Tài liệu Bài thuyết trình-nguyên lý ánh xạ co banach và ứng dụng

Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng KHỔNG VĂN HẢI Ngày 18 tháng 12 năm 2014 KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Cấu trúc của bài thuyết trình Điểm bất động. . . KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Cấu trúc của bài thuyết trình Điểm bất động. . . Ánh xạ co KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Cấu trúc của bài thuyết trình Điểm bất động. . . Ánh xạ co Nguyên lý ánh xạ co Banach KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Cấu trúc của bài thuyết trình Điểm bất động. . . Ánh xạ co Nguyên lý ánh xạ co Banach Ứng dụng KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Cấu trúc của bài thuyết trình Điểm bất động. . . Ánh xạ co Nguyên lý ánh xạ co Banach Ứng dụng KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Định nghĩa 1 : Điểm x ∈ X được gọi là một điểm bất động của ánh xạ f từ không gian metric X vào chính nó nếu f (x ) = x . KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Định nghĩa 2 : Ánh xạ f từ không gian metric (X,ρ) vào chính nó gọi là một ánh xạ co nếu có số k , 0 6 k < 1 sao cho ρ(f (x ), f (y )) 6 k ρ(x , y ) với mọi x , y ∈ X KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Nguyên lý ánh xạ co Banach Một ánh xạ co từ không gian metric đầy X vào nó bao giờ cũng có một điểm bất động duy nhất. KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Chứng minh: Giả sử (X , ρ) là một không gian đầy và f : X −→ X là một ánh xạ thoả mãn: ρ(f (x), f (y )) ≤ kρ(x, y ), ∀x, y ∈ X với hằng số k nào đó , 0 6 k < 1. Lấy điểm x0 ∈ X bất kì. Ta xây dựng dãy {x0 } xác định bởi. xn = f (xn−1 ), n > 1. Do f là ánh xạ co , từ định nghĩa ta suy ra được : ρ(xn , xn+1 ) = ρ(f (xn−1 ), f (xn )) 6 kρ(xn−1 , xn ), ∀n ≥ 1 Sử dụng liên tiếp ta nhận được : ρ(xn , xn+1 ) 6 kρ(xn−1 , xn ) 6 k 2 ρ(xn−2 , xn−1 ) 6 ... 6 k n ρ(x0 , x1 ), ∀n ≥ 1 KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng => với mọi n, p ≥ 1 ta có: ρ(xn , xn+p ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + ... + ρ(xn+p−1 , xn+p ) ≤ ≤ (k n + k n+1 + ... + k n+p−1 )ρ(x0 , x1 ) p = k n . 1−k ρ(x0 , x1 ) ≤ k n . 1−k ρ(x0 ,x1 ) 1−k → 0(n → ∞) => xn là một dãy Cauchy trong X. Mặt khác X lại là không gian đầy nên xn → x ∈ X . Lấy giới hạn hai vế của dãy trên khi cho n → ∞. Do f liên tục nên ta nhận được : x = f (x) Do đó x là một điểm bất động của f. Điểm bất động là duy nhất. Thật vậy, giả sử có 1 điểm bất động khác y 6= x. Ta có : 0 < ρ(x, y ) = ρ(f (x), f (y )) ≤ kρ(x, y ) => vô lý. => Đpcm. KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như : Phương trình đại số KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như : Phương trình đại số Phương trình vi phân KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như : Phương trình đại số Phương trình vi phân Đạo hàm riêng, tích phân KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như : Phương trình đại số Phương trình vi phân Đạo hàm riêng, tích phân Tích phân KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như : Phương trình đại số Phương trình vi phân Đạo hàm riêng, tích phân Tích phân ... KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như : Phương trình đại số Phương trình vi phân Đạo hàm riêng, tích phân Tích phân ... KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân thường. Bài toán : Cho f là hàm số xác định và liên tục trong một tập mở G ⊂ R 2 nào đó chứa điểm (x0 , y0 ) và thoả mãn điều kiện Lipschitz theo y, tức là tồn tại số thực dương M sao cho : | f (x, y1 ) − f (x, y2 )| 6 M|y1 − y2 |,(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ G Xét phương trình vi phân dy dx = f (x, y ) (I) với điều kiện y (x0 ) = y0 (II) Chứng minh trên doạn kx − x0 k 6 d nào đó , tồn tại một và chỉ một nghiệm y = ϕ(x) của phương trình (I) thoả mãn điều kiện (II) . (Định lý Picard). KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Chứng minh Hệ phương trình gồm phương trình (I)và (II) tương đương với phương Rx trình tích phân sau : ϕ(x) = y0 + f (t, ϕ(t))dt (III) x0 Do tính liên tục của hàm số f ,tồn tại số dương K và tập mở G 0 chứa điểm(x0 , y0 ) sao cho G 0 ⊂ G và |f (x, y ) ≤ K | với mọi (x, y ) ∈ G 0 . Chọn d>0 sao cho thoả mãn đồng thời : 1) (x, y ) ∈ G 0 nếu |x − x0 | ≤ d , |y − y0 | ≤ Kd 2) Md < 1 Gọi C ∗ là không gian xác định trên đoạn |x − xo | ≤ sao cho |ϕ(x) − y0 )| ≤ Kd ,với metric: sup %(ϕ1 , ϕ2 ) = |ϕ1 − ϕ2 | |x−x0 |≤d Không gian C ∗ là đầy vì nó là không gian con đóng của không gian đầy C [x0 − d , x0 + d ] KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng Xét ánh xạ A : C ∗ → C [x0 − d , x0 + d ] xác định bởi công thức A(ϕ)(x) = y0 + Rx f (t, ϕ(t))dt x0 trong đó |x − x0 | ≤ d . Ta có A(C ∗ ) ⊂ C ∗ . Thật vậy, giả sử ϕ ∈ C ∗ , |x − x0 | ≤ d , ta có Rx A(ϕ)(x) − y0 = f (t, ϕ(t))dt ≤ Kd x0 do đó , A(ϕ1 ) ∈ C ∗ . Ta có thể coi A là ánh xạ từ C ∗ vào chính nó . Mặt khác , Zx A(ϕ1 )(x) − A(ϕ2 )(x) = |f (t, ϕ1 (t)) − f (t, ϕ2 (t))dt ≤ Md sup ϕ1 (x) − ϕ2 (x) |x−x0 |≤d x0 Vì Md < 1 nên A là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất hay phương trình (III) có một và chỉ một nghiệm trong không gian C ∗ KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng