Tài liệu Bài toán biên tự do trong cơ học môi trường liên tục

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 112 |
  • Lượt tải: 0
thuvientrithuc1102

Đã đăng 15893 tài liệu

Mô tả:

BO GIAODue v A oAo TAO TRUONG 8AT I-IQC TONG HOP THANH FHO HO CHI MINH TR~NH ANH NGQC BAI TOAN BI:B:N TIJ DO TRaNG CO HQC Mor TRUONG LIEN TUC Chuyen nganh: cO HQC V~T R..\N BIE'N D~NG Mil so': 1.02.21 T6MTATLU~N AN Ph6 Tie'nSi Toan Ly -.: Thanh Ph6 If() Chi wUnh - 1996 - Lu~n an duqe heaD thanh l~i Moa Toan - Tin hge Tru'CJng.B~i H9C T6ng Hqp Thanh pho' H6 Cbi I\Hnh Ngu'oi hu'dng din: Giao suTie'n sl B4ng Blnh Ang B~i Hqc T6ng Hqp Thanh pho' H6 Cbi Minh Ngu'oi nh4n xet 1: Ngu'Oinh4n xet 2: Cel quan nh~n xet: .- Lu4n an nay se duqc bao v~ ~i HQi dong cham lu4n an NhB.nude h9P ~i Tru'CJngB~i H9C T6ng Hqp Thanh pho' H6 Chi IvIinh vao hie gi<1,Ngay thang niim1996 C6 th~ 11mhi~u lu4n an ~i cae tIlt]'vi~n Khoa hge: Tnthng B~i Hge T6ng Hqp Thanh pbo' Ho Chi Minh. - Thu vi~n Khoa b9C T6ng Hqp ThAnh ph[) H6 Cbi Minh - BAI TO~{N BrENn;' 00 TRONG co HQC MOl TRUONG LIEN T1)C :'vIa DA U Bat todn bien t,! do la bai toan bien, trong do bien hoac mot pilau bien cua mien khao sat khong dUCfCcho truck (goi la hien tt' do hay bien di dong). Tuy tUng twang hqp cu th~, bien tl1 do co thJ lit m~t pilau cilia moi twCtng thana cac thana phan (pha.) co cae dac trung tr~ng thai va chuy~n dong khac nhau; aoae la. mat gian dean cila cae dac tnmg nay. Mot dac di~rn cila loai bai toan nay la. bien t1J do phai du<;1cxac dinh trong qua trlnh gia.i bili teaR nhu mot thana phan cua nghi~m. Ba.i toan bien tl.1do xua:t hien trong nhieu lanh Vl,!Ckhoa hoc. D~c bi~t, trong ccJh9C mOl truc x3.m nha.p. Lu~n an nay nhcim nghien cUn mot s6 bai toan bien W do trong CcJh9c mOl truang lien tuc co nhieu thtg d~ng quail trong trong kj thu~t: 1. Bai loan bien tu do trong cCfh<;>cxam nha,p, 2. Bai toan va ch~m cila thanh deo nhdt vao vat can dan hOi. Trong qua trlnh nghien cUn, chung t6i cia.giai quyet mQt s6 van d~ lien quail Mn: - Xay dung mo hinh toan hoc, - PhuCfng phap toan gicii q uyet bili loan toan hoc, a - Phucrng phap tinh gAll dung cUe:bai toaD bien tl,r do. Mo hinh tO8.n hQc. Chung toi dung mo hlnh Bingham. hi~n ducre coj Iii.mo hlnh mo ph6ng kha tot cae qua trinh va cham, xam nh~p clla v~t r3-n bi~n d~g. Di~u ki~n tren bien tv do duqc xay d\!IIg dt,la tren tinh eMt v~t If eua hi~n tuqng. Vi~e dua vao cae di~u kien nay thuitng d~n d~n mqt 80 kh6 khemoi trnern-g lien tuc, d~ thi~t I~p roO-hlnh toan h9C cho phep gia.i quy~t ca.e van de d~t fa, ngoai cae dinh Juat ea bin nhu dinh Iu~t bao toan kMi Iuqng (phudng trlnh lien t1,tc), dinh Iy bien thien de)ng Iuqng (phudng trlnh ehuy~n d9ng), dinh Ii bien thien moment dQng luqng, din pha.i xay dt;mg phudng trinh trang thai me ta quan h~ giua Ung suat va. bien d<;tng. Cae quan h~ nay duO'c de xua:t va. ki~m chUng nha thue nghi~m. Mo hlnh ducrc Slt dung trong cae bai toan trong luau an 1a.mo hlnh Bingham. Quy lu~t Ung sua:t - bien dang Bingham co d~ng de CT khi = (Ts + fJ dt ,.. I 2: 17,; v0'1117 Irrl< cr, moi twang kh6ng bi bien dang. ~:Jein x~t . .EhJ lIng suat khOng doi va vucrt. qua. ung suat gicri han as th\ a- a, Hong vat the, bitin dang tang theo thai gian ti le veri =:.. Il . 5<1do v~t li~u Bingham phan anh mot th\1c tt! 111, d6i vcri nhieu vAt li~u su chay dang ke chi xdt bien vt1i tcii tn,mg xac dinh, dong thm t6c do cMy ph1,lthuQe vao dQ nh&t cua moi twang. 110 hlnh nay do Bingham de xu<1tna.m 1922 cho ta m6i quaIl hE;giua ttng suat va biEindi;tngthich hqp de mo phong eae qua trlnh va ChID. Ga.n day, roOhlnh nay con duqc dung d~ tinh toan cae qua trlnh xam nha.p cna cae va.t tM bi~n dC;tllg. ---- - - - -- (, CIutl1ng 2 B;\1 TO/\N BI:E~ TT" DO TRaNG co HQC X..\1\1 'iHAP Bai toaD cd hQc Vat th~ B veri chien f<;Jng:2H xam nhap VaG vat the khac dl1&i tac d1,lng cua 1\!c ngoai g(t). Gia. ~n'!rang B la. v~t the nhci't deo. Hong nen ducic, tuan thee quy Iu~t lIng 5uat - bien dang cua Bingham: '111* - '0 = ~-:-:--(I".t"), ,."Jr" r'(x",t") !1i trong do r" Ia. lIng snat. '0 Ia. l1ng snat gicri han, tJ 111. he 50 nhal va (~AIa. van toc thee huang y. Khi Ung sucH ti~p vuat qua giro han da.n hoi, vat th~ B duqc chiao thiLnh hai phan (mien chay deo va. mien cUng) ng3.n each bCti = 8"'(t..)(bien tt,ldo). :r" . Dieu ki~n lIen bien t1,l do c1ia biLi toan duqc thi~t l~p dl,la tIeR cac gia. thi~t (HI) ti~p d~t (H2) do. san: TIen di~m phan each mien Cling va.mien cleo nhc1t Ung sU.1t gia tri giai h~ Truang van toc va.truang ting su.1t lien t~c khi qua bien tt,l Bai tom tom hQC. BiLitoan bien bOn hqp cna biLitoin cet h<,>c (d~ng khong thu nguyen): Cho truc1cTm= > 0, tim u(x, i), s(t) sao cho . .. ---- ~(t) lien t~c Lipschitz tIen (0, Tm=]j . u va. ,J211 :: lien tl,1Cvai 0 ~x~ 8 (t), 0 ~ t ~ Tm=; au . -&;2va.at lien t~c trong 0 ~ x ~ 8(t) khi 0 < t < Tm=, . u thoa phuangtrlnh dao ha.mrieng au - 1 fpu at - f . R 8x2 (I, t) trong 0 < x < 5(t), 0 < t ~ Tmax; 5 + Rg(t) (2) . Tren bien tV do set), u thoa. cae dieu kierl au S 5 m(s(t), t) au -(set), t) ax = Rg(t) = 0, &u - R(1-s(t))' 5 (3) = -I-s(t)' ox2(s(t),t) vm 0< t::; Tmax; . u va s thOa.cae di~u ki~n bien va.dieu ki~n da.usau: = seD) = - tp(x), u(:c,O) - ---- ------- b, 0 < b < 1, = u(O,t) (4) jet), vm d.c di~u kien tucrng thlch = 'P(O) r,o'(b) = /(0), 0, = -~1- 'P"(b) (5) b' trong do u la v~ toe, set) la di~m phan each giila mien cleonh&t va mien tUng, R pH2 / I-!T la so Reynold (ti so giila h,lc qUail tinh va 11;tcnh&t), 5 ToT/I-! la ti 86 giilal1;tc ngoai va 11;tenh&t. = = : Dua vao:in ham mm u(x,t) = (x,t), u(x,t) thoa au 1 &u S , , = RO:r2(x,t)+R9(t), = R~ft) - H(I - s(t)) = 5 = tjJ(x), v(O,t) = f(t), f(O) = 11'(0), S S -g(O) '- ~R R(1 - b) 8t(x,t) -, v(s(1), S. t) av ,,(stiLt) aT v(,r,O) 1/,(b) = , 5 'sfi) I-s(t) 8 (6) (7) (8) -,' (9) (10) (11 j ( 12) Ph11crng trinh tich phAn. Ky hieu k -T k = ~"\.(I,t;~,1") = R12 exp! 2..)7r(t-1') i uung cae ham Green. k"(x -02 \... -,), it-1' G(x,t;f;,1') := K(x,t;E"r)-K(x,t:-~,i), .V(x,t;f;,r) := K(x,t;E;,1')+I((x,t:-f;,i), ) (13) vcii 0 < x < set), 0 < f; < s(t), 0 < T < t. (14) Sa.n mot so bi~n d6i xuat phat tu dong nhat thuc Green eila. he (6)-(12), ta. thu dw;rc phucrng trinh ti'ch pha.n sail: .) rei) = ~(l-s(t»B(r(t», (15) trong do B(1"(t» = 1& r//(~)N(s(t), S (t t;f;,O)d{ r( 1") - R Jo (1 - s(1"»2N(.(t),t; SeT),r)d1" S +R t r(r) 8G 0'1-31" ( ) a-,;-($(t),t;s(r}~1")dT' l t - I 0 S u [ fer) - Rg(1")N(s(t),t;O,1")dT, ] (16) va set) duqc Lie dinh nllet - . . --{In ._. s(t)=b+fo~r(T)dr.--trong do fIO(t)=v(s(t),t). Giai (15) - (17) ta. thn duc;rcset); tit do ta.co th~ unh toan gia.tri cua. trnetng v~ t6c va.trtldng Ung snat. 511 tOn t~ va duy nhat nghi~m tOM Cl,le-TiI cae bi~u di~n tich pha.n.eua. nghi~m chung-tOi rut fa. ill<)ts6 kllAngdiu v~ ti'nh chinh qui c1ianghi~m va.cae d~ ham c1ia.no: Dinh 1:' 2.2 Dttdi cae dieu ki~n cua Dinh (y 2.1 110cae dieu k~n trctn: f(t) thuqc (tip C3, get) thutje ldp L- tren (0, +CO), \I'(x) thuijc , ()3u OZu . {(1p C4 tren [0, b]; &tox2' &t2 hen tf!.C tren 0 ::; I ::; S (t), 0 < t ::; u.. 9 D~t Tmax = sup{T> 0: (2.17) - (2.20) co nghi~m tIeD [0,T] va.0 < s(t) < 1 vm m<;>i t E [0,T]}. (18) Tir Dinh Ii 2.1 va.D~n~Iy 2.2 ta co ngay Bo & 2.1 Dttlii cae dieu ki~n cuo Dinh ly 2.1 (ho~e Dinh ly 2.£), ~t trong cae kef lu~n sou dung (i) Tmax=+oo. (ii) Tmax < +00 va = 1, lim sup 18(t)1 < +00. Jim s(t) t-+Tm"" t-+Tm"" (ill) 'Tmax<-+00 va Jim 5(t) = 0, Jim sup 18(t)1< +00. --- -- -- - t"'tT...",,- . t-tTm;'",; (iv) Tmax< +00 va lim sup 18(t)1= +00 t-+T""", fPu _- (i.e. Jim t-+T",ox. sup I lit&.'r {5(t},t} 1 = +00). Th,ta tIeD 811tOn t~ va. duyuhat nghi~m dia phu<1Ilg (duqc chi ra trongbai Mo cua D.D. Ang et al.), ba.ng ca.ch ap d~ng nguyen If C\,IC d~ cho phu<1Ilgtrinh parabolic chUng toi chUng minh duqc ca.c k~t qua. sau: Dinh sou: If 2.3 Dttlii cae dieu ki~n cua Dinh ly £.2 va cae dieu ki~n 1. i'(t)-Jdl(t) +oc5 ~ 0 v~i mQit? 0 va M =RsUPt~O Il(t)-ftg(t)1 < 5 . 2, t~~oo [ Rg(t) - J(t) ] = g*< +00 (g* ? R(1- b»' 3. !pfl/(x) ? 0 vdi mQi 0 =s;x =s;b, To co " Tmax = - -'. - q ..::.y(x,t) +00 (Tmaxnhu trong B6 d~ 2.1), s(t)? 0- .: ; 0 ("It ~ 0), 1 ..::.:;Mp " = ~ x) + Fe Or;}:~bI 2). Them va.o diem t",< vm gia. tri lap ban dkll duae di<;ln Ia. r(tn+1) = 2r(tn) - r(tn-LJ f19) Dungphepco X.1£dinh Mi (15)-(16),trongd6 a 7e pha.ir(t), s(t) lay gia.t.r:ixap xi eRa bu6c l~p trucrc (hod.cgia :q l~p ban clan), xac dinh r(t"'+1),roi s(tn+1) (nher(17)) Sf! hi?i tt,l, sat s6 Nh.Ungk~t qua. v?!s11Mi tll cua tJ,lli,LttoaD va. sai s6 thll~t toem pAn thu9c cae aanh gia trong chUng :ninh s1,tton tai nghi~m dia phudng cua phuong trlnh tich pha.n. Mi:Ltkhae, trong tinh toan chUng toi da sir dT,Ulgn9i BUYLagrange d~ tinh gkn dung r(t) va. s (t). Cae tich pha.n xdt hi~n trong (16), (17), baa gom cae tieh phan co kY di (thu~ l~ (t - 1')-1/'l) , d~n ton t~ TIl1i roe tieD phan s6 vdi sai s6 tin.h t.oa.ntut1ng Ung: 1 ~2 1.£'1 F(.7:)dI:=h[-Fl 2 1 + -F1] +O(h3P"). (20) 2 Truirng hqp tich pha.a ky di ($2 F(.7:)tb: Jr:l (.7:2_z)1/2 = - = h1/'l[Fl+F'l] +O(h3/2P). d day h 3:2 3:1 (tmng truang h L1r, bi~n khO1lg-gi;urh=~&)-:-- = (21) hqp cua. chung ta., 'vdi bi~n th€ri. gia.n ,- -- -_d.. - Ky hi~u T Ia. ci.uh~ co tic B".(O,M) vao chinn no xac dinh bdisup q(t), v~ phai deL (16) viii M s6 co a (0 < a < 1); IIqU", 9:°99" (q E C[O,in]); T Ia.taU tit .dp xi da. T. Tit co dinh If san: Dinh Iy 2.6 Dtrtii aie dieu ki~n cua D;nh Iy 2.1, J.~ttde l~p thti n ta eo cae daM gid lien quan de'n sa; si{ thfj~t loan va sa; sit t{nh toan sau: (i) IIF - rlln ~ tr'!vf. Do do thuq.t toan fa hql t~. Hun niia, ta co 111- sUn ~ anMu, , c.; "., .'. ""-'. 12 ..! - (ii) IIT'70 (iii) - Tnroll" , ," < (CjnL1{!/-' + C:d17l- IjL1xj)- 1 : l -Q ~1 - IIT"ro - rUn < o:n}vi+ (C1nL1t3/Z+ '-:"-'z(m - 1).::1x3) 0 do r la nghi~m cMnh xcic; f(= Tr'ro) IiI nghi~m gan dung d bttdc I(lp thtf n; ro la gici try igp ban dati; s(t), s(t) dttqc :uic dinh irony tti(17)vdiFl.,t), r(t) tttetngting;C1,CzlG ccichdngst{cMphtj thuQc vao dil "i~n cho trtJdc cua bai loan va gici tri I(lp ban dttu; m Ia s6' diem nut !.hong gian ph4n ho(,lch [0,bJ. B~ qua' Co\d;nh tn, dieu kil]n oond,nh cua set do tinh xiip xi: .::1tlj2 " &2 > t1/Z n - bZ---- (22) ThuM toau duQc ap d1,lugcho ba. VI dl,l 86. K~t qua phil hqp vai cae daub gia If thuy~t, d~c bi~t phU hqp vai k~t qua ciia cae tic gici trucrc day. JC Va Ch9ffi cua thanh Chuo'ng 3 deo nhdt v~w v<).tcan dan hili tuyifn tinh Bai toan co' hQc. Thanh ehi~u diti L dv6i tae dung clia lHe ngoiti ehuy~n dong doc true. va cham vito vat can d~1llh6i tuyen t{nh ti1-idau thanh theo hucfng phap tuyen. Thanh du<1egii thiet thanh la. v~t th~ khong Hen du<1Cva. co th~ mo ta quail he giua Ung su<1tva bien di1-ng nher qui lu~t Bingham: au" a"(x",t")+ao=J1.ax..(x"t"), neula"l>ao, (23) trong do a* la. Ung suat phap, <70lit Ung su<1t tdi hi;tn, J1.la. M so nMt va u* v~n toe theo huang x. Bai toan toan hQc. D<,tng khong thu nguyen ciia bai toan bien hon h<;1p: au -at(X, t) du = 1 fPu R ax2 (x, t) khi 0 < x < set), 0 < t < T', (24) 5 (25) = R(I - s(t»' dt(s(t),t) au ox (s(t),t) = 0, :(O,t) (26) = 5{I+Q[~tu(O,r)dT+a)}. (27) Di~u ki~n da.u: ~- _.~- = ~(x), 0 < x < b, s(0) = b, 0 < b< 1. u(x,O) (28) (29) trong do u la. van tOe, s (t) la. di~m phan ~a.eh giiIa mi~n cleo Rhett va. mi~n CUng, R va. 5 nhu chu<1ng2. Dih ki~ntu<1ngthich: ham 0 sao cho ne'u -E < 2). Them vaa di~m nut in+! vc1i gia tri l~p ban da.u duqc eh(;mla = rein+!) = 2r(tn) - r(tn-l), Vl(tn+l) = 2Vl(tn)- Vl(tn-l)' (45) (46) Dung phep co xac dinh bm (36) va. (37), tinh dp xi r(tn+!), vl(in+!), roi s(tn+!) (nher(41)). Dinh ly 2.6 va.n dung vai sa do t{nh gall dung (; day. N6i khac di thu~t toaD h(>itv va. On dinh vai sai s6 duqc danh gia theo Dinh ly 2.6. Thu~t tOaD duac ap dung cho mot vi du s6. 17 K~t lu~n Tom l<;ti,Juan an d<;ttdUC1Cmot s6 k~t qua mdi: (1) ChUng minh duqc 51,!ton t<;tinghi~m toiw CI;J.C clia. bai toa.n bien tu do trong C(JhQc xam nM-po Cac ket qua nay cho phep mo ta dang dieu cua ham s(t) khi t t~ng (51,1phat trieR cila mien deo nhat theo thCri gian) Han mIa, chi ra ch~n tren cila then diem het pha (deo) dum cae truerng hap d~t tai khac nhau. (2) Mo hinh hoa bai toan va ch~m cua. thanh cleO:nhdt vito vat can dim hOi tuye'n tIn}). Gia thiet vat can dan h6i phil hap vm thuG t,~ han gia thiet v~t can rein tuY$t d6i igia thiet cua Barenblatt va. 15hliskii). Han mia. khi dQ cUng c1ia.v~t can t~ng leu .(tien ra +00 j thi bili toan a day trer thanh bai toan vm dieu ki~n vat d.n dng tuY$t doi. (3) ChUng minh duqc St,ltOn t~ va duy nha:t nghi~m (dia. phuang, toan C"l;J.c) cua bili toem va. ch~ ctia. thanh deo nhdt va.o:v~t can dan hoi. (4) Thiet l~p dl1qc cae thn~t toan cho nghi~m gitn dung c1ia.hai bai toem cia:nen. ChUng minh St,lhQi t"I;J., tinh On dinh cua. sa dOtinh ga.n dung. Chi fa. sai so cua. thu~t teaR ding nhl1 sai so xa:p xi. 0 18
- Xem thêm -