Tài liệu Bài tập xác suất và thống kê

ĐINH VĂN GĂNG BÀI TẬP XÁC SỎẤT VÀ THÓrỉQ KÊ (T á i bản lấ n th ứ tá m ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM • t Công ty CP Dịch vụ xuất bán Giáo dục Gia Định - Nhà xuất bán Giáo dục Việt Nam giữ quyển công bô' tác phẩm. 19 - 2010/C X B /337 - 224 4/G D Mã số ; 7K432mO - D A I LỜI NÓI ĐẦU Cuốn BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KẺ được biên soạn tiếp theo cuốn Lí thuyết xác suất và thống kẽ (Nhà xuất bản Giáo dục • 1999) nhàm giúp sinh viên trong việc tự học. Về cơ bản, thứ tự các chương mục ở cuốn sách này giống như cuốn li thuyết, ở mỗi mục, hay chương khi không phân ra các mục nhỏ, đều có phần tóm tảt li thuyết, các vỉ dụ và sau đó là các bài íập. Các bài tập mẩu dưới dạng vi dụ được giải chi tiết có những ghi chú thém khi cắn thiết. Các bài tập phần lởn được hướng dần giải, còn một số có chỉ dần hay đáp số. Đ ể rèn luyện k ĩ nàng giải toán càc bạn sinh vién nên cố gắng tự giải, khi thật cẩn hãy tham khảo phần trả lời để kiểm tra. Các bạn nên chú ỷ đến các lập luận trong lời giải ở các bài tập có dấu ' Chúng tòi xin cảm ơn Tiến s ĩ Vũ Thê Hựu đà góp ý kiến đóng gỏp để bản thảo được tốt hơn, cảm ơn Nhà xuất bản Giảo dục đà tạo điều kiện dể cuốn sách sớm tới tay bạn đọc Xin được trân trọng cảm ơn và mong bạn đọc xa gắn góp ý bổ sung cho tài liệu được hoàn thiện. TP. Hó Chí Minh, tháng 4 nâm 1999 T Á C GIẢ CHƯƠ NG I KHÔNG GIAN XÁC SU Á T §1. ĐẠI SỐ CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT • Phép tỉìử được hiểu là sự thực hiện một số điều kiện. Mỗi phép thứ có gắn với một sò kết quả có thể xảy ra. Ta kí hiệu các biên cò ngầu nhiên có liên quan đến các phép thứ bởi các chữ cái in hoa A, B, c , ... Với mỗi biến cố có liên quan tới một phép thử, ta phai kháng định được rằng: Khi một kết quả nào đó cua phép thử được thực hiện thì nó xảy ra hay không xảy ra. • Ta gọi A, B là đồng nhất và viết A = B, nếu với mỗi kết quả cua phép thứ chúng cùng xày ra hoặc cùng không xảy ra. • Sự không xuất hiện của A được coi ỉà sự xuất hiện của “đối A*\ kí hiệu A'. hay A . • Sự xuất hiện đồng thời của A, B được coi là sự xuât hiện cũa A qĩao /i, ki hiệu A n B, hay AB. • Sự không thể’ xuất hiện được coi là một biến cố, gọi là biến cô không thế có, kí hiệu là ộ, hay V. • A , ĩ ỉ đư ợc g ọ i là X ỉ i ì ì g k h ắ c n h a u n ô u A B ~ <ị>. • Sự xuất hiện của ít n h ất một trong 2 biến cô A, B được coi là sự xuất hiện của A hợp fì, kí hiệu A B. Khi AB = (Ị) ta viết A + B thay cho A B. • Sự chác chán xuất hiện được coi là một biến cố, gọi là chác c/ỉa/ỉ. kí hiệu Q, hay ư. • Nếu sự xuất hiện cũa A luôn kéo theo sự xuât hiện ta nói A kéo theo B và kí hiệu A c B. b ỉ ời ì co cLÌa B thi Rỏ ràng A = B o A c B v à B c A . Mòt số tính chất: \C a) n A A. ^ 1=1 ( n J Ạ i=l n Af V 1=1 b) ) i=i A(Bl>C) = ABuAC Au(BC) = (Al^BXAu C). • Họ các biến cố ngẫu nhiên Ai, A^, A„ được gọi là họ đẩy n đủ nếu chúng từng đôi xung khắc và ^ A, = Q1=1 • Định nghĩa: A \B = AB^ • Một biến cố ngầu nhiên được gọi là phức hợp nếu nó có thê biểu diễn được dưới dạng hợp của hai biến cô không đồng nh ât với nó. Một biến cò khòng là phức hợp được gọi là biến cô sơ cấp. Vậy một biến cô phức hợp có thể xuất hiện iheo nhiều cách khác nhau. Biến cô sơ cấp chỉ xuất hiện theo một cách duy nhât. Các biến cố sơ cấp từng đôi xung khắc. Tập hợp mọi biến cố sơ cấp của một p h é p t h ử được g ọi l à h h ô r t g g i a n c á c h i ê n c ô Hơ c ấ p . T a c ù n g k í h i ộ u nó là Q. • Khi không gian biến cố sơ cấp gồm hữu h ạn ph ần tứ thì mỗi biến cò ngẫu nhiên A được biểu diễn một cách duy n h ấ t dưới dạng 6 tòng cũa một số (hữu hạn) các biến cô sơ cấp thích hợp với nó. Các hiến cô sơ cấp thường dược kí hiệu bởi chữ e, hay to. Sô biến cô sơ cấp thích hợp với A được kí hiệu là n(A). Một số kết quả của giải tích tô hợp: • Cho 2 dãy hcnj hạn các phần tử ai, a-2, ..., 3n và bi, b-2, ..., b„v Số cặp (aj, bk) khác nhau từ hai dãy trên băng n X m. Mở rộng, nếu xét k dãy với số phần tử ở các dãy tương ứng là ĩii, 112, ... , Hk thì sò nhóm k í ) khác nhau thành lập từ k dãy đó bàng Ị~Ịnj . ị= \ • Số các hoán vỊ của dãy n phần tử bằng n! • Cho tập hợp gồm n phần tử. Mỏi tập con k phần tử (1 < k < n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Sô tố hợp châp k của n phần tứ bàng = . ., , ■. . k !( n -k ) ! • Mỗi nhóm k phần tử có thể trùng nhau, không phán biệt thứ tự cứa tập n phần tử được gọi là tổ hợp lặp chập k của n. Sô tổ hợp lập chập k của n ki hiệu ( 5 ' , khi đó, Q I = J • Mỗi bộ k phần tử có thứ tự, rút từ tập n phần tử được gọi là một chinh hợp chập k cùa n, Sô chính hợp chặp k cúa n bằng = n(n-l)(n-2)...(n- k+1). • Mồi nhóm k phần tử có thứ tự, có thế trùng nhau rút từ tập toàn thể gồm n phần tử được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n. Sô chỉnh hợp lặp chập k của n bằng = n*'. B. V I D Ụ 1. Xét phép thử gieo một xúc xắc 2 lấn. Hãy mô tả không gian biến cố sơ cấp c ủ a phép thử này. Tìm số n(A), n(B) với: a) A; "Tổng sô nốt xuất hiện chia hết cho 3'’. b) B: 'Trị tuyệt đòi của hiệu sổ nốt lá chẵn". GỈẢÌ Nêu ta kí hiệu (i, j) chỉ răng xúc xắc thứ n h ất xuất hiện i nốt, xúc xắc thứ hai xuất hiện j nốt thì mỗi biến cố sơ cấp cùa phép thứ là một cặp (i, j) với i, j = 1,6 . Tức là các chinh hợp lặp chập 2 cua 6. Vậy Q = ij = 1.6 Ị. a) A = {(ij)6Í2: i+j : 3 = {(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4). (4,2), (3,3), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6 ,6 ) Vậy n(A) “ 12. b) B =i j = 1.6 : |i - j| 2 = 1(1,3), (1,5), (3,1), (5,1), (2,4), (2,6). (4.2k (6,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4), (1,1), (2,2), (3,3), (4.4), (5,5), (6,6)1 Vậy: n(B) = 18. 2. Bắn ba vièn đạn váo một bia. Gọi A,: “viên đ ạ n thứ i trúng bia’ (i = 1. 2, 3). Xét cá c biến cố ngẫu nhiên: A: “Có đúng một vién đạn trúng bia” B: “Có ít nhất hai vièn đạn trúng bia" C: “Cả ba viên đ é u khòng trúng bia” D: “Hai viên sa u trúng bia". Hãy biểu diễn A, B. c, D, A B, B\c qua cá c A,, (i = 1.2.3). GỈÁỈ A = AiA/Aa^’ + 4- Ai^'A2‘‘A:ì B= + AịA2*^A,3 + A]*^A.*A'Ì + AịA^A-ị. c = ; D = AỊA2A3 + A ị *^AoA'ì = A^A^. Av^'B = A 1U A 2U A 3 B \c = B (vì B 8 c = ệ). 3 Xét phép thử; "bán không hạn c h ế sò đạn vào một bia cho đ ế n khi lân d ấ u tiên trúng bia thi dửng" Hảy mỏ tà không gian biến cò sơ cấp tương ứng Hãy chỉ ra một hệ đáy đủ c á c biến cố. (ỈỊAỈ hiệu T: "viên âạn trúng bia ", do đó T : “viên đạn không trúng bia”. Vậy: íì = iT, T T, T T r T.-.í- Mỗi biến cố sơ cấp ứĩig với phép thứ nàv là bộ các chữ T' và một chừ T ờ cuối. Dặt A: “Phải bắn nhiều nhất hai lần”. A"': “Phái bắn ít nhất ba lần ’'. Vậy A = |T,T‘T|; khi đó |A, A^'Ị là một hệ đầy đu. 4. Có bao nhíèu c á c h xép r quả cáu khác nhau vào n hộp. biết rẳng mỗi hộp có thể ch ứ a nhiéu c á u ? GỈAỈ Mỗi quả cầu có thế xếp vào 1 trong n hộp, vậy có thê coi sô' cách xếp hết r cầu vào n hộp như là cách chọn r trong n hộp có thứ tự, có lặp lại. Do đó sỏ cách xếp r cầu vào n hộp bằng sô chính hợp ỉặp chập r cùa a, nghĩa là bằiig 5 Cho sơ đó một m ạ ng điện nhu hình vẻ. Nó gốm ngắt điện K. các bóng đèn Ai. A2, A3. Việc mạng bị mất điện (B) chỉ có thể do hòng c á c bóng đ è n hoặc hỏng ngắt điện Hãy biểu diễn B q u a A. (I = ỉ.3) và K ở đày A Bóng điện A bi hòng". K "Ngắt điện K bị hòng". UIAỈ Theo sơ đỏ trè n thì mạng bị inất điện (sự kiệu B xảy ra) nếu một trong các trường hợp sau xảy ra; aì Ngắt điện K bị hỏng (không nối mạch được) b) Cả 3 bóng đèn đều hong (Ai, A^, A.-ị xảy ra) c) Bóng A;i và bóng Aị hỏng. d) Bóng A;ì và bóng A2 hồng. Vậy ta có biểu diễn: B = K u A 1A2A3 u AiA.ịA/ A^AriAi''. Có bao nhiêu c á c h khác nhau đ ể rút cùng lúc 4 q u ả n bài từ một cồ bàl 52 quàn? Có bao nhiéu cách khác nhau để rút lẩn lượt 3 q u à n bái từ cổ bài 52 quán? 6 . GIÁ ỉ • Mỗi kết quả khác nhau của việc rút cùng lúc 4 trong 52 quân bài là 1 tổ hợp chặp 4 của 52. Vậy sò kết quả khác nhau này là: CỈ 2 = - ? % = 270 725. 4148! • Tương tự, khi rút lần lượt 3 trong 52 quân bài, ta có số cách khác nhau là AỈ 2 = 52.51,50 = 132 600. 7. CÓ bao nhièu c á c h s ắ p 5 người vào ngổi trén một ghê dái sao cho có 2 người định trước luôn ngói cạnh nhau? GIÁI Coi hai người đó là A, B, vậy có hai cách để sắp A, B cạnh nhau là AB, BA. Coi ràng AB là một “vị trí” còn lại 3 người khác ở các vị trí còn lại, vậy có 4! cách sắp 4 vị trí này. Do đó sô cách sắp 5 người vào 1 ghế dài sao cho A, B luôn cạnh nhau là: 2 . 4 ! = 48. c . BÀI TẬP Chứng minh các hệ thức sau (khi A, B là các biến cô ngẫu 1. nhiôn): a) iA vjB f = b) (AB)^' = c) 10 = A + A'B. 2 Với A. B là các biên cò ngầu nhièn, trong điều kiện nào ta cổ h ệ t h ứ c A ^ B = A? 3- Bán 4 vièn đạn vào niục tièu. Ta gọi A, ; “viên đạn thứ i trúng mục tiêu”, i = 1,4 Hãy bièu diễn các biến cô sau theo A,, A,^ a) Có đúng một viên trúng mục tiêu. b) Có ít n h ất 2 viên trúng rnục tiêu. c) Có ít nhất một viên trúng mục tiêu. 4. Một lò hàng có 50 sản phấm. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhién cùng ỉúc 5 sản phẩm đẻ kiểm tra? Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 5 sán phẩm? 5. Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 4 số, có thể có bao nhiêu máy có các chừ sô khác nhau? Có bao nhiéu máy có sô 0 ở cuối CÒII c á c c h ừ sỏ c ò n lại đ ề u k h á c n h a u ? 6 . Giái vò địch bóng đá quốc gia gồm 14 đội mạnh được thi đảu theo thế thức hai lượt trên sân nhà và trên sân khách, ỉỉỏi phải tổ chức tống cộng bao nhiêu trận đấu? Tính cả lượt đi và lượt về mỗi đội phái đáu mấy trận? 7. Một lõ hàng có N sản phấm tốt và n sản pháni xấu. Chọn ngẫu nhién cùng lúc k sán phẩm. Hãy tính số cách chọn k sản phám, trong dó có / sản phắin tốt, ớ đây 0 < / < k. 8 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? 9. Một lớp học có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nừ. Có bao Iihịẻu cách chia đê trong mồi nửa lớp có 10 nani sinh và 10 nừ ísiiih? 10. Một tò sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nừ. cần chia tổ th à n h 4 nhóm đều nhau. Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có niộí nữ. 11 §2. XÁC SUẤT A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT • Định nghĩa cố điển cùa xác suất: Nếu A là một biên cò ngầu nhiên có n(A) biên cỏ sơ cấp thích hợp với nó trong một khòng gian biến cô sơ cấp gồm niQ) biến cô sơ cấp có củng kỉìủ năng xuất hiện, thì tỉ sỏ PíA) = —— *( 1 ) được ưọi là xác siiấỉ cua A. niíì) • Như vậy đê áp dụng được định nghĩa cò điên này ÌIIỎ hìiih phép thử phải thỏa màn: - n (Q ) < oc, n g h ĩ a là k h ô n g g i a n b i ế n c ố sơ c ấ p g ồ m hừ u h ạ n phần tử. - Các biến cỏ sơ cấp phải có cùng khá năng xuất hiện. • Định nghĩa xác suất bằng hình học (Butffon): Klii n(£2) vỏ ìiạn, các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện ta có thế dùng định nghĩa theo quan điếm hình học đế tính xác suất. • Giả sử một điểm được rơi ngầu nỉìièn vào một nũén 1) với sô đo là mes(D). A là một miền con nào đó cùa I) với sò do nies(A). Khi đó xác suất đế điểm rơi vào miền A dược xác định bới ti số: P,A) = nies(D) (2) ở đày số đo có thế là độ dài, diện tích hay th ể tích tùy thuộc vào miền D được xét trên đường thắng trong mặt phăng hay trong không gian ba chiều. • Hệ tiên đề (A. N. Koỉniogorov) của xác suất: i. Có niột tập Í-Ị ^ (ị) gọi la khổng qiaìì bĩCỉi co sơ cap. Moi được gọi là một biỂn cỏ sơ cấp. II. Có một ơ-đại số <^4 các tập con cua íì. Mồi A e là một biến cô ngẫu nhiên. 12 được gọi III. Với niỗi A € (lột tương ứng một sô thực P(A) > 0 gọi là xàic siiàt cua A. IV. F (U) = 1. V. Nếu |A,, i > II là họ vò hạn các biến cố ngầu nhiên từng đôi xiiing khác thì (tiên dề 1| thỏa điều kiện ú) , 3 An 3 A„^1 1';... Aj^ = A thi P(An) u P(A) (n~> x). 6 ’) Nếu dãy bièn cố Iigẫu nhiên lAn, n > li thòa điều kiện (i) A „ c An^i c . . . (ii) A„ = A thì P(A„) -> PíA) (n-> x). n=l Các lính chát 6 ), 6 ’) dược gọi là tính liên tục của xác suất. VA B. VÍ DỤ 1. Một hộp cò 100 tấm thẻ như nhau được ghi c á c số từ 1 đ ẻ n 100, Rút ngầu nhiẽn hai thè rói đặt theo thứ tụ tù trải q ua phải Tim xác su ấ t để a) Rut được hai thé lập nén một số có 2 chữ sỏ b) Rút đưỢc hai thẻ lặp nén một só chia hết cho 5. GĨAÌ a) A: "Hai thẻ rút được được 2 the ìú iư vậy ta chỉ có số 1, 2, ... , 9, nghía là n(A) = Hiển nhiên n(Q) = lập nên một sỏ có 2 chữ s ố ' .Dế rút thế rút 2 trong các thé mang các chữ . và các biến sô sơ cáp của phép thứ này cùng khả năng xuá't hiện í vì rút ngầu nhiên). b) B: "Hai thé rút được lập nên một sô chia hết cho 5 Đè có biến cô sơ cấp thích hợp với B ta rút thẻ thứ hai một cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số; 5, 10, 15, 20, , 95, 100, và rút 1 trong 99 thẻ còn lại đ ặt vào vị trí đầu. Do đó n(B) = 99.20. Ta có: n(Q) = A^ịịịị = 99.100, vậy theo (1): __ QQ 2 n 2 Một hộp có chứa 7 c ầ u trắng và 3 cấu đen cùng kích thước Rút ngẫu nhién cùng lúc 4 cấu. Tìm xác su ấ t đ ể trong 4 c á u rút được có: a) 2 c á u đe n b) it nhất 2 cầu đen c) toàn cắu trắng. 14 iilAỈ Rút ngầu nhiên cùng lúc 4 trong 10 cầu nén các biến cố sơ cấp có cùng khá nầng xuất hiện và n(Q) = C/(,. a) A: "Trong 4 cầu rút được có 2 cầu đ e n t a có: n(A) = 0 3 .0 7 . Vạy P,A.= C Ỉ : í ^ , 0,30. 10 b) B; 'Trong 4 cầu rút được có ít n h ất 2 cầu đen". Khi đó níB) = C?C 3 + C Ì C 3 . Vì “ít n h át 2 cáu đen” có nghĩa là “có đúng 2 cầu đen” hoậc “có cá 3 cầu đen”, vặy: P(B) cĩcị+cịcị 1 10 c) C: “Trong 4 cầu chọn được có toàn cầu trắn g ”. Khi đó n(C) = CỊ . Vậy: P(C) cị _ 1 cín 6 ^'10 3. Khi gọi điện thoại một khách hàng đã quèn mất 2 chữ sô cuối mà chỉ nhớ rằng đó là 2 chữ số khác nhau nèn đánh chọn ngẫu nhiên 2 sỏ. Tim xác su ấ t đ ể người đó thực hiện đưỢc cuộc liên ỉạc. GỈẢỈ Đặt A: "người đó thực hiện được cuộc lién lạc". Điều đó có n gh ĩa là người đó đã chọn đúng được hai sò cuôi khác nhau đó và n(A) = 1. Sò khả n ăng khác nhau người đó có thể chọn là n(0) = Aj^„ = - DO ( s ò c ií c h c h ọ n c ó t h ứ l ự , k h ô n g t r ả lại 2 t r o n g 1 0 c h ừ số: 0 , 1, 2 , ..,9). Vậy P( A) = 90 5: 0.0! 1. 15 4. Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tót và 3 ống kém chât luộng Chọn ngảu nhién lán lượt khòng trà lại 2 ông. Tìm xác suất để: a) cả hal ông chọn được đẻu tốt b) chỉ ống thuốc chọn ra đấu tiên là tốt c) trong hai ố ng có it nhất một ống thuốc tòl. GIAỈ Hộp thuốc có tòng cộng 5 + 3 = 8 (ỏng). Chọn ngẫu nhién lần lượt khòng trả lại 2 trong 8 ống nên các kết quả sơ câp có cùng khả náng xuất hiện và n(Q) = = 56. aì Đặt A: ”Cá hai ống thuốc chọn được đều tốt”, vặy n(A) = = 20. Suy ra P(A) = 20 56 = 0.357 . b) B: “Ống thuốc chọn ra đẩu tiên là tôV’, vậy n(B) = = 15. T a có P ( B ) = - - ^ 0 ,2 6 8 . 56 c) C: ‘T ro n g hai ông chọn được có ít nhất một ống thuốc tôt Áp dụng tính chất: P(C)= 1 - P(C‘^) = 1 - - ị = 56 * 0,893. 5. Một nhóm 8 người ngổi trên một ghé dài, Tim xác su á t đế hai người xác định trước luôn ngối cạnh nhau. Tim xác su ấ t để hai nguờí đó luõn ngói c á c h nhau 2 người. GỈAỈ S ố c á c h i i g ò i k h á c liliau t u a 8 I ig ư ờ i t r è i i gViế d à i b h i i g s ố h o í í n vị của 8 phần tứ, vậy n(Q) = 8 ! a) Ta coi 2 người đó là A, B. Họ có 2 cách sáp thứ tự là AB, BA. Khi 2 người đó coi là chiếm 1 “vị trí” thi số biến cò sơ cấp 16 thích hợp với sự kiện; “2 người đó luôn ngồi cạnh nhau’' băng so hoáii vị cua 7 'VỊ trí”, kết hợp với 2 khả năng đáo chỗ giữa A và B. Nếu đặt u: “Hai người đó luôn ngồi cạnh nhau” thì n(a) = 2.7! Vậy P(u) = 8! = 0,250. b) Đặt ị^; “giừa A, B có 2 người khác”. Đê tìm n(P) ta tiến hành các lựa chọn: - Chọn 1 trong 5 vị tri đầu tiên cho A (coi A ngồi trước). - Hoán đổi A, B, có 2! cách. - Sắp 6 người còn lại vào 6 vị tri còn lại, có 6 ; cách. Theo dịnh lí về sô nhóm ta có lUP) = 6 ! 2! 5. Vậy P(p) = ■ 2’ 8! ^ ^0,1786. 6. Một tổ học sinh gổm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đ é u nhau. Tim xác s u ã t đ ể mỗi nhổm có 1 nữ. GỈAỈ Đặt A: ‘‘ở 3 nhóm học sinh mỗi nhóm có 1 nữ sinh”. Đè tim n(£2) ta thực hiện: “ Cỉiọn ngẫu nhiên 3 trong 9 em đưa vào 1 nhóm, vậy có c ị khá năng thực hiện khác nhau. - Chọn 3 trong 6 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai, vậy có Cg khà n àng thực hiện khác nhau. - Còn 3 em đưa vào nhóm thứ ba, có c ị ~ 1 khả năiig thực hiện khác nhau. Vậy; n(Q )= Vì phán ngẫu uhiên nên các biến cố sơ câp trong không gian lỉiến cò sơ cấp n à y có cùng kha- ỉiiỉiig MUÃÌ lúOĩir trung tàm th ố n g ị riN THỤ VIÊN Ị 17 V C iO / M ũ ĩ ỉ ẽ Đế tìm níA) ta thực hiện: + Phán 3 nữ sinh thành 3 nhóm nên có 3! cách khác nhau. + Phân 6 nain sinh thành 3 nhóm theo cách như trên, ta có C^.C^ .l cách khác nhau. Từ đó ta được n(A) = 3! Cg.C 4 . và: P(A) = C 3^3 9^6 . 0,3214 . 7* Dưới tác động c ủ a một chất phòng xạ c á c nhiểm s ắ c thể c ủ a một tế bào bị gãy thành hai mảnh, trong đó chỉ có một m à n h chứa tâm động. C á c mảnh náy sau dó lại gắn lại đỏi một một cá ch ngẫu nhièn và té bào s ẽ số n g sót đưỢc nếu mỗi c ặ p m ảnh gắn lại chỉ ch ứ a một tám động Tim xác su ấ t dể tế bào số n g sót được, biết rằng tè bào đó có n nhiễm s ắ c thể bị gãy. GỈAỈ Đặt A: “Tế bào có n nhiễm sắc thể bị gãy sau đó sống sót được”. Tìm níQ). Té bào có n nhiễm sắc thế bị gãy đòi nên có 2n mánh (n mánh có tám động, n mành không chứa tâm động). Kết hợp ngảu nhiên 2 n mánh th à n h n cạp theo cách: - Chọn ngầu cỉn c n h ién 2 trong 2u mảnh ghép thành một cặp có năng. - Chọn ngẫu nhiên 2 trong 2n-2 còn lại ghép thành 1 cặp, có khả năng. - 2 mánh cuối cùng tạo thành cặp cuối cùng. Do vậy m a) = c ị „ c l - Xem thêm -