Tài liệu Bài tập về giới hạn hàm số toán 11

Các bài tập hàm số liên tục Page 1 12/12/2015 CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a f ( x)  f (a)  Phương pháp : lim x a Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : lim( x ³  3 x ²  x)  1 a. x 1 b. c. lim( x ²  x) 0 x 0 lim ( x ²  1) 3 x  2 Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ  Phương pháp : lim P( x) Q ( x) x a Q (a ) 0 thì lim – Nếu Q ( a ) 0 và P (a ) 0 – Nếu Q ( a ) 0 và tính tại x = a P( x) P (a )  Q ( x) Q (a ) – Nếu x a P( x) Q( x) P( x)  Q( x) P( x) 0 P (a ) 0 thì lim có dạng 0 x a Q ( x ) P( x) ( x  a )C ( x) C ( x) lim lim lim x a Q( x) x  a ( x  a) D( x) x a D( x) thì lim x a Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : 1. 2. 3. x²  5 3 x 1 x²  1 lim  x 3 x  3 x²  5x  6 ( x  3)( x  2) lim lim lim ( x  2) 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 lim x 1 x 1 x 1 1 1  lim  lim  4. x  1  x²  4 x  3 x  1 ( x  1)( x  3) x  1  x  3 4 lim 6. 2 x²  3x  1 ( x  1)(2 x  1) 2x 1 1  lim  lim  x   1 ( x  1)( x  1) x  1 x  1 x²  1 2 x²  3x  2 ( x  1)( x  2) x 2 1 lim lim lim  x 1 x ²  4 x  5 x  1 ( x  1)( x  5) x 1 x  5 6 7. lim 5. 8. 9. lim x  1 x 4  16 ( x  2)( x  2)( x ²  4) lim lim( x  2)( x ²  4) 32 x 2 x  2 x 2 x 2 x 2 7 x 1 7 lim 5  x 1 x  1 5 x ²  3x  2 ( x  2)( x  1) x 1 lim lim lim  x 2 x 2 x 2 x  2 ( x  2)² ( x  2)² 1 Các bài tập hàm số liên tục Page 2 x³  8 3 10. lim x 2 x ²  4 x³  1 ( x  1).( x ²  x  1) lim  11. lim x 1 x²  2 x  1 x 1 ( x  1)² 12/12/2015 x³  2 x  4 ( x  2).( x ²  2 x  2)  lim  5 x  2 x²  2 x x 12. xlim 2 Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai  Phương pháp : Khử dạng vô định liên hợp Cần nhớ :  a – b = (  a – b = (3 a a 0 0 bằng cách nhân thêm biểu thức b )( a  3 b) b )(3 a ²  3 a .3 b  3 b ² ) Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. x 1  lim 2. lim x 4 x²  x 1 x x 0 1  2x  3 x 2 lim ( 1  2 x  3)( 1  2 x  3)( x  2) ( 1  2 x  3)( x  2)( x  2) x 4 (1  2 x  3²).( x  2) ( 1  2 x  3).( x  2²) x 4 x x2 4x 1  3 ( x 1  x 0 lim 3. lim x 2 x ²  x  1)( x  1  x ²  x  1) x ( x  1  x ²  x  1)  x² 0 lim  0 x 0 x ( x  1  x ²  x  1) 2 lim lim x 2 lim x 2 lim x 4 2.( x  4).( x  2) ( x  4).( 1  2 x  3)  4 3 ( x ²  x  2).( 4 x  1  3) ( 4 x  1  9).( x  x  2) ( x  1)( x  2).( 4 x  1  3) 9  8 4.( x  2).( x  x  2 ) 1 x 1  x 2 1 x  1 5. lim x 1 x²  3  2 4. lim x 0 6. lim x 0 1 7. xlim 1 8. lim x 1 3 1 1 x x 1 lim  3 x  0 3 3x 9 3 x 1  1  x  (1  x)²  1 3 x x²  3  2 1 x  3 x1 2   2 3 lim x 1 ( 1 x  2 ).( 1  x  2 ).(3 x ²  3 x  1 3 3 3 ( 1  x  2 ).( x  1).( x ²  x  1)  3 2. 2 Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ P( x) x  Q ( x) lim ( có dạng   )  Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 2 Các bài tập hàm số liên tục 3x ²  5 x  1 3 1. lim x  x²  2 x²  1 1 2. lim x   ( x  2)( x  5)  x³  x  1  3. lim x  x²  2 Page 3 12/12/2015 (3 x ²  1).(5 x  3) 0 ( 2 x ³  1).( x  1) 3x²  7 x  1 3  5. lim x  2 x²  5 x  3 2 4 x  3x ²  2  2 x² 3 6. lim =5 x  5x²  3 4. lim x  3 x 5  x²  1 7. lim  x  2x  7 8. xlim   9. xlim   x²  2  3x 4x²  1  x x²  2  3x 4 x²  1  x 4  2 3 ( 4 x ²  4 x  3  2 x )  1 10. xlim   ( 4 x ²  4 x  3  2 x)  11. xlim   Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai  Phương pháp : – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định    bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp  Cần nhớ : x  +  thì x = x ² x  –  thì x = – x ²   Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : x²  1  x²  4 x 1. lim x  x²  1  x²  4 x x²  x  1 lim x  x² x²  x  1 lim x  x² ( 2. xlim   x ²  x  3  x )  lim x    lim x   1 4  1 x² x 2 1 1 1  x x² 1 ( x ²  x  3  x )( x ²  x  3  x ) ( x ²  x  3  x) x²  x  3  x² x²  x  3  x 3 Các bài tập hàm số liên tục Page 4 12/12/2015 3  x (1  )  x 3 1 x  lim  x   2 x²  x  3  x 1 3  x( 1    1) x x²  lim x   ( 3. xlim   x ²  4 x  x )  lim ( x ²  4 x  x)( x ²  4 x  x) x²  4 x  x x    4x lim = x  x( 4. xlim   5. xlim   4 1  1) x  lim x    4x x²  4 x  x  2 x²  x  1 x 1 x²  x 1 x 1 ( x  3).( x ²  4  x) ( dạng  .0 ) đs : 2 6. xlim    7. xlim    4 x ²  7 x  2 x  7 4 HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện – Tính f ( x0 ) lim f ( x) – Tính x x x0 : 0 lim f ( x) = – So sánh x x 0 f ( x0 ) Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số : x 1 2 1.f(x) = x  tại x = 1 , x = 2 Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2 lim f ( x ) lim x 1 x 1 x 1  2 x 2 lim f ( x ) = f(1) x 1 Vậy f(x) liên tục tại x = 1 Tại x = 2 thì f(x) không xác định Vậy f(x) không liên tục tại x = 2 4 Các bài tập hàm số liên tục Page 5 12/12/2015  3x ²  2 x  1  x  1 khi x  1 2.f(x) =  khi x 1  2x  3  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 Tacó : f(1) = 5 lim x 1 3x ²  2 x  1 ( x  1)(3 x  1)  lim 4 x 1 x 1 x 1 lim (2 x  3) 5 x  1 f ( x) Không tồn tại lim x 1 Vậy f(x) không liên tục tại x = 1 khi x 2  2  3. f(x) =  2( x  2) khi x 2  x ²  3 x  2  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 Ta có : f(2) = 2 lim f ( x) lim x 2 x 2 2( x  2) 2( x  2) lim 2 x  2 x²  3x  2 ( x  1)( x  2) lim f ( x ) = f(2) x 2 Vậy f(x) liên tục tại x = 2 khi x 1  4  4. f(x) =  x³  x ²  2 x  2 khi x 1  x  1  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 tại x = 1 ) ( f(x) không liên tục  x  1 khi x 1  5.f(x) =  1 khi x  1  x ²  3 x  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 tục tại x = 1 ) ( f(x) không liên 5 Các bài tập hàm số liên tục Page 6 12/12/2015 khi x 2 1  6. f ( x)  1  2x  3  khi x 2  2  x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x =2 ) 1 khi x 0 4  7. f ( x)   1  cos x khi x 0  sin ² x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x =0) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1 a. f(x) = x ²  3x  2 x 1 f ( x) lim Ta có : lim x 1 x 1 x ²  3x  2 ( x  1).( x  2) lim  1 x 1 x 1 x 1 Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1  x ²  3x  2  x  1 khi x  1 Vậy f(x) =  khi x  1  1  1 x 1 b. f(x) = 1  x 1 1 lim f ( x)  lim  x 1 x 1 x  1 f ( x)  lim Ta có : xlim 1 x 1   Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1 Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1 9.Định a để f(x) liên tục tại x = x 0  x²  4  x  2 khi x 2 a. f(x) =   a khi x 2  Định a để f(x) liên tục tại x = 2 6 Các bài tập hàm số liên tục Page 7 12/12/2015  3x ²  2 x  1  x  1 khi x  1 b. f(x) =  khi x 1  ax  2  Định a để f(x) liên tục tại x =1 (a=2)  1 x  1 x khi  1  x  0   x c.f(x) =  a  4  x khi x 0  x  2 Định a để f(x) liên tục tại x = 0 Ta có : f(0) = a + 2 4 x ) a  2 x 0 x 0 x2 1 x  1 x  2 lim f ( x)  lim  lim  1 x 0 x 0 x 0 x 1 x  1 x lim f ( x)  lim (a   f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi : f ( x) = lim  a = – 3 f(0) = xlim 0 x 0 Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0    1  cos 4 x khi x  0   x. sin 2 x d. f(x) =   xa khi x 0  x  1 Định a để f(x) liên tục tại x = 0 (a=2) 2 4 x khi x 0   x e. f(x) =  1 khi x 0  4 Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0 Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) f(x) gián đoạn tại x 0  f(x) không liên tục tại x 0  Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x 0 khi : 7 Các bài tập hàm số liên tục Page 8 12/12/2015 – hoặc f(x) không xác định tại x 0 lim f ( x) – hoặc không tồn tại x x 0 lim f ( x)  f( x 0 ) – x x 0 Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 1. f(x) = 2x 1 x 2 Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2 khi x 2  2  2. f(x) =  2( x  1) khi x 2  x ²  3 x  2  f(x) xác định  x  R  1;2 f(x) là hàm hữu tỉ  f(x) liên tục  x  R  1;2 2( x  1) 2 2( x  1) = ( x  1).( x  2)  x  2 3x  2  Khi x  1 : Ta có f(x) = x ²   f(x) không xác định tại x = 2  f(x) gián đoạn tại x = 2  Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2 lim f ( x) lim x 1 x 1 2( x  1) 2( x  1) lim  2 x ²  3 x  2 x 1 ( x  1).( x  2) f ( x ) =f(1)  lim x 1  f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2 Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số :  Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng 8 Các bài tập hàm số liên tục Page 9 12/12/2015 Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = 3x 4 –2x³ + x² – 3x + 2 Ta có : f(x) = 3x 4 –2x³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức Vậy f(x) liên tục trên R x²  4 x  2 x 1 2. f(x) = TXD : D = R Ta có : f(x) =  1 x²  4 x  2 x 1 là hàm hữu tỷ Vậy f(x) liên tục trên D = R 3x²  2 x 1 x²  2 3. f(x ) = 4. f(x) = 1 x  1 liên tục trên R liên tục trên R  1  x³  4 x²  x  6 khi x 2  x 2 5.f(x) =  khi x 2  3  Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số :  Phương pháp : – Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức – Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (–  ; a ) và ( a;+) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1.  x²  5x  6  x  2 khi x 2 f(x) =  khi x 2 a  9 Các bài tập hàm số liên tục  x  2 thì f(x) = Page 10 x²  5 x  6 x 2 12/12/2015 liên tục  x  2  x = 2 , Ta có : f(2) = a x²  5x  6 ( x  2.( x  3) lim  1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f ( x ) nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a = –1 thì f(2) = lim x 2 lim f ( x) lim f ( x ) nên f(x ) không liên tục tại x = – Nếu a  1 thì f(2)  lim x 2 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R a  1 thì f(x) liên tục trên ( –  ; 2 ) và ( 2 ; +  )  x²  7 x  12  x  3 khi x  3 2. f(x) =  khi x 3  2x  b   Với x  3 thì f(x) = x ²  7 x  12 x 3 là hàm phân thức hữu tỷ  f(x) liên tục trên khoảng ( –  ; 3 )  Với x  3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức  f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; +  )  Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b lim (2 x  b) 6  b x  3 x ²  7 x  12 ( x  3).( x  4)  lim  1 x 3 x 3 x 3 x 3 – Nếu 6 + b = –1  b = – 7 thì lim = lim = f(3) nên f(x) liên tục tại x lim x 3 x 3 =3 – Nếu 6 + b  –1  b  – 7 thì xlim  xlim nên f(x) 3 3 không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R b  – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( –  ; 3 ) và ( 3 ; +  )    1 khi x 2  ax  4  3.f(x) =  3  3x  2  2 khi x  2  x  2 ) a = 0 thì f(x) liên tục trên R a  0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( –  ; 2 ) và ( 2 ; + 10 Các bài tập hàm số liên tục Page 11 12/12/2015 Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x 0  a ; b   Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên  a ; b – Chứng minh f(a).f(b) 0 Ví dụ : 1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Giải Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R  f(2) 3 Ta có :   f(2).f(1) -3  0  f(1)  1  f(1) -1   f(1).f(-1) -3  0  f(-1) 3  f(-1) 3   f(-1).f(-2) -3  0  f(-2) -1 thì  x 1  1 ; 2  : f( x 1 ) = 0 thì  x 2  – 1 ; 1  : f( x 2 ) = 0 thì  x 3  –1 ;– 2 : f( x 3 ) 0 Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 2. Chứng minh phương trình : 2x 4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc  -1 ; 1 Giải Đặt f(x) = 2x 4 + 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R  f(1) 4 Ta có :   f(1).f(0) -12  0  f(0)  3 thì  ít nhất x 1  0 ; 1  : f( x 1 ) = 0 11 Các bài tập hàm số liên tục Page 12  f(0) - 3   f(0).f(-1) -6  0  f(-1) 2 12/12/2015 thì  ít nhất x 2  0 ;– 1  : f( x 2 ) = 0 Vậy phương trình : 2x 4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc  -1 ; 1 3.Chứng minh phương trình : x 17 = x 11 + 1 có nghiệm Giải Đặt f(x) = x 17 – x 11 – 1 thì f(x) liên tục trên R  f(0) -1 Ta có :   f(0).f(2)  0  f(2)  0 2 thì  ít nhất x 1  0 ; 1  : f( x 1 ) = 0 Vậy phương trình : x 17 – x 11 – 1 = 0 có nghiệm 4.Chứng minh phương trình : x 5 –3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc  1 ; ( f(1).f(2)< 0 ) 5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm ( f(1).f( – 2) < 0 ) 6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0 luôn có nghiệm ( f(a). f(b).f(c).f(0)  0 ) 12