Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Trung học phổ thông Bai tap trac nghiem quan he vuong goc...

Tài liệu Bai tap trac nghiem quan he vuong goc

.DOCX
121
215
83

Mô tả:

www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT  a Cho các véc tơ tùy ý , b, c và k , l   . 1. Cộng véc tơ:        Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ OA a, AB b, thì OB a  b    Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K bất kỳ thì MN MK  KN     a  b  a  (  b ) 2. Trừ véc tơ:    Quy tắc ba điểm: MN KN  KM .    Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD .     Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABC D ta có AC   AB  AD  AA . 3. Tích véc tơ:   Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k .a  +) Cùng hướng với a nếu k  0 .  +) Ngược hướng với a nếu k  0 . +)   k .a  k . a .    Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B, O tùy ý thì OA  OB 2OI . 4. Tích vô hướng của hai véc tơ.     a.b  a . b .cos a, b  . +) Định nghĩa:    +) Hệ quả: a  b  a.b 0 . +) 2    2 a a.a  a . www.thuvienhoclieu.com Trang 1 www.thuvienhoclieu.com AB 2  AC 2  BC 2 2 +) Với ba điểm A, B, C ta có .    +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b . Gọi a là hình chiếu vuông góc của a trên đường       thẳng chứa b thì: a.b a.b . AB. AC   a 5. Định nghĩa: Ba véc tơ , b, c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng. 6. Các định lý:      a , b a , b , c   m , n   : c  ma  nb ( với m, n xác định a) Cho không cùng phương: đồng phẳng duy nhất).   a b) Nếu ba véc tơ , b, c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng:     x ma  nb  kc với m, n, k xác định duy nhất. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .           Đặt AB b, AC c, AD d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c .   1  1  1 MG  b  c  d 6 3 3 . A.    1 1 1 MG  b  c  d 6 3 3 C. .   1  1  1 MG  b  c  d 6 3 3 . B.    1 1 1 MG  b  c  d 6 3 3 . D. Lời giải Đáp án A www.thuvienhoclieu.com Trang 2 www.thuvienhoclieu.com  1      1 1   1   1 MG  MB  MC  MD  . AB  MA  AC  MA  AD 3 3 2 3 3 2  1  1 1 1  2  1   1 1  AB  MA  AC  AD  AB  .  AB   AC  AD 6 3 3 3 6 3  2 3  3       1 1 1 1 1 1  AB  AC  AD  b  c  d 6 3 3 6 3 3 Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào       sau đây sai?.   1  MN  AD  BC 2 B. .     D. MC  MD  4MN 0 .    A. AC  BD  AD  BC .      C. AC  BD  AD  BC  4 NM .   Lời giải: Đáp án D         AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC A.Đúng vì: .         AC  BD  AM  MN  ND  BM  MN  NC B. Đúng vì:       2MN  AM  BM  ND  NC 2MN            AC  BD  AD  BC 2 AN  2 BN 2 AN  BN  2 NA  NB  4 NM  C.Đúng vì: Vậy D sai               Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD  AC . Giá tri của www.thuvienhoclieu.com    cos AB, CD  .  là: Trang 3 www.thuvienhoclieu.com 1 A. 2 . B. 0 .  C. 1 2. 3 2 D. . Lời giải: Đáp án B Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN  CD . Tam giác ACD cân tại A nên AN  CD ta có:           AB.CD AB.CD  AN  NB .CD  AN .CD  NB.CD 0  cos AB , CD    0 AB . CD     .   cos  BC , DA  Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có AB CD a; BC  AD b; CA BD c . Giá trị của là: a2  c2 2 A. b . b2  c 2 2 B. a . c2  a2 2 C. b . a 2  b2 2 D. c . Lời giải Chọn A          BC.DA BC DC  CA CB.CD  CB.CA   1 1 CB 2  CD2  BD2    CB 2  CA2  AB 2   2 2 1 1   AB2  CD2  BD2  CA2    2a2  2c2  a2  c 2 2 2 2 2   a c a 2  c2 cos BC , DA     2 . b BC . DA    Vậy  a  cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề Ví dụ 5. Trong mặt phẳng nào sau đây đúng?     A. AC  BD  AB  CD .     B. SA  SC SB  CD (Với S là điểm tùy ý).     S C. Nếu tồn tại điểm mà SA  SC SB  SD thì ABCD là hình bình hành. www.thuvienhoclieu.com Trang 4 www.thuvienhoclieu.com      D. OA  OB  OC  OD 0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD . Lời giải Đáp án C          AC  BD  AB  CD  AC  AB  DC  DB 0  B C (Vô lí) A. Sai vì B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có          SA  SC 2SO và SB  SD 2 SO '  SO SO '  O O ' điều này không đúng nếu ABCD không phải là hình bình hành. C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?       A. MO, AB và B ' C . B. MO, AB và A ' D ' .      MO , DC ' C. và B ' C . D. MO, A ' D và B ' C ' . Lời giải Ví dụ 6. Đáp án A MO //  CDA ' B ' ; AB / / A ' B '  AB //  CDA ' B '  , B ' C ' nằm trong mặt     CDA ' B ' nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay phẳng  CDA ' B ' Cách 1: Ta có nằm trên mặt phẳng  . 1     1 1  1 1 MO   A ' B '  B ' C  A ' B '  B ' C '  AB  B ' C A'C 2 2 2 2 Cách 2: Ta có .    Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng.     Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?     BC , BD , AD . A. B. AC ; AD; MN .   BC ; AD ; MN . C. D. AC ; DC ; MA. Lời giải Đáp án C www.thuvienhoclieu.com Trang 5 www.thuvienhoclieu.com     AD  AM  MN  ND     BC BM  MN  NC       1 1  AD  BC 2 MN  MN  AD  BC 2 2    Vậy ba vecto BC ; AD; MN . đồng phẳng. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB 2MA . N là điểm      CD CN  kCD trên đường thẳng mà . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là: Ví dụ 8. A. k 2 3. B. k 3 2. C. Lời giải k 4 3. D. k 1 2. Đáp án A    song Qua M vẽ mặt phẳng song với AD và BC .    cắt tại AC tại P , BD tại Q và CD N . Ta có MP //PN //AD .    Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng nên đồng phẳng. Ta    2 2 CN  CD k 3 3. có . Vậy Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho  1 AM  AD. N là điểm trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng 2 CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng. Ví dụ 9.  www.thuvienhoclieu.com Trang 6 www.thuvienhoclieu.com  MN  NP Tính . 1 A. 3 . 2 B. 3 . 1 C. 2 . Lời giải 3 D. 4 . Đáp án B  Đặt          AB a, AD b, AA1 c và BN  xBD1 ; CP  yCC1  yc . STUDYTIP   Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo các  a vecto , b, c   MN  .NP  1 M , N , P Ba điểm thẳng hàng nên .     Ta có: MN MA  AB BN     1   1  b  a  xBD1  b  a  x BA  BC  BB1 3 3      1  1   b  a  x  a  b  c  1  x  a   x   b  xc  2  3 3      Ta lại có:             NP NB  BC  CP  xBD  b  yc  x b  a  c  b  yc  1     NP  xa   1  x  b   y  x  c  3    Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1  x  x   1  x    1  x   3 2 3 3   ,x  ,y   x   y  x  3 5 2. . Giải hệ ta được  MN 2   NP 3 Vậy . www.thuvienhoclieu.com Trang 7 www.thuvienhoclieu.com Ví dụ 10. 111Equation Chapter 1 Section 1Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD,  là góc giữa 2 vectơ  NP . Khi đó cos  có giá trị là: 2 A. 2 2 B. 3 2 C. 6  MG và 1 D. 2 Đáp án: C Lời giải:    AB  a ; AC  b; AD c; Đặt           1 1  AG  (a  b  c)  MG  AG  AM  (  a  2b  2c ) 3 6     1  PN  AN  AP  ( a  b  c) 2 Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1        1 a .b b.c c.a 1.1.c os600   a  b  c 1 2 và    MG.PN  cos cos( MG , PN )    (*)  MG . PN       1    MG.PN  ( a  2b  2c)(a   b  c)  12 Ta có:        2 2 2 1 1  ( a  ab  ac  2ab  2b  2bc  2ac  2bc  2c )  12 12         1 1 1 2 MG  ( a  2b  2c) 2  ; PN  ( a  b  c) 2  6 2 2 2 Thay vào (*) ta được 1 1 2  cos  12   . (*) 6 1 2 3 2 . 2 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: ABCD. A1 B1C1 D1 Cho là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:     1     AK  AB  AD  AA1 AK  AB  BC  AA1 2 A. B. www.thuvienhoclieu.com Trang 8 www.thuvienhoclieu.com  C.    1  1 AK  AB  AD  AA1 2 2 D.    AK  AB  AD  AA1 Hướng dẫn giải         1  1 AK  AC  CK ( AB  AD)  AA1  AB  AD  AA1 2 2 Có B A C D K A1 B1 C1 D1 Chọn A Câu 2: ABCD. A1 B1C1 D1 M CD1  C1 D Cho hình hộp với . Khi đó:  1     1  1 1 1 AM  AB  AD  AA1 AM  AB  AD  AA1 2 2 2 2 2 A. B.       1  1 1 AM  AB  AD  AA1 AM  AB  AD  AA1 2 2 2 C. D. Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1)         1  1 1 AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1 2 2 2 Ta có: Chọn B Câu 3: Cho hình hộp A. 1800       ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B) ABCD. A1 B1C1 D1 . Khi đó: tổng 3 góc B. 2900 C.3600 D. 3150 Hướng dẫn giải B A C D A1 D1 K B1 C1 www.thuvienhoclieu.com Trang 9 là: www.thuvienhoclieu.com Ta có:   ( D1 A1 , C C1 ) 900   (C1 B, DD1 ) (C1 B, CC1 ) 1350   ( DC1 , A1 B ) ( DC1 , D1C ) 900     ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B) 900  1350  90 0 3150 Chọn D Câu 4: ABCD. A1 B1C1 D1 Cho hình lập phương Khi đó: là      : A. 3600 B. 3750        ( AC , DC1 );  ( DA1 , BB1 );  ( AA1 , C1C ) , đặt C. 3150 Hướng dẫn giải D. 2750 ( hình câu 3)      ( AC , DC1 ) ( AC , AB1 ) 600    ( DA1 , BB1 ) ( DA1 , A1 A) 1350    ( AA1 , C1C ) ( AA1 , A1 A) 1800       600  1350  1800 3750 Chọn B   Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB. AD 12 . Tính   ( SC.  SA) 2 . A. 76 B. 28 C. 52 D. 40 Hướng dẫn giải S A 6 B 4 D 4 7.42 cm C     2      2 2 ( SC.  SA) 2 . AC ( AB  AD)  AB  AD  2 AB. AD 62  42  2( 12) 28 Chọn B Câu 6: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng     a , b , c c  ma  n b , với m, n là các số duy nhất B. Ba vectơ đồng phẳng thì có www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com      C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d ma  n b  pc với d là vec tơ bất kỳ D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó   a Phương án B: Sai , b phải không cùng phương. Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?  1       OG  (OA  OB  OC ) 4 A. B. GA  GB  GC 0   2   1   AG  ( AB  AC  AD) AG  ( AB  AC  AD ) 3 4 C. D. Hướng dẫn giải A M G D B N C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD     G là trung điểm  GM  GN 0 của MN      GA  GB  GC 0  B đúng             OA  OB  OC  OD OG  GA  OG  GB  OG  GC  OG  GD Ta có:       4OG  (GA  GB  GC  GD ) 4OG  A đúng Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C. Chọn C Câu 8:               a , b , c x  2 a  b ; y  4 a  2 b ; z  3 a  2 c Cho ba vectơ không đồng phẳng xét các vectơ Chọn mênh đề  đúng trong các mệnh đề sau: , z cùng phương A.Hai vec tơ y  x , B. Hai vec tơ y cùng phương C.Hai vec tơ x, z cùng phương www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com     D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng Hướng dẫn giải    Ta thấy y  2 x nên x, y cùng phương. Chọn B  Câu 9 : ABCD. A1 B1C1 D1 Cho hình lập phương , Tìm giá     AB  B1C1  DD1 k AC1 ) A.k=4 B. k=1 C. k=0 Hướng dẫn giải A1 D1 trị của k thích hợp để D. k=2 B1 C1 B A C D       AB  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1  k 1 Có Chọn B ABC. A1 B1C1 Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.      A. a  b  c d 0   C. b  c  d 0 . Đặt     AA1 a; AB b; AC c; BC1 d trong các     B. a  b  c d    D. a b  c Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 12 www.thuvienhoclieu.com C A B1 B 1 B C1 A1 B1                b  c  d  AB  AC  BC CB  BC 0 Ta có: Chọn C Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A.Nếu giá của bavectơ   cắt nhau từngđôi một thì 3 vectơ đồng phẳng 0 thì ba vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ a, b, c cómột  vec tơ C.Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng D.Nếu trong ba vectơ a, b, c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn A ABCD. A1 B1C1 D1 Câu 12: Cho là hình hộp, trong các khẳng định     sau  khẳng   định sai: 1  A1C 2 AC 1  CA1  2CC1 0 A. AC B. AC       C. AC1  A1C  AA1 D. CA1  AC CC1 Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 13 www.thuvienhoclieu.com A D B C A1 D1  B1 C1        AC1  A1C AA1 AC1 AA1  AC1  A1C C1 A1 Ta có: Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:      AB  BC  CD  DA 0 A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD      SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB SDSA  D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  AC  AD Hướng dẫn giải Chọn C ' ' ' ' ' ' Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A B C D Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB A và BCC ' B ' . Khẳng định nào sau đây là sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng  1 1 IK  AC  A' C ' 2 2 B.    C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng    BD  2 IK 2 BC D. Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi P,Q lần lượt   là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? , AC , MN không đồng phẳng A.Các vec tơ BD    , DC , PQ đồng phẳng B. Các vec tơ MN   C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 14 www.thuvienhoclieu.com A P M E B D F Q N C Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD 1   NE / / AB, NE  3 AB  NE / / MF , NE / / MF   MF / / AB, MF  1 AB  3     NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt    BA, DC , MN đồng phẳng  phẳng (MFNE)     BD, AC , MN không đồng phẳng. Chon A Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:   a2 3      AB. AC  2 A. AD  CD  BC  DA 0 B.     C. AC. AD  AC.CD   D. AD.CD 0 Hướng dẫn giải ( sử dụng hình câu 7) Phương án A:            AD  CD  BC  DA ( AD  DA)  ( BC  CD) 0  BD 0  A sai 2   a AB. AC a.a.c os600 =  B 2 Phương án B: sai         2 Phương án B AC. AD  AC.CD  AC ( AD  DC ) 0  AC 0  C sai Chọn D Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng: www.thuvienhoclieu.com Trang 15 www.thuvienhoclieu.com     B1 M  B1 B  B1 A 1  B1C1 A.    1 1 C1 M C1C  C1 D 1  C1 B1 2 2 C. A     1 C1 M C1C  C1 D 1  C1 B1 2 B.     BB1  B1 A1  B1C 1 2 B1 D D. Hướng dẫn giải a B a M D C A1 C1 D1 Ta có Chọn B B1        1 C1 M C1 D1  D1 D  DM C1 D1  C1C  C1 B1 2     Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA  GB  GC 0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?   GA  A.   2OG C. GA 3OG   GA  4OG B.   D. GA 2OG A N G B M O H D C Hướng dẫn giải Gọi M, N là trung điểm của BC, AD  G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD  NH là đường trung bình của AOD và OG là đường trung bình của MNH www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com 1 1 1 1 1  OG  NH  . AO  OG  NH  . AO 2 2 2 2 4   hay GA 3OG Chọn C Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau, khẳng định nào   sai?  AB , , MN đồng phẳng A.Các vec tơ   DC  , AB, AC không đồng phẳng B. Các vec tơ MN   C. Các vec tơ  AN ,  CM , MN đồng phẳng D. Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A M P B D Q N C Gọi P, Q lần lượt  làtrung điểm AC, BD  Ba vec tơ AB, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ  A đúng này đồng phẳng  AB, AC , MN không đồng phẳng  B đúng Ba vec tơ   Ba vec tơ AN , CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào  C sai Chọn C ' ' ' ' Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A B C D , có cạnh A.Hãy   tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:   2 A. AD '.CC '  a   C. AB '.CD ' 0 A B. AD '. AB ' a  AC a 3 D. Hướng dẫn giải a 2 B a D C A' D' B' www.thuvienhoclieu.com C' Trang 17 www.thuvienhoclieu.com       AD '.CC '  AD '.AA '  AD ' . AA ' cos450 a 2 Xết phương án A có: Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c  AB). Gọi  là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN c 2  AB 2 c 2  AB 2 A. 2(1  cos ) B. 2(1  cos ) c 2  AB 2 C. 2(1  cos ) c 2  AB 2 D. 2(1  cos ) Hướng dẫn giải x M A B N Ta có:    2  c 2 MN 2 MN ( MA  AB  BN )2  AB 2  2 AM .BN .(1  cos )  AM .BN .  c 2  AB 2 2(1  cos ) c 2  AB 2 Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng 2(1  cos ) Chọn A    AM 2  AB 2  BN 2  2 AM .BN  AM 2  AB 2  BN 2  2 AM .BN .c os Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc 1. Định nghĩa: www.thuvienhoclieu.com Trang 18 www.thuvienhoclieu.com Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b . Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ). 2. Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.   u v Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu và lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức  u.v  cos   cos u, v    . u.v   Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . 0 A. 45 . Đáp án A. 0 B. 30 . 0 C. 60 . 0 D. 90 Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN //AC nên:  , AP  AC,  MN    AP  . Ta tính góc PAC  . Vì ADP vuông tại D nên 2 a 5 a AP  AD2  DP 2  a 2     2 .  2 AAP vuông tại A nên 2 a 5 3a AP  AA  AP  a     2  2  . 2 2 2 CC P vuông tại C  nên CP  CC 2  C P 2  a 2  a2 a 5  . 4 2 Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC  a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 19 www.thuvienhoclieu.com  CP  AC 2  AP 2  2 AC. AP.cos CAP 1   cos CAP  2   cos CAP 45  90 2 Nên Phương pháp 2: Ta có  45  AC; AP  CAP hay  AP 45  MN;  . Chọn A.    MN . AP  cos MN , AP           * MN . AP  MN . AP .cos MN , AP MN . AP         MN . AP  MB  BN       AA  AD  DP Ta có:            MB. AA  MB. AD  MB.DP  BN . AA  BN . AD  BN .DP a a a 3a 2 0  0  .  0  .a  0   1 2 2 2 4   a 2 3a 3 2a 2 MN . AP  .   2 2 2 4 3a 2   1 cos MN , AP  4 2   MN , AP  450. 3 2a 2 1 ,  2     4 Thay vào ta được:   Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng MN a 3. Tính góc của AB và CD . 0 A. 45 . 0 B. 30 . 0 C. 60 . 0 D. 90 . Đáp án C. Lời giải Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM IN a . www.thuvienhoclieu.com Trang 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan