Tài liệu Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

  • Số trang: 34 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 288 |
  • Lượt tải: 0
quocphongnguyen

Đã đăng 14453 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY LINH BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY LINH BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục 1 KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . 1.2 Không gian Wpl (Ω) . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Không gian Lp (Ω); (1 ≤ p ≤ +∞) 1.2.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . 1.2.3 Không gian Wpl (Ω) . . . . . . . . 1.2.4 Không gian C k,γ (Ω) . . . . . . . . 1.3 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Vết của hàm số trên mặt cong . . . . . . 1.5 Không gian W20,1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 2 NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI 7 2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) . . . . . . . . . . 8 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Bất đẳng thức cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không gian W21 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không gian W22 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Tính trơn nghiệm suy rộng của phương trình Eliptic tuyến tính cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 2 Công trình được hoàn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi ......giờ...... ngày .... tháng .... năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Mở đầu Dựa trên chương II của tài liệu tham khảo [1], luận văn nghiên cứu bài toán biên của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, luận văn gồm có hai chương: Chương I trình bày lý thuyết không gian Sobolev, phát biểu các định lý Riesz, định lý Lax-Milgram, và định lý Fredholm. Nêu định nghĩa các không gian Lp (Ω), định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng và không gian Wpl (Ω). Phát biểu định lý nhúng và vết của hàm số trên mặt cong (n − 1) chiều. Chương II nghiên cứu nghiệm suy rộng của phương trình elliptic dạng bảo toàn bao gồm định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh các bất đẳng thức cơ bản thứ nhất, bất đẳng thức cơ bản thứ hai, tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không gian W21 (Ω); W22 (Ω) và xét tính trơn nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. 1 Chương 1 KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1. (Định lý Riesz) Với một phiếm hàm tuyến tính bị chặn F trong không gian Hilbert H luôn tồn tại một phần tử xác định duy nhất f ∈ H sao cho F (x) = (x, f ) với mỗi x ∈ H và kF k = kf k và đồng thời ta có: (x, f ) = F (x) kf k2 F (f ) |(x, f )| x6=0 kxk kF k = sup kf k2 = (f, f ) = F (f ) Định lí 1.2. (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B là dạng song tuyến tính bức, bị chặn trên không gian Hilbert, tức là (i) ∃M > 0 : |B(x, y)| ≤ M kxkkyk, (ii) ∃λ > 0 : B(x, x) ≥ λ||x||2 , ∀x, y ∈ H x ∈ H. Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H ∗ , tồn tại duy nhất một phần tử f ∈ H sao cho: B(x, f ) = F (x) với mọi x ∈ H . Định lí 1.3. (Định lý Fredholm) Giả sử H là không gian Hilbert và T là toán tử compact từ H vào chính nó, T ∗ là toán tử liên hợp của T . Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R không có điểm giới hạn trừ ra có thể λ = 0 sao cho Nếu λ 6= 0, λ ∈ / Λ phương trình λx − T ∗ x = y λx − T x = y, 2 (1.1) có nghiệm xác định duy nhất x ∈ H với mọi y ∈ H và các toán tử ngược (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 là bị chặn. Nếu λ ∈ Λ, các không gian con không của ánh xạ λI − T, λI − Y ∗ có số chiều dương và hữu hạn, còn phương trình (1.1) giải được nếu và chỉ nếu y trực giao với không gian con không của λI − T ∗ trong trường hợp thứ nhất và của λI − T trong trường hợp còn lại. 1.2 1.2.1 Không gian Wpl (Ω) Không gian Lp (Ω); (1 ≤ p ≤ +∞) Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn. x = (x1 , x2 , . . . , xn ) Lp (Ω) là không gian Banach cổ điển gồm các hàm u(x) đo được trên Ω và ||u(x)||p khả tích, tức là: Z |u(x)|p dx < +∞. (1.2) Ω Chuẩn của Lp (Ω) được định nghĩa bởi: Z kukpLp (Ω) = |u(x)|p dx, (1.3) Ω trong đó |u(x)| là giá trị tuyệt đối, hoặc mođun của hàm u(x) Không gian L2 (Ω) là Hilbert với tích vô hướng Z (u, v)Lp (Ω) = u(x)v(x)dx. (1.4) Ω 1.2.2 Đạo hàm suy rộng Giả sử C0∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hướng có giá suppu compact trong Ω, trong đó sup u = {x ∈ Ω, u(x) 6= 0}. (1.5) Giả sử u(x) ∈ Lp (Ω). Hàm số w(x) ∈ Lp (Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến xj của hàm u(x), Kí hiệu là: ∂u(x) = Dj u = w(x). ∂xj 3 (1.6) Nếu với mọi v(x) ∈ C0∞ (Ω) ta có: Z Z w(x)v(x)dx = − Ω u(x) ∂v(x) dx. ∂xj (1.7) Ω Giả sử α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn là đa chỉ số với αj ∈ N, |α| = α1 + α2 + . . . + αn và Dα = D1α1 D2α2 . . . Dnαn . Giả sử u(x) ∈ Lp (Ω). Hàm số wα (x) ∈ Lp (Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng, kí hiệu là: Dα u = wα . Nếu với mọi v(x) ∈ C0∞ (Ω) ta có Z |α| Z v(x)wα (x)dx = (−1) Ω 1.2.3 u(x) ∂v(x) dx. ∂xj (1.8) Ω Không gian Wpl (Ω) Ta định nghĩa không gian Wpl (Ω) là tất cả cá tập hợp trong Lp (Ω) sao cho mọi đạo hàm suy rộng của nó đều thuộc Lp (Ω), tức là: Wpl (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l}. (1.9) Ta đưa vào Wpl (Ω) chuẩn sau: kukpW l (Ω) 2 = Z X |Dα u(x)|p dx. (1.10) Ω |α|≤l Không gian W2l (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng Z X Dα u(x)Dα v(x)dx. (u, v)W2l (Ω) = (1.11) Ω |α|≤l 1.2.4 Không gian C k,γ (Ω) Không gian C k (Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k . Đây là không gian Banach với chuẩn: X ||u(x)||C k (Ω) = sup |Dα u(x)|, (1.12) Ω |α|≤k 4 với 0 ≤ α ≤ 1 ta xét nửa chuẩn [u]γ,Ω = sup Ω |u(x) − u(y)| . |x − y|α (1.13) Không gian C k,γ (Ω) là tập hợp các hàm u(x) ∈ C k (Ω) sao cho [Dα u]λ,Ω < +∞, ∀|α| = k . Không gian C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn X ||u(x)||C k,γ (Ω) = ||u(x)||C k (Ω) + (1.14) [Dα u]γ,Ω . |α|≤k 1.3 Định lý nhúng l (Ω) được nhúng compact Định lí 1.4. Không gian Wm (i) vào trong các không gian Lmn/(n−lm) (Ω) nếu lm < n và (ii) vào trong C k (Ω) nếu 0 ≤ k < l − n m. Tức là ta có một phép nhúng:  nm/(n−lm) l Wm (Ω) ⊂ L C k (Ω), (Ω), lm < n, n 0≤k 0 sao cho với mọi u(x) ∈ Wm với p = kukp,Ω ≤ C(Ω)kukWml (Ω) , (1.16) max |u| ≤ c(Ω)kukWml (Ω) . (1.17) mn và n−m Ω 1.4 Vết của hàm số trên mặt cong l (Ω) có vết trên mặt cong (n − 1) Giả sử lm < n. Khi đó, các hàm số u(x) ∈ Wm chiều Γ chứa trong Ω và thuộc không gian Lq (Γ), tức là tồn tại c > 0 sao cho: l (Ω), kukLq (Γ) ≤ ckukWml (Ω) , ∀u ∈ Wm trong đó q = m(n − 1) . n − lm 5 (1.18) 1.5 Không gian W20,1(Ω) Không gian W20,l (Ω) gồm các hàm u(x) ∈ Wpl (Ω) sao cho các đạo hàm suy rộng đến cấp (l − 1) có vết trên ∂Ω. Không gian Hilbert W20,1 (Ω) có vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp hai. Giải sử Ω là miền bị chặn, tích vô hướng trong không gian W20,1 (Ω) được định nghĩa bởi công thức như trong W21 (Ω) như sau: Z (u, v)W 0,1 (Ω) = (uv + ux vx )dx. 2 (1.19) Ω Trong không gian W20,1 (Ω) có thể đưa vào một tích vô hướng mới như sau: Z [u, v] = ux vx dx. (1.20) Ω Thật vậy, ta có bất đẳng thức Poincase sau đây: tồn tại cΩ > 0 sao cho với mọi u(x) ∈ W20,1 (Ω) ta có: Z Z 2 u dx ≤ cΩ u2x dx. (1.21) Ω Ω 6 Chương 2 NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI 2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng 2.1.1 Bài toán Dirichlet Trong một miền bị chặn Ω ∈ Rn cho phương trình elliptic cấp hai L(u) = k(x) M u + n X ∂k ∂u i=1 ∂xi ∂xi − a(x)u = f (x) (2.1) trong đó các hệ số k(x), a(x) thực và thỏa mãn điều kiện, 1 a(x) ∈ C(Ω), k(x) ∈ C (Ω), k(x) ≥ k0 > 0 ∀x ∈ Ω :M u = n X ∂ 2u i=1 ∂x2i , số hạng tự do f (x) và hàm u(x) có thể coi là hàm số phức. Phương trình (2.1) có thể được viết gọn lại như sau: L(u) = O(k(x)Ou) − a(x)u = f (x) với Ou = ∂u ∂u ∂x1 ; . . . ; ∂xn  . Định nghĩa 2.1. Bài toán biên thứ nhất (hay bài toán Dirichlet) đối với phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (2.1) và điều kiện biên: u|∂Ω = ϕ(x). (2.2) 7 2.1.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) Định nghĩa 2.2. Hàm u(x) ∈ W21 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet đối với phương trình (2.1) và f ∈ L2 (Ω) nếu u(x) thỏa mãn đồng nhất thức tích phân Z Z (k(x)OuOv + auv) dx = − Ω f vdx, (2.3) Ω với mọi hàm v ∈ W20,1 (Ω) và thỏa mãn điều kiện: (2.4) u|∂Ω = ϕ(x).  ∂u ∂u ; . . . ; ∂x Kí hiệu: Ou = ∂x 1 n Đẳng thức (2.4) được hiểu là u(x) − ϕ(x) ∈ W20,1 (Ω). Nhận xét. Khi định nghĩa hàm suy rộng, hàm v trong các đồng nhất thức (2.3) đã được giả thiết là phức. Tuy nhiên cũng có thể coi là các hàm thực. Thật vậy, xét trong (2.3) nếu hàm u(x) ∈ W21 (Ω) thỏa mãn với mọi hàm thực v ∈ W20,1 (Ω) phức thì nó thỏa mãn với mọi hàm thực v ∈ W20,1 (Ω). Ngược lại, nếu u(x) ∈ W21 (Ω) thỏa mãn (2.3) với mọi hàm thực v ∈ W20,1 (Ω). Khi đó, đẳng thức xảy ra với mọi hàm phức v = Rev + iImv, v ∈ W20,1 (Ω) vì nó đã đúng với Rev và Imv . 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Trong phần này và phần sau, ta sẽ nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet. Lu ≡ ∂ ∂fi (aij ux1 + aj u) + bi uxi + au = f + , ∂xi ∂xi (2.5) với (2.6) u|s = 0. Trong không gian W21 (Ω), ta sẽ giả sử các phương trình (2.5) là elliptic và các hệ số của nó là các hàm bị chặn đo được vξ 2 ≤ aij ξi ξj ≤ µξ 2 , và v, u = const > 0, aij = aji , v v u n u n sX uX uX t a2 , t b2 ≤ µ 1 , (ai − bi )2 ≤ µ2 , µ3 ≤ a(x) ≤ µ4 . i i=1 i i=1 i 8 (2.7) (2.8) Các hàm f và fi tượng trưng cho số hạng tự do trong (2.5), sẽ giả sử là ma trận vuông trong Ω. v u n uX t (2.9) fi2 kf k2,Ω < ∞, kf k2,Ω ≡ < ∞, i=1 2,Ω ta coi hàm u(x) ∈ W21 (Ω) là một nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) của phương trình (2.5) nếu nó thỏa mãn đồng nhất tích phân Z L(u, η) ≡ Z (aij uxi ηxj + ai uηxi − bi uxi η − auη)dx = Ω (−f η + fi nxi )dx, (2.10) Ω với mọi η(x) ∈ C ∞ (Ω). Dễ dàng nhận thấy rằng định nghĩa này có ý nghĩa cho tất cả các tích phân xuất hiện trong (2.10) là hữu hạn. Đồng nhất thức (2.10) chính thức có được từ đồng nhất thức:  Z  ∂fi − Lu − f − ηdx = 0, η ∈ C ∞ (Ω), (2.11) ∂xi Ω nếu ta áp dụng công thức tích phân từng phần. Ta xác định nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) của bài toán (2.5), (2.6) (hay nghiệm suy rộng đơn giản), hàm u(x) trong W20,1 (Ω) thỏa mãn(2.10) với η ∈ W20,1 (Ω). Ta csẽ đưa ra bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Ta xem xét phương trình bậc hai dạng L(u, u). Do (2.7), (2.8) và bất đẳng thức Cauchy, với mọi ε1 > 0, ta có: Z (aij uxi uxj + (ai − bi )uxi u − au2 )dx L(u, u) = Ω Z ≥ (vu2x − µ4 u2 )dx − µ4 kuk · kux k Ω 2 ≥ (v − ε1 )kux k −  µ2 µ4 + 2 4ε1  kuk2 , ∀ε1 > 0 (2.12) trong đó, kuk là chuẩn trong L2 (Ω), và (u, v) là tích vô hướng trong L2 (Ω). Nếu ta cho ε1 = v/2 trong (2.12), ta có:   v µ2 L(u, v) ≥ kux k2 − µ4 − kuk2 . (2.13) 2 2v 9 2 2 Vế phải của (2.12) không nhỏ hơn [(v − ε1 )c−2 Ω − µ4 − µ2 /(4ε1 )]kuk thực hiện trên mọi ε1 ∈ (0, v], để L(u, v) ≥ δ1 kuk2 , (2.14) trong đó  δ1 = max 0≤δ1 ≤1 (v − ε1 )c−2 Ω µ2 − µ4 − 2 . 4ε1  (2.15) Nếu ε1 > 0, do (2.13) và (2.14), ta có thể thêm kux k2 và điều kiện của L(u, u) cụ thể là:    µ22 v −1 2 kux k ≤ L(u, u) 1 + δ1 max 0; µ4 + , (2.16) 2 2v hay δ2 kux k2 ≤ L(u, u), (2.17) trong đó: µ2 v 1 + δ1−1 max 0; µ4 + 2 δ2 = 2 2v   −1 . (2.18) Cho u(x) là là một nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) của (2.5), (2.6). Từ (2.10) ta có bất đẳng thức u(x).L(u, u) = −(f, u) + (fi , uxi ) ≤ kf k.kuk + kfkkux k 1 1 ≤ ε2 kuk2 + kf k2 + ε3 kux k2 + kfk, 4ε1 4ε3 (2.19) với mọi ε2 , ε3 > 0, cùng với (2.12) đẫn đến bất đẳng thức cơ bản thứ nhất, ta có:   µ22 1 1 2 2 2 kf k + kfk + µ4 + + ε2 kuk2 , (2.20) (v − ε1 − ε3 )kux k ≤ 4ε2 4ε3 4ε1 với mọi εi > 0, i = 1, 2, 3. Cho ε1 + ε3 < v nó cung cấp thêm kux k vào điều kiện của kuk, kf k và kF k. Đặc biệt, cho ε1 = ε3 = v/4   2 µ 1 2 2 2 kux k2 ≤ kf k2 + 2 kf k + µ4 + 2 + ε2 kuk2 , (2.21) 2vε2 v v v với mọi ε2 . δ2 kux k2 ≤ L(u, u) ≤ (ε2 c2Ω ε3 )kux k2 + 1 1 kf k2 + kfk2 . 4ε2 4ε3 (2.22) Đặt ε3 = ε2 c2Ω = δ2 /4, ta thu được kux k2 ≤ 2 2 ≤ 2 [c2Ω kf k2 + kfk2 ]. 2 δ2 δ2 10 (2.23) Bất đẳng thức (2.23) được gọi là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Từ đó, nếu f = F = 0, phương trình u(x) mới bằng không, và do đó, bài toán (2.5), (2.6) không thể có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) bất kì khi nào δ1 > 0. Thực tế, nếu u0 và u00 là hai nghiệm suy rộng, nó suy ra tuyến tính của bài toán (2.5), (2.6) mà hiệu u = u0 − u00 là nghiệm suy rộng của bài toán với f = f = 0. Cho u ∈ W20,1 (Ω) suy ra u0 ≡ u00 . Do đó ta chứng minh được định lý sau: Định lí 2.1. Công thức (2.5), (2.6) không thể có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) nếu (2.7), (2.9) được thỏa mãn và nếu δ1 > 0. Điều kiện δ1 > 0 sẽ thỏa mãn (2.5) với hệ số thỏa mãn bất đẳng thức (2.6), (2.9) nếu hằng số cΩ là đủ nhỏ, hoặc nếu giới hạn trên µ4 trong các hệ số a(x) là số âm đủ lớn trong giá trị tuyệt đối. Điều kiện trên sẽ thỏa mãn đối với phương trình: Lu − λu = f + ∂fi , ∂xi nếu λ là số dương đủ lớn. 2.3 Bất đẳng thức cơ bản thứ hai Trong phần này và phần sau, ta sẽ chỉ ra tất cả các nghiệm suy rộng trong của bài toán Dirichlet sẽ có trong W22 (Ω). Giả sử các hệ số thỏa mãn (2.5), (2.6), có các đạo hàm bị chặn ∂aij /∂xk và ∂ai /∂xi trong Ω và nếu f, ∂fi /∂xi trong L2 (Ω), ta có: W21 (Ω) u≡ ∂ (aij uxi ) + ai uxi + au = f. ∂xi (2.24) Ta viết lại f trong vùng của f + ∂fi /∂xi và ai uxi + au trong vùng của ∂(ai u)/∂xi + bi uxi + au. Do đó, giả sử (2.5), (2.6) thỏa mãn L của dạng (2.24) và ∂aij (2.25) ∂xk ≤ µ5 , và kf k < ∞. (2.26) Giả sử có biên S ∈ C 2 là hai lần liên tục khả vi. Ta sẽ chỉ ra, khi những điều kiện liên quan đến L và S được hoàn thành, sau đó các hàm u(x) tùy ý trong C 2 (Ω) biến mất trên S thỏa mãn biểu thức:  2 2 (1) kuxx k2 ≤ 2 kLuk2 + c kuk2,Ω , (2.27) v 11 với hằng số c xác định bởi S và các hằng số trong (2.5), (2.6) và (2.24). Đặc biệt, nếu L = ∆ trong miền lồi Ω, (2.24) được xác định bởi dạng kuxx k ≤ k∆uk. (2.28) Bất đẳng thức (2.27) và (2.28) thì đáng chú ý hơn. Nó chỉ ra rằng Ou = Pn 2 2 i=1 ∂ u/∂xi giới hạn từng đoạn nếu chuẩn được xác định để định chuẩn trong L2 (Ω), và mỗi hàm u(x) trong C 2 (Ω) triệt tiêu trên S . Nếu ta xác định điểm x0 ∈ Ω, khi đó |∂ 2 u/∂x2i | không thể bị chặn tại x0 trong giới hạn của |∆u|. Nếu (2.27) là đúng với mọi u ∈ C 2 (Ω) và u|S = 0, vì vậy, (2.27) là đúng vì đại số đóng của tập hợp này trong chuẩn của W20,2 (Ω) điều mà ta chỉ ra bởi W20,2 (Ω). Thật vậy, với mỗi u(x) ∈ W20,2 (Ω) là một chuỗi {um }, um ∈ C 2 (Ω), um |S = 0, sẽ hội tụ đến u(x) trong chuẩn của W20,2 (Ω). Cho um trong bất đẳng thức (2.27) cố định, và c độc lập thuộc m. Nếu ta cho giới hạn m → ∞, ta thu được (2.27). Điều này được gọi tắt là bao đóng của bất phương trình (2.27) trong chuẩn của W20,2 (Ω) Hiển nhiên từ (2.21), bất đẳng thức: kuk2 ≤ 1 kLuk2 + cε2 kuk2 , 2vε (2.29) thỏa mãn với mọi u(x) ∈ W20,1 (Ω), trong đó cε2 = (2/v) µ4 + µ22 /v + ε2 và ∀ε2 > 0, khi đó u(x) là nghiệm suy rộng trong W21 (Ω) của biểu thức Lu = f, u|S = 0 với f (x) bằng lu(x) ∈ L2 (Ω). Ta cộng thêm kux k2 + kuk2 với cả hai vế của (2.27) và trong vế phải của bất phương trình, ta thay thế kux k2 bởi hàm trội của nó từ (2.27) và sau đó giảm bớt giới hạn giống nhau. Khi đó ta lấy căn bậc hai của cả √ √ √ hai vế của bất đẳng thức và áp dụng bất đẳng thức a + b ≤ a + b ở vế phải. Cho ε = v(c + 1)/4, điều này sinh ra bất đẳng thức cơ bản thứ hai của toán tử elliptic. 2 (2) kuk2,Ω ≤ kLuk + c2 kuk. (2.30) v p Khi c2 = (c + 1)(c1 + 1) và c1 = cε2 cho ε2 = v(c + 1)/4; Bất đẳng thức này thỏa mãn với mọi u ∈ W20,1 (Ω). Trong các trường hợp khi L(u, u) ≥ δ1 kuk2 , δ1 = conts > 0, số hạng cuối cùng kuk trong (2.30) có thể bị chặn trong giới hạn của kLuk và thay vào (2.30), ta có bất đẳng thức: (2) kuk2,Ω ≤ c3 kLuk, trong đó c3 = 2/v + c2 /δ1 . Thật vậy, |L(u, u)| = |(Lu, u)| ≤ kLukkuk, 12 (2.31) do đó δ1 kuk ≤ kLuk suy ra từ việc ta giả sử và (2.30) kéo theo (2.31):    2 max ε1 ∈(0,v] (v − ε)c−2 Ω − µ4 + µ2 4ε1 ≡ δ1 = 0. (2.32) Trong tường hợp tổng quát, (2.31) cố định nếu và chỉ nếu λ = 0 không là phổ của L. Cho nghiệm của (2.24) triệt tiêu trên S , trong các bất đẳng thức (2.30) và (2.31) cho ra một nghiệm biên đầu tiên của kuk(2) 2,Ω trong giới hạn của kLuk = kf k và kuk. R Ta kiểm tra (2.27), cho u ∈ C 2 (Ω), u|S = 0. Ta xét tích phân Ω (Lu)2 dx:   Z Z (u)2 dx = Ω ∂aij ux + ai xxi + au ∂xi j [(aij uxi uxj )2 + 2aij uxi uxj Ω  + Z ≥ (1 − ε) ∂aij ux + ai xxi + au ∂xi j 1 (aij uxi uxj )2 dx + 1 − ε  2 ] 2  Z  ∂a ij uxj + ai uxi + au ∂xi Ω dx Ω Z ≥ (1 − ε) 2 (aij uxi uxj ) dx + c1 1 −1 + ε  Z Ω (u2x + u2 )dx, (2.33) Ω R với mọi ε ∈ (0, 1). Giá trị trung bình tích phân bậc hai (aij uxi uxj )2 dx như sau: Ω Z  Z aij uxi xk akl uxj xl − aij uxi xj akl uxk xl dx = Ω ∂ (aij akl )uxi uxk xl ∂xj Ω  ∂ + (aij akl )uxi uxj xl dx + ∂xk Z I(s)ds S Z ≥ Z  Z I(s)ds − c2 I1 (x)dx + Ω S ε1 u2xx uxj xl 1 + u2x ε1  dx. (2.34) Ω với mọi ε ∈ (0, 1). Trong đó hằng số c2 , cũng như c1 , được xác định bởi các hằng số trong điều kiện (2.7), (2.8), (2.25), và I1 (x) ≡ aij (x)akl (x)uxi xk uxj xl ,   I(s) ≡ aij akl uxi uxk xl cos(n, xi ) − uxj xl cos(n, xk ) x∈s . Không khó để thấy I1 (x) ≥ v 2 u2xx (x). 13 (2.35) Thực tế, ta gắn một điểm x0 ∈ Ω tùy ý và đưa vào tọa độ Đề Các mới trong một số lân cận của x0 , yk = akl (xl − x0l ). Ta chọn một ma trận trực giao (akl ) dạng aij (x0 )ξi ξj đến dạng chéo, nghĩa là, cho aij (x0 )aki alj = λk (x0 )δkl , trong đó λk (x), (k = 1, . . . , n) là giá trị riêng của dạng aij (x)ξi ξj . Sau đó, sử dụng (2.5), ta thu được: n X I1 (x0 ) = λS (x0 )λt (x0 )u2yx vt (x0 ) ≥ v 2 u2yy (x0 ), s,t=1 nhưng u2yy (x0 ) = u2xx (x0 ), vì vậy (2.35) là hợp lệ. Từ (2.33), (2.34) và (2.35) ta suy ra bất đẳng thức:   Z Z 1  c2 (1) (Lu)2 dx ≥ (1−ε) v 2 kuxx k2 + I(s)ds − c2 ε1 kuxx k2 − kux k2 −c1 − 1 (kuk )2 ε1 Ω 2,Ω ε S suy ra: (1−ε)(v 2 −ε1 c2 ) Z u2xx dx ≤ Ω Z (Lu)2 dx−(1−ε) Ω Z   1 Ids+ c1  c2 (1) − 1 + (1 − ε) (kuk2,Ω )2 ε ε1  S (2.36) 1 Nếu ε = và ε = v 2 /(8c2 ), (2.23) giả sử có dạng: 7 3v 2 4 Z Ω u2xx dx Z ≤ 6 (Lu) dx − 7 2 Ω Z (1) I(s)ds + c3 (kuk2,Ω )2 . (2.37) S Bất đẳng thức (2.37), vế phải có chứa tích phân trên S mà trong đó đã bao gồm bất đẳng thức thứ hai của u(x). Tuy nhiên, nếu ta sử dụng điều kiện u|S = 0 trong khi đó I(s) giảm đến một dạng chỉ chứa đạo hàm bậc nhất của u(x). Để chứng minh điều này, ta xét một điểm x0 tùy ý của S và đưa vào một tọa độ Đề Các y1 , . . . , yn , kk = ckl (xl − x0l ) vào lân cận của x0 , trong đó (ckl ) là ma trận trực giao. Cho yn = ω(y1 , . . . , yn−1 ) là phương trình của S trong lân cận của gốc tọa độ y = (0, . . . , 0). Do ω(y1 , . . . , yn−1 ) ∈ C 2 . Từ ma trận trực giao (ckl ), ta có xl − x0l = ckl yk , (l = 1, . . . , n), do đó cos(n, xl ) = cnl , (l = 1, . . . , n). Ta xét biểu thức I(s) tại điểm x0 và khai triển trên trục y : ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u I(x ) = aij akl cmi cpk cql cnj − aij akl cmi cpj cql cn k ∂ym ∂yp ∂yq ∂ym ∂yp ∂yq ∂u ∂ 2 u ≡ (bnm bpq − bmp bqn ) . (2.38) ∂ym ∂yp ∂yq 0 14 trong đó bpq = akl cpk cql , (p, q = 1, . . . , n).. Giờ ta sử dụng điều kiện biên u|s = 0. Tiến dần điểm x0 với tọa độ y1 = . . . = yn = 0, điều kiện này được thể hiện: u(y1 , . . . , yn−1 , ω(y1 , . . . , yn−1 )) = 0 trong đó, thỏa mãn đồng nhất thức khi cho y1 , . . . , yn−1 tiến dần tới 0. Ta sẽ phân biệt đồng nhất thức này với yi và yj , (i, j = 1, . . . , n − 1) tại x0 , ω = 0, (i = 1, . . . , n − 1). Tại x0 cho ∂u = 0, ∂yi ∂2 u ∂u ∂ 2 ω ∂u ∂ 2 ω =− ≡− , ∂yi ∂yj ∂yn ∂yi yj ∂n ∂yi ∂yj 1, j = 1, . . . , n − 1 (2.39) vì uyi (x0 ), (i = 1, . . . , n − 1). Giả sử I(s) tại x0 có dạng  2 ∂ 2u . ∂yp ∂yq ∂u ∂n I(x0 ) = (bnn bpq − bnp − bqn ) (2.40) Cho p = n và q tùy ý, cũng cho q = n và p tùy ý, số hạng trong dấu ngặc đơn của (2.40) tối giản, từ (2.39) ta có:  2 2 n−1 X ∂u ∂ u 0 I(x ) = − (bnn bpq − bnp bqn ) . (2.41) ∂n p,q=1 ∂yp ∂yq Giả sử tọa độ y1 , . . . , yn−1 là tiếp diện của S tại x0 đã được chọn trước mà mọi đạo hàm ∂ 2 ω/∂yp ∂yq , (p, q = 1, . . . , n − 1) triệt tiêu tại x0 . Khi đó:  2 2 n−1 X ∂ u ∂u 0 2 I(x ) = (bnn bpp − bnp ) , (2.42) 2 ∂n p=1 cho ∂yp ∂ 2 u ≤ K, ∂yp2 x0 p = 1, . . . , n − 1, (2.43) khi K > 0; khi đó:  0 −I(x ) ≤ µ(n − 1)K ∂u ∂n 2 . (2.44) Cho ma trận (bij ) tồn tại một liên kết với ma trận (aij ) bởi ánh xạ đồng dạng cảm sinh bởi ma trận trực giao (cij ), được xác định dương và thỏa mãn (2.7) từ đó suy ra 0 ≤ bnn bpp − b2np ≤ µ2 . Cho miền lồi Ω có ∂ 2 ω/∂yp2 ≤ 0, ta có thể cho K là số không. Do đó, cho Ω bất kì, từ (2.37) và (2.44) suy ra: Z Z Z  2 ∂u 3v 2 6 2 (1) 2 2 uxx dx ≤ (Lu) dx + µ (n − 1)K ds + c3 (kuk2,Ω )2 , (2.45) 4 7 Ω ∂n Ω S 15 và cho Ω lồi 3v 2 4 Z u2xx dx Z Tích phân (∂u/∂n)2 (2.46) Ω Ω R (1) (Lu)2 dx + c3 (kuk2,Ω )2 . ≤ có thể tách được với mọi ε > 0: S Z  ∂u ∂n  Z u2x ds dx = Z ≤ c4 S S (u2x + |Ou2x |)dx Ω Z ≤ c4 (u2x + 2|ux ||uxx |)dx Ω Z h ≤ c4 εu2xx 1 2 + 1+ u dx. ε x   i (2.47) Ω 6 Từ (2.46), (2.47) với ε = (v 2 /4) 7 µ2 (n − 1)c4 K Z Z 2 v 2 , ta có: (1] (Lu)2 dx + c5 (kuk2,Ω )2 , u2xx dx ≤ Ω −1 (2.48) Ω là bất đẳng thức (2.27). Từ (2.28), cho miền lồi được suy ra từ (2.34), cho L = δ , có dạng: Z Z Z (δu)2 dx = Ω trong đó I(s) = −(∂u/∂n)2 u2xx dx + (2.49) s Ω n−1 P I(s)ds, ∂ 2 ω/∂yp2 và thực tế là ∂ 2 ω/∂yp2 < 0 để các miền lồi, p=1 nghĩa là I(s) ≥ 0. Hơn thế nữa, cho u ∈ C 2 (Ω) và u|s = 0, ta có: Z Z u2x dx = − Ω uδudx ≤ kuk · kδuk ≤ cΩ kδukkux k, Ω suy ra (1) kuk2,Ω ≤ cΩ q 1 + c2Ω kδuk. (2.50) Từ (2.49) và (2.50) cho Ω lồi, ta thu được: (2) kuk2,Ω ≤ [1 + c2Ω (1 + c2Ω )]1/2 kδuk, (2.51) và cho Ω tùy ý với S trong C 2 , được suy ra từ (2.48) và (2.50) là: (2) kuk2,Ω ≤ ckδuk, (2.52) với hằng số c được xác định là không những duy nhất bởi giá trị gần đúng (giống như hằng số cΩ ) mà còn bởi thuộc tính trơn của S . 16
- Xem thêm -