Tài liệu Bài tập xác suất và thống kê toán

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH « • ữ tiì T Ậ P rỉẢTHkìĩoí C h ủ b iên : TS. P h ạ m Đ in h P h ù n g ( T á i b à n l ấ n t h ứ I, có s ử a e h ữ a vá b ổ s u n g ) NHÀ XUẤT BẢN TÀJ CHÍNH H à N ộ i - 2009 a LỜ! N Ó ! Đ ẩu Lý thuyết xác s u ấ t và thống kê toán là một môn khoa học C(J bản nhằm cung cấp cho người học những phương pháp luận toán học khi mó tả. phán tích, dự báo và kết luận những hiện tưựng kinh tế xã hội. Nó là cỏnỉĩ cụ có hiệu lực để nghiên cứu những hiện tượng ngẫu nhiên mà bằng phương pháp khác thường không thể hoặc rất hạn chê khi giải quyết những vấn đề này. Trong các trường Đại học, nhu cầu học tập và nghiên cứu “Xác suất và thông kê toán” đã trở thành cấp thiết, nhát là đôì với sinh viên các ngành khoa học không chuyên vể toán. Sự cần thiết đó không chỉ xuâ't phát từ nhu cầu học - thi đơn thuần mà còn từ yêu cầu ứng dụng cúíi môn học vào nhiều ngành khoa học khác. Để đáp ứng yéu cầu phục vụ giảng dạy và học tập của sinh viên Học viện Tài chính. lìộ môn Toán của Học viện biên soạn cuôVi “B à i t ậ p x á c s u ấ t v à t h ố n g k ê t o á n ”. Sách gồm 6 chương đo các giảng viên thuộc Bộ mồn Toán. Học viện Tài chinh biên soạn. Tham gia biên soạn ịỊÌáu Irình guiii các ihùiiỉi viên biiu. • N h à giáo ưu tú, TS. P hạm Dinh Phùng, chủ hiên t viết các chương 1, 2, 3, 5; - Giảng viên chính, ThS. Nguyễn Văn Tiện viết cá chương 4, 6; - ThS. P hạm Vãn Doãn, CN. Nguyễn Việt Tiòn vờ ThS. Dàm Thanh Tú tham gia h ổ sung một .S’ó bời tập trong lẩn tái bản lẩn ihứ nhấl nà\. Trong qu<á trình biên Roạn các tác gia đã có gắntĩ (ỉố giáo trinh đưỢc 110311 thành với chất, lượntĩ khoa họ<' Ciio nhất, giúp ích nhiều hơn cho ngưòi đọc. Nhưng do thòi {ỊÌan biên soạn ngán và tính đa díỊng của việc ứng dụnn lý thuyết xác suâ't và thông kô toán trong thực t ế nên chÁc chắn khòng tránh khỏi những sai sót nhất dịnh. Tập thổ tác già rất mong được các ý kiến đóng góp củii bạn đọc dê cuôn s<ách hoàn thiện hơn trong nhũng lần tái bàn sau. Hà nội, tháng 4 nãm 2009 BAN QUẢN LÝ KHOA HỌC HỌC V IỆ N TẢI C H ÍN H Chương 1 NGẪU NHIÊN VẢ XÁC SUẤT §1. BIẾN CỐ N G Ẫ U N H IÊ N - QUAN HỆ GIỬA CÁC BIẾN c õ 1 . G iả i tíc h k ế t liỢp Chinh h(ýp: Sô”chỉnh hỢp chập k của N phần tư dưỢc ki hiệu là AỊ;, . NJ' ^ = (N -k )! ( 1 . 1) Trong đó: N! = 1.2.3 ... N, với quy ước 0!= 1. Chỉnh hỢp lặp: s ỏ chỉnh hợp lập chập n của N phần tứ clược kí hiệu là Wn (hoẠc a N) A n^N *- ( 1 .2 ) Hoán uị: Cho N phần tử khác nhau. Sô hoán vỊ của N phần tử khác nhau đvíỢc ki hiệu là Pjc p, =N! (1.3) Tỏ hựỊ): CỊ^ là sô tổ hợp chập k của N phần tử. k !(N -k )! ,1.4) (Trong dó k < N). 2. B iế n cô' n g ẫ u n h iê n • q u a n h ệ g iữ a c á c b i ế n c ô а. Biến cô ngẫu nhiên Kí hiệu A, B, c ,... hoặc A,, A„. Kí hiệu u là biến cô chắc chán, V là biên cô”không th ể có. б . Quan hệ giữa các biến c ố ■ Biến cố kéo theo Biến cô' A gọi l<à kéo theo biến cô' B nếu biến cô" A xãy ra thì nhất thiết biến cô" B cũng xảy ra sau phép thử. Kí hiệu; A c B. • Biến cô tưđng đương Nếu biến CỐ A kéo theo biến cố^ B và ngưỢc lại B CŨIIK kéo theo A thì ta nói A và B là hai biến cô tương đương. Kí hiệu: A = B - Tổng hai biến cô” Biến cố A đưỢc gọi là tổng của hai biến cô” A| và nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhât một trong hai biến cỏ” A|, xảy ra. Kí hiệu: A = A, + Ag Tổng quát; Biến cô" A được gọi là tổng của n biên cố A(, Aj, .... A„ nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhâ't một trong n biến cô ây xảy ra, Ki hiệu: A = A| + + ... + - Tích hai biến cô* Biến cô' B đưỢc gọi là tích của hai biến cô"Ai và nếu B xảy ra khi và chỉ khi đồng thòi hai biến cô”A,, A.^ xảy ra. Kí hiệu: B = Aj.A.j Tống quát: Biến cồ’ B đưỢc gọi là tích của n biến cô’A,, A 2, .... A„ nếu B xảy ra khi và chỉ khi đổng thòi n biến cô ấy xây ra. Kí hiệu: 13 = Ai Ag... A„ - Biên cô xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra sau phép thử, tức là AB = V. Hệ n biến cố"A,, A-^, ... xung khấc từng đôi nếu bâ't kì hai biến cô nào trong n biến cô" ấy cũng xung khắc với nhau. Tửc là A,Aj = V (V ũj = l,n; i j) - Biên có đôl lập Hai biến cố A và B gọi là đôì lập với nhau nếu có một và chỉ một trong hai biến cô”đó xảy ra sau phép thử, nghĩa là: A+B=u AB = V Nếu B là biến cô* đôi lập của biên cô” A thì kí hiệiuu B = A - Hiệu hai biến cô" Hiệu liai biên C(YA vù l)iên cố n là niột biến cô” c Xii'\ V ra khi và chỉ khi A xảy ra và B khônịí xảy ra. Kí hiệu: c = A \B - Hệ đầy đủ các biến cô Các biến C(YA,. ....... A„ được gọi là một hệ day diúỉ các biến cô nếu có một và chỉ một tronịĩ các biến cô* đóxan't' ra sau phép thử, nghĩa là; ' A, + A , + ... + A = u I A Aj=v « n ViJ = l,n ;i ít j. GIẢI VÍ DỤ MẪU Vi dụ ỉ: Có bao nhiêu cách phân công cho 2 nịĩưòi... mỗi ngưòi làm một trong ba công việc khác nhau. Giải: Mồi cách phân công là phái chọn ra 2 công việíC • trong 3 công việc phân công cho mỗi người, sau đó 2 côngỉ; việc lây ra thay đổi thứ tự phán công ta lại có cách phâni công mới. Vậy mỗi cách phân công là một chỉnh hỢp ch ộ p )' 2 của 3. Do đó có tíĩt cả AÌ = — — = 6 cách. (3 -2 )! Vi dụ 2: Đ ể đăng ký một loại máy mới người ta dùng: bốn chữ sô* trong chín chữ sô’: 1, 2. 3.......9. Hỏi có thể đánhi sô' được bao nhiêu máy. 8 Giải: ở dây mỗi cách đánh số là một tổ hỢp lộp chặp 4 của 9 phần tủ đà cho. Vậy có thể dánh sô được cho A') = 9 = 6.561 máy. f Vĩ dụ 3: Chọn hai bóng đèn trong số 10 bóng đèn trong hộp đế mang ra sử dụng. Hói có bao nhiêu cách chọn. Giải: Mỗi cách chọn là một nhóm gồm 2 hónR đèn trons sô’ tả"t ci‘ỉ 10 bóng đèn (khôriị; lặp lại, không phân biệt thử tự), đó chính là một tổ hỢp chạp 2 của 10, Vậy sô cách chọn là: c = lơ! 2 !.( 1 0 - 2 )! = 45 cách chọn. V í dụ 4: Cho hai biến cô A và B. Khi nào ta có đẳng thức: A + B^ A Giải: Tổng của hai biến cô A và R là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhâ"t một troiìịĩ hai biến cô”A và B xày ra. Nếu A + B = A thì biến cô’ A chửa trong nó biến cô B, lửc là B xảy ra thì nhá"t thiết A xảy ra nhưng điều ngược lại chưa chắc đã cìúng. Vậy B c A. Biếu diồn hình học a. A.B = A + B b. D f c = C.D Giải: a. Ta có à B + AB + ÃB + AB = à (B + B) + A( B + B) = à + A = u Vậy nên AB = AB + A B + A B Biến cồ' AB xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một tronfi các biến cô”A, B xảy ra. Do đó A.B = A + B . b. Đặt c = A; D = B thì dạng khác của đẳng thức ở ý (b) sẽ là A + B =A .B o A.B = A + B = A + B. Đẳng thức này đã được chứng minh trong ý (a). BÀ] TẬP 1.1. Một nhóm k người lên một chuyến tàu có n toa chỏ khách (n > k). a. Có bao nhiêu trường hợp để mỗi ngưòi lên một toa khác nhau. b. Có bao nhiêu trường hợp để mồi người lên một toa tùy ý. 1 ^ . Trong tất cả các hoán vị của các sô" 1, 2, 3, n có bao nhiêu hoán vỊ trong đó sô" 1 và 2 không đứng cạnh nhau. 1.3. Trong một tố gồm 10 nam và 7 nữ. c ầ n chọn 3 nam và 2 nữ để di cồng tác. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 1.4. Một giíii bóng đá gồm có 14 đội, mồiđội phải đá vói đỏi khác hai trận Síân nhà và sân khách, Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu tất cả? ^. 1.5. Có bao nhiêu sô”hàng nghìn không chứa sô 0? 1.6. Một bia Kồm 10 hình tròn dưỢc giới hạn bởi các vòng tròn đồng tánì bán kính (k = MO), trong đó r, < Tỵ < ...< Tio Gọi Ai, là biến cố bắn trúng vòng trònbán kính ___ 6 ^ ii (k = 1,10). Hỏi biến cô' B = Xi A^và c = A|^ có nghía là gì? 1.7. Giả sử A là biến cô' ít nhất 1 trong 3 dụng cụ đưỢc kiểm tra bị hỏng, B là biến cô’ cả 3 dụng cụ kiểm tra đểu tô't. Hói các biến cô' a. A + lì là biến cô' gì? b. Aỉì là biến cô’ gì? 1.8. Giả sử A là biến cô' trong 4 sản phẩm có ít nhất một phê phẩm, B là biên cô' trong 4 sản phẩm có không quá 2 phế phẩm. Hãy nói rõ ý nghĩa hai biến cô' A và B . 1.9. Vối A, B là hai biên cô. Khi nào ta có đảng thừc: a) A+B= A b)AB = A c ) A + B = AB ^ 1.10. Chứng minh rÀng: ÃB+AB+ÃB=ÃB 1.11. Tim bién cố ngẫu nhiên X từ cỉaiiịí thức X+A+X+A=B 1.12. Chứng minh tính tươn^ỉ dương và sự đúnfĩ (liiini của hai cóng thức- sau: (Công thức đối nRầu Dờ-mooc-gan) a) Ề A , - f l A , .=1 i=i b}ỊÃ, = f l A , I I i M 1.13. Các biến cô' A. AB và A+B a) Có xung khác từng đôi không? b) Có lập thành một lìệ đầy dủ không? 1.14. Một thiết bị máy gồm 2 nồi hơi và một 1 đầu máy. Gọi A là biến cỏ" đầu máy được sửa chữa xong. Gọi Bk là biên cố nồi hơi thử k được sứa chữa (k= 1. 2) fìọi c là biên cô thiết bị máv hoạt động. Thiết bị máy hoạt cíộng nên ílíin máy VJ1 ít nhót m(it nồi hdi được sùci chữa xong. Hãy hiểu diễn c và c qua A và B|, (k = 1. 2). 1.15. Một tàu thủy gổm một bánh lái, bỏ'n nồi hrti va hai tuồ'c-bin. 12 Gọi A là biến cỏ”bánh lái tôt. B), là biến cố nồi hơi thử k tốt (k = 1.4) c, !à biến cốtuốc-bin thứ j tốt {j = 1. 2) Gọi D là biến cố tâu thủy hoạt động đưỢc. Tàu thủy hoụt động được khi dồng thời bánh lái tót. ít nhất một nồi hơi lốt và ít nhất một tuôc-bin tôt. Hãy biếu diễn các biến cô”D và D qua A, (k = 1.4) vàC, (j= 1 ,2 ). 1.16. Gieo đống thòi hai con xúc sắc cân đôì và đồng chít. Gọi A, là bién cô’con xúc sÁc thử nhất xuâ't hiện mặt i c.nấm (i = 1, 6 ); B, là biến cố con xúc sắc thứ hai xuât hiện mặt j chấm (j = ũ ) . a. Hăy mò tà các biến cố A 3B;,. b. Viết bầng ký hiệu các biến cô’ sau: - Hiệu S() chấm xuất hiện ở mật trên của hai con xúc sắc có giá trị tuyệt dôl bằng 3. • SỐ chârn xuất hiện ở mặt trôn của hai con xúc sác bằng nhau. §2. TÍNH XÁC S U Ấ T T H E O QƯAN ĐIỂM Đ Ó N G KIỈẢ NÀNG Đ ị n h n g h ĩ a : Nếu phép thử có tất cả n kết cục đồng khả năng và chúnfí lập thành một hệ đầy đủ. trong dó có mA kết cục thuận lợi cho biến cố A thì xác su ất của biêtn C(ố 4 • • A dược kí hiệu và xác định như sau; P( A) = n GIẤI Ví DỤ MẪU Ví dụ ĩ: Một hình lập phường có tất cả các mạt đtirỢ(c quét sơn và đưỢc cát thành 1.000 khôi con có cùng kcirhi thước. Những khôi nhỏ này đượo xáo trộn kỹ và lâ‘>’ rai ngẫu nhiên một khôi con. Tính xác suâ*t để khôi con làV rai có hai mặt được quét sơn. Giải: Tất cả có 1.000 khôi con. Khi tiến hành p hép) thử (lấy ra ngẫu nhiên một khôi con) ta có n = 1.000 kótt cục đồng khả nòng. Một hình lập phương có tấ t cả \2i cạnh, ồ mỗi cạnh có 8 khôi con đượo quét sơn. Gọi A là biến cô" khôi con lâV ra có hai mặt được q uót: sơn. =5 sô" kết cục thuận lợi cho biến cố A là: = 12 X 8 = 96. Vậy P(A) = ĩ ^ = = 0,096. n 1000 Vi dụ 2: Một ló hàng góm lU sàn phẩm trong đó c:ó ;ỉ phế phẩm. Tính xác suâ”t để khi chọn ra ngẫu nhiên đấníỉ thòi 4 sản phẩm thì có 2 p h ế phẩm. Giải: Gọi A là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra C ìó 2 phế phẩm. Mỗi cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm tronp số 10 sản phẩm là một tổ hỢp chặp 4 của 10. Do đó phép thử có tất cả n = kết cục đồng khả năng. Mỗi kết cục thuận lợi cho biên cô"A là phải lấy được 2 sản phẩm không hỏnp trong 7 sản phẩm không hỏng (có C 7 cách iấy) đem với 2 phế phẩm lấy ra trong sô 3 phê phẩm (có c ỉ cách lấy). Vậy sỏ kết cục thuận lợi cho biến cố A là: ^ P ( A ) = ^ = £ S = A = o.3. n c;„ 10 Ví dụ 3: Tung đồng thòi hai con xúc sác cán đôi và đồng chất. Tinh xác suất a) Tổng sô"châni xuât hiện của hai con xúc sắc bằng 8 . b) Hai con xúc sắc xuât hiện mặt có số chấm như nhau. Giải: Tung đồng thòi hai con xúc sắc thì sô” trưòng hợp đồng khả năng oủa phép thử là n = 6 X 6 = 36. a) Gọi A là biến cô tổng sô^ chảrn xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8 . Ta Ihấy có 5 khả năng để xảy ra tinh h u ô n p n n y , tứ c là ~ 5' m. 5 P(A) = ^ = — n 36 b) Gọi B là biến c ố hai con xúc sấc xuất hiện m ặt có sô chấm như nhau, = j P( B) = ^ =— = 7 n 36 6 BÀI TẬP (6 T j Một đợt xổ số phát hành với tổnfĩ s ố n đồng. của mỗi một vé là r dồng. Trong tổng s 6 vé có m vé trtúngí thưởng. Mua ngầu nhiên một vé, tinh xác suâ*t đế vé' đó’) trúng thưởng. 2.2. Trong một cỗ bài có 36 quán gồm 4 màu x an h . đó) trảng, vàng và mỗi màu có 9 quân bài. Lấy ngẫu nhiiôni một quán bài từ cỗ bài đó rồi hoàn trả lại cỗ bài và xóc kỹ., sau đó lại lây ngẫu nhiôn một quân bãi. Tính xác s u ấ t dẻ! cả hai quân bài lây ra cùng màu. 2.3. Một hòm có 8 sản phẩm giỏVig hệt nhau trong: dó) có 3 sản phẩm được quét sơn. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phíẩm. Tính xác suất trong 2 sản phẩm lấy ra đó có; a) Một sản phấm được quét sơn. b) Hai sản phẩm được quét sơn. <ậỉ.4ì Trong một phân xướng có 6 nam và 4 nữ l àm việc, chọn ngẫu nhiôn 7 người đi công tác. Tính xác siuất trong 7 người ftvirtf chọn f*ó 3 nữ. 2.5. Sáu học sinh chia nhau làm trực nhật (khong kê chủ nhật), mỗi người làm một ngày tronR tuần. Tính xác suất; a) tuần. Hai học sinh X và.Y làm vào hai ngày đầu và C 'u o ’i b) Hai học sinh X và Y làm vào hai ngày liến nhau. 2.6. Lây ngẫu nhiôn một số nguyền N. Tinh xác suất khi S() npuvén dó: a) Rinh phưdnfỉ có chữ sô”cuối cùng là 1. b) Nâng lên lùv thừa 4 có chữ sô cuói cùng là 1. 2.7. Nhũng sô” khác nhau từ 0 9 được viết vào 10 hòm phiéu giỏng hệt nhau, mỗi hòm phiếu một sô. Lấy ngầu nhiên hai hòm phiếu và xếp thành một sô’ ô’có cóTiai nai chữ sô”. Tính xá xác suất để scYcló chia hết cho 18. b) Lây ngảu nhiên ba hòm phiêu và xếp thành một số có ba chữ số. Tính xác suất để sô*đó chia hết cho 36. 2.8. Có một tập hợp phiếu, mỗi phiếu là là một số có 5 chù sô' (Không có phiếu chứa sô* 00000). Lây ngẫu nhiên một phiếu. Tính xác su ất phiếu đó không chứa các chữ sô" giống nhau. 2.9. Có 7 nỊíưòi ngồi ngẫu nhiên quanh một chiếc bàn trong có 7 ghế. a) Tìm xác suất để hai người xác định được ngồi cạnh nhau, b) Tìm xác suất đó trong trường hợp 7 ngưòi ngồi the« luội tliiết g h ế dài. 2.10. Có 5 đoạn thảng, độ dài của các đoạn thẳng tương ứng là 1; 3; 5: 7; 9 đơn vỊ. Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thíing. Tính xác suât để 3 đoạn thảng đó lập thành một tam giác. 2.11. Trong 15 vé xó sô có 4 vé trúng thưởng, niộH người mua ngẫu nhiên 5 vé. Tính xác suất; a) Không có vé nào trúng thưởnp. b) Một vé trúng thưởng. 2.12. Để làm giảm sô lượng trận đấu, 2n đội b'on^g đưỢc chia làm 2 bảng thi đấu vòng tròn một lượt, troníg đíó có 2 đội mạnh. Tính xác suâ”t: a) Hai đội mạnh ỏ hai bảng khác nhau. b) Hal đội mạnh ở cùng một bảng. 2 .lá . Trong ví có 3 loại tiền: loại 50.000 đồng gồnn C(ó 7 tò, loại 20.000 đồng có 3 tò và loại 10.000 đồng có 5 tời. Lấy ngẫu nhiên một tờ rồi bỏ lại vào ví, sau đó lại lâ y raì ngẫu nhiên ra một tồ. Tính xác suâ*t để hai tờ tiền đó Cíùng? ỉoẹi. 2.14. Trong hòm có 4 quả cầu trắng và 6 quả cầu đeni giông hệt nhau vể hình dáng và kích thước. Lấy n.gẫui nhiên cùng một lúc 2 quả cầu. Tính xác suất xuá't hiện: a) Hai quả cầu trắng. b) Một quả trắng và một quả đen. 2.15. Một cô bài Domino có 36 quân, trong đó c;ó 41 quân loại 2 lỗ. 4 quân loại 3 lỗ, 4 quân loại 4 lỗ. 4 qiuâni loại 6 lỗ, 4 quân loại 7 lỗ, 4 quân loại 8 lỗ, 4 quân loại 9 lỗ,, 4 quân loại 10 lỗ và 4 quân loại 11 lỗ. Lấy ngẫu nhiê-n quân bài. Tính xác suất để tổng sô’ lỗ trên 3quân bàii đỏ) bằng 2 1 . 3ì 2.16. Thang máy cúa một tòa nhà 8 tầng xuất phát từ tầnií 1 vái hốn npưòi khách. Tính xác suất: a) Tâ”t cả cùnK ra ỏ tần g 5. b) Tất cả ra ỏ cùng một tầng. c) Mỗi người ra ỏ một tầng khác nhau. 2.17. Một sinh viên đi thi môn toán chỉ nám dưỢc 20 tronK số 25 câu hỏi của chường trình. Mỗi phiếu thi gồm 3 (cáu hỏi. Tính xác suất: ii) Anh ta trá lòi được 3 câu hỏi. h) Anh ta trà lòi được ít nhất một cáu hỏi. 2.18. Tám chù sô’ 2; 4; 6 ; 7; 8 ; 10; 11; 12 được dùng để íghi vòo 8 hộp giông hệt nhau, mỗi hộp ghi một chữ sô. Lấy ;ngầJ nhiên 2 hộp. Tính xác suât để phán số tạo bởi hai (chũsố phi trên 2 hộp trên có thể rút gọn được. §3. XÁC SU Ấ T CÓ Đ IỂ U KIỆN ■ Đ ỊN H LÝ CỘNG Y A NHÂN XÁC SU Ấ T 1. X ác s u ả t c ó d i ể u k iệ n a) Định nghĩa: Xác suâ't có điểu kiện của biến cố A w ớ i ỉiồii k iộ n h iô n on R đ n x ả y ro đưỢ c k í h iệ u mhu sau: P(A/B) = h) Biến cố đ ộ c lập PíB) với P(B) > 0 VQ x á c d ịn h • Nếu P(A/B) = I’(A) thì ta nói biến I'ố A độc lậip với biến cô' B. • Các biến cố A . Aỵ.......gọi là độc lập từng dõi: nuHi híii hiên cố bất kỳ trong n biến cỏ đó độc lập vói nhaui. Itửc à: P(A/A,) = P(A,) V i . j = l 7 n : i í j • Các biến cô”A|. A^. A„ gọi là độc lập troriK toàin bộ nếu mỗi biên cô của hệ các biến cô ấy độc lập với tíchi c*ùa một sô" bất kỳ trong các biến cô’ còn lại, tửr là; P(A,/A„ A , , . . . A kJ = P ( A , } Trong đó: A}<,An;^ •••AKm của ni biến cô bâít kỹ trong n - 1 biến cô còn lại của hệ biến cố’trên ( 1 < m< n - 1 ). c) Biến cô phụ thuộc Nếu P(A/B) ^ 1’{A) thì biến cô A phụ thuộc biến c ố Eì. 2. Đ ịn h lý n h ả n x á c suâ't • Với A, B là hai biến ccíbãt kỳ ta có: F(AB) = P(B).P(A/B) = P(A).P(IÌ/A) - TổriR quát: Với A|, A.,, A„ là các biến cô bàt k ỳ P{A,A,...A„) = P(A.).P(A,/A,).P(A7A,A,)...1*(A„/A,-A„ „) Hệ quả: ■ Nếu biên cô* A độc lập với biến cô” B thì biến củng độc lập với hiến cố A (Với I’(A)^0; ỉ*(B)#0). 20 cối ỊỊ