www.thuvienhoclieu.com
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
a
Cho các véc tơ tùy ý , b, c và k , l .
1. Cộng véc tơ:
Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ OA a, AB b, thì OB a b
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K bất kỳ thì MN MK KN
a
b
a
(
b
)
2. Trừ véc tơ:
Quy tắc ba điểm: MN KN KM .
Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD .
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABC D ta có AC AB AD AA .
3. Tích véc tơ:
Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k .a
+) Cùng hướng với a nếu k 0 .
+) Ngược hướng với a nếu k 0 .
+)
k .a k . a
.
Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B, O tùy ý thì OA OB 2OI .
4. Tích vô hướng của hai véc tơ.
a.b a . b .cos a, b
.
+) Định nghĩa:
+) Hệ quả: a b a.b 0 .
+)
2 2
a a.a a
.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 1
www.thuvienhoclieu.com
AB 2 AC 2 BC 2
2
+) Với ba điểm A, B, C ta có
.
+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b . Gọi a là hình chiếu vuông góc của a trên đường
thẳng chứa b thì: a.b a.b .
AB. AC
a
5. Định nghĩa: Ba véc tơ , b, c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một
mặt phẳng.
6. Các định lý:
a
,
b
a
,
b
,
c
m
,
n
:
c
ma
nb ( với m, n xác định
a) Cho
không cùng phương:
đồng phẳng
duy nhất).
a
b) Nếu ba véc tơ , b, c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng:
x ma nb kc với m, n, k xác định duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .
Đặt AB b, AC c, AD d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c .
1 1 1
MG b c d
6
3
3 .
A.
1
1 1
MG b c d
6
3
3
C.
.
1 1 1
MG b c d
6
3
3 .
B.
1
1 1
MG b c d
6
3
3 .
D.
Lời giải
Đáp án A
www.thuvienhoclieu.com
Trang 2
www.thuvienhoclieu.com
1
1 1
1
1
MG MB MC MD . AB MA AC MA AD
3
3 2
3
3
2 1
1
1
1 2 1 1
1
AB MA AC AD AB . AB AC AD
6
3
3
3
6
3 2
3
3
1
1
1
1
1
1
AB AC AD b c d
6
3
3
6
3
3
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào
sau đây sai?.
1
MN AD BC
2
B.
.
D. MC MD 4MN 0 .
A. AC BD AD BC .
C. AC BD AD BC 4 NM .
Lời giải:
Đáp án D
AC BD AD DC BC CD AD BC
A.Đúng vì:
.
AC BD AM MN ND BM MN NC
B. Đúng vì:
2MN AM BM ND NC 2MN
AC BD AD BC 2 AN 2 BN 2 AN BN 2 NA NB 4 NM
C.Đúng vì:
Vậy D sai
Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD AC . Giá tri của
www.thuvienhoclieu.com
cos AB, CD
.
là:
Trang 3
www.thuvienhoclieu.com
1
A. 2 .
B. 0 .
C.
1
2.
3
2
D.
.
Lời giải:
Đáp án B
Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN CD . Tam giác ACD cân tại A nên
AN CD ta có:
AB.CD
AB.CD AN NB .CD AN .CD NB.CD 0 cos AB , CD
0
AB . CD
.
cos BC , DA
Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có AB CD a; BC AD b; CA BD c . Giá trị của
là:
a2 c2
2
A. b
.
b2 c 2
2
B. a .
c2 a2
2
C. b
.
a 2 b2
2
D. c
.
Lời giải
Chọn A
BC.DA BC DC CA CB.CD CB.CA
1
1
CB 2 CD2 BD2 CB 2 CA2 AB 2
2
2
1
1
AB2 CD2 BD2 CA2 2a2 2c2 a2 c 2
2
2
2
2
a c
a 2 c2
cos BC , DA
2 .
b
BC . DA
Vậy
a cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề
Ví dụ 5.
Trong mặt phẳng
nào sau đây đúng?
A. AC BD AB CD .
B. SA SC SB CD (Với S là điểm tùy ý).
S
C. Nếu tồn tại điểm
mà SA SC SB SD thì ABCD là hình bình hành.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
D. OA OB OC OD 0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD .
Lời giải
Đáp án C
AC
BD
AB
CD AC AB DC DB 0 B C (Vô lí)
A. Sai vì
B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có
SA SC 2SO và SB SD 2 SO ' SO SO ' O O ' điều này không đúng nếu
ABCD không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.
Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm
của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?
A. MO, AB và B ' C .
B. MO, AB và A ' D ' .
MO
,
DC
'
C.
và B ' C .
D. MO, A ' D và B ' C ' .
Lời giải
Ví dụ 6.
Đáp án A
MO // CDA ' B ' ; AB / / A ' B ' AB // CDA ' B ' , B ' C '
nằm trong mặt
CDA ' B ' nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay
phẳng
CDA ' B '
Cách 1: Ta có
nằm trên mặt phẳng
.
1
1
1
1
1
MO
A ' B ' B ' C A ' B ' B ' C ' AB B ' C
A'C 2
2
2
2
Cách 2: Ta có
.
Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng.
Ví dụ 7.
Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ
ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
BC
,
BD
,
AD
.
A.
B. AC ; AD; MN .
BC
;
AD
;
MN
.
C.
D. AC ; DC ; MA.
Lời giải
Đáp án C
www.thuvienhoclieu.com
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
AD AM MN ND
BC BM MN NC
1
1
AD BC 2 MN MN AD BC
2
2
Vậy ba vecto BC ; AD; MN . đồng phẳng.
Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB 2MA . N là điểm
CD
CN
kCD
trên đường thẳng
mà
. Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị
của k là:
Ví dụ 8.
A.
k
2
3.
B.
k
3
2.
C.
Lời giải
k
4
3.
D.
k
1
2.
Đáp án A
song
Qua M vẽ mặt phẳng
song với AD và BC .
cắt
tại
AC tại P , BD tại Q và CD
N . Ta có MP //PN //AD .
Các vecto MN , AD, BC có giá song
song hay nằm trong mặt phẳng
nên đồng phẳng.
Ta
2
2
CN CD
k
3
3.
có
. Vậy
Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho
1
AM AD.
N là điểm trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng
2
CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng.
Ví dụ 9.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
MN
NP
Tính
.
1
A. 3 .
2
B. 3 .
1
C. 2 .
Lời giải
3
D. 4 .
Đáp án B
Đặt
AB a, AD b, AA1 c và BN xBD1 ; CP yCC1 yc .
STUDYTIP
Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo các
a
vecto , b, c
MN .NP 1
M
,
N
,
P
Ba điểm
thẳng hàng nên
.
Ta có: MN MA AB BN
1
1
b a xBD1 b a x BA BC BB1
3
3
1
1
b a x a b c 1 x a x b xc 2
3
3
Ta lại có:
NP NB BC CP
xBD
b
yc
x
b
a
c b yc
1
NP xa 1 x b y x c 3
Thay (2), (3) vào (1) ta được:
1 x x
1
x 1 x
3
2
3
3
,x ,y
x y x
3
5
2.
. Giải hệ ta được
MN 2
NP 3
Vậy
.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 10. 111Equation Chapter 1 Section 1Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ
NP . Khi đó cos có giá trị là:
2
A. 2
2
B. 3
2
C. 6
MG và
1
D. 2
Đáp án: C
Lời giải:
AB
a
;
AC
b; AD c;
Đặt
1
1
AG (a b c) MG AG AM ( a 2b 2c )
3
6
1
PN AN AP ( a b c)
2
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1
1
a
.b b.c c.a 1.1.c os600
a b c 1
2
và
MG.PN
cos cos( MG , PN )
(*)
MG . PN
1
MG.PN ( a 2b 2c)(a
b c)
12
Ta có:
2
2
2
1
1
( a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c )
12
12
1
1
1
2
MG ( a 2b 2c) 2 ; PN ( a b c) 2
6
2
2
2
Thay vào (*) ta được
1
1
2
cos 12
. (*)
6
1 2 3 2
.
2 2
C.Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 1:
ABCD. A1 B1C1 D1
Cho
là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
1
AK AB AD AA1
AK
AB BC AA1
2
A.
B.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
C.
1
1
AK AB AD AA1
2
2
D.
AK AB AD AA1
Hướng dẫn giải
1
1
AK AC CK ( AB AD) AA1 AB AD AA1
2
2
Có
B
A
C
D
K
A1
B1
C1
D1
Chọn A
Câu 2:
ABCD. A1 B1C1 D1
M CD1 C1 D
Cho hình hộp
với
. Khi đó:
1
1 1
1
1
AM AB AD AA1
AM AB AD AA1
2
2
2
2
2
A.
B.
1 1
1
AM AB AD AA1
AM AB AD AA1
2
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
( hính vẽ câu 1)
1
1
1
AM AD DM AD DC1 AD ( DC DD1 ) AD AB AA1
2
2
2
Ta có:
Chọn B
Câu 3:
Cho hình hộp
A. 1800
( D1 A1 , C C1 ) (C1 B, DD1 ) ( DC1 , A1 B)
ABCD. A1 B1C1 D1
. Khi đó: tổng 3 góc
B. 2900
C.3600
D. 3150
Hướng dẫn giải
B
A
C
D
A1
D1
K
B1
C1
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
là:
www.thuvienhoclieu.com
Ta có:
( D1 A1 , C C1 ) 900
(C1 B, DD1 ) (C1 B, CC1 ) 1350
( DC1 , A1 B ) ( DC1 , D1C ) 900
( D1 A1 , C C1 ) (C1 B, DD1 ) ( DC1 , A1 B) 900 1350 90 0 3150
Chọn D
Câu 4:
ABCD. A1 B1C1 D1
Cho hình lập phương
Khi đó: là :
A. 3600
B. 3750
( AC , DC1 ); ( DA1 , BB1 ); ( AA1 , C1C )
, đặt
C. 3150
Hướng dẫn giải
D. 2750
( hình câu 3)
( AC , DC1 ) ( AC , AB1 ) 600
( DA1 , BB1 ) ( DA1 , A1 A) 1350
( AA1 , C1C ) ( AA1 , A1 A) 1800
600 1350 1800 3750
Chọn B
Câu 5:
Cho
hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB. AD 12 . Tính
( SC. SA) 2 .
A. 76
B. 28
C. 52
D. 40
Hướng dẫn giải
S
A
6
B
4
D
4
7.42 cm
C
2
2
2
( SC. SA) 2 . AC ( AB AD) AB AD 2 AB. AD
62 42 2( 12) 28
Chọn B
Câu 6:
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
a
,
b
,
c
c
ma
n
b
, với m, n là các số duy nhất
B. Ba vectơ
đồng phẳng thì có
www.thuvienhoclieu.com
Trang 10
www.thuvienhoclieu.com
C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d ma n b pc với d là vec tơ bất kỳ
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Hướng dẫn giải
-Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
a
Phương án B: Sai , b phải không cùng phương.
Phương án C sai
Vậy chọn D
Chọn D
Câu 7:
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
OG (OA OB OC )
4
A.
B. GA GB GC 0
2
1
AG ( AB AC AD)
AG ( AB AC AD )
3
4
C.
D.
Hướng dẫn giải
A
M
G
D
B
N
C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
G là trung điểm
GM
GN
0
của
MN
GA GB GC 0 B đúng
OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GD
Ta có:
4OG (GA GB GC GD ) 4OG A đúng
Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.
Chọn C
Câu 8:
a
,
b
,
c
x
2
a
b
;
y
4
a
2
b
;
z
3
a
2
c
Cho ba vectơ
không đồng phẳng xét các vectơ
Chọn mênh đề
đúng trong các mệnh đề sau:
, z cùng phương
A.Hai vec tơ y
x
,
B. Hai vec tơ y cùng phương
C.Hai vec tơ x, z cùng phương
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
www.thuvienhoclieu.com
D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Ta thấy y 2 x nên x, y cùng phương.
Chọn B
Câu 9
:
ABCD. A1 B1C1 D1
Cho hình lập phương
, Tìm giá
AB B1C1 DD1 k AC1 )
A.k=4
B. k=1
C. k=0
Hướng dẫn giải
A1
D1
trị
của
k
thích
hợp
để
D. k=2
B1
C1
B
A
C
D
AB B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 k 1
Có
Chọn B
ABC. A1 B1C1
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác
đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.
A. a b c d 0
C. b c d 0
. Đặt
AA1 a; AB b; AC c; BC1 d
trong các
B. a b c d
D. a b c
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
C
A
B1
B
1
B
C1
A1
B1
b c d AB AC BC CB BC 0
Ta có:
Chọn C
Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.Nếu giá của bavectơ
cắt nhau từngđôi một thì 3 vectơ đồng phẳng
0 thì ba vectơ đồng phẳng
B.Nếu ba vectơ a, b, c cómột
vec tơ
C.Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng
D.Nếu trong ba vectơ a, b, c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn A
ABCD. A1 B1C1 D1
Câu 12: Cho
là hình hộp, trong các khẳng định
sau
khẳng
định sai:
1 A1C 2 AC
1 CA1 2CC1 0
A. AC
B. AC
C. AC1 A1C AA1
D. CA1 AC CC1
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
Trang 13
www.thuvienhoclieu.com
A
D
B
C
A1
D1
B1
C1
AC1 A1C AA1 AC1 AA1 AC1 A1C C1 A1
Ta có:
Chọn C
Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
AB
BC CD DA 0
A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD
SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành
C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB SDSA
D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD
Hướng dẫn giải
Chọn C
' ' '
'
' '
Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A B C D Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB A và
BCC ' B ' . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng
1
1
IK AC A' C '
2
2
B.
C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng
BD
2
IK
2 BC
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC.
Gọi P,Q lần lượt
là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
, AC , MN không đồng phẳng
A.Các vec tơ BD
, DC , PQ đồng phẳng
B. Các vec tơ MN
C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng
D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
A
P
M
E
B
D
F
Q
N
C
Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD
1
NE / / AB, NE 3 AB
NE / / MF , NE / / MF
MF / / AB, MF 1 AB
3
NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt
BA, DC , MN đồng phẳng
phẳng (MFNE)
BD, AC , MN không đồng phẳng.
Chon A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
a2 3
AB. AC
2
A. AD CD BC DA 0
B.
C. AC. AD AC.CD
D. AD.CD 0
Hướng dẫn giải
( sử dụng hình câu 7)
Phương án A:
AD CD BC DA ( AD DA) ( BC CD) 0 BD 0 A sai
2
a
AB. AC a.a.c os600 =
B
2
Phương án B:
sai
2
Phương án B AC. AD AC.CD AC ( AD DC ) 0 AC 0 C sai
Chọn D
Câu 17: Cho hình lập phương
ABCD. A1 B1C1 D1
. Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
B1 M B1 B B1 A 1 B1C1
A.
1
1
C1 M C1C C1 D 1 C1 B1
2
2
C.
A
1
C1 M C1C C1 D 1 C1 B1
2
B.
BB1 B1 A1 B1C 1 2 B1 D
D.
Hướng dẫn giải
a
B
a
M
D
C
A1
C1
D1
Ta có
Chọn B
B1
1
C1 M C1 D1 D1 D DM C1 D1 C1C C1 B1
2
Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA GB GC 0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là
giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
GA
A. 2OG
C. GA 3OG
GA
4OG
B.
D. GA 2OG
A
N
G
B
M
O
H
D
C
Hướng dẫn giải
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD NH là đường trung bình của
AOD và OG là đường trung bình của MNH
www.thuvienhoclieu.com
Trang 16
www.thuvienhoclieu.com
1
1 1
1
1
OG NH . AO OG NH . AO
2
2 2
2
4
hay GA 3OG
Chọn C
Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau,
khẳng định nào
sai?
AB
,
, MN đồng phẳng
A.Các vec tơ DC
, AB, AC không đồng phẳng
B. Các vec tơ MN
C. Các vec tơ AN , CM , MN đồng phẳng
D. Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng
Hướng dẫn giải
A
M
P
B
D
Q
N
C
Gọi P, Q lần lượt
làtrung điểm AC, BD
Ba vec tơ AB, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ
A đúng
này đồng phẳng
AB, AC , MN không đồng phẳng B đúng
Ba vec tơ
Ba vec tơ AN , CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào C sai
Chọn C
' ' '
'
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A B C D , có cạnh A.Hãy
tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
2
A. AD '.CC ' a
C. AB '.CD ' 0
A
B. AD '. AB ' a
AC a 3
D.
Hướng dẫn giải
a
2
B
a
D
C
A'
D'
B'
www.thuvienhoclieu.com
C'
Trang 17
www.thuvienhoclieu.com
AD '.CC ' AD '.AA ' AD ' . AA ' cos450 a 2
Xết phương án A có:
Chọn A
Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các
điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi
(c AB). Gọi là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN
c 2 AB 2
c 2 AB 2
A. 2(1 cos )
B. 2(1 cos )
c 2 AB 2
C. 2(1 cos )
c 2 AB 2
D. 2(1 cos )
Hướng dẫn giải
x
M
A
B
N
Ta có:
2
c 2 MN 2 MN ( MA AB BN )2
AB 2 2 AM .BN .(1 cos )
AM .BN .
c 2 AB 2
2(1 cos )
c 2 AB 2
Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng 2(1 cos )
Chọn A
AM 2 AB 2 BN 2 2 AM .BN AM 2 AB 2 BN 2 2 AM .BN .c os
Góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 18
www.thuvienhoclieu.com
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau
tạo nên.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và
b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b .
Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ).
2. Phương pháp
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
u
v
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu và lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc
vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc của hai đường thẳng này được xác
định bởi công thức
u.v
cos cos u, v .
u.v
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC ,
C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP .
0
A. 45 .
Đáp án A.
0
B. 30 .
0
C. 60 .
0
D. 90
Lời giải
Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và
MN //AC nên:
, AP AC,
MN
AP . Ta tính góc PAC
.
Vì ADP vuông tại D nên
2
a 5
a
AP AD2 DP 2 a 2
2 .
2
AAP vuông tại A nên
2
a 5
3a
AP AA AP a
2
2
.
2
2
2
CC P vuông tại C nên
CP CC 2 C P 2 a 2
a2 a 5
.
4
2
Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC a 2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 19
www.thuvienhoclieu.com
CP AC 2 AP 2 2 AC. AP.cos CAP
1
cos CAP
2
cos CAP
45 90
2
Nên
Phương pháp 2: Ta có
45
AC; AP CAP
hay
AP 45
MN;
. Chọn A.
MN . AP
cos MN , AP
*
MN . AP MN . AP .cos MN , AP
MN . AP
MN . AP MB BN
AA AD DP
Ta có:
MB. AA MB. AD MB.DP BN . AA BN . AD BN .DP
a a
a
3a 2
0 0 . 0 .a 0
1
2 2
2
4
a 2 3a 3 2a 2
MN . AP
.
2
2 2
4
3a 2
1
cos MN , AP 4 2
MN , AP 450.
3 2a
2
1 , 2
4
Thay
vào
ta được:
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng
MN a 3. Tính góc của AB và CD .
0
A. 45 .
0
B. 30 .
0
C. 60 .
0
D. 90 .
Đáp án C.
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM IN a .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 20
- Xem thêm -