Tài liệu Bài toán bù tuyến tính suy rộng

  • Số trang: 38 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 258 |
  • Lượt tải: 0
quocphongnguyen

Đã đăng 14453 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 1 Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 5 Một số kí hiệu 6 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Khái niệm về không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tôpô yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng 19 2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Một số kết quả cho nón đa diện . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Kết quả tồn tại trong trường hợp nón tổng quát . . . . . . 22 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Một số kết quả nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 33 3 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Nguyễn Thị Hồng Hà 4 CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG H Không gian Hilbert Rn không gian Hilbert n-chiều k.k chuẩn trong không gian Hilbert hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x; y x⊥y x trực giao với y S⊥ phần bù trực giao của S không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục H∗ RanT = {T x : x ∈ H} ảnh của toán tử T KerT = {x ∈ H : T x = 0} hạt nhân của toán tử T A∗ toán tử liên hợp của toán tử A K∗ nón đối ngẫu của nón K GLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộng 5 Mở đầu Bài toán bù tuyến tính có một vị trí rất quan trọng. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng của nó trong k trong không gian hữu hạn chiều và không gian vô hạn chiều. Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về bài toán bù tuyến tính suy rộng. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về không gian Hinbert và toán tử trong không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi. Chương 2: trình bày về bài toán bù tuyến tính và sự tồn tại nghiệm của nó. 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert. 1.1 Không gian Hilbert Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [2]. 1.2 Khái niệm về không gian Hilbert Cho H là không gian vector trên trường số thực R. Định nghĩa 1.1. Ta gọi mỗi ánh xạ h., .i : H × H → R; (x, y) 7→ hx, yi là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: Với mọi x, y, z ∈ H và α ∈ R i) hx, yi = hy, xi, ii) hαx, yi = α hx, yi, 7 iii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, iv) hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của x và y . Không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vô hướng và thường được viết là (H, h., .i). Mệnh đề 1.1. Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng h., .i xác định. Khi đó công thức kxk = p hx, xi xác định một chuẩn trên H . Định nghĩa 1.2. Nếu không gian có tích vô hướng (H, h., .i) với chuẩn xác định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, h., .i) là một không gian Hilbert. Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, h., .i). Ví dụ 1.1. Lấy H = Rn . Với x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ H biểu thức n X hx, yi = xi yi i=1 xác định một tích vô hướng trên không gian Rn và với chuẩn p kxk = hx, xi Rn trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều. Định nghĩa 1.3. Tập S ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S , đoạn thẳng nối x, y đều nằm trong S . Nói cách khác, S ⊂ H là tập lồi khi và chỉ khi: ∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có x = λx1 + (1 − λ) x2 ∈ S. 8 Định nghĩa 1.4. Cho S ⊂ H là một tập hợp khác rỗng. S được gọi là nón nếu ∀λ > 0 và x ∈ S ta luôn có λx ∈ S. Nón S được gọi là nón lồi nếu S là tập lồi. Nón S được gọi là nón lồi đóng nếu S vừa là nón lồi vừa là tập đóng. Định nghĩa 1.5. Cho một tập hợp khác rỗng S ⊂ H . Nón đối cực của S , được ký hiệu là S ∗ , là tập hợp {y ∈ H | hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ S}. Nếu S là tập rỗng thì nón đối cực sẽ là H . Định lý 1.1. Cho H là không gian Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau |hx, yi| ≤ kxkkyk. Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Cauchy- Schwartz. Chứng minh. Nếu x = 0 thì hiển nhiên nhiên bất đẳng thức Cauchy- Schwartz đúng. Xét trường hợp x 6= 0. Với t ∈ R, đặt ϕ(t) = htx + y, tx + yi. Theo định nghĩa tích vô hướng ta có ϕ(t) ≥ 0, ∀t. Ta lại có ϕ(t) = hx, xit2 + 2hx, yit + hy, yi là một tam thức bậc hai biến t. Do tính không âm của ϕ(t)ta phải có ∆ = hx, yi2 − hx, xi.hy, yi ≤ 0. Từ đây suy ra |hx, yi| ≤ kxkkyk, ta có điều phải chứng minh. 9 Định lý 1.2. Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó h., .i : H × H → R là một hàm liên tục. Chứng minh. Cho {xn }, {yn } là hai dãy trong không gian Hilbert H lần lượt hội tụ về x0 và y0 . Khi đó, ta có |hxn , yn i − hx0 , y0 i| 6 |hxn , yn i − hxn , y0 i| + |hxn , y0 i − hx0 , y0 i| = |hxn , yn − y0 i| + |hxn − x0 , y0 i| ≤ kxn kkyn − y0 k + kxn − x0 kky0 k. Theo giả thiết {xn } hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số α > 0 sao cho kxn k ≤ α với mọi số tự nhiên n. Vì vậy, ta có |hxn , yn i − hx0 , y0 i| ≤ αkyn − y0 k + kxn − x0 kky0 k. Chuyển qua giới hạn ta được lim |hxn , yn i − hx0 , y0 i| = 0. n→∞ Vậy định lý được chứng minh. Định lý 1.3. Cho S là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H . Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho kx − yk = inf{kx − zk | z ∈ S}. Ta kí hiệu d(x, S) = inf{kx − zk | z ∈ S}. 10 Định nghĩa 1.6. Hai phần tử x và y của không gian Hilbert H gọi là trực giao nếu hx, yi = 0, kí hiệu x⊥y . Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H thì tập S ⊥ = {x ∈ H | x⊥y ∀y ∈ S} gọi là phần bù trực giao của S . Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau : 1. 0⊥x ∀x ∈ X ; 2. x⊥y ⇒ y⊥x; 3. x⊥ {y1 ; y2 ; ....; yn } ⇒ x⊥α1 y1 + α2 y2 .... + αn yn , n ∈ N ∗ αi ∈ R, i = 1, 2, 3, ...., n; 4. x⊥yn , yn → y khi n → ∞ thì x⊥y . Định lý 1.4. Giả sử S là một không gian con đóng của không gian Hilbert H . Khi đó mỗi phần tử x ∈ H biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng x = y + z , trong đó y ∈ S và z ∈ S ⊥ . Chứng minh. Nếu x ∈ S thì đặt y = x, z = 0. Ta có khẳng định đúng. Xét trường hợp x∈ / S . Vì S đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho kx − yk = d(x, S). Đặt z = x − y , ta có x = y + z , Ta phải chứng minh z ∈ S ⊥ . Thật vậy, với mọi α ∈ R, u ∈ S ta có kzk = kx − yk ≤ kx − (y + αu)k = kz − αuk. 11 Từ đó suy ra kzk2 ≤ hz − αu, z − αu = kzk2 − αhu, zi − αhz, ui + α2 kuk2 . Chọn α = hz, ui và kuk, ta suy ra 0 ≤ −|hz, ui|2 . Do đó, hz, ui = 0 với mọi u ∈ S và kuk = 1. Như vậy ta đã chỉ ra z ∈ S ⊥ . Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y1 + z1 với y1 ∈ S, z1 ∈ S ⊥ . Khi đó, y − y1 = z1 − z , ta có y − y1 ∈ S và y − y1 ∈ S ⊥ . Từ đó suy ra hy − y1 , y − y1 i = 0. Do vậy y = y1 và do đó z = z1 . Vậy định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.7. Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được duy nhất dạng x = y + z với y ∈ S, z ∈ S ⊥ . Như vậy, H = S ⊕ S ⊥ . Ánh xạ P : H → S , xác định P (x) = y với x = y + z ∈ S ⊕ S ⊥ , được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên S . Định lý 1.5. Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert H lên không gian con đóng S 6= {0} là một toán tử tuyến tính liên tục. Chứng minh. Với x1 , x2 ∈ H, α ∈ R, theo định lý 1.4 ta có x1 = P x1 + z1 ; x2 = P x2 + z2 , trong đó z1 , z2 ∈ S ⊥ . Vì vậy x1 + x2 = P x1 + P x2 + z1 + z2 , 12 trong đó P x1 + P x2 ∈ S, z1 + z2 ∈ S ⊥ . Từ tính duy nhất của sự biểu diễn trong định lý trên ta suy ra P (x1 + x2 ) = P x1 + P x2 . Tương tự P (αx1 ) = αP (x1 ). Vậy P tuyến tính. Mặt khác, với x ∈ H ta có kxk2 = kP xk2 kzk2 ≥ kP xk2 . Từ đó suy ra P bị chặn. Vậy P liên tục. Định được chứng minh. Định lý 1.6. Định lý F.Riesz Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức : f (x) = ha, xi (1.1) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x)trên không gian H , với kf k = kak (1.2) Ngược lại bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.2). Chứng minh. Phần thứ nhất của định lí ta dễ dàng chứng minh được vì f (x) = ha, xi rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính do hf (x)i = |ha, xi| < kak × kxk (1.3) hf (x)i = |ha, ai| = kak × kak (1.4) nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.1). Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x)trên không gian Hilbert H . Tập hợp 13 M = {x ∈ H : f (x) = 0} rõ ràng là một không gian con đóng của H. Nếu M ⊥ = {0} thì dựa vào cách phân tích x = y + z với y ∈ M, z ∈ M ⊥ , ta thấy rằng z = 0 nên f(x) = f(y) = 0 với ∀x ∈ H do đó f (x) = h0, xi nghĩa là ta có thể biểu diễn (1.1) với a = 0 . Vậy ta chỉ xét trường hợp M ⊥ 6= {0}. Ta có f (x0 ) 6= 0, nên véc tơ a= f (x0 ) x0 6= 0 hx0 , x0 i Với mọi x ∈ H y =x− f (x) x0 ∈ M f (x0 ) vì f (y) = f (x) − f (x) f (x0 ) = 0 f (x0 ) Mà x0 ∈ M ⊥ , vậy hy, x0 i = 0 tức là   f (x) f (x) x0 , x0 = hx, x0 i − hx0 , x0 i = 0 x− f (x0 ) f (x0 ) hay :  f (x) x− x0 , x = ha, xi f (x0 )  f (x) = Như vậy f (x) có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất vì nếu f (x) = ha0 , xi thì ha − a0 , xi = 0, nghĩa là a − a0 = 0. Cuối cùng do (1.3) và (1.4) nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh. Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng đôi một giữa hàm tuyến tính liên tục f trên H và véc tơ a ∈ H . Tương ứng đó là 14 một phép đẳng cự tuyến tính, cho lên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với các véc tơ a sinh ra nó thì ta có H ∗ = H , nghĩa là: Không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó. 1.3 Tôpô yếu trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.8. Tôpô yếu nhất trên H để các ánh xạ f ∈ H ∗ vẫn còn liên tục được gọi là tôpô yếu trên H . Mệnh đề 1.2. Dãy {xk } ⊂ H hội tụ yếu đến x nếu và chỉ nếu f (xk ) → f (x) với mọi f ∈ H ∗. Chứng minh. Giả sử {xk } hội tụ yếu đến x và f ∈ H . Với mọi ε > 0 tồn tại k0 ∈ U (f, x, ε) với mọi k ≥ k0 . Nhưng điều đó có nghĩa là |f (xk )−f (x)| < ε với mọi k ≥ k0 . Vậy f (xk ) → f (x). Bây giờ giả sử f (xk ) → f (x) với mọi f ∈ H ∗ . Lấy lân cận tùy ý có dạng U (f1 , f2 , . . . , fp , x, ε) của x. Vì fi (xk ) → fi (x) với i = 1, . . . , p nên tồn tại k0 để |fi (xk ) − fi (x)|ε với mọi k ≥ k0 , i = 1, 2, . . . , p. Điều này có nghĩa là xk ∈ U (f1 , f2 , . . . , fp , x, ε) với mọi k ≥ k0 , tức là xk hội tụ yếu đến x. Mệnh đề 1.3. Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu. 1.4 Toán tử trong không gian Hilbert Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H. Với mỗi 15 y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau: f (x) = hAx, yi , x ∈ H . Định nghĩa 1.9. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ánh xạ A∗ : H → H được xác định như sau: ∀y ∈ H, A∗ y = y ∗ trong đó hAx, yi = hx,A∗ yi = hx, y ∗ i. Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. Định lý 1.7. Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ H vào H. Khi đó: A∗∗ = A và kA∗∗ k = kAk. Định lý 1.8. Giả sử H là một không gian Hilbert và A, B là một toán tử liên tục từ H vào H, λ ∈ R. Khi đó: (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (λA)∗ = λA∗ , (B ◦ A)∗ = A∗ ◦ B ∗ . I ∗ = I (I là toán tử đồng nhất trên H). 16 Định lý 1.9. Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ H vào H . A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A∗ là một phép đồng phôi và (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Định nghĩa 1.10. Với M ⊂ H , ta kí hiệu spanM là không gian tuyến tính nhỏ nhất của H chứa M , intM là phần trong của M trong H , ∂M là biến của tập M và M ⊥ = {x ∈ H : hx, ei = 0 ∀e ∈ M } = 0. Với mỗi toán tử T , chúng ta viết RanT = {T x : x ∈ H} KerT = {x ∈ H : T x = 0} lần lượt là ảnh và nhân của T . Định nghĩa 1.11. Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H , K và L là những nón lồi đóng trong H . Ta nói T là đồng dương cộng trên K nếu: i) k ∈ K thì hT k, ki > 0; ii) k ∈ K và hT k, ki = 0 thì (T + T ∗ )k = 0. Định nghĩa 1.12. Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H , K nón lồi đóng trong H . Ta nói T là đơn điệu trên K nếu hT x − T y, x − yi > 0; x, y ∈ K. Định nghĩa 1.13. Cho M là một tập trong không gian Hilbert H . M được gọi là khả ly nếu M chứa một tập con đếm được trù mật trong M . 17 Định nghĩa 1.14. Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu K khả ly và vector 0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k ∈ H : kkk = 1}. Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng (xem [5]). Với α > 0 và phần tử e 6= 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly H ta có nón {x ∈ H : hx, ei > α kxk kek}) là mỏng (xem [5]). Định nghĩa 1.15. Nón K trong H được gọi là một đa diện nếu tồn tại một tập hợp hữu hạn {a1 ; a2 ; .....an } ⊂ K sao cho ( K= x∈H:x= n X ) λm am , λm > 0 . m=1 Chúng ta lưu ý rằng hình nón đa diện luôn luôn mỏng. Định nghĩa 1.16. Với q1 , q2 ∈ H , ta kí hiệu q1 ⊗ q2 là toán tử tuyến tính trên h xác định bởi (q1 ⊗ q2 )(x) = (q1 , x)(q2 ) Định nghĩa 1.17. Ánh xạ ϕ từ K vào R được gọi là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu của H nếu như: lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x) khi y hội tụ yếu đến x trong K .
- Xem thêm -