Tài liệu Bài tập về véc tơ cho học sinh giỏi

Newton Grammar School BÀI TẬP ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 – VECTƠ Bài 1. Cho tam giác ABC và điểm M . Chứng minh M là trung điểm của BC khi và chỉ khi    AM  1 AB  AC . 2  Bài 2.  Cho tam giác ABC và điểm G . Chứng minh các khẳng định sau tương đương 1) G là trọng tâm tam giác ABC .     2) GA  GB  GC  0 .     3) MA  MB  MC  3MG M . Bài 3. Chứng minh hai tam giác     AA '  BB'  CC'  0 . Bài 4. ABC , A 'B'C' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi Cho M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA của lục giác ABCDEF . Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 5. Cho tam giác đều ABC với tâm là. H là một điêm bất kỳ nằm bên trong tam giác. Gọi A ' , B' , C' lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh BC , CA , AB . Chứng minh rằng hai tam ABC và A 'B'C' có cùng trọng tâm. Bài 6. Nếu M , N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD , BC thì      MN  1 AB  DC  1 AC  DB . 2 2  Bài 7. AM AD    Cho tứ giác ABCD . Các điểm M , N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD , CB sao cho . Tìm quỹ tích trung điểm I của MN .  CN CB Bài 8. Cho ngũ giác ABCDE . Các điểm M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các đoạn EA , AB , BC , CD , MP , NQ . Chứng minh RS / /ED và RS  1 ED . 4 Bài 9. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng    AM  MC AB  MB AC . BC BC Bài 10. Cho tam giác ABC . Chứng minh nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì     aIA  bIB  cIC  0 . Điều ngược lại có đúng không? Bài 11. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Đường tròn  I  tiếp xúc với các cạnh BC ,     CA , AB của tam giác lần lượt tại D , E , F . Chứng minh aID  bIE  cIF  0 . Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm) 1 Newton Grammar School  Bài 12. (Định lý con nhím) Cho đa giác lồi A1 A 2 ...A n và các vectơ đơn vị ei ( i  1, 2, ...,n ) lần lượt      vuông góc với A i A i  1 (xem A n  1  A1 ). Chứng minh rằng A1A 2 e1  A 2 A 3 e 2  ...  An A1 en  0 . Bài 13. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn  I  . Hai điểm E , F lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh I , E , F thẳng hàng. Bài 14. Về phía ngoài tam giác ABC , dựng các tam giác đồng dạng XBC , YCA , ZAB . Chứng minh rằng các tam giác ABC , XYZ có cùng trọng tâm. Bài 15. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng     S  MBC  SA  S  MCA  SB  S  MAB  SC  0 . Bài 16. Cho tam giác đều ABC tâm O . M là điểm bất kỳ trong tam giác. D , E , F lần lượt là hình     chiếu của M lên BC , CA , AB . Chứng minh MD  ME  MF  3 MO . 2 Bài 17. [HSG10V1-Hà Nội-1992] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có trực tâm H . Chứng minh     1) OA  OB  OC  OH .     2) sin 2A.OA  sin 2B.OB  sin 2C.OC  0 (với giả thiết tam giác ABC nhọn) Bài 18. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ.    1) Chứng minh vectơ 3MA  5MB  2MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .     2) Chứng minh nếu điểm H thỏa mãn hệ thức OA  OB  OC  OH ( O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) thì H là trực tâm tam giác.      3) Tìm tập hợp điểm M sao cho 3MA  2MB  2MC  MB  MC . Bài 19. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC với H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi G , A 0 , B 0 , C0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , HBC , HCA , HAB . Chứng minh     OA 0  OB0  OC0  5OG . Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm) 2