Tài liệu Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – nguyễn phú khánh, huỳnh đức khánh

CHUÛ ÑEÀ 3. NGUYEÂN HAØM -–TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG Baøi 01 NGUYEÂN HAØM 1. Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K . Nhận xét. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thì F ( x ) + C , (C ∈ ℝ ) cũng là nguyên hàm của f ( x ) . f ( x ) dx = F ( x ) + C . ∫ Ký hiệu: 2. Tính chất (∫ f ( x ) dx ) / = f (x ) . ∫ a. f ( x ) dx = a.∫ f ( x ) dx (a ∈ ℝ, a ≠ 0) . ∫  f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx . 3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm ∫ kdx = kx + C , x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x α dx = ∫ 1 dx = ln x + C x ∫e x dx = e x + C ∫a x dx = ax +C ln a k là hằng số α +1 1 (ax + b ) a α +1 α ∫ (ax + b ) dx = . 1 +C 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ∫e ax +b ∫a dx = mx + n 1 ax +b e +C a dx = a mx +n +C m. ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C 1 ∫ cos 2 x 1 ∫ sin 2 x 1 1 dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin 2 2 1 1 dx = tan (ax + b ) + C a (ax + b ) 1 1 dx = − cot (ax + b ) + C a (ax + b ) CÂU HỎI & B(I TẬP TRẮC NGHIỆM 12 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 12 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn file word đề riêng; file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy Câu 1. Hàm số f ( x ) có nguyên hàm trên K nếu: A. f ( x ) xác định trên K . B. f ( x ) có giá trị lớn nhất trên K . C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất trên K . D. f ( x ) liên tục trên K . Lời giải. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . Chọn D. Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm bất kỳ của f ( x ) trên (a; b ) thì ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C với C là hằng số. B. Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b ) đều có nguyên hàm trên khoảng (a; b ) . C. F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên (a; b ) ⇔ f / ( x ) = F ( x ), ∀x ∈ (a; b ) . D. (∫ f ( x ) dx ) / = f (x ) . Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là: '' F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên (a; b ) ⇔ F / ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ (a; b ) ''. Câu 3. Xét hai khẳng định sau: 1) Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] đều có đạo hàm trên đoạn đó. 2) Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Trong hai khẳng định trên: A. Chỉ có 1) đúng. `B. Chỉ có 2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Lời giải. Hàm số có đạo hàm tại x 0 thì liên tục tại x 0 . Ngược lại hàm số liên tục tại x 0 thì chưa chắc đã có đạo hàm tại x 0 . Chẳng hạn xét hàm số f ( x ) = x tại điểm x = 0 . Chọn B. Câu 4. Trong các khẳng định sau nói về nguyên hàm của một hàm số f ( x ) xác định trên khoảng D , khẳng định nào là sai? 1) F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên D nếu và chỉ nếu F ' ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ D. 2) Nếu f ( x ) liên tục trên D thì f ( x ) có nguyên hàm trên D . 3) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. A. Khẳng định 1) sai. B. Khẳng định 2) sai. C. Khẳng định 3) sai. D. Không có khẳng định nào sai. Lời giải. Chọn D. Câu 5. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng (a; b ) . Giả sử G ( x ) cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng (a; b ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. F ( x ) = G ( x ) trên khoảng (a; b ) . B. G ( x ) = F ( x ) − C trên khoảng (a; b ) , với C là hằng số. C. F ( x ) = G ( x ) + C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định F ( x ) và G ( x ) , C là hằng số. D. Cả ba câu trên đều sai. Lời giải. Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Do đó B đúng. Chọn B. Câu 6. Xét hai khẳng định sau: 1) ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = F ( x ) + G ( x ) + C , trong đó F ( x ) và G ( x ) tương ứng là nguyên hàm của f ( x ), g ( x ) . 2) Mỗi nguyên hàm a. f ( x ) (a ≠ 0) là tích của a với một nguyên hàm của f ( x ) . Trong hai khẳng định trên: A. Chỉ có 1) đúng. C. Cả hai đều đúng. Lời giải. Chọn C. Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu B. ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì ∫ kf ( x ) dx = k ∫ ∫ B. Chỉ có 2) đúng. D. Cả hai đều sai. f (u ) du = F (u ) + C . f ( x ) dx ( k là hằng số và k ≠ 0 ). C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ). D. ∫  f 1 ( x ) + f 2 ( x ) dx = ∫ f 1 ( x ) dx + ∫ f 2 ( x ) dx . Lời giải. Các nguyên hàm sai khác nhau hằng số nên C là đáp án sai. Chọn C. Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A. ∫ 0dx = C ( C là hằng số). B. ∫ dx = ln x + C ( C là hằng số). x α +1 x C. ∫ x α dx = + C ( C là hằng số). D. ∫ dx = x + C ( C là hằng số). α +1 Lời giải. Chọn C. Vì kết quả này không đúng với trường hợp α = −1 . 1 Câu 9. Hàm số f ( x ) = có nguyên hàm trên khoảng nào với các khoảng đã cho cos x sau đây?  π π  π π A. (0; π ) . B. − ;  . C. (π;2π ) . D. − ;  .    2 2    2 2  Lời giải. Hàm số f ( x ) =  π π 1 xác định và liên tục trên − ;  nên có nguyên hàm    2 2   cos x trên khoảng này. Chọn B. Câu 10. Kí hiệu F ( y ) là một nguyên hàm của hàm số f ( y ) , biết F ( y ) = x 2 + xy + C . Hỏi hàm số f ( y ) là hàm số nào trong các hàm số sau? A. f ( y ) = x . B. f ( y ) = 3 x + y . C. f ( y ) = y . D. f ( y ) = 2 x + y . Lời giải. Để tìm f ( y ) ta đi lấy đạo hàm của F ( y ) theo biến y (tức là bây giờ x đóng vai trò là tham số). Ta có F ' ( y ) = x . Chọn A. Câu 11. Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) và F (sin 2 x ) xác định thì F (sin 2 x ) là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau? A. f (sin 2 x ). B. f (cos 2 x ). Lời giải. Theo định nghĩa, ta có ∫ C. 2 sin xf (sin 2 x ). D. sin 2 xf (sin 2 x ). → f ( x ) dx =F ( x ) + C ← F ′ ( x ) = f ( x ). / Áp dụng:  F (sin 2 x ) ′ = (sin 2 x ) F / (sin 2 x ) = sin 2 x . f (sin 2 x ) . Chọn D.   Câu 12. Xác định A. C. f ( x ) dx biết f ( x ) = 2 x + 1. ∫ ∫ (2 x + 1) dx = 2. ∫ (2 x + 1) dx = x + x. 2 B. ∫ (2 x + 1) dx = C . D. ∫ (2 x + 1) dx = x + x + C . 2 Lời giải. Chọn D. Câu 13. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? 4 ( x − 3) 5 A. F ( x ) = 5 ( x − 3) B. F ( x ) = + 2017 . D. F ( x ) = 5 C. F ( x ) = 5 ( x − 3) 5 +x . . 5 ( x − 3) 5 5 −1 . Lời giải. Xét đáp án A, ta có F ' ( x ) = ( x − 3) + 1 ≠ f ( x ) . Chọn A. 4 Cách trắc nghiệm. Ta thấy hàm số F ( x ) ở các đáp án B, C, D sai khác nhau hằng số nên dung phương pháp loại suy, ta chọn được được đáp án A. Câu 14. Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x 2 + 1) và F (1) = 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? x 5 2x 3 A. F ( x ) = + + x. 5 3 28 ⋅ 15 x 5 2x 3 + + x +C. 5 3 x 5 2x 3 C. F ( x ) = 4 x ( x 2 + 1). D. F ( x ) = + + x + 1. 5 3 2 x 5 2x 3 Lời giải. Ta có ∫ ( x 2 + 1) dx = ∫ ( x 4 + 2 x 2 + 1) dx = + + x +C. 5 3 28 1 2 28 Theo giả thiết F (1) =  + + 1 + C = →  C = 0 . Chọn A. → 15 5 3 15 B. F ( x ) = Câu 15. Tìm hàm số F ( x ) biết F ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 và đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e . A. F ( x ) = x 2 + x + e. B. F ( x ) = cos 2 x + e −1. C. F ( x ) = x + x + x + 1. D. F ( x ) = x 3 + x 2 + x + e. 3 2 Lời giải. Ta có F ( x ) = ∫ (3 x 2 + 2 x + 1) dx = x 3 + x 2 + x + C . Đồ thị y = F ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e nên ta có F (0 ) = e ⇔ C = e. Vậy F ( x ) = x 3 + x 2 + x + e. Chọn D. Câu 16. Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x − 1 . Đồ thị hàm số y = F ( x ) và đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là: 5  5   A. (0; −1) . B.  ;9 . C. (0; −1) và  ;9 .    2  2      5   D. (0; −1) và  ;8 .  2    Lời giải. Ta có F ( x ) = ∫ ( 4 x −1) dx = 2 x 2 − x + C . Giả sử M (0; m ) ∈ Oy là giao điểm của đồ thị hai hàm số F ( x ) và f ( x ) .  M ∈ f ( x ) 4.0 −1 = m   m = −1     Ta có hệ phương trình  ⇔ 2 ⇔ ⇒ F ( x ) = 2 x 2 − x −1 .  M ∈ F ( x ) 2.0 − 0 + C = m C = −1       Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số F ( x ) và f ( x ) là nghiệm của phương trình:  x = 0 ⇒ y = −1  2 x 2 − x −1 = 4 x −1 ⇔ x (2 x − 5) = 0 ⇔  . x = 5 ⇒ y = 9 2  5  Vậy tọa độ các điểm cần tìm là (0; −1) và  ;9 . Chọn C.   2    Câu 17. Biết rằng F ( x ) = ax 3 + (a + b ) x 2 + (2a − b + c ) x + 1 là một nguyên hàm của f ( x ) = 3 x 2 + 6 x + 2. Tính tổng S = a + b + c . A. S = 5. Lời giải. Ta có B. S = 4. C. S = 3. D. S = 2. 2 3 2 ∫ (3x + 6 x + 2) dx = x + 3x + 2 x + C . Suy ra F ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 . a = 1   a = 1     a + b = 3 Đồng nhất ta được  ⇔ b = 2  a + b + c = 5 . Chọn A. →   2a − b + c = 2 c = 2        Câu 18. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 và F (2) = 1. Tính F (3). x −1 A. F (3) = ln 2 −1. B. F (3) = ln 2 + 1. 1 C. F (3) = ⋅ 2 D. F (3) = 7 ⋅ 4 dx = ln x −1 + C . x −1 Theo giả thiết F (2) = 1  ln 2 −1 + C = 1 ⇔ C = 1. → Lời giải. Ta có ∫ Suy ra F ( x ) = ln x −1 + 1  F (3) = ln 2 + 1. Chọn B. → Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = A. f (5) = ln 2. B. f (5) = ln 3. Lời giải. Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 1 và f (1) = 1 . Tính f (5) . 2 x −1 C. f (5) = ln 2 + 1. D. f (5) = ln 3 + 1. dx 1 = ln 2 x −1 + C . 2 x −1 2 1 Theo giả thiết f (1) = 1  ln 2.1 −1 + C = 1 ⇔ C = 1 . → 2 1 1 1 Suy ra f ( x ) = ln 2 x −1 + 1  f (5) = ln 2.5 −1 + 1 = ln 9 + 1 = ln 3 + 1. Chọn D. → 2 2 2 2x + 3 Câu 20. Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời f ′ ( x ) = và f (0) = 1. x +1 A. f ( x ) = x 2 + ln x + 1 . B. f ( x ) = 2 x + ln 2 x + 1 −1. C. f ( x ) = 2 x + ln x + 1 + 1. D. f ( x ) = x + ln x + 1 + 1. Lời giải. Ta có ∫   2x + 3 1  dx = ∫ 2 +  dx = 2 x + ln x + 1 + C .     x +1 x + 1 Theo giả thiết f (0) = 1  2.0 + ln 0 + 1 + C = 1 ⇔ C = 1. → Suy ra f ( x ) = 2 x + ln x + 1 + 1. Chọn C. ( x + 1) 2 Câu 21. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 F (−1) = ⋅ Tính F (2). 2 A. F (2) = 2 + ln 2. ( x + 1) 2 = x +2 và thỏa mãn B. F (2) = 2 (1 − ln 2). C. F (2) = 2 (1 + ln 2). Lời giải. Ta có x +2 D. F (2) = 4. x 2 + 2 x + 1 x ( x + 2) + 1 1 = =x+ x +2 x +2 x +2 ( x + 1) 2  ∫ →   x2 1  dx = ∫  x + + ln x + 2 + C.  dx =     x +2 x + 2 2 (1) 1 1  → + ln −1 + 2 + C = ⇔ C = 0. 2 2 2 2 Theo giả thiết F (−1) = x2 + ln x + 2  F (2) = 2 + ln 4 = 2 (1 + ln 2). Chọn C. → 2 Suy ra F ( x ) = ( x −1) 3 Câu 22. Hàm số nào sau đây là nguyên một hàm của hàm số f ( x ) = ? 4 A. F ( x ) = x 2 3x 3 1 − + ln x + . 4 2 2 2x B. F ( x ) = C. F ( x ) = x 2 3x 1 1 − − 2− 3. 4 2 x 2x D. F ( x ) = ( x −1) 3 ( x −1) 2x 2 . 4x3 3( x −1) 2 4x . 3 x 3 − 3 x 2 + 3x −1 dx 2x 2x 2   3 1  x 2 3x 3 1 x 3 =∫ − + −  dx = 4 − 2 + 2 ln x + 2 x + C .  2 2 2x 2x 2    Lời giải. Ta có ∫ 2 Chọn C = 0  F ( x ) = → dx = ∫ x 2 3x 3 1 − + ln x + . Chọn A. 4 2 2 2x Câu 23. Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 3 − 1 + 3 x và thỏa mãn x2 5 F (1) + F (2) = 43 . Tính F (2). 45 86 . D. F (2) = . 2 7  3 1  1 3 2 4 Lời giải. Ta có F ( x ) = ∫  4 x − 2 + 3 x  dx = x + + x + C .       x x 2 7  45 1  Theo giả thiết 5 F (1) + F (2) = 43  5  + C  + + C = 43 ⇔ C = . →   2 2   2 1 3 2 1 1 3 2 1 Suy ra F ( x ) = x 4 + + x +  F (2 ) = 2 4 + + .2 + = 23. Chọn B. → x 2 2 2 2 2 1 Câu 24. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 ⋅ x −x A. F (2) = 151 . 4 B. F (2) = 23. C. F (2) = A. F ( x ) = − ln x − ln x −1 . B. F ( x ) = ln x − ln x −1 . C. F ( x ) = − ln x + ln x −1 . D. F ( x ) = ln x + ln x −1 . Lời giải. Ta có 1 1 1 1 = =− + x − x x ( x −1) x x −1 2  1    1  1    ∫  2 →   dx = ∫ − x + x −1dx = − ln x + ln x −1 + C . Chọn C.  x −x      Câu 25. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 và thỏa mãn x 2 − 3x + 2 3 F   = 0. Tính F (3).     2 A. F (3) = ln 2. Lời giải. Ta có B. F (3) = 2 ln 2. C. F (3) = −2 ln 2. D. F (3) = − ln 2. 1 1 1 1 = =− + x − 3 x + 2 ( x −1)( x − 2) x −1 x − 2 2    1 dx = − 1 + 1 dx = − ln x −1 + ln x − 2 + C .   ∫  2 →   ∫  x −1 x − 2     x − 3x + 2      3 3 3 Theo giả thiết F   = 0  ln −1 + ln − 2 + C = 0 ⇔ C = 0. →−   2   2 2 Suy ra F ( x ) = − ln x −1 + ln x − 2  F (3) = − ln 2. Chọn D. → Câu 26. Xác định A. C. ∫ ∫ ∫ f ( x ) dx biết f ( x ) = x +3 ⋅ x 2 + 3x + 2 f ( x ) dx = 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C . B. f ( x ) dx = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C . D. Lời giải. Ta có ∫ ∫ f ( x ) dx = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C . f ( x ) dx = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C . x +3 x +3 2 1 = = − x 2 + 3 x + 2 ( x + 1)( x + 2) x + 1 x + 2  2  x +3 1  dx = ∫  −  dx = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C . Chọn B.  x +1 x + 2    x + 3x + 2 2 1 1 và thỏa f (2 ) = − ⋅ Câu 27. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = − 2 2 3 (2 x −1) ( x −1)  ∫ → 2 Biết phương trình f ( x ) = −1 có nghiệm duy nhất x = x 0 . Tính T = 2017 x 0 . A. T = 2017. B. T = 1. C. T = 2017. D. T = 2017 3.  2 1  1 1 Lời giải. Ta có ∫ f ' ( x ) dx = ∫  − dx = − +C. 2 2 x − 1 2 x −1  (2 x −1) ( x −1)  1 1 1 1 Theo giả thiết f (2) = −  − + C = − ⇔ C = −1. → 3 1 3 3 x Suy ra f ( x ) = −1 . ( x −1)(2 x −1) Suy ra f ( x ) = −1 ⇔ x −1 = −1 ⇔ x = 0 = x 0  T = 2017 0 = 1. Chọn B. → x −1)(2 x −1) ( Câu 28. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ). g ( x ) , biết x2 + C và F (2) = 5 . 4 x2 x2 A. F ( x ) = + 4. B. F ( x ) = + 5. 4 4 ∫ f ( x ) dx = x + C , ∫ g ( x ) dx = Lời giải. Ta có ∫ C. F ( x ) = f ( x ) dx = x + C  f ( x ) = 1 và → 1 1 x dx = x 2 + C . 2 4 1 Theo giả thiết F (2 ) = 5  .2 2 + C = 5 ⇔ C = 4. → 4 x2 Suy ra F ( x ) = + 4. Chọn A. 4 Khi đó ∫ f ( x ). g ( x ) dx = ∫ ∫ x3 + 5. 4 x3 + 3. 4 x2 1 g ( x ) dx = + C  g ( x ) = x . → 4 2 D. F ( x ) = Câu 29. Cho I = ∫ 2 A. I = 2 x +C . ( Lời giải. Ta có 2 x x ln 2 x dx . Mệnh đề nào sau đây là sai? B. I = 2 +C x +1 ( C. I = 2 2 +C . ) = (2 ) = ( x ) .2 / x / / x ln 2 = x 1 2 x ) ( + 1 + C . D. I = 2 2 .2 x ln 2 ≠ 2 x ln 2 x x ) −1 + C . . Chọn A. Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án B, C, D sai khác nhau nên hằng số nên dễ dàng nhận ra đáp án A là không thỏa mãn. Câu 30. Tìm giá trị của các tham số a, b, c để hàm số F ( x ) = (ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 với x> 3 20 x 2 − 30 x + 7 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 2 2x −3 A. a = 4, b = 2, c = 1 . B. a = 4, b = −2, c = −1 . C. a = 4, b = −2, c = 1 . D. a = 4, b = 2, c = −1 . Lời giải. Theo bài ra ta có F ' ( x ) = f ( x ) . Ta có F ' ( x ) = (2ax + b ) 2 x − 3 + (ax 2 (*) + bx + c ) = 5ax 2 + (3b − 6a ) x − 3b + c . 2x − 3 2x −3 5a = 20 a = 4      3b − 6a = −30 ⇔ b = −2 . Chọn C.  Để (*) xảy ra ⇔     c − 3b = 7 c = 1       1 Câu 31. Nếu ∫ f ( x ) dx = + ln x + C thì f ( x ) là hàm số nào trong các hàm số sau? x 1 A. f ( x ) = x + ln x + C . B. f ( x ) = − x + + C . x 1 x −1 C. f ( x ) = − 2 + ln x + C . D. f ( x ) = 2 . x x Lời giải. Theo định nghĩa ∫ f ( x ) dx = F ( x )  F / ( x ) = f ( x ). → 1  1 1 x −1 Do đó hàm số cần tìm f ( x ) =  + ln x + C  = − 2 + = 2 . Chọn D.     x  x x x / Câu 32. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 3 x và thỏa mãn F (0) = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 A. F ( x ) = e 3 x + 1. B. F ( x ) = e 3 x . 3 3 1 3x 2 1 4 C. F ( x ) = e + ⋅ D. F ( x ) = − e 3 x + ⋅ 3 3 3 3 1 Lời giải. Ta có ∫ e 3 x dx = e 3 x + C . 3 1 2 Theo giả thiết F (0) = 1  + C = 1 ⇔ C = . → 3 3 1 3x 2 Suy ra F ( x ) = e + ⋅ Chọn C. 3 3 e Câu 33. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 3 x +1 và thỏa F (0) = ⋅ 3 Tính ln 3 3 F (1) . A. ln 3 3 F (1) = 64. B. ln 3 3 F (1) = −8. C. ln 3 3 F (1) = 81. D. ln 3 3 F (1) = 27. 1 Lời giải. Ta có ∫ e 3 x +1dx = e 3 x +1 + C . . 3 e e e  + C = ⇔ C = 0. → 3 3 3  1   ln 3 3 F (1) = ln 3 3. e 4  = 64. Chọn A. →  3  Theo giả thiết F (0) = 1 Suy ra F ( x ) = e 3 x +1 3 Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x .e x +1 . 1 2 x +1 e +C . 2 A. ∫e x .e x +1dx = e x .e x +1 + C . B. ∫e x .e x +1dx = C. ∫e x .e x +1dx = 2e 2 x +1 + C . D. ∫e x .e x +1dx = e x +1 + e x + C . Lời giải. Ta có ∫e x .e x +1dx = ∫ e 2 x +1dx = 1 2 x +1 e + C . Chọn B. 2 Câu 35. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = 2 2 x . A. F ( x ) = 1 +C. 4 . ln 4 B. F ( x ) = x C. F ( x ) = 4 x . ln 4 + C . Lời giải. Ta có ∫ 4x +C. ln 4 D. F ( x ) = 4 x + C . 2 2 x dx = ∫ 4 x dx = 4x + C . Chọn B. ln 4 Câu 36. Hàm số F ( x ) = e x + 2018 là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm 3 số sau đây? 3 3 ex . D. f ( x ) = x 3 .e x −1 . 3x 2 Lời giải. Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )← F ' ( x ) = f ( x ) . → A. f ( x ) = e x . 3 B. f ( x ) = 3 x 2 .e x . C. f ( x ) = 3 ( ) ( ) = ( x ) .e / Suy ra hàm số cần tìm f ( x ) = e x + 2018 = e x Câu 37. Hàm số F ( x ) = 3 3 / 3 / x3 = 3 x 2 .e x . Chọn B. 3 x3 + e x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số 3 sau đây? A. f ( x ) = x4 x4 +ex . + e x . B. f ( x ) = 3 x 2 + e x . C. f ( x ) = 12 3 D. f ( x ) = x 2 + e x . Lời giải. Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )← F ' ( x ) = f ( x ) . → x3   Suy ra hàm số cần tìm f ( x ) =  + e x  = x 2 + e x . Chọn D.   3    / 2 3 Câu 38. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (2 + e 3 x ) thỏa F (0) = ⋅ 2 1 Tính F  ⋅   3    1  e 2 + 8e + 8 A. F   = ⋅     3 6  1  e 2 + 6e + 6 B. F   = ⋅     3 8  1  e 2 − 6e + 6 C. F   = ⋅     3 8  1  e 2 − 8e + 8 D. F   = ⋅     3 6 Lời giải. Ta có ∫ ( 2 + e ) dx = ∫ ( 4 + 4 e Theo giả thiết F (0 ) = 3x 2 3x + e 6 x )dx = 3 1 4 3  + + C = ⇔ C = 0. → 2 6 3 2 1 6x 4 3x e + e + 4x +C. . 6 3 Suy ra F ( x ) = 1 1  1 6 x 4 3x 4 4 e 2 + 8e + 8 e + e + 4 x  F   = e 2 + e + = →   . Chọn A. 3 6  6 3 3 3 6 Câu 39. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e −x (2e x + 1) , biết F (0 ) = 1. A. F ( x ) = 2 x + e − x . B. F ( x ) = 2 x − e −x + 2. C. F ( x ) = 2 + e −x . D. F ( x ) = 2 x − e − x + 1. Lời giải. Ta có ∫ e (2 e −x x + 1)dx = ∫ (2 + e −x )dx = 2 x − e − x + C . Theo giả thiết F (0) = 1  1 + C = 1 ⇔ C = 2. →− Suy ra F ( x ) = 2 x − e −x + 2. Chọn B. Câu 40. Giả sử F ( x ) = (ax 2 + bx + c ) e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 e x . Tính tích P = abc . A. P = 1 . B. P = −4 . C. P = −5 . D. P = −3 . Lời giải. Ta có F / ( x ) = (ax 2 + bx + c ) .e x + (ax 2 + bx + c ).(e x ) = ax 2 + (2a + b ) x + b + c  e x . Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F / ( x ) = f ( x ), ∀x . / / Do đó ax 2 + (2 a + b ) x + b + c  .e x = x 2 .e x ⇔ ax 2 + (2a + b ) x + b + c = x 2 .  a = 1 a = 1     2a + b = 0 ⇔ b = −2  P = abc = −4 . Chọn B.  Đồng nhất hệ số hai vế, ta được  →    b + c = 0 c = 2       Câu 41. Giả sử hàm số f ( x ) = (ax 2 + bx + c ).e −x là một nguyên hàm của hàm số g ( x ) = x (1 − x ) e − x . Tính tổng S = a + b + c . A. S = −2 . B. S = 4 . Lời giải. Ta có f ( x ) = (2ax + b ) e / C. S = 1 . −x − (ax + bx + c ) e 2 −x D. S = 3 . −ax 2 + (2a − b ) x + (b − c ) e − x . =   Vì f ( x ) là một nguyên hàm của g ( x ) nên ta có f / ( x ) = g ( x ), ∀x . Do đó −ax 2 + (2 a − b ) x + (b − c ) e − x = x (1 − x ) e − x ⇔ −ax 2 + (2 a − b ) x + (b − c ) = −x 2 + x . −a = −1    Đồng nhất hệ số hai vế, ta được 2a − b = 1 ⇔ a = b = c = 1 → S = a + b + c = 3. Chọn D.   b − c = 0    Câu 42. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x . A. ∫ f ( x ) dx = 1 sin 2 x + C . 2 B. ∫ 1 f ( x ) dx = − sin 2 x + C . 2 C. ∫ f ( x ) dx = 2 sin 2 x + C . D. ∫ f ( x ) dx = −2 sin 2 x + C . 1 sin 2 x + C . Chọn A. 2 Câu 43. Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin (1 − 2 x ) và thỏa Lời giải. Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ cos 2 x dx = 1 mãn F   = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?   2   A. F ( x ) = cos (1 − 2 x ) + 1. B. F ( x ) = cos (1 − 2 x ). 1 3 C. F ( x ) = − cos (1 − 2 x ) + ⋅ 2 2 D. F ( x ) = Lời giải. Ta có 1 ∫ sin (1− 2 x ) dx = 2 cos (1 − 2 x ) + C . 1 1 cos (1 − 2 x ) + ⋅ 2 2 1 1  1 Theo giả thiết F   = 1   cos 0 + C = 1 ⇔ C = . →      2 2    2 1 1 Suy ra F ( x ) = cos (1 − 2 x ) + . Chọn D. 2 2   π Câu 44. Cho hàm số f ( x ) thỏa các điều kiện f ′ ( x ) = 2 + cos 2 x và f   = 2π. Mệnh 2   đề nào sau đây là sai? A. f (0) = π. B. f ( x ) = 2 x + C. f ( x ) = 2 x − sin 2 x + π. 2  π D. f −  = 0.      2 sin 2 x + π. 2 1 f ′ ( x ) dx = ∫ (2 + cos 2 x ) dx = 2 x + sin 2 x + C . 2 π Theo giả thiết f   = 2π  π + C = 2π ⇔ C = π. →   2   Lời giải. Ta có ∫ 1 Suy ra f ( x ) = 2 x + sin 2 x + π. Chọn B. 2 Câu 45. Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin 2 x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng π π khi x = ? 8 4 A. F ( x ) = sin 3 x . 3 B. F ( x ) = x sin 2 x − . 2 4 C. F ( x ) = x sin 2 x 1 − + . 2 4 4 D. F ( x ) = sin 3 x 2 − . 3 12 Lời giải. Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ sin 2 x dx = ∫ 1 − cos 2 x dx 2  1 1 1     ∫ (1 − cos 2 x ) dx = 2 x − 2 sin 2 x  + C .   2   1 π 1 π π 1 π π Theo giả thiết F   =  . − sin + C = ⇔ C = . → 4 8   2 4 4 2 8 4 x sin 2 x 1 Suy ra F ( x ) = − + . Chọn C. 2 4 4 Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x . = A. ∫ tan 2 x dx = tan x − x + C . B. ∫ tan C. ∫ tan 2 x dx = tan 3 x ⋅ x D. ∫ tan Lời giải. Dùng kỹ thuật thêm bớt, ta được ∫ tan 2 2 2 x dx = tan x − x . x dx = tan 3 x +C. x xdx = ∫ (1 + tan 2 x ) −1 dx   1 dx − ∫ dx = tan x − x + C . cos 2 x '' Nếu đề bài yêu cầu tìm họ nguyên hàm thì ta chọn A, còn yêu cầu tìm một nguyên hàm thì ta chọn B '' . Ở đây yêu cầu tìm nguyên hàm, tức là phải tìm họ nguyên hàm. Chọn A. = ∫ (1 + tan 2 x ) dx − ∫ dx =∫ Câu 47. Cho nguyên hàm ∫ f ( x ) dx = sin 2 x cos x + C . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 A. f ( x ) = (3cos 3x + cos x ) . 2 1 C. f ( x ) = (3 cos 3 x − cos x ) . 2 Lời giải. Ta có ∫ 1 B. f ( x ) = (cos 3 x + cos x ) . 2 1 D. f ( x ) = (cos 3x − cos x ) . 2 1 f ( x ) dx = sin 2 x cos x = (sin 3 x + sin x ). 2 1 1 / Suy ra f ( x ) = (sin 3x + sin x ) = (3 cos 3x + cos x ). Chọn A. 2 2 Câu 48. Tìm giá trị thực của các tham số a, b để hàm số F ( x ) = (a cos x + b sin x ) e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x cos x . A. a = 1, b = 0 . B. a = 0, b = 1 . C. a = b = 1 . D. a = b = 1 . 2 Lời giải. Ta có F / ( x ) = (−a sin x + b cos x ) e x + (a cos x + b sin x ) e x = (b + a ) cos x + (b − a ) sin x  e x . Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F / ( x ) = f ( x ), ∀x . Do đó (b + a ) cos x + (b − a ) sin x  e x = e x cos x ⇔ (b + a ) cos x + (b − a ) sin x = cos x . b + a = 1  1 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được  ⇔ a = b = . Chọn D.  b − a = 0 2   Câu 49. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4m + sin 2 x và thỏa mãn π   π  π F (0) = 1 , F   = . Tìm m . 4 8   A. m = − 4 . 3 Lời giải. Ta có =∫ 3 3 4 . C. m = − . D. m = . 4 4 3  4m  4m + sin 2 x  dx = ∫ f ( x ) dx = ∫  dx + ∫ sin 2 xdx     π   π B. m = ∫  4m 1 4m 1 1   dx + ∫ (1 − cos 2 x ) dx = x +  x − sin 2 x  + C .    π 2 π 2 2  F (0 ) = 1 C = 1  C = 1            Theo giả thiết  π   → 1 π 1 π ⇔ 3 . Chọn C.   − +C = = π  F   m +       m = −   8  4 2    2 8 4     4  1 và đồ thị hàm số Câu 50. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x π  π y = F ( x ) đi qua điểm M  ;0 . Tính F   .     6  3     π A. F   = 0 .   3   Lời giải. Ta có π 2 3 B. F   = .     3 3 1 ∫ sin 2 x   3 −1 π  C. F   = . 3   3   π 2 D. F   = . 3 3   dx = − cot x + C . π    π π Đồ thị y = F ( x ) đi qua điểm M  ;0 nên F   = 0  cot + C = 0 ⇔ C = 3. →−   6  6     6 π 2 3 Suy ra F ( x ) = − cot x + 3  F   = →   . Chọn B.   3 3 Baøi 02 MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM NGUYEÂN HAØM 1. Phương pháp đổi biến số Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì ∫ f u ( x ) .u ' ( x ) dx = F u ( x ) + C . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ∫ f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích f ( x ) = g u ( x ) u ' ( x ) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u ( x ) , suy ra dt = u ' ( x ) dx . Khi đó ta được nguyên hàm: ∫ g (t ) dt = G (t ) + C = G u ( x ) + C . Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x ) . 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b ] . Khi đó: ∫ udv = uv − ∫ vdu. Để tính nguyên hàm ∫ ( *) f ( x ) dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u, v sao cho f ( x ) dx = udv (chú ý  dv = v ' ( x ) dx ). Sau đó tính v = ∫ dv và du = u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính ∫ vd u . Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫ vd u dễ tính hơn ∫ udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x   dx , trong đó P ( x ) là đa thức. ● Dạng 1. I = ∫ P ( x )  cos x    u = P ( x )    Với dạng này, ta đặt   sin x  .  dv =   dx   cos x     ● Dạng 2. I = ∫ P ( x ) e ax +b dx , trong đó P ( x ) là đa thức. u = P ( x )  Với dạng này, ta đặt  .  dv = e ax +b dx   ● Dạng 3. I = ∫ P ( x ) ln (mx + n ) dx , trong đó P ( x ) là đa thức. u = ln (mx + n )  Với dạng này, ta đặt  .  dv = P ( x ) dx   sin x  x  e dx . ● Dạng 4. I = ∫  cos x      sin x     u =   Với dạng này, ta đặt   cos x  hoặc có thể đặt ngược lại   dv = e x dx   u = e x      sin x  .   dv =  cos x  dx      CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 1. Biết ∫ f (u ) du = F (u ) + C . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. ∫ f (2 x − 1) dx = 2 F (2 x − 1) + C . B. ∫ f (2 x − 1) dx = 2 F ( x ) − 1 + C . C. ∫ f (2 x −1) dx = F (2 x −1) + C . D. ∫ f (2 x −1) dx = 1 F (2 x −1) + C . 2 Lời giải. Đặt u = 2 x − 1  du = 2dx → du 1 1 1 Khi đó ∫ f (2 x −1) dx = ∫ f (u ) = ∫ f (u ) du = F (u ) + C = F (2 x −1) + C . 2 2 2 2 Chọn D.  1 2017 Câu 2. Tìm hàm số F ( x ) thỏa mãn F ′ ( x ) = (2 x + 1) và F −  = 2018.      2 (2 x + 1) 2018 A. F ( x ) = 2018 C. F ( x ) = 2017 (2 x + 1) 2016 Lời giải. Ta có (2 x + 1) 2018 B. F ( x ) = + 2018. ∫ (2 x + 1) 2017 4036 + 2018. D. F ( x ) = 4034 (2 x + 1) 2016 + 2018. + 2018. dx. Đặt u = 2 x + 1  du = 2dx → (2 x + 1) 1 1 u 2018 u 2017 du = . +C = ∫ 2 2 2018 4036 2018 Khi đó ∫ (2 x + 1) 2017 dx = +C.    1 Theo giả thiết F −  = 2018  C = 2018. →  2   (2 x + 1) 2018 Vậy F ( x ) = 4036 + 2018 . Chọn B. Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ( x 2 + 1) . 9 10 1 2 ( x + 1) + C . 20 A. ∫ f ( x ) dx = − C. ∫ f ( x ) dx = 2 ( x 2 + 1) + C . Khi đó Vậy ∫ ∫ x (x 2 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ( x 2 + 1) + C . 10 f ( x ) dx = ∫ x ( x 2 + 1) dx . Đặt t = x 2 + 1  dt = 2 xdx . → 9 + 1) dx = 9 f ( x ) dx = ∫ D. 10 Lời giải. Ta có 10 1 2 ( x + 1) + C . 20 B. 10 1 1 t 10 1 2 9 ∫ t dt = 2 . 10 + C = 20 ( x + 1) + C . 2 10 1 2 ( x + 1) + C . Chọn B. 20 Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2016 – 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x −1. A. ∫ C. ∫ 2 f ( x ) dx = (2 x −1) 2 x −1 + C . 3 1 f ( x ) dx = − 2 x −1 + C . 3 Lời giải. Ta có Khi đó ∫ ∫ f ( x ) dx = ∫ B. ∫ D. ∫ 1 f ( x ) dx = (2 x −1) 2 x −1 + C . 3 1 f ( x ) dx = 2 x −1 + C . 2 → 2 x −1dx . Đặt t = 2 x −1 → t 2 = 2 x −1  tdt = dx . 2 x −1dx = ∫ t .tdt = ∫ t 2 dt = t3 1 + C = (2 x −1) 2 x −1 + C . Chọn B. 3 3 Câu 5. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 ln x ⋅ ln 2 x + 1 và F (1) = ⋅ x 3 Tính  F (e ) . 2 2 8 A.  F (e ) = ⋅ 3 Lời giải. Ta có ∫ 2 8 B.  F (e ) = ⋅ 9 2 1 C.  F (e ) = ⋅ 3 2 1 D.  F (e ) = ⋅ 9 ln x ⋅ ln 2 x + 1dx . x Đặt t = ln 2 x + 1 ⇒ t 2 = (ln 2 x + 1)  tdt = → ln x dx . x ( ) 3 ln 2 x + 1 t3 ln x 2 2 Khi đó ∫ ⋅ ln x + 1dx = ∫ t dt = + C = +C. x 3 3 1 1 1 Theo giả thiết F (1) =  + C = ⇔ C = 0. → 3 3 3 ( Suy ra F ( x ) = ln 2 x + 1 3 ) 3 2 8   F (e ) = ⋅ Chọn B. → 9 Câu 6. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = nào sau đây là đúng? ln 2 x A. F ( x ) = +C . 2 ln 2 x C. F ( x ) = −2 . 2 ln x và F (e 2 ) = 4 . Mệnh đề x ln 2 x +2 . 2 ln 2 x D. F ( x ) = + x +C . 2 ln x dx Lời giải. Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ dx . Đặt t = ln x  dt = . → x x ln x t2 ln 2 x dx = ∫ tdt = + C = +C. Khi đó ∫ x 2 2 Theo giả thiết F (e 2 ) = 4  → B. F ( x ) = ln 2 (e 2 ) 2 + C = 4 ⇔ C = 2. ln 2 x + 2. Chọn B. 2 Chú ý: Đáp án A được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Suy ra F ( x ) = Câu 7. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 và thỏa F (0 ) = − ln 2 . e x +1 Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln (e x + 1) = 3. A. S = {±3}. Lời giải. Ta có Đặt ∫e B. S = {3}. x C. S = ∅. D. S = {−3}. 1 e x + 1− e x ex ex dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ x dx = x − ∫ x dx . x +1 e +1 e +1 e +1 Khi t = e x + 1  dt = e x dx . → đó x e dt dx = ∫ = ln t + C = ln e x + 1 + C = ln (e x + 1) + C . +1 t 1 Do đó ∫ x dx = x − ln (e x + 1) + C . e +1 Theo giả thiết F (0 ) = − ln 2  0 − ln 2 + C = − ln 2 ⇔ C = 0. → ∫e x Suy ra F ( x ) = x − ln (e x + 1). Xét phương trình F ( x ) + ln (e x + 1) = 3 ⇔ x − ln (e x + 1) + ln (e x + 1) = 3 ⇔ x = 3. Chọn B. Câu 8. Hàm F ( x ) nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x ? 2 1 2 A. F ( x ) = e x + 2 . 2 1 2 C. F ( x ) = − e x + C . 2 ( ) 1 x2 e +5 . 2 2 1 D. F ( x ) = − 2 − e x . 2 B. F ( x ) = ( ) 2 1 → f ( x ) dx = ∫ xe x dx . Đặt t = x 2  dt = 2 xdx → xdx = dt . 2 1 1 t 1 x2 t Khi đó ∫ f ( x ) dx = ∫ e dt = e + C = e + C . 2 2 2 Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên đáp án A đúng với C = 2 , đáp án B đúng Lời giải. Ta có ∫ 5 , đáp án D đúng với C = −1 . Vậy chỉ có đáp án C là sai. Chọn C. 2 Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án A, B, D sai khác nhau hằng số nên chắc chắn rằng nó là một nguyên hàm của f ( x ) . với C = e ln x dx và t = ln x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x et A. I = ∫ te t dt . B. I = ∫ e t dt . C. I = ∫ dt . D. I = ∫ tdt . t 1 Lời giải. Đặt t = ln x  dt = dx . Khi đó I = ∫ e t dt . Chọn B. → x Câu 9. Cho I = ∫ Câu 10. Kí hiệu F ( x ) là họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 4 x cos x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? cos5 x A. F ( x ) = +C . 5 sin 4 x C. F ( x ) = +C . 4 Lời giải. Ta có Khi đó ∫ ∫ cos 4 x +C . 4 sin 5 x D. F ( x ) = +C . 5 B. F ( x ) = f ( x ) dx = ∫ sin 4 x cos xdx . Đặt t = sin x  dt = cos xdx . → f ( x ) dx = ∫ t 4 dt = t5 sin 5 x +C = + C . Chọn D. 5 5 Câu 11. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = π  sin x và F   = 2.     2 1 + 3 cos x Tính F (0). 1 A. F (0) = − ln 2 + 2. 3 2 C. F (0) = − ln 2 − 2. 3 sin x Lời giải. Ta có ∫ dx . 1 + 3 cos x 2 B. F (0) = − ln 2 + 2. 3 1 D. F (0 ) = − ln 2 − 2. 3 1 Đặt t = 1 + 3 cos x  dt = −3sin xdx → sin xdx = − dt . → 3 sin x 1 dt 1 1 Khi đó ∫ dx = − ∫ = − ln t + C = − ln 1 + 3 cos x + C . 1 + 3 cos x 3 t 3 3 π  Theo giả thiết F   = 2  C = 2. →   2  1 1 2 Suy ra F ( x ) = − ln 1 + 3 cos x + 2  F (0) = 2 − ln 2 2 = 2 − ln 2. Chọn B. → 3 3 3  2π  Câu 12. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cot x trên 0;  thỏa    3   π   π  F   = 0. Tính F  ⋅     4 2   π  π  1 A. F   = − ln 2. B. F   = ln 2.     2    2 2 π  π  C. F   = − ln 2. D. F   = −2 ln 2.         2 2 Lời giải. Ta có Khi đó ∫ cot x dx = ∫ ∫ cot x dx = ∫ cos x dx . Đặt t = sin x  dt = cos xdx . → sin x cos x dt dx = ∫ = ln t + C = ln sin x + C . sin x t  1  π Theo giả thiết F   = 0  ln   + C = 0 ⇔ C = ln 2 . →     4  2     π 1 Suy ra F ( x ) = ln ( sin x ) + ln 2  F   = ln 2 = ln 2. Chọn B. →     2 2 ( ) ( ) ( ) Câu 13. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x thỏa mãn F (0) = 0. Tính T = 2e π F    6   −e A. T = 1. Lời giải. Ta có ∫ π F    2   . B. T = 2. sin 2 x tan 2 x dx = ∫ dx . cos 2 x C. T = − 2. D. T = 0. 1 Đặt t = cos 2 x  dt = −2 sin 2 xdx → sin 2 xdx = − dt . → 2 sin 2 x 1 dt 1 1 Khi đó ∫ tan 2 x dx = ∫ dx = − ∫ = − .ln t + C = − ln cos 2 x +C . cos 2 x 2 t 2 2 Theo giả thiết F (0) = 0  C = 0. → π π 1 1 1 →   Suy ra F ( x ) = − ln cos 2 x  F   = 0 và F   = − ln   = ln     2 6       2 2 2 Vậy T = 2. e ln 2 ( 2). − e 0 = 2 −1 = 1. Chọn A. Câu 14. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e sin x cos x và F (π ) = 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. F ( x ) = e sin x + 4 . C. F ( x ) = e cos x + 4 . Lời giải. Ta có Khi đó ∫ ∫ B. F ( x ) = e sin x + C . D. F ( x ) = e cosx + C . f ( x ) dx = ∫ e sin x cos xdx . Đặt t = sin x  dt = cos xdx . → f ( x ) dx = ∫ e sin x cos xdx = ∫ e t dt = e t + C = e sin x + C . Theo giả thiết F (π ) = 5  e sin π + C = 5 ⇔ 1 + C = 5 ⇔ C = 4. → Suy ra F ( x ) = e sin x + 4. Chọn A. Câu 15. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = Khẳng định nào sau đây là đúng? A. F ( x ) = e tan x . C. F ( x ) = e tan x + 2016. Lời giải. Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ e tan x và F (0) = 2017 . cos 2 x B. F ( x ) = e − tan x . D. F ( x ) = e tan x + 2018. e tan x 1 dx . Đặt t = tan x  dt = → dx . cos 2 x cos 2 x e tan x dx = ∫ e t dt = e t + C = e tan x + C . cos 2 x Theo giả thiết F (0) = 2017  e tan 0 + C = 2017 ⇔ C = 2016. → Khi đó ∫ f ( x ) dx = ∫ Suy ra F ( x ) = e tan x + 2016. Chọn C. Vấn đề 2. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HQM TỪNG PHẦN Câu 16. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln x và thỏa mãn F (1) = 3. Tính F (e 2 ). A. F (e 2 ) = 4. Lời giải. Ta có Khi đó ∫ B. F (e 2 ) = 3e 2 + 4. C. F (e 2 ) = −e 2 + 4. D. F (e 2 ) = e 2 + 4.  dx  u = ln x du =  ⇒ ln xdx . Đặt  x .   dv = dx    v = x   ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx =x ln x − x + C . Theo giả thiết F (1) = 3  1 + C = 3 ⇔ C = 4. →− Suy ra F ( x ) = x .ln x − x + 4  F (e 2 ) = e 2 + 4. Chọn D. → Câu 17. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho F ( x ) = − 1 là một nguyên hàm của 3x 3 f (x ) . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) ln x . x ln x 1 ln x 1 A. ∫ f ' ( x ) ln xdx = 3 + 5 + C . B. ∫ f '( x ) ln xdx = 3 − 5 + C . x 5x x 5x ln x 1 ln x 1 C. ∫ f ' ( x ) ln xdx = 3 + 3 + C . D. ∫ f ' ( x ) ln xdx = − 3 + 3 + C . x 3x x 3x f (x ) 1 3x 2 1 1 Lời giải. Ta có F ' ( x ) = . 6 = 4 =  f ( x ) = 3 . → 3 x x x x  1  du = dx u = ln x  x . Xét ∫ f ' ( x ) ln xdx . Đặt  ⇔   dv = f ' ( x ) dx   v = f ( x )     hàm số f (x ) ln x 1 dx = 3 + 3 + C . Chọn C. x x 3x ln ( ln x ) Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . x ln ( ln x ) ln ( ln x ) A. ∫ B. ∫ dx = ln x .ln (ln x ) + C . dx = ln x .ln (ln x ) + ln x + C . x x ln ( ln x ) ln ( ln x ) C. ∫ dx = ln x .ln (ln x ) − ln x + C . D. ∫ dx = ln (ln x ) + ln x + C . x x ln (ln x ) dx Lời giải. Đặt t = ln x ⇒ dt = . Suy ra ∫ dx = ∫ ln t dt . x x   du = dt u = ln t   Đặt  ⇒ t .  dv = dt     v = t  f ' ( x ) ln xdx = ln x . f ( x ) − ∫ Khi đó ∫ Khi đó ∫ ln t dt = t ln t − ∫ dt = t ln t − t + C = ln x.ln (ln x )− ln x + C . Chọn C. Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x . x2 x e +C. ∫ ∫ 2 x2 x C. ∫ xe x dx = xe x − e x + C . D. ∫ xe x dx = e + e x +C. 2 u = x du = dx   Lời giải. Ta có ∫ xe x dx . Đặt  ⇒ .   x dv = e dx v = e x     A. Khi đó xe x dx = e x + xe x + C . ∫ xe x B. xe x dx = dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C . Chọn C. Câu 20. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x −1) e x và thỏa mãn F (0 ) = 1. Tìm F ( x ) . A. F ( x ) = ( x − 1) e x . B. F ( x ) = ( x − 2) e x . C. F ( x ) = ( x + 1) e x + 1 . D. F ( x ) = ( x − 2) e x + 3 . Lời giải. Ta có Khi đó ∫ ( x −1) e ∫ ( x −1) e x x u = x −1   du = dx dx . Đặt  ⇒ .   x dv = e dx v = e x     dx = ( x −1) e x − ∫ e x dx = ( x −1) e x − e x + C = ( x − 2) e x + C . Theo giả thiết F (0) = 1  (0 − 2) e 0 + C = 1 ⇔ C = 3. → Vậy F ( x ) = ( x − 2) e x + 3 . Chọn D. Câu 21. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x.e − x thỏa mãn điều kiện F (0) = −1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F ( x ) + x + 1 = 0. A. S = −3. Lời giải. Ta có Khi đó ∫ xe −x B. S = 0. ∫ C. S = 2. u = x du = dx   x .e − x dx . Đặt  ⇒ .   −x dv = e dx v = −e −x     D. S = −1. dx = −xe − x + ∫ e − x dx =− xe − x − e − x + C . Theo giả thiết F (0 ) = −1  1 + C = −1 ⇔ C = 0. →− Suy ra F ( x ) = −xe −x − e − x = −e x ( x + 1) . Xét phương trình F ( x ) + x + 1 = 0 ⇔ −e x ( x + 1) + x + 1 = 0  x = −1 ⇔ ( x + 1)(−e x + 1) = 0 ⇔   S = −1 + 0 = −1. Chọn D. → x = 0  Câu 22. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x và thỏa mãn F (π ) = 2π. Tính giá trị của biểu thức T = 2 F (0) − 8 F (2π ). A. T = 6π. Lời giải. Ta có Khi đó ∫ B. T = 4 π. C. T = 8π. u = x du = dx   ⇒ . x sin xdx . Đặt    dv = sin xdx v = − cos x     D. T = 10π. ∫ x sin xdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + sin x + C . Theo giả thiết F (π ) = 2π  π + C = 2π ⇔ C = π. →  F (0 ) = π  Suy ra F ( x ) = −x cos x + sin x + π   →  T = 2π − 8.(−π ) = 10π. →  F (2π ) = −π   Chọn D. Câu 23. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos 2 x 1 và thỏa F (0) = ⋅ 2 2 Tính F (π ). π2 1 π2 1 π2 1 π2 + ⋅ B. F (π ) = − ⋅ C. F (π ) = + ⋅ D. F (π ) = + 1. 2 2 4 2 4 2 4 1 + cos x   x 1 1 Lời giải. Ta có ∫ x cos 2 dx = ∫ x   dx = ∫ xdx + ∫ x cos xdx .      2 2 2 2 A. F (π ) = 1 1 x2 x2 ∫ xdx = 2 . 2 + C1 = 4 + C1. 2 u = x du = dx   1   ∫ x cos xdx. Đặt dv = cos xdx ⇒ v = sin x .   2     (1) ( (2 ) ) 1 1 1 ∫ x cos xdx = 2 x sin x − ∫ sin xdx = 2 ( x sin x + cos x + C 2 ). 2 x x2 1 Từ (1) và (2) , suy ra ∫ x cos 2 dx = + C1 + ( x sin x + cos x + C 2 ) . 2 4 2 1 1 1 1 1 Theo giả thiết F (0 ) =  C1 + + C 2 = ⇔ C1 + C 2 = 0. → 2 2 2 2 2 x2 1 π2 1 Suy ra F ( x ) = + ( x sin x + cos x )  F (π ) = → − . Chọn B. 4 2 4 2 Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 cos x . Suy ra A. ∫x B. ∫ x C. ∫ x D. ∫ x 2 cos xdx = x 2 sin x − 2 x cos x + 2 sin x + 2C . 2 cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x . 2 cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C . 2 cos xdx = x 2 sin x + x cos x − sin x − C . u = x 2   du = 2 xdx Lời giải. Đặt  ⇒ .   dv = cos xdx v = sin x     Khi đó Tính ∫x 2 (1) cos xdx = x 2 sin x − 2 ∫ x sin xdx . u = x  d u = d x    ∫ x sin xdx . Đặt dv = sin xdx ⇒ v = − cos x .       ∫ x sin xdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + sin x + C . (2) Từ (1) và (2) , suy ra ∫ x cos xdx = x sin x − 2 (−x cos x + sin x + C ) Ta được 2 2 = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C . Chọn C. Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x sin x . 1 x (e sin x + e x cos x ) + C . 2 1 e x sin xdx = (e x sin x − e x cos x ) + C . 2 A. ∫e x sin xdx = e x sin x + C . B. ∫e C. ∫e x sin xdx = e x cos x + C . D. ∫ x sin xdx = u = sin x   du = cos xdx Lời giải. Đặt  ⇒ .   dv = e x dx v = e x     Khi đó ∫ sin xe x dx = e x sin x − ∫ cos xe x dx = e x sin x − K . (1) u = cos x du = − sin xdx   Tính K = ∫ cos xe x dx . Đặt  ⇒ .   x dv = e dx v = e x     Suy ra K = e x cos x + ∫ sin xe x dx . (2 )