dài (x.x) 2 của vectơ x là |x|. • Phần tử thể tích dx1 , . . . , dxn được viết tắt là dx, trong khi dSx được kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong không gian n chiều. • Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong không gian x được kí hiệu là Ωx , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là dωx , diện tích mặt cầu đơn vị là ωn . 5   1 • Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian n chiều là ωn . n • Các phép tính tích phân được thực hiện trên toàn bộ miền biến thiên của biến đó, trừ khi các hạn chế khác được chỉ ra. • Chứng minh hoàn thành được kí hiệu là . 1.2. Khái niệm sóng phẳng Định nghĩa 1.1. Cho g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng s, vectơ y = (y1 , . . . , yn ) 6= 0 được cố định thuộc không gian Rn . Hàm số g(y.x) là một hàm theo biến x = (x1 , . . . , xn ) và nhận giá trị hằng số trên các siêu phẳng mà vectơ y là pháp tuyến. Hàm g(y.x) được gọi là một sóng phẳng. Định lý 1.1. Giả sử n ≥ 2, g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng s. Ta có công thức Z+1 Z g(y.x)dωx = ωn−1 Ωx (1 − p2 ) n−3 2 g (|y| p) dp = ωn h (|y|) (1.1) −1 trong đó h(s) được xác định bởi (1.1), Ωx là mặt cầu đơn vị trong Rn . Chứng minh. Ta tính tích phân của g (y.x) trong toàn hình cầu có bán kính r với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các phần thiết diện vuông góc với y-hướng. Trên mặt phẳng y.x = |y| p mà có khoảng cách từ gốc là |p|, hàm g (x.y) có giá trị g (|y| p). Phần giao (n − 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1) n−1 ωn−1 2 (r − p2 ) 2 . n−1 6 Suy ra Z Z+r ωn−1 g(y.x)dx = n−1 (r2 − p2 ) n−1 2 g (|y| p) dp. (1.2) −r |x| 0. Khi đó ta có các công thức sau Z |y.x|k dωx = √ n−1 2 π Γ n+k 2 Γ Ωx Z k |y.x| log |y.x| dωx = Ωx √ n−1 2 π Γ Γ k+1 2
n+k
k+1 2

|y|k |y|k (log |y| + cnk ) 2 trong đó cnk là hằng số, Γ(t) là hàm Gamma. (1.3) (1.4) 7 Chứng minh. Với g(s) = const. = 1 ta có h = 1, và từ (1.1) ta suy ra công thức sau ωn = ωn−1 Z1 (1 − p2 ) n−3 2 dp = Γ n−1 2 Γ −1
Γ
n 1 2
. (1.5) 2 Từ công thức (1.5) suy ra một công thức nổi tiếng √ 2 πn
ωn = Γ n2 (1.6) đối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian n chiều. Cho g(s) = eis ta được ωn−1 h(s) = ωn Z1 2 (1 − p ) n−3 2 2ν Γ(ν + 1) e dp = Jν (s) sν isp (1.7) −1 n−2 . 2 Với g(s) = |s|k và g(s) = |s|k log |s|, từ (1.1) ta nhận được các kết trong đó Jν là hàm Bessel với chỉ số ν = quả tương ứng sau đây √ n−1 k+1
Z 2 π Γ 2
|y.x|k dωx = |y|k n+k Γ 2 Ωx Z |y.x|k log |y.x| dωx = √ n−1 2 π Γ Γ Ωx trong đó cnk là các hằng số nào đó. n+k 2 k+1 2

|y|k (log |y| + cnk )  Nhận xét 1.1. Công thức (1.3), (1.4) hiển nhiên cũng đúng khi k = 0. 8 1.3. Công thức biểu diễn hàm số 1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng Định lý 1.3. Giả sử f (x) là một hàm thuộc lớp C1 và bằng không ngoài tập bị chặn nào đó. Khi đó ta có công thức biểu diễn sau   Z Z n+k  f (y) |(y − z).x|k dωx  dy = 4(2πi)n−1 k!f (z) (∆z ) 2 (1.8) Ωx với n lẻ và k = 1, 3, 5, . . .   Z Z n+k  f (y) [(y − z).x]k log |(y − z).x| dωx  dy = − (2πi)n k!f (z) (∆z ) 2 Ωx (1.9) với n chẵn và k = 0, 2, 4, . . . (cho cả n = 2), trong đó n X ∂2 ∆z = ∂zj2 j=1 là toán tử Laplace theo biến z. Chứng minh. Ta xét một hàm f (x) tùy ý thuộc lớp C1 và bằng không ngoài tập bị chặn nào đó. Khi đó Z |y − z|2−n dy u(z) = f (y) (2 − n)ωn (1.10) là một hàm của z thuộc lớp C2 , thỏa mãn phương trình vi phân Poisson ∆z u(z) = f (z) trong đó ∆z là Laplace đối với các biến z1 , . . . , zn . (1.11) 9 Với n = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng 1 log |y − z|. 2π Thật vậy, từ (1.11) ta có Z −1 X ∂ ∆z u = f (y)(yi − zi ) |y − z|−n dy ωn i ∂zi Z −1 X ∂ = f (y + z)yi |y|−n dy ωn i ∂zi Z −1 X = fyi (y + z)yi |y|−n dy ωn i X Z −1 lim fyi (y + z)yi |y|−n dy = ωn r→0 i |y|>r   Z Z X −1 ∂ −yi2 −n  = lim |y| f (y + z)dSy − f (y + z) (yi |y|−n )dy   ωn r→0 i r ∂yi |y|=r |y|>r Z 1 1−n lim r f (y + z)dSy = ωn r→0 |y|=r = f (z). Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách chi tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các phép tính đạo hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng việc đưa đến công thức này. Công thức tương tự vẫn đúng nếu giả thiết rằng f (x) thỏa mãn điều kiện Hölder. Bây giờ ta chọn n chẵn cho đồng nhất thức (1.4), n lẻ cho đồng nhất thức (1.3), thay y bằng y − z, nhân hai vế với f (y) và lấy tích phân theo y (ta vẫn giả thiết rằng f là thuộc lớp C1 và bằng không ngoài tập bị chặn nào đó). Ta chọn một số nguyên k không âm sao cho n + k là một n+k số chẵn, và áp dụng toán tử ∆z vào hai vế của đẳng thức cuối lần. 2 10 Ta thấy, với ∆z |y − z|k = k(k + n − 2) |y − z|k−2 và n > 2 ta nhận được các công thức sau
k+n
k+2 n+k−1 Γ 2 Γ 2 Γ n+k−2 2 (∆z ) 2 |y − z|k = (2 − n)π n 2
(−1) n−1 2 |y − z|2−n (1.12) với n lẻ, (∆z ) n+k−2 2 |y − z|k log |y − z| = 2n+k−2 Γ
Γ k+n Γ 2 (2 − n) k+2 2
n 2
(−1) n−2 2 |y − z|2−n (1.13) với n chẵn. Từ công thức (1.3), (1.4), (1.11) ta có   Z Z n+k  f (y) |(y − z).x|k dωx  dy =4(2πi)n−1 k!f (z) (∆z ) 2 Ωx với n lẻ và k = 1, 3, 5, . . .   Z Z n+k  f (y) [(y − z).x]k log |(y − z).x| dωx  dy = − (2πi)n k!f (z) (∆z ) 2 Ωx với n chẵn và k = 0, 2, 4, . . . (cho cả n = 2), trong đó n X ∂2 ∆z = ∂zj2 j=1 là toán tử Laplace theo biến z.  11 Nhận xét 1.2. Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho n chẵn và n lẻ thành công thức sau f (z) =(∆z )  Re  n+k 2 −1 k!(2πi)n  Z Z     1 f (y) [(y − z).x]k . log (y − z).x dωx  dy  i  Ωx (1.14) trong đó log s kí hiệu các nhánh chính của hàm log xác định trong mặt phẳng phức s với đường cắt dọc theo trục thực âm. Công thức (1.8), (1.9) biểu diễn cho một nghiệm của bài toán thu được một hàm f (z) như một tổ hợp tuyến tính của “sóng phẳng” hàm của z. Các sóng phẳng ở đây có một trong hai dạng |(y − z).x|k hoặc [(y − z).x]k log |(y − z).x|. 1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng Định lý 1.4. Giả sử f (x) là một hàm thuộc lớp C1 và bằng không ngoài tập bị chặn nào đó. Với x ∈ Rn , |x| = 1 và p ∈ R ta đặt Z J(x, p) = f (y)dSy (1.15) y.x=p là tích phân của f trên siêu phẳng với pháp tuyến đơn vị x và có khoảng cách p (có tính tới dấu) từ gốc. Khi đó ta có các công thức biểu diễn sau Z n−1 J(x, x.z)dωx (1.16) 2(2πi)n−1 f (z) = (∆z ) 2 Ωx với n lẻ, 12 (2πi)n f (z) = (∆z ) n−2 2 p=+∞ Z Z dωx dJ(x, p) p − z.x (1.17) p=−∞ Ωx với n chẵn, trong đó phân tích f (z) thành các hàm sóng phẳng. Chứng minh. Theo công thức (1.15) J(x, p) = J(−x, −p). Sử dụng công thức (1.8) cho n lẻ với k = 1 ta có ZZ Z f (y) |(y − z).x| dωx dy = Ωx Ωx Z = Ωx Z+∞ dωx |p| dp −∞ Z f (y)dSy (y−z).x=p Z+∞ dωx |p| J(x, p + z.x)dp. (1.18) −∞ Ta nhận thấy rằng đối với |x| = 1 Z+∞ ∆z |p| J(x, p + z.x)dp −∞  ∞ Z Zz.x (p − z.x)J(x.p)dp = ∆z  (p − z.x)J(x, p)dp − −∞ z.x = 2J(x, z.x). Ta nhận được từ (1.8) cho trường hợp n lẻ công thức sau đây Z n−1 J(x, x.z)dωx . 2(2πi)n−1 f (z) = (∆z ) 2 Ωx Ở đây tích phân biểu diễn (ngoại trừ một hệ số không đổi ωn ) đại lượng trung bình của các tích phân phẳng của f trên các mặt phẳng đi qua điểm z. Một công thức tương tự có thể được suy ra cho n chẵn từ (1.9) 13 với k = 0. Ta chú ý ở đây đối với |x| = 1, Z+∞ Z+∞ ∆z log |p| J(x, p + z.x)dp = (log |p|)Jpp (x, p + z.x)dp −∞ −∞ Z+∞ (log |p − z.x|)Jpp (x, p)dp = −∞ Z+∞ =− 1 Jp (x, p)dp p − z.x −∞ p=+∞ Z =− dJ(x, p) . p − x.z p=−∞ Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là Z+∞ f (z)dp = lim+ Z f (z)dp. ε→0 −∞ |p−z.x|>ε Khi đó ta nhận được từ (1.9) cho trường hợp n chẵn công thức sau (2πi)n f (z) = (∆z ) n−2 2 p=+∞ Z Z dωx Ωx dJ(x, p) p − z.x p=−∞ n X ∂2 trong đó ∆z = 2 là toán tử Laplace theo biến z. ∂z j j=1  14 1.4. Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng 1.4.1. Đa thức hyperbolic Với η = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ Rn , λ ∈ R, xét đa thức thuần nhất bậc m X Q(η, λ) = aαk η α λk (1.19) |α|+k=m trong đó • aαk ∈ R • α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Rn • |α| = α1 + α2 + · · · + αn • η α = η1α1 η2α2 . . . ηnαn . Ta giả thiết điều kiện sau đây được thỏa mãn Q(0, 1) = 1. Nhận xét 1.3. Vì đa thức Q là thuần nhất bậc m, nên Q(hη, hλ) = hm Q(η, λ), ∀h ∈ R (1.20) trong đó (η, λ) ∈ Rn+1 là bất kỳ. Định nghĩa 1.2 (Đa thức hyperbolic). Đa thức Q(η, λ) được gọi là hyperbolic đối với biến λ nếu ∀η ∈ Rn thì phương trình Q(η, λ) = 0 chỉ có các nghiệm thực đối với biến λ. (1.21)