Tài liệu Bai tap trac nghiem dao ham

www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Cho hàm số lim x  x0 y  f  x xác định trên  a; b  x0   a; b  và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f  x   f  x0  y  f  x x x  x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm 0 . Kí hiệu: f  x0  hoặc y x0  . Vậy f  x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 . STUDY TIP Nếu x x  x0  và y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  thì f  x0   lim x  0 y x . x gọi là số gia của đối số tại điểm x0 . y gọi là số gia của hàm số tương ứng.  2. Đạo hàm bên trái, bên phải. a) Đạo hàm bên trái. f  x0   lim x  x0 f  x   f  x0  y  lim  x  0 x x  x0 x  x0 x  x0 trong đó x  x0 được hiểu là và . b) Đạo hàm bên phải. f  x0   lim x  x0 f  x   f  x0  y  lim  x  0 x x  x0 x  x0 x  x0 trong đó x  x0 được hiểu là và .  f  x0  f  x x  f  x0  Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại điểm 0 và tồn tại và bằng f  x0   f  x0   f  x0  nhau. Khi đó . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn. y  f  x  a; b  nếu có đạo hàm tại a) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng mọi điểm trên khoảng đó. y  f  x  a; b  nếu có đạo hàm trên b) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a; b  và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b . khoảng 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số. - Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó. www.thuvienhoclieu.com Trang 1 www.thuvienhoclieu.com STUDY TIP Hàm số liên tục tại điểm  x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. x  Hàm số không liên tục tại 0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: 1. Tính đạo hàm của hàm số y  f  x tại điểm x0 bằng định nghĩa. Cách 1: lim - Tính x  x0 f  x   f  x0  x  x0 (1). Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại x số không có đạo hàm tại 0 . Cách 2: Tính theo số gia. - x0 và ngược lại thì hàm x  x  x0  y  f  x0  x   f  x0  một số gia x : . y Lập tỉ số x . y lim x  0 x Tính giới hạn . 2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm. x0 - Cho - Hàm số y  f  x liên tục tại điểm f  x   f  x0   lim 0 x0  xlim  x0 x  0 . y  f  x x x có đạo hàm tại điểm 0  liên tục tại điểm 0 . y  f  x x x Hàm số liên tục tại điểm 0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm 0 . f  x   x 1 x 1 Ví dụ 1. Cho hàm số . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 . - Hàm số y  f  x 2 A. 4 . 2 B. 2 . C. 2 2 . 2 D. 3 . Lời giải Đáp án A. Cách 1: Xét lim x 1 lim x 1 f  x   f  1 x 1  2 lim x 1 x 1 x 1 x 1  x  1  x  1  2 lim x 1  1 1 2   x 1  2 2 2 4 . Cách 2: y  f  x  1  f  1  x  2  2 . www.thuvienhoclieu.com Trang 2 www.thuvienhoclieu.com y x  2   x x lim x  0 2 . y x  2   lim  x  0 x x 2 x  lim x  0 x  2  x  2   lim x  0 1 2  4 2  x  2 . STUDY TIP a b Nhân lượng liên hợp: a b a  b và a b a  b2 a b . Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2. Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số sinh đã tính theo các bước sau: f  x   f  2   f  x   11 Bước 1: f  x  x 2  5x  3 tại điểm x0 2 , một học . f  x   f  2  x 2  5 x  3  11  x  2   x  7    x  7 x 2 x 2 x 2 Bước 2: . f  x   f  2 lim lim  x  7  9 f  2  9 x 2 x 2 Bước 3: x  2 . Vậy . Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào. A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3 . D. Tính toán đúng. Lời giải Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng. STUDY TIP 2 x , x  a  x  x1   x  x2  0 Phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có hai nghiệm 1 2 . Ví dụ 3. Số gia của hàm số A.  x  2  2x  1 . B. f  x  x 2  x  2 x  1 ứng với số gia x của đối số x tại 0 là:  2x  2 . C.  x  2  2x . D.  x  2  2 x . Lời giải Đáp án D. 2 2 y   1  x   1  x   2x x  1 Với số gia x của đối số x tại điểm 0 , ta có: . Ví dụ 4. Cho hàm số f  x  x 2  x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối x số x tại 0 là: A. C.  2 lim  x   2 x0 .x  x x  0 lim  x  2 x0  1 x  0 . B. . D. lim  x  2 x0  1 x  0  2 . lim  x   2 x0 .x  x x  0 . Lời giải www.thuvienhoclieu.com Trang 3 www.thuvienhoclieu.com Đáp án B. 2 Ta có: 2 y  x0  x    x0  x    x02  x0   x   2 x0 .x  x y  lim  x  2 x0  1 x  0 x x  0 .  f  x0   lim y  f  x f  x0  x Ví dụ 5. Cho hàm số có đao hàm tại điểm 0 là . Khẳng định nào sau đây là sai. f  x   f  x0  f  x0  x   f  x0  f  x0   lim f  x0   lim x  x0 x  x  x  0 x 0 A. . B. . f  x  x0   f  x0  f  x  h   f  x0  f  x0   lim f  x0  lim x  x0 x  x0 h 0 h C. . D. . Lời giải Đáp án D. - A đúng theo định nghĩa. x x  x0 x  x0  x  0 - B đúng vì nên . h x  x  x0  x h  x0 h  0 x  x0 - C đúng. Đặt , khi . f  x   f  x0  f  x  h   f  x0  f  x0  h   f  x0  f  x0   lim lim  lim x  x0 h  0 x  x0 h  x0  x0 h 0 h . - Vậy D sai. Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số đó. (2) Nếu hàm số . f  x f  x x  x0 có đạo hàm tại điểm liên tục tại điểm x  x0 thì thì f  x f  x liên tục tại điểm có đạo hàm tại điểm đó f  x f  x x  x0 (3) Nếu hàm số gián đoạn tại điểm thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó . Trong ba mệnh trên: A. (1) và (3) đúng. B. (2) đúng. C. (1) và (2) đúng . D. (2) và (3) đúng. Lời giải Đáp án A. Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f  x  x có tập xác định D  nên hàm số f  x   f  0 f  x   f  0 1 lim  1 x 0 x 0 liên tục trên  , nhưng ta có: x  0 và x  0 nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 . lim STUDY TIP www.thuvienhoclieu.com Trang 4 www.thuvienhoclieu.com x x - Khi x  0  x  0 nên .   x  x - Khi x  0  x  0 nên . x2  x 1 y  f  x  x Cho hàm số . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm Ví dụ 7. x0  1 . A. 2 . C. 0 . B. 1 . D. Không tồn tại. Lời giải Đáp án D. Hàm số liên tục tại Ta có lim lim x  1 . f  x   f   1 x2  2 x 1  lim 0 x  1 x 1 x  x  1 f  x   f   1 x 1 x  1 x0  1  lim x  1 x2  1 2 x  x  1 (1). (2). x  1 Từ (1) và (2)  hàm số không có đạo hàm tại điểm 0 . STUDY TIP Hàm số f  x có đạo hàm tại Ví dụ 8. Cho hàm số đây? 1 A. 4 . 3  f  x   1 x0  f  x0   f  x0   f  x0  4 x khi x 0 khi x 0 1 B. 16 . . Khi đó 1 C. 2 . f  0  là kết quả nào sau D. 2 . Lời giải Đáp án A. lim Ta có: x 0 f  x   f  0 2 4 x 1 1 lim lim  x 0 x 0 2  4  x x 0 x 4.  x f  x   2  x Ví dụ 9. Cho hàm số 1 A. 2 . B. 1 . tại. khi x  1 khi x 1 . Khi đó f  1 là kết quả nào sau đây. C. 2 . D. f  1 không tồn Lời giải Đáp án D. www.thuvienhoclieu.com Trang 5 www.thuvienhoclieu.com Ta có: 2 f  1 1 1 f  1  lim x 1 Vì Ví dụ 10. . x1 lim x  1 x  1 f '  1   f '  1  1 1 x2  1  f  1  lim lim  x  1 2 x 1 x  1 x 1 x  1 2 và . nên hàm số Cho đồ thị hàm số f  x y  f  x không tồn tại đạo hàm tại x0 1 . như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai. A. Hàm số có đạo hàm tại x 0 . C. Hàm số có đạo hàm tại x 2 . B. Hàm số có đạo hàm tại x 1 . D. Hàm số có đạo hàm tại x 3 . Lời giải Đáp án B. Tại x 1 đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 1 . STUDY TIP - Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó. x x - Hàm số không liên tục tại điểm 0 thì không có đạo hàm tại 0 .  x2  1 khi x 1  f  x   x  1 a khi x 1  Ví dụ 11. Tìm a để hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 . 1 a 2. A. a  2 . B. a 2 . C. a 1 . D. Lời giải Đáp án B. f  x Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết phải liên tục tại x 1 . x2  1 2 f  x   f  1 x 1 f  1 lim lim x  1 1 lim 2  f  1 a x 1 x 1 x 1 x  1 x 1 x 1 . Khi đó . 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 6 www.thuvienhoclieu.com Vậy a 2 . STUDY TIP Hàm số f  x liên tục tại x0  lim f  x   f  x0  x  x0 .  x2  1 khi x 0  f  x   x  1 ax  b khi x  0  Ví dụ 12. Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 . a  11 a  10 a  12 a  1     A. b 11 . B. b 10 . C. b 12 . D. b 1 . Lời giải Đáp án D. Trước tiên hàm số phải liên tục tại x 0 lim f ( x ) 1  f (0), lim f ( x) b  b 1 x  0 Xét lim x 0 x 0 lim x 0 f ( x)  f (0) x 1  lim  1 x 0 x  1 x f ( x)  f (0)  lim a a x 0 x Hàm số có đạo hàm tại x 0  a  1 STUDY TIP Hàm số f ( x ) liên tục tại x0  lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 x  x0 ax 2  bx  1 khi x 0 f ( x)  a s in x  b cos x khi x  0 Ví dụ 13. Tìm a, b để hàm số x0 0 A. a 1; b 1 . B. a  1; b 1 . C. a  1; b  1 . có đạo hàm tại điểm D. a 0; b 1 . Lời giải Đáp án A Ta có: f (0) 1 lim f ( x )  lim (ax 2  bx  1) 1 x 0 x 0 lim f ( x)  lim (a s in x  b cos x) b x  0 x 0 Để hàm số liên tục thì b 1 www.thuvienhoclieu.com Trang 7 www.thuvienhoclieu.com 2 f (0 )  lim x 0 ax  x  1  1 1 x x x x 2a sin cos  2sin 2 a s inx  b cos x  1 2 2 2 f (0 )  lim  lim x 0 x 0 x x x x sin sin x 2 . lim  a cos x   lim 2  lim sin a  x  0 x . xlim  x 0 x x  0   0 2 2 2 2   Để tồn tại f (0)  f (0 )  f (0 )  a 1 STUDY TIP s inx s inf(x) lim 1  lim 1 x 0 f ( x ) 0 f ( x) x Giới hạn lượng giác Ví dụ 14. Cho hàm số f ( x )  x( x  1)( x  2)...( x  1000) . Tính f (0) . A. 10000! . B. 1000! . C. 1100! . D. 1110! . Lời giải Đáp án B. f ( x )  f (0) x ( x  1)( x  2)...( x  1000)  0 f ( x ) lim lim lim( x  1)( x  2)...( x  1000) x 0 x  0 x 0 x 0 x ( 1)( 2)...( 1000) 1000! STUDY TIP Hoán vị n phần tử: Pn n ! 1.2...(n  1)n C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 3 Câu 1. Số gia của hàm số f ( x)  x ứng với x0 2 và x 1 bằng bao nhiêu? A.  19 . B. 7 . C. 19 . D.  7 . y Câu 2. Tỉ số x của hàm số f ( x ) 2 x( x  1) theo x và x là: 2 B. 4 x  2(x)  2 . 2 D. 4 x.x  2( x)  2x . A. 4 x  2x  2 . C. 4 x  2x  2 . 2 Câu 3. Số gia của hàm số f ( x )  x  4 x  1 ứng với x và x là: A. x( x  2 x  4) . B. 2x  x . C. x(2 x  4x) .  x2 1  1 khi x 0  f ( x)  x 0 khi x 0  Câu 4. Cho hàm số f ( x) xác định: www.thuvienhoclieu.com D. 2 x  4x . .Giá trị f (0) bằng: Trang 8 www.thuvienhoclieu.com 1 A. 2 . 1 B. 2 .  C.  2 . D. Không tồn tại.  x3  4 x 2  3x khi x 1  f ( x)  x 2  3x  2 0  \  2 khi x 1  Câu 5. Cho hàm số f ( x ) xác định trên bởi f (1) bằng: 3 A. 2 . B. 1 . C. 0 . .Giá trị D. Không tồn tại. Câu 6. Xét hai mệnh đề: ( I ) f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ( x) liên tục tại x0 . ( II ) f ( x) có liên tục tại x0 thì f ( x) đạo hàm tại x0 . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ ( I ) . đúng. B. Chỉ ( II ) . C. Cả hai đều sai. D. Cả hai Câu 7. Cho đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ: Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây? A. x 0 . B. x 1 . C. x 2 .  x3  2 x 2  x 1  1 khi x 1  f ( x)  x 1 0 khi x 1  Câu 8. Cho hàm số www.thuvienhoclieu.com D. x 3 . .Giá trị f (1) bằng: Trang 9 đều www.thuvienhoclieu.com 1 A. 3 . 1 B. 5 . 1 C. 2 . khi x 1 2 x  3  3 f ( x )  x  2 x 2  7 x  4 khi x  1  x  1  Câu 9. Cho hàm số A. 0 . B. 4 . 1 D. 4 . .Giá trị f (1) bằng: C. 5 .  Câu 10. Cho hàm số f ( x) xác định trên  mệnh đề sau: D. Không tồn tại.  x  f ( x)  x 0  bởi khi x 0 khi x 0 Xét hai ( I ) f (0) 1 . ( II ) Hàm số không có đạo hàm tại x0 0 . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ ( I ) . đều sai. Câu 11. B. Chỉ ( II ) . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai Xét hai câu sau: (1) Hàm số (2) Hàm số y x x  1 liên tục tại x 0 . y x x  1 có đạo hàm tại x 0 . Trong 2 câu trên: A. (2) đúng. đều sai. Câu 12. B. (1) đúng. C.Cả (1) , (2) đều đúng.  3 4 x 2  8  8 x2  4 khi x 0  f ( x)  x 0 khi x 0  Cho hàm số 1 A. 3 . 5 B. 3 .    khi x 0  x sin f ( x)  x 0 khi x 0 Câu 13. Với hàm số sinh lập luận qua các bước như sau: 4 C. 3 . D. Cả (1) , (2) .Giá trị của f (0) bằng: D.Không tồn tại. .Để tìm đạo hàm f '( x) 0 một học www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com  f ( x)  x . sin  x x 1. . x0 f ( x)  0  f ( x)  0 2.Khi x  0 thì nên . 3.Do lim f ( x)  lim f ( x)  f (0) 0 x  0 x 0 nên hàm số liên tục tại x 0 . 4.Từ f ( x ) liên tục tại x 0  f ( x) có đạo hàm tại x 0 . Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A.Bước 1. Câu 14. B.Bước 2. C.Bước 3. 1   x sin 2 khi x 0 f ( x)  x 0 khi x 0 Cho hàm số D.Bước 4. . (1) Hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x 0 . (2) Hàm số f ( x) không có đạo hàm tại điểm x 0 . Trong các mệnh đề trên: A.Chỉ (1) đúng. đều sai. B. Chỉ (2) đúng. C.Cả (1), (2) đều đúng. D. Cả (1),(2)  ax 2  bx khi x 1 f ( x)  khi x  1 .Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại 2 x  1 Câu 15. Cho hàm số x 1 A. a  1, b 0 . Câu 16. C. a 1, b 0 .  sin 2 x khi x  0  f ( x)  x  x 2  x khi x 0  Cho hàm số A. 1 . Câu 17. B. a  1, b 1 . B. 2 . .Giá trị của f (0) bằng: C. 3 . Xét hàm số y  f ( x) có tập xác định là đoạn x  x0   a; b  D. a 1, b 1 . D. 5 .  a; b đồng thời nếu thì f ( x)  1 với 3 điều kiện: I. f ( x ) là hàm số liên tục trái và liên tục phải của x0 . II. f ( x0 ) 1 . III. f ( x ) có đạo hàm tại x0 . www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để f ( x) liên tục tại x0 là: A. Chỉ I. Câu 18. I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ II và III. C. Chỉ I và II. D. Chỉ I và III. Xét ba hàm số: f ( x)  x .x II. g ( x)  x III. h( x )  x  1 x Hàm số không có đạo hàm tại x 0 là: A. Chỉ I. B. Chỉ II. D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án C. 3 y  f  x0  x   f  x0   x0  x   x03 Với x0 2, x 1  y 19 Câu 2. Đáp án C. y f  x   f  x0  2  x  x0   x  x0   2  x  x0    2 x  2 x0  2 x x  x0 x  x0 (Với x0  x  x ) Câu 3. Đáp án A. 2 y  f  x  x   f  x   x  x   4  x  x   1  x 2  4 x  1 x  x  2 x  4    Câu 4. Đáp án A. f  x   f  0 x2 1  1 1 1 lim lim lim  2 2 x 0 x  0 x  0 x x x 1 1 2 Xét 1 f  0   2 Vậy Câu 5. Đáp án D. f  x   f  1 x  x  3 x 3  4 x 2  3x lim lim lim  2 x 1 x  1 x  1 x  3x  2 x  1  x  1  x  2  x 1     Xét Câu 6. Đáp án A. (II) Sai : ví dụ: f ( x )=|x| thì f ( x ) liên tục tại x = 0 nhưng f ( x ) không có đạo hàm tại x = 0 (I) Đúng theo đáp án đã trình bày Câu 7. Đáp án B. Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số không liên tục tại đó ⇒ hàm số không có đạo hàm Câu 8. Đáp án C. www.thuvienhoclieu.com Trang 12 www.thuvienhoclieu.com f ( x ) −f ( 1 ) x −2 x 2 + x+1 x 1 lim =lim √ =lim = x−1 x →1 x →1 x→ 1 √ x 3 −2 x 2 + x+ 1+ 1 2 ( x−1 )2 3 Câu 9. Đáp án D. lim f ( x )=lim ( 2 x +3 ) =5 x → 1+ x →1+ 3 2 x +2 x −7 x+ 4 2 =lim ( x + 3 x−4 ) =0 − x −1 − x →1 x→ 1 lim f ( x )= lim x → 1− f  1 Vậy không tồn tại Câu 10. Đáp án B. x 0 1 f  0  lim x lim  x 0 x  0 x 0 x x Vậy (I) sai, (II) đúng Câu 11. Đáp án B. |x| =0=f ( 0 ) ⇒ x →0 x +1 Hàm số liên tục tại x 0 lim Ta có: f  x   f  0 x 1 lim  lim  lim 1 x 0 x  0 x  x  1 x  0  x  1 x 0 lim x 0 f  x  f  0 x 0  lim x 0 x  lim x  x  1 x 0 1  1  x  1 Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 0 Câu 12. Đáp án B. 3 3 f ( x )−f ( 0 ) 4 x2 +8− √8 x 2 + 4 4 x 2 +8−2+2−√ 8 x 2 + 4 lim =lim √ 2 =lim √ 2 x →0 x x→0 x x →0 x 1 4 x2 8 x2 1 5 − = −2=− 2 3 2 3 x →0 x ( 4 x 2 +8 ) 2 +2 3√ 4 x 2 +8+4 2+ √ 8 x +4 3 ¿ lim (√ ) Ta có: Câu 13. Đáp án D. Một hàm số liên tục tại x 0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa f ( x ) −f ( 0 ) π =sin x−0 x không có giới hạn khi x →0 Câu 14. Đáp án C. 1 −|x|≤x .sin 2 ≤|x| x Ta có: 1 1 ⇒ lim (−|x|)≤lim x . sin 2 ≤lim|x|=0 ⇒ lim x .sin 2 =0=f ( 0 ) x→ 0 x →0 x→ 0 x x →0 x Vậy hàm số liên tục tại x 0 f ( x ) −f ( 0 ) 1 lim =lim sin 2 x−0 x Xét x →0 ( ) www.thuvienhoclieu.com Trang 13 www.thuvienhoclieu.com x n= Lấy dãy (xn): 1 √ 1 lim xn  lim n     2n 2  x  : x   n n Lấy dãy π +2 nπ 2 có:   0  lim f  xn   lim sin   2n  1 n   n   2  1   2 n 6  1 2 , tương tự ta cũng có: f  x   f  0 1   1 lim xn 0  lim f xn 0  lim sin   2n    lim lim sin 2 n   n   n   x  0 x  0 x 0 x không 6  2 tồn tại Câu 15. Đáp án C.   { lim f ( x )=a+b=f ( 1) ¿ ¿ ¿ ¿ + Ta có: x →1 f ( x )−f ( 1 ) ax 2 +bx−( a+b ) lim =lim =lim [ a ( x +1 ) +b ] =2a+ b + + x−1 x−1 x → 1+ x→ 1 x →1 2 f ( x )−f ( 1 ) 2 x −1−( a+ b ) 2 x−1−1 lim =lim =lim =2 − − x−1 x−1 x−1 x → 1− x →1 x→ 1 Ta có hệ: Câu 16. { a+b=1 ¿¿¿¿ Đáp án A. sin2 x sin x =lim . sin x =0 + + x x x→0 x→ 0 ( lim f ( x )= lim x → 0+ ) lim f ( x )= lim ( x 2 + x ) =0 x → 0− x→0 − Suy ra hàm số liên tục tại x 0 2 2 f ( x ) −f ( 0 ) f ( x )−f ( 0 ) sin x x +x lim = lim =1; lim = lim =1 + − − x−0 x x−0 x x → 0+ x→ 0 x→ 0 x→0 f  0   f  0   f  0  1 Vậy: Câu 17. Đáp án C. x →x 0 thì f ( x ) →f ( x 0 ) nên (I) và (II) đúng. - f(x) liên tục tại x0 tức là - f(x) có đạo hàm tại x0 là điều điện đủ để f(x) liên tục tại x0. f(x) liên tục tại x0 nhưng có thể f(x) không có đạo hàm tại điểm đó. Câu 18. Đáp án B. g ( x )−g ( 0 ) 1 = lim =+∞ g  x x−0 x→0+ √ x x → 0+ . Vậy không có đạo hàm tại x 0 . lim Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 14 www.thuvienhoclieu.com CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số có: 1. 3. u u  x  ; v v  x  có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta  u  v   u  v 2.  u - v   = u  - v v  u  u v  vu  1         2 2 v v v 4.  v   u.v   u v  vu STUDY TIP Mở rộng: 1.  u1 u2 ... un   u1 u2 ... un 2.  u.v.w   u.v.w  u.v.w  u.v.w  2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y=f ( u ( x ) ) =f ( u ) với u=u ( x ) . Khi đó: yx  yu.u x 3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u=u ( x )  c   0 , c là hằng số  x   1 1  1     2 x  x 1  x  2 x    x    .x  1  sin x   cos x  cos x    sin x 1 1  tan 2 x 2 cos x 1  cot x    2   1  cot 2 x  sin x  tan x    u  1     2 u u u  u  2 u    u    .u.u  1  sin u   u.cos u  cos u    u.sin u u u .  1  tan 2 x  2 cos u 1  cot u    2  u.  1  cot 2 u  sin u  tan u    STUDY TIP www.thuvienhoclieu.com Trang 15 www.thuvienhoclieu.com Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ. B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.. Ví dụ 15. Đạo hàm của hàm số A. −10 x 4 + 1 √x B. 5 y=−2 x +4 √ x bằng biểu thức nào dưới đây? −10 x 4 + 4 √x C. Lời giải −10 x 4 + 2 √x D. −10 x 4 − 1 √x Đáp án C. www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Trang 17 www.thuvienhoclieu.com Lời giải y   10 x 4  2 . x a 2 x 1 . 2 y x  2   x  2 bằng biểu thức có dạng Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số Khi đó a nhận giá trị nào sau đây: A. a  3 . B. a 5 . C. a 3 . D. a  5 . Lời giải Đáp án C. y   2 x 1   x  2    2 x 1  x  2    3  2 2  x  2  x  2 a 3. STUDY TIP  ax  b  ad  bc    2  cx  d   cx  d  với c 0 và ad  bc 0 ax 2  bx x2  x 1 . 2 y x  1   x  1 bằng biểu thức có dạng Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số Khi đó a.b bằng: A. a.b  2 . B. a.b  1 . C. a.b 3 . D. a.b 4 . Lời giải Đáp án A. y  Cách 1:  2 x  1  x  1   x 2  2  x  1 y x  Cách 2: x  1  x2  2x  x  1 2  a.b  2. 1 1 x2  2x  y 1   2 2 x 1  x  1  x  1 www.thuvienhoclieu.com Trang 18 www.thuvienhoclieu.com STUDY TIP  ax 2  bx  c  aax 2  2abx  bb  ac    2   a x  b  ax  b   Với a.a 0 ta có ax  b . x2  x  3 2 2 y 2 x  x  1  Khi x  x  1 bằng biểu thức có dạng  Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số đó a  b bằng: A. a  b 4 . B. a  b 5 . C. a  b  10 . D. a  b  12 . Lời giải Đáp án D.  4  2 x  1 x2  x  1  4 4 8x  4 y 2 1  2  y   2 2 2 2 x x 1 x x 1 x  x  1 x  x  1   Cách 1:  u  uv  uv    v2 Cách 2: Áp dụng  v  y   2 x 1  x 2  x  1   x 2  x  3  2 x  1 x 2  x  1 2   8x  4 x 2  x  1 2  a  b  12 STUDY TIP a b 2 a c b c x  2 x  a1 c1 b1 c1  ax 2  bx  c  a1 b1  2   2  a1 x  b1 x  c1  a1 x 2  b1 x  c1   y ax 2   a  1 x  a3  a 2 Đạo hàm của hàm số (với a là hằng số) tại mọi x   là: 2 A. 2 x  a  1 . B. 2ax  1  a . C. 2ax  3a  2a  1 . D. 2ax  a  1 . Lời giải y 2ax  a  1 Đáp án D. Ví dụ 5. STUDY TIP Với c là hằng số thì  c   0  c.u   c.u  x   nx n n 1 , n  * ax  b 2 2 Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số y  x  x  1 bằng biểu thức có dạng 2 x  x  1 . Khi đó a  b bằng: A. a  b 2 . B. a  b  1 . C. a  b 1 . D. a  b  2 . www.thuvienhoclieu.com Trang 19 www.thuvienhoclieu.com Lời giải x y  Đạo hàm của hàm số 4  x  x  1 4 5  x 2  x  1 4 2 A. C. Đáp án C.  x  1  2 2 x  x 1 Đáp án C. Ví dụ 7. 2  2x 1 2 x 2  x 1 y  x 2  x  1 5  2 x  1 . là: B. 5  x 2  x 1 x  2 x  1 . 2 D. Lời giải y  5  x 2  x  1 4 x  a  b 1 2  x  1 4 4 .  2 x  1 .  x  1  5  x 2  x  1 4  2 x  1 STUDY TIP  u   n.uu n Với u u  x  : Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số a T b bằng: Khi đó A.  1 . B.  2 . , n  *  u    2uu y  x  1  5  3x 2  2 n 1 3 bằng biểu thức có dạng ax  bx . C. 3 . Lời giải D.  3 . Đáp án D. y  x 2  1   5  3x 2    x 2  1  5  3x 2   2 x  5  3 x 2    x 2  1   6 x   12 x3  4 x STUDY TIP Với u u  x  , v v  x  :  uv   u v  uv y  x 2  2 x  1  5 x  3  Ví dụ 9. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng 3 2 ax  bx  cx . Khi đó a  b  c bằng: A. 31 . B. 24 . C. 51 . Lời giải D. 34 . Đáp án A. y 2 x  2 x  1  5 x  3  x 2 .2  5 x  3  x 2  2 x  1 .5 40 x 3  3 x 2  6 x Cách 1: 4 3 2 3 2 Cách 2: Nhân vào rút gọn ta được y 10 x  x  3 x  y 40 x  3x  6 x nên a  b  c 31 STUDY TIP u u  x  , v v  x  ,    x    uv   u v  uv  uv  www.thuvienhoclieu.com Trang 20